离散数学 图论

第10章 图论(Graph Theory )
例
5
2 4 5
3 1 3 6
6
图与子图
第10章 图论(Graph Theory )
10.1 图的基本概念
3) 若V′=V， E′E，则称G′是G的生成子图。
图10.1.7给出了图G以及它的真子图G1 和生成子图G2。
图10.1.7 图G以及其真子图G 1和生成子图G2

V
d( ) 2 E
证明: 因为每条边都与两个结点关联， 所以加上一条
边就使得各结点度数的和增加 2， 由此结论成立。
定义：无向图中，如果每个结点的度都是k,则称为k度正则图。
第10章 图论(Graph Theory )
10.1 图的基本概念
推论: 无向图G中度数为奇数的结点必为偶数个。
图 10 .1. 3
在这个图中，e3是关联同一个结点的一条边,即 自回路；边e4和e5都与结点v2、 v3关联，即它们
是平行边。
第10章 图论(Graph Theory )
10.1 图的基本概念
3. 图G的分类
(1) 按G的结点个数和边数分为(n,m)图,即n个结点, m
条边的图; 特别地, (n,0)称为零图, (1,0) 图称为平凡图 。 (2) 按G中关联于同一对结点的边数分为多重图和简 单图; 多重图:含有平行边的图（如图 10 .1. 3） ； 线 图: 非多重图称为线图； 简单图:不含平行边和自环的图。
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例 画出K4的所有非同构的生成子图。
第10章 图论(Graph Theory )
定义： 设图G2 V2 , E2 是图G1 V1 , E1 的子图。 若对任意结点u和v，如果[u , v] E2， 则G2由V2唯一地确定， 并称G2是结点集合V2的诱导子图， 记为 V2 或G[V2 ]。 如果G2无孤立结点，且由E2所唯一确定， 则称G2是边集E2的诱导子图， 记为 E2 或G[ E2 ]。
如果图 10.1.1中的４个 结点a， b， c， d分别 表示４个人，当某两 个人互相认识时， 则 将其对应点之间用边 连接起来。 这时的图 又反映了这４个人之 间的认识关系。
图 10.1.1
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10.1 图的基本概念
定义10.1.1一个图G是一个序偶〈V(G), E(G)〉， 记 为G＝〈V(G), E(G)〉。 其中V(G)是非空结点集合，
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10.1 图的基本概念
2. 图的同构
试观察下面各图有何异同？
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10.1 图的基本概念
图 10.1.8 同构的图
第10章 图论(Graph Theory )
10.1 图的基本概念
证明: 设G＝〈V ,E〉， |V|＝6， v是G中一结点。 因为v 与G的其余５个结点或者在 G 中邻接， 或者在G 中邻接。 故不失一般性可假定， 有３个结点v1， v2， v3在G中与v邻接。 如果这３个结点中有两个结点（如v1 ， v2 ）邻接， 则它们与v 就是G中一个三角形的３个顶点。 如果这3 个结点中任意两个在G中均不邻接， 则v1， v2， v3就
证明: 设V1和V2分别是G中奇数度数和偶数度数的结
点集。 由定理10.1.1知
vV1
deg(v) deg(v) 2 E
vV2
vV2
由于
deg(v)
是偶数之和， 必为偶数，
而2|E|也为偶数， 故 |V1|必为偶数。

V1
是偶数。 由此 deg( )
第10章 图论(Graph Theory )
第10章 图论(Graph Theory )
G相对于Kn的补图是下图中的 G
第10章 图论(Graph Theory )
第10章 图论(Graph Theory )
互为补图
互为补图
互为补图
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10.1 图的基本概念
【例10.1.4】 （拉姆齐问题）试证在任何一个有６个
则图G可用图10.1.2(a)或(b)表示。
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10.1 图的基本概念
图 10.1.2
第10章 图论(Graph Theory )
10.1 图的基本概念
图 10.1.2
第10章 图论(Graph Theory )
10.1 图的基本概念
2. 图G的结点与边之间的关系 邻接点: 同一条边的两个端点。 孤立点: 没有边与之关联的结点。 邻接边: 关联同一个结点的两条边。 孤立边: 不与任何边相邻接的边。 自回路（环）：关联同一个结点的一条边（（v， v）或〈v，v〉）。 平行边(多重边):关联同一对结点的多条边。
了表示４个队之间比赛的情况， 我们作出图10.1.1的图形。 在图中４个小圆圈分别表示这４个篮球队， 称之为结点。 如果两队进行过比赛，则在表示该队的两个结点之间用一 条线连接起来，称之为边。这样利用一个图形使各队之间 的比赛情况一目了然。
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10.1 图的基本概念
度， 记为 d (v) 。结点v的入度与出度之和称为结 点v的度数，记为 d(v)或deg(v)。

第10章 图论(Graph Theory )
定义:
在无向图中，图中结点v所关联的边数
(有环时计算两次)称为结点v 的度数，记为d(v)
或deg(v) 。
最大度 (G) max{ (v) | v V } d 最小度 (G) min{d (v) | v V }
第10章 图论(Graph Theory )
10.1 图的基本概念
完全图：任意两个不同的结点都邻接的简单图称为 完全图。n 个结点的无向完全图记为Kn。
图10.1.5给出了K3和K4 。从图中可以看出K3 有３
条边，K4有６条边。 容易证明Kn有
n ( n 1) 条边。 2
图 10.1.5 K3与K4示意图
定理 10.1.2 在任何有向图G＝〈V ,E〉中， 有
d
vV

