2019_2020学年高中数学课后作业2简单多面体北师大版必修2

课后作业(二)
(时间45分钟)
学业水平合格练(时间20分钟)
1．下面的几何体中是棱柱的有( )
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
[解析] 棱柱有三个特征：(1)有两个面相互平行；(2)其余各面是四边形；(3)侧棱相互平行．本题所给几何体中⑥⑦不符合棱柱的三个特征，而①②③④⑤符合，故选C.
[答案] C
2．下面图形中，为棱锥的是( )
A．①③ B．①③④ C．①②④ D．①②
[解析] 根据棱锥的定义和结构特征可以判断，①②④是棱锥，③不是棱锥．故选C.
[答案] C
3．下列图形中，是棱台的是( )
[解析] 由棱台的定义知，A、D的侧棱延长线不交于一点，所以不是棱台；B中两个面不平行，不是棱台，只有C符合棱台的定义，故选C.
[答案] C
4．一个棱锥的各棱长都相等，那么这个棱锥一定不是( )
A．三棱锥 B．四棱锥 C．五棱锥 D．六棱锥
[解析] 由题意可知，每个侧面均为等边三角形，每个侧面的顶角均为60°，如果是六棱锥，因为6×60°＝360°，所以顶点会在底面上，因此不是六棱锥．[答案] D
5．下列图形中，不能折成三棱柱的是( )
[解析] C中，两个底面均在上面，因此不能折成三棱柱，其余均能折为三棱柱．
[答案] C
6．面数最少的棱柱为________棱柱，共有________个面围成．
[解析] 棱柱有相互平行的两个底面，其侧面至少有3个，故面数最少的棱柱为三棱柱，共有五个面围成．
[答案] 三 5
7．以三棱台的顶点为三棱锥的顶点，这样可以把一个三棱台分成三棱锥的个数为________．
[解析] 如图所示，在三棱台ABC－A1B1C1中，分别连接A1B，A1C，BC1，则将三棱台分成3个三棱锥，即三棱锥A－A1BC，B1－A1BC1，C－A1BC1.
[答案] 3
8．下列说法正确的是________．
①一个棱锥至少有四个面；
②如果四棱锥的底面是正方形，那么这个四棱锥的四条侧棱都相等；
③五棱锥只有五条棱；
④用与底面平行的平面去截三棱锥，得到的截面三角形和底面三角形相似．
[解析] ①正确．②不正确．四棱锥的底面是正方形，它的侧棱可以相等，也可以不等．③不正确．五棱锥除了五条侧棱外，还有五条底边，故共10条棱．④正确．[答案] ①④
9．试从正方体ABCD－A1B1C1D1的八个顶点中任取若干，连接后构成以下空间几何体，并且用适当的符号表示出来．
(1)只有一个面是等边三角形的三棱锥；
(2)四个面都是等边三角形的三棱锥；
(3)三棱柱．
[解] (1)如图所示，三棱锥A1－AB1D1(答案不唯一)．
(2)如图所示，三棱锥B1－ACD1(答案不唯一)．
(3)如图所示，三棱柱A1B1D1－ABD(答案不唯一)．
10.如图所示，长方体的长、宽、高分别为5 cm,4 cm,3 cm.一只蚂蚁从A点到C1点沿着表面爬行的最短路程是多少？
[解] 依题意，长方体ABCD－A1B1C1D1的表面可有如图所示的三种展开图．
展开后，A，C1两点间的距离分别为：
(3＋4)2＋52＝74 (cm)，
(5＋3)2＋42＝4 5 (cm)，
(5＋4)2＋32＝310 (cm)，
三者比较得74 cm为蚂蚁从A点沿表面爬行到C1点的最短路程．
应试能力等级练(时间25分钟)
11．能保证棱锥是正棱锥的一个条件是( )
A．底面为正多边形
B．各侧棱都相等
C．各侧面与底面都是全等的正三角形
D．各侧面都是等腰三角形
[解析] 正棱锥的底面是正多边形，且顶点在过底面中心且与底面垂直的直线上．故底面为正多边形的棱锥不一定是正棱锥；各侧棱都相等(或各侧面都是等腰三角形)的棱锥不一定是正棱锥；各侧面与底面都是全等的正三角形的棱锥是正三棱锥．
[答案] C
12．下列说法正确的是( )
A．各个面都是三角形的多面体一定是棱锥
B．四面体一定是三棱锥
C．棱锥的侧面是全等的等腰三角形，该棱锥一定是正棱锥
D．底面多边形既有外接圆又有内切圆，且侧棱相等的棱锥一定是正棱锥
[解析] 对于A，只要将底面全等的两个棱锥的底面重合在一起，所得多面体的每个面都是三角形，但这个多面体不是棱锥，错误；B显然正确；对于C，举反例，如图所示，在棱锥A－BCD中，AB＝BD＝AC＝CD＝3，BC＝AD＝2，满足侧面是全等的等腰三角形，但该棱锥不是正棱锥，错误；对于D，底面多边形既有内切圆又有外接圆，如果不同心，则不是正多边形，因此不是正棱锥，错误．
[答案] B
13．下列几种说法中正确的有( )
①用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台；
②棱台的侧面一定不会是平行四边形；
③有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
[解析] 必须用一个平行于底面的平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分才是棱台，故①不正确；棱台的侧面一定是梯形，故②正确；有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体不一定是棱台，因为各条侧棱不一定相交于一点，故③不正确．[答案] B
14．正五棱台的上、下底面面积分别为1 cm2、49 cm2，平行于底面的截面面积为25 cm2，那么截面到上、下底面的距离的比值为________．
[解析] “还台于锥”，利用相似比求．
[答案] 2
15．给出两块正三角形纸片(如图所示)，要求将其中一块剪拼成一个底面为正三角形的三棱锥模型，另一块剪拼成一个底面是正三角形的三棱柱模型，请设计一种剪拼方案，分别用虚线标示在图中，并作简要说明．
[解] 如图①所示，沿正三角形三边中点连线折起，可拼得一个底面为正三角形的三棱锥．
如图②所示，正三角形三个角上剪出三个相同的四边形，其较长的一组邻边边长为三角形边长的1
4，有一组对角为直角，余下部分按虚线折成，可成为一个缺上底的底面为正三角
形的三棱柱，而剪出的三个相同的四边形恰好拼成这个底面为正三角形的棱柱的上底.。