高考导数压轴题终极解答
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导数压轴题
导数单调性、极值、最值的直接应用
1.（切线）设函数 f (x) x2 a . （1）当 a 1时，求函数 g(x) xf (x) 在区间[0,1] 上的最小值； （2） 当 a 0 时，曲线 y f (x) 在点 P(x1, f (x1))(x1 a ) 处的切线为 l ，
3
3.已知函数 f (x) 1 x2 2ax, g(x) 3a2 ln x b. 2
设两曲线 y f (x)与y g(x) 有公共点，且在公共点处的切线相同， 若 a 0 ，试建立 b 关于 a 的函数关系式，并求 b 的最大值； 若 b [0, 2], h(x) f (x) g(x) (2a b)x 在(0,4)上为单调函数，求 a 的取值范围。
[t,
t
2](t
0)
上的最小
值；
若存在
x
1 e
,
e
（
e
是
常
数
，
e
＝
2.71828
）
使不等式
2
f
(x)
g(x) 成立，求实数 a 的取值范围；证明对一切
x (0, ),
ln
都有
x
1 ex
2 ex
成立．
15.（最值应用）设函数 f (x) px q 2ln x ，且 f (e) qe p 2 ，其中e 是自然对数
(2wk.baidu.com当 a (3, 2) 时，任意 x1, x2 [1,3] ， (m ln 3)a 2 ln 3 | f (x1) f (x2) | 恒成立， 求实数 m 的取值范围．
9.（最值应用）已知二次函数 g(x) 对 x R 都满足 g(x 1) g(1 x) x2 2x 1
且 g(1) 1，设函数 f (x) g(x 1 ) m ln x 9 （ m R ， x 0 ）．
（Ⅲ）若 f (x) 在[0, ) 上的最大值是 0 ，求 a 的取值范围.
5.已知函数 f (x) =ln(1+ x )- x + x x2 ( k ≥0). 2
(Ⅰ)当 k =2时，求曲线 y = f (x) 在点(1, f (1))处的切线方程； (Ⅱ)求 f (x) 的单调区间.
6.（单调性）已知函数 f (x) ln x ax 1 a 1(a R) 当 a 1时， x
4.（最值，按区间端点讨论）已知函数f(x)=lnx－ a . x
(1)当a>0时，判断f(x)在定义域上的单调性；
(2)若f(x)在[1,e]上的最小值为 3 ，求a的值. 2
5.（最值直接应用）已知函数 f (x) x 1 ax2 ln(1 x) ，其中 a R . 2
（Ⅰ）若 x 2 是 f (x) 的极值点，求 a 的值； （Ⅱ）求 f (x) 的单调区间；
l 与 x 轴交于点 A(x2 ,0) 求证： x1 x2 a .
2.（极值比较讨论） 已知函数 f (x) (x2 ax 2a2 3a)ex (x R), 其中 a R 当 a 0 时，求曲线 y f (x)在点(1, f (1)) 处的切线的斜率； 当 a 2 时，求函数 f (x) 的单调区间与极值.
⑵ 设直线 l 为函数 f (x)的图象上一点 A(x0，f (x0))处的切线， 证明：在区间(1,+∞)上存在唯一的 x0，使得直线 l 与曲线 y=g(x)相切．
8.（最值应用，转换变量）设函数 f (x) (2 a) ln x 2ax2 1(a 0) ． x
(1)讨论函数 f (x) 在定义域内的单调性；
求曲线 y f (x) 在点 (2, f (2)) 处的切线方程；
当
a
1 2
时，讨论
f
(x)
的单调性.
7.(是一道设计巧妙的好题，同时用到 e 底指、对数，需要构造函数，证存在且唯一时结合 零点存在性定理不好想，⑴⑵联系紧密)
已知函数 f (x) ln x, g(x) ex. ⑴若函数 φ (x) = f (x)－ x +1 ，求函数 φ (x)的单调区间； x-1
x
2
g
(x)
x2
2bx
4. 当
a
1 4
时，若对任意
x1
(0,
2)
，存在
x2
1,
2
，使
f
(x1)
≥
g(x2
)
，
求实数 b 取值范围.
