高数下册复习资料(同济第六版)
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第八章 向量与解析几何
向量代数
定义 定义与运算的几何表达
在直角坐标系下的表示
向量 有大小、有方向. 记作a 或AB a (,,)x y z x y z a i a j a k a a a =++=
,,x x y y z z a prj a a prj a a prj a ===
模
向量a 的模记作a
a 222x y z a a a =++
和差
c a b =+ c a b =－
=+c a b {},,=±±±x x y y z z a b a b a b
单位向量
0a ≠，则a a
e a
=
a e 2
2
2
(,,)=
++x y z x y z a a a a a a
方向余弦
设a 与,,x y z 轴的夹角分别为αβγ，，，则方向余弦分别为cos αβγ，cos ，cos
cos y x z a a a a
a
a
αβγ==
=
，cos ，cos
cos a e αβγ=(，cos ，cos ) 222cos 1αβγ+=+cos cos 点乘（数量积）
θcos b a b a =⋅， θ为向量a 与b 的夹
角
z z y y x x b a b a b a ++=⋅b a
叉乘（向量积）
b a
c ⨯=
θsin b a c = θ为向量a 与b 的夹角 向量c 与a ，b 都垂直
z
y
x
z y x
b b b a a a k j i
b a =⨯ 定理与公式
垂直 0a b a b ⊥⇔⋅= 0x x y y z z a b a b a b a b ⊥⇔++=
平行
//0a b a b ⇔⨯=
//y z
x x y z
a a a a
b b b b ⇔==
交角余弦
两向量夹角余弦b
a b
a ⋅=θcos
2
2
2
2
2
2
cos x x y y z z
x y z x y z a b a b a b a a a b b b θ++=
++⋅++
投影
向量a 在非零向量b 上的投影
cos()b a b
prj a a a b b
∧⋅==
2
2
2
x x y y z z
b x y z
a b a b a b prj a b b b ++=
++
平面
直线
法向量{,,}n A B C = 点),,(0000z y x M
方向向量{,,}T m n p = 点),,(0000z y x M
方程名称 方程形式及特征
方程名称 方程形式及特征
一般式
0=+++D Cz By Ax
一般式
⎩⎨
⎧=+++=+++0
022221111D z C y B x A D z C y B x A
法向量
000((((x y z n F x F x F x =(((x y n f f x =--
或
00(((x y n f x f x =第九章 多元函数微分法及其应用
（一） 基本概念
1、 距离，邻域，内点，外点，边界点，聚点，开集，闭集，连通集，区域，闭区域，有界集，无界集。
2、 多元函数：),(y x f z =，图形：
3、 极限：A y x f y x y x =→),(lim )
,(),(00
4、 连续：
),(),(lim
00)
,(),(00y x f y x f y x y x =→
5、
偏导数：
x
y x f y x x f y x f x x ∆-∆+=→∆)
, (), (lim ),(0000000
y
y x f y y x f y x f y y ∆-∆+=→∆)
,(),(lim ),(0000000 6、
方向导数：
βαcos cos y
f
x f l f ∂∂+∂∂=∂∂其中
β
α,为
l
的方向角。
7、
梯度：),(y x f z =，则j y x f i y x f y x gradf y x ),(),(),(000000+=。
8
、
全微分：设),(y x f z =
，则
d d d z z z x y x y
∂∂=+∂∂
（二） 性质
1、 函数可微，偏导连续，偏导存在，函数连续等概念之间的关系：
2、 闭区域上连续函数的性质（有界性定理，最大最小值定理，介值定理）
3、 微分法
1） 定义： u
2）
复合函数求导：链式法则
若
(,),(,),(,)z f u v u u x y v v x y ===，则 u
x
z z u z v x u x v x ∂∂∂∂∂=⋅+⋅∂∂∂∂∂，z z u z v
y u y v y
∂∂∂∂∂=
⋅+⋅∂∂∂∂∂ z
3）
隐函数求导：两边求偏导，然后解方程（组） v y
（三） 应用 1、 极值 1）
无条件极值：求函数),(y x f z
=的极值
解方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧==0
0y x f f 求出所有驻点，对于每一个驻点),(00y x ，令 ),(00y x f A xx =，),(00y x f B xy =，),(00y x f C yy =，
① 若02>-B AC ，0>A ，函数有极小值，
若02