第3章-信道均衡算法

第3章信道均衡算法
3.1 引言
自适应型的滤波器有两种能力：自主学习能力和自主跟踪能力。

不同的优化标准准则的约束下，根据不同的性能要求，自适应型的滤波选用的算法可以归结为两类：递推最小二乘(简称RLS)算法、最小均方误差(简称LMS)算法。

在最小均方误差标准约束下，为了得到滤波器的输出信号与滤波器的期望信
LMS算法。

在最小二乘准则标准约束下，为了得到估计误差的最小的加权平方和
RLS
很多经典的自适应滤波的算法都是从以上两个准则的基础上导出的。

3.2 不同类别的信道均衡算法应用在自适应型的滤波器中
3.2.1 自适应滤波的最小均方误差算法
最小均方误差算法的优点明显：整个过程需要的计算少，实现起来十分方便。

使用最小均方误差算法中的最速下降法时，我们用到的迭代公式如下[8]：
（3-1）
（3-2）
，定义自相关矩阵的最大
3.2.2 RLS自适应滤波算法
在最小二乘标准准则的约束下，使用RLS算法，在自适应型的滤波器的解算中，根据输入信号的带有权重的向量回归自相关矩阵的性质，目标是得到最小的估计误差的加权平方和。

输入信号的频率谱线的有关特性并不会影响到收敛性能，其收敛速度比LMS算法更快。

然而，由于其计算复杂度高，存储所需的计算量非常大。

无法达到理想状态，所以一般不用于实际系统
3.2.3 变换域自适应滤波算法
特征值由输入信号在系统中的自相关矩阵求得且与LMS算法的收敛性有关。

如果特征值越小，证明该算法的收敛能力越强，反之收敛能力差。

因此，为了使特征值由输入信号的自相关矩阵求得的值较小，学者们探索出提出一种新的算法，是一种变换域自适应滤波算法，通过正交变换的方式对输入信号变换，其目的是让特征值的发散程度降低。

变换域信号代替时域信号是该算法的核心，自适应算在得到变换域中来进一步使用。

变换域算法分为以下几个计算流程：第一，先进行正交变换，用求得的变换域信号代替输入原始的时域信号。

第二，对变换后的信号再进行求平方根运算。

第三，完成滤波，滤波可以通过选取一些适当的算法来实现。

3.2.4 共轭梯度算法
虽然RLS算法收敛速度较快，但需要估计逆矩阵。

如果估计的逆矩阵失去了正确性，则该算法发散，且算法的计算内容需要大量存储，对实现没有帮助，更会提高实验的复杂性。

虽然这些算法有时能有效减少了计算，但它们都具有数值稳定性问题。

共轭梯度自适应滤波算法不包含RLS算法中的矩阵运算，不存在数值稳定性问题，保持了RLS算法的快速收敛[8]。

3.3 本章小结
本章主要介绍和总结了自适应滤波算法,并介绍了四种现代自适应滤波算法。

LMS算法是最基本的自适应滤波算法。

同时,还讨论了四种自适应滤波算法的收敛速度。

计算复杂性,数值稳定性的影响算法性能的元素进行了较为简单的比较。

每一种算法都有自己的优缺点,在进行自适应滤波的时候都是值得借鉴的。

第4章 LMS自适应滤波算法研究
4.1 引言
LMS算法,利用得到的粗梯度估算值推测梯度最急剧下降算法的基础上,算法的性能很好,而且适用范围有限,但计算量少,容易实现实用的优点。

这是广泛使用的。

LMS算法的基本原理是遵循下降法,即在加权梯度值的负方向上进行搜索,从而实现最佳权重,以实现最小均方误差的意义上的自适应滤波。

为了无线信道的多路径效应,信号产生ISI和均衡器用来抑制失真。

应用环境的时变特性是均衡器是自适应的,因此不必事先知道信道和发送信号的统计特性。

而是根据需要事先了解训练最好的动作状态,实现通道会失真,可以补偿的需要。

如果输入信号和信道变化的统计特性,则可以跟踪该变化。

在少数迭代之后恢复最佳的操作状态。

自适应滤波器可以分为两部分:参数可调数字滤波器和自适应算法。

本章主要介绍算法原理。

4.2 最小均方误差(LMS)算法原理
LMS
LMS）[9]。

假设N
，滤波器的输入信号
（4-1）
（4-2）
（4-3）
误差的平方为：
（4-4）上式两边取数学期望后，得到均方误差：
（4-5）定义互相关函数向量：
（4-6）和自相关函数矩阵：
（4-7）所以均方误差可表述为：
（4-8）
有唯一最小值。