13.设函数 f (x) ln x ax 1 a 1． x
（Ⅰ）当 a 1时，过原点的直线与函数 f (x) 的图象相切于点 P，求点 P 的坐标；
（Ⅱ）当 0 a 1 时，求函数 f (x) 的单调区间； 2
（Ⅲ）当
a
1 3
时，设函数
g(x)
x2
2bx
5 12
，若对于
x1
（0 , e
]，
x2
[0，1]
使 f (x1) ≥ g(x2 ) 成立，求实数 b 的取值范围.（ e 是自然对数的底， e 3 1 ）
14.(两边分求，最小值与最大值)已知函数 f (x) x ln x, g(x) x2 ax 3 ．求 f (x) 在
2
8
（Ⅰ）求 g(x) 的表达式；
（Ⅱ）若 x R ，使 f (x) 0 成立，求实数 m 的取值范围； （ Ⅲ ） 设 1 m e ， H (x) f (x) (m 1)x ， 求 证 ： 对 于 x1，x2 [1, m] ， 恒 有 | H (x1) H (x2 ) | 1．
10.设 x 3 是函数 f x x2 ax b e3x, x R 的一个极值点.求 a 与 b 的关系式（用 a
f (x) 的单调区间；
（3）在（2）的条件下，设 a 0 ，函数 g(x) (a2 14)ex4 ．若存在 1, 2 [0,4] 使得 | f (1 ) f (2 ) | 1 成立， a 的取值范围．
12.(两边分求，最小值与最大值)
已知函数 f (x) ln x ax 1 a 1 (a R) .⑴当 a ≤ 1 时，讨论 f (x) 的单调性；设
表示
b
），并求
f
x
的单调区间；设
a
0,
g
x
a2
25 4
e
x
，若存在 1 , 2
0, 4
，使
得 f 1 g 2 1 成立，求 a 的取值范围.
11. f (x) (x2 ax b)ex (x R) ． （1）若 a 2,b 2 ，求函数 f (x) 的极值； （2）若 x 1 是函数 f (x) 的一个极值点，试求出 a 关于 b 的关系式（用 a 表示 b ），并确定
导数单调性、极值、最值的直接应用
1.（切线）设函数 f (x) x2 a . （1）当 a 1时，求函数 g(x) xf (x) 在区间[0,1] 上的最小值； （2） 当 a 0 时，曲线 y f (x) 在点 P(x1, f (x1))(x1 a ) 处的切线为 l ，
3
3.已知函数 f (x) 1 x2 2ax, g(x) 3a2 ln x b. 2
设两曲线 y f (x)与y g(x) 有公共点，且在公共点处的切线相同， 若 a 0 ，试建立 b 关于 a 的函数关系式，并求 b 的最大值； 若 b [0, 2], h(x) f (x) g(x) (2a b)x 在(0,4)上为单调函数，求 a 的取值范围。
[t,
t
2](t
0)
上的最小
值；
若存在
x
1 e
,
e
（
e
是
常
数
，
e
＝
2.71828
）
使不等式
2
f
(x)
g(x) 成立，求实数 a 的取值范围；证明对一切
x (0, ),
ln
都有
x
1 ex
2 ex
成立．
15.（最值应用）设函数 f (x) px q 2ln x ，且 f (e) qe p 2 ，其中e 是自然对数
(2wk.baidu.com当 a (3, 2) 时，任意 x1, x2 [1,3] ， (m ln 3)a 2 ln 3 | f (x1) f (x2) | 恒成立， 求实数 m 的取值范围．
9.（最值应用）已知二次函数 g(x) 对 x R 都满足 g(x 1) g(1 x) x2 2x 1
且 g(1) 1，设函数 f (x) g(x 1 ) m ln x 9 （ m R ， x 0 ）．
（Ⅲ）若 f (x) 在[0, ) 上的最大值是 0 ，求 a 的取值范围.
5.已知函数 f (x) =ln(1+ x )- x + x x2 ( k ≥0). 2
(Ⅰ)当 k =2时，求曲线 y = f (x) 在点(1, f (1))处的切线方程； (Ⅱ)求 f (x) 的单调区间.