(v) d (v) E
vV
图10.1.4
第10章 图论(Graph Theory )
10.1.3 子图和图的同构
1.子图
在研究和描述图的性质时，子图的概念占有
重要地位。 定义10.1.5 设有图G=〈V , E〉和图 G′=〈 V′, E′ 〉 。 1) 若V′V， E′E， 则称G′是G的子图。 2) 若G′是G的子图，且E′≠E，则称G′是G 的真子图。
邻接， 边e3与e5是邻接的。
第10章 图论(Graph Theory )
10.1 图的基本概念
【例10.1.3】设图G＝〈V ,E〉 如图10.1.3所示。 这里V＝｛v1，v2，v3｝， E＝｛e1，e2，e3，e4，e5｝， 其中e1 =(v1, v2) ，e2=(v1，v3) ， e3 =(v3, v3), e4 =(v2, v3), e5=(v2，v3)。
10.6 平面图(Planar Graph)
10.7树与生成树(Trees and Spanning Trees)
10.8 二部图（bipartite graph）
第10章 图论(Graph Theory )
10.1 图的基本概念
10.1.1 图的基本概念
10.1.2 图的结点的度数及其计算
10.1.3 子图和图的同构
第10章 图论(Graph Theory )
10.1 图的基本概念
如例10.1.1中的图，结点集V＝｛a，b，c，d｝， 边集 E
＝｛e1， e2， e3， e4， e5｝， 其中
e1＝（a，b），e2＝（a, c），e3＝（a，d）， e4＝（b, c）， e5＝（c, d）。 d与a、 d与c是邻接的， 但d与b不
是 G 中一个三角形的３个顶点。
第10章 图论(Graph Theory )
10.1 图的基本概念
10.1.2 图的结点的度数及其计算 我们常常需要关心图中有多少条边与某一结点
关联，这就引出了图的一个重要概念——结点的度数。
定义: 在有向图中, 以v为终点的边数称为结点v 的入
度， 记为 d (v) ;以v为始点的边数称为结点v 的出
E(G)是边集合， 对E(G)中的每条边， 有V(G)中的
结点的有序偶或无序偶与之对应。
若边e所对应的结点对是有序偶〈a,b〉,则称e
是有向边。a叫边e的始点,b叫边e的终点,统称为e的 端点。若边e所对应的结点对是无序偶(a,b) ,则称e是 无向边。这时统称e与两个结点a和b互相关联。
第10章 图论(Graph Theory )
混合图：既有无向边, 又有有向边的图称为混合图。 (4)按G的边旁有无数量特征分为加权图、无权图(如图 10.1.4);
第10章 图论(Graph Theory )
10.1 图的基本概念
(5)按G的任意两个结点间是否有边分为完全图Kn (如图 10.1.5)和不完全图(如图 10.1.6)。
图 10 .1. 4
第10章 图论(Graph Theory )
G1、G2是多重图 G3是线图
G4是简单图
第10章 图论(Graph Theory )
10.1 图的基本概念
(3)按G的边有序、无序分为有向图、无向图和混合图;
有向图：每条边都是有向边的图称为有向图
（图 10 .1.4 (b))；
无向图：每条边都是无向边的图称为无向图；
10.1 图的基本概念
我们将结点a、b的无序结点对记为(a，b）， 有序 结点对记为〈a，b〉。 一个图G可用一个图形来表示且表示是不唯一的。 【例10.1.2】 设G=〈V(G),E(G)〉,其中 V(G)={a,b,c,d},E(G)={e1,e2,e3,e4,e5,e6,e7},e1=(a,b), e2=(a,c),e3=(b,d),e4=(b,c),e5=(d,c),e6=(a,d),e7=(b,b) 。
人的组里， 存在３个人互相认识， 或者存在３个人互 相不认识。 我们用６个结点来代表人， 并用邻接性来代表认 识关系。 这样一来， 该例就是要证明： 任意一个有 ６个结点的图G中， 或者有３个互相邻接的点， 或者 有３个互相不邻接的点。 即， 对任何一个有６个结点
的图G， G或 G
中含有一个三角形（即K3）。
第10章 图论(Graph Theory )
例
1 5 7 顶点5的度：3 顶点2的度：4
3
2
G2
4
6
例
2 4 5 顶点2入度：1 出度：3 顶点4入度：1 出度：0 6
1
3 G1
第10章 图论(Graph Theory )
10.1 图的基本概念
定理 10.1.1 无向图G＝〈V ,E〉中结点度数的总和等 于边数的两倍， 即
图 10 .1. 6
源自文库
第10章 图论(Graph Theory )
例
2
2
1
3
1
3
有向完全图
无向完全图
第10章 图论(Graph Theory )
10.1 图的基本概念
给定任意一个含有n个结点的图G,总可以把它补成一个
具有同样结点的完全图,方法是把那些缺少的边添上。
定义10.1.2 设G＝〈V, E〉是一个具有n个结点的简单 图。以V为结点集，以从完全图Kn中删去G的所有边后 得到的图（或由G中所有结点和所有能使G成为完全图 的添加边组成的图）称为G的补图，记为 G 。 例如，零图和完全图互为补图。
第10章 图论(Graph Theory )
第十章 图论(Graph Theory)
10.1 图的基本概念(Graph)
10.2 路与图的连通性(Walks & Connectivity of Graphs) 10.3 图的矩阵表示(Matrix Notation of Graph) 10.4 最短链与关键路（Minimal path ） 10.5 欧拉图与哈密尔顿图(Eulerian Graph & Hamilton-ian Graph )
第10章 图论(Graph Theory )
10.1 图的基本概念
图 10.1.1哥尼斯堡七桥问题
第10章 图论(Graph Theory )
10.1 图的基本概念 10.1.1 图
1.图的定义 现实世界中许多现象能用某种图形表示,这种图形 是由一些点和一些连接两点间的连线所组成。
【例10.1.1】a， b， c， d 4个篮球队进行友谊比赛。 为