调整加权因子使平均自乘误差最小化。

这相当于抛物线的最小值。

你可以用梯度找到最小值。

利用加权系数公式(4-8)推导出均方误差的梯度：
（4-9）
（4-10）
4-8），得到最小均方误差：
（4-11）
用公式（4-11
根据最快下降法的优化，
的比例，即：
（4-12）
LMS算法有两个关键点：梯度计算和收敛因子选择[10]。

在实际情况下几乎是不可能的，因此，与均方误差的估计值相比，有一个相对粗略但非常有效的计算方法：
（4-13）
（4-14）在公式(4-14)中替换(4-13)
（4-15）于是，较优化的LMS算法最终为：
（4-16）由于LMS算法是一种随机梯度算法,挖掘权重向量更新的方向是完全随机的,并且在每次迭代之后不期望瞬时功率。

因此受到重复中的梯度噪声的影响。

但是,由于循环迭代过程本身是不断估计且平均的过程,所以这不会对算法的性能产生较大影响。

4.2.1 LMS算法的失调
由于LMS算法在迭代时使用随机的梯度,所以在算法的收敛之后的瞬间误差功率比理论上的最小值更大,它是以一定值为中心的随机值。

用这种不平衡来描述自适应滤波器稳态误差的瞬时误差功率与理论最小值之间的关系：
（4-17）
可以证明，式（4-17
）等效于：
（4-1
8）
长因子。

根据自相关矩阵的本征值分解理论,式（4-18）等价于以下的方程式:：
（4-19）
4.2.2 平均时间常数
平均时间常数被用于测量LMS算法的收敛速度，定义为：
（4-20）
由式（4-19）和式（4-20）可知，LMS算法的稳定状态偏移与滤波顺序和步长成正比例，与收敛时间成反比，会聚率和稳定状态的不均衡相矛盾。

如果步长增大，算法的收敛速度会加快，但稳定状态的不平衡也会变大。

如果步长的取值减小，固定位置的偏差会减小，但是算法的收敛速度会变慢。

如何取得两者的平衡，提高算法整体的性能是目前的主要研究内容。

4.3 LMS算法和RLS算法的仿真对比
在传统的数字滤波器设计中，为了能使某一不需要的频率信号得到足够大的衰减，来使得信道均衡以此得到所需的信号，通常的做法就是把阶数选的足够高来达到很大的衰减不需要的噪声信号，但同时计算量也变得更大了。

而且设计的过程复杂，不利于动态的调整。

为了解决上述存在的问题自适应滤波器孕育而生，其效果要远远好于传统的数字滤波器。

当我们知道原始信号里的干扰信号频率是多少时（例如最常见的50Hz工频干扰），这时我们只需要知道这个干扰信号的相位和幅度，然后就可以完全的“再现”这个干扰信号，然后我们就可以直接的从原始信号中将其减去，从而就得到了我们想要的信号成分。

这一过程实际上就是自适应滤波器的基本工作原理。

4.3.1 LMS算法仿真
最简单的LMS算法是通过每一次迭代输入的数据对当前的目标函数的梯度
进行估计，然后，梯度估
计如下：
则滤波系数更新方程为：
整理可得LMS算法：
初始化部分：
单次迭代部分：
(4-24)
它是一个常数需要在实际的应用中进行确
N表示FIR滤
图4-1
图4-2
图4-3
仿真分析：可以看出，原始信号在被干扰之后产生信号，通过自适应滤波器的信道均衡最终得到的我们想要的输出误差信号，能明显看出被严重污染的信号经过LMS 滤波器得到了不错的恢复。

4.3.2 RLS 算法仿真
基于瞬时梯度估计的LMS 算法实际上只使用了当前时刻的输入信号矢量
算法收敛的数度慢。

如果能把过去的信息利用起来，那么梯度估计的误差就会大大的减小，算法的收敛速度也会变快。

最小二乘（RLS ）算法正好就实现了这一过程。

其目的是最小化期望信号与输出信号之间的差值的平方和。

可以得到RLS 算法。

整理可得RLS 算法：
初始化部分：
若有必要，计算
对滤波器系数调整的影响越小，主要由更新的数据决定，从这个角度说明了该算
法对非平稳的信号也能进行自适应滤波。

从上面的公式可以看出单次迭代运算量
LMS的计算量要大。

（注：可编辑下载，若有不当之处，请指正，谢谢!）。