6.（单调性）已知函数 f (x) ln x ax 1 a 1(a R) 当 a 1时， x
4.（最值，按区间端点讨论）已知函数f(x)=lnx－ a . x
(1)当a>0时，判断f(x)在定义域上的单调性；
(2)若f(x)在[1,e]上的最小值为 3 ，求a的值. 2
5.（最值直接应用）已知函数 f (x) x 1 ax2 ln(1 x) ，其中 a R . 2
（Ⅰ）若 x 2 是 f (x) 的极值点，求 a 的值； （Ⅱ）求 f (x) 的单调区间；
l 与 x 轴交于点 A(x2 ,0) 求证： x1 x2 a .
2.（极值比较讨论） 已知函数 f (x) (x2 ax 2a2 3a)ex (x R), 其中 a R 当 a 0 时，求曲线 y f (x)在点(1, f (1)) 处的切线的斜率； 当 a 2 时，求函数 f (x) 的单调区间与极值.
⑵ 设直线 l 为函数 f (x)的图象上一点 A(x0，f (x0))处的切线， 证明：在区间(1,+∞)上存在唯一的 x0，使得直线 l 与曲线 y=g(x)相切．
8.（最值应用，转换变量）设函数 f (x) (2 a) ln x 2ax2 1(a 0) ． x
(1)讨论函数 f (x) 在定义域内的单调性；
求曲线 y f (x) 在点 (2, f (2)) 处的切线方程；
当
a
1 2
时，讨论
f
(x)
的单调性.
7.(是一道设计巧妙的好题，同时用到 e 底指、对数，需要构造函数，证存在且唯一时结合 零点存在性定理不好想，⑴⑵联系紧密)
已知函数 f (x) ln x, g(x) ex. ⑴若函数 φ (x) = f (x)－ x +1 ，求函数 φ (x)的单调区间； x-1
x
2
g
(x)
x2
2bx
4. 当
a
1 4
时，若对任意
x1
(0,
2)
，存在
x2
1,
2
，使
f
(x1)
≥
g(x2
)
，
求实数 b 取值范围.
13.设函数 f (x) ln x ax 1 a 1． x
（Ⅰ）当 a 1时，过原点的直线与函数 f (x) 的图象相切于点 P，求点 P 的坐标；
（Ⅱ）当 0 a 1 时，求函数 f (x) 的单调区间； 2
（Ⅲ）当
a
1 3
时，设函数
g(x)
x2
2bx
5 12
，若对于
x1
（0 , e
]，
x2
[0，1]
使 f (x1) ≥ g(x2 ) 成立，求实数 b 的取值范围.（ e 是自然对数的底， e 3 1 ）
14.(两边分求，最小值与最大值)已知函数 f (x) x ln x, g(x) x2 ax 3 ．求 f (x) 在
2
8
（Ⅰ）求 g(x) 的表达式；
（Ⅱ）若 x R ，使 f (x) 0 成立，求实数 m 的取值范围； （ Ⅲ ） 设 1 m e ， H (x) f (x) (m 1)x ， 求 证 ： 对 于 x1，x2 [1, m] ， 恒 有 | H (x1) H (x2 ) | 1．
10.设 x 3 是函数 f x x2 ax b e3x, x R 的一个极值点.求 a 与 b 的关系式（用 a
f (x) 的单调区间；
（3）在（2）的条件下，设 a 0 ，函数 g(x) (a2 14)ex4 ．若存在 1, 2 [0,4] 使得 | f (1 ) f (2 ) | 1 成立， a 的取值范围．
12.(两边分求，最小值与最大值)
已知函数 f (x) ln x ax 1 a 1 (a R) .⑴当 a ≤ 1 时，讨论 f (x) 的单调性；设
表示
b
），并求
f
x
的单调区间；设
a
0,
g
x
a2
25 4
e
x
，若存在 1 , 2
0, 4
，使
得 f 1 g 2 1 成立，求 a 的取值范围.
11. f (x) (x2 ax b)ex (x R) ． （1）若 a 2,b 2 ，求函数 f (x) 的极值； （2）若 x 1 是函数 f (x) 的一个极值点，试求出 a 关于 b 的关系式（用 a 表示 b ），并确定