二项式定理及通项公式
二项式定理通项公式
例3：计算0.99710 的近似值。精确到0.001
解：0.99710 1 0.00310
c100 110 c110 19 0.003 c120 18 0.003 2
根据精确度的要求，从第三项起的各项都可以省去，所以
0.997 10 110 0.003 45 1 0.000009
a b0 1
a b1 1 1
a b2 1 2 1 a b3 1 3 3 1 a b4 1 4 6 4 1 a b5 1 5 10 10 5 1 a b6 1 6 15 20 15 6 1
表中每行两端都是1，而且除1以外的每 一个数都等于它肩上两数的和.
通项公式的应用:Tk+1=Cnkan-kbk
3
(2) 求展开式中含x2 的项。
(3) 求展开式中系数最大的项和系数
最小的项。
例 的系5. 数已与知第( 三x －项x的22 )系n (数n∈的N比)的为展10开:1。式(中1)第求五展项开
3
式各项系数的和；(2) 求展开式中含 x 2的项。 (3) 求展开式中系数最大的项和系数最小的项。
分析：要灵活、正确的应用二项展开 式的 通项公式。 (1) 先根据通项公式得到第五项与第 三项 的系数，再由已知条件求出n的 值。由“赋值法”求各项系数的和。
通项公式:TK+1=Cnkan-kbk
2.二项展开式的特点 (1) 项数： 展开式有共n+1项 (2) 系数 ： 都是组合数，
依次为Cn0，Cn1，Cn2，Cn3，…Cnn (3) 指数的特点 ：
1) a的指数 由n 0 (降幂) 2) b的指数由0 n (升幂) 3) a和b的指数和为n
3.二项式定理的几个变式：
二项式定理
在展开式C中 15x(x只 3)有 24才存x的 在项 , 其系数 C15为 324 240
方法3 (x2+3x+2)5=[x2+(3x+2)]5
在展开式C 中50(3只 x有 2)5才存x的 在项 , 其系数 C15为 324 240
( x1)6(2x1)5 的通项是
CC(1)2 x s r 56
s
5s
16r2s 2
5、 的系数.
求 ( x1)6(2x1)5的展开式中 x 6 项
解：( x 1)6 的通项是 C 6 r( x)6rC 6 rx6 2r
(2 x 1)5 的通项是
C 5 s ( 2 x ) 5 s ( 1 ) s C 5 s ( 1 ) s 2 5 s x 5 s
( x1 )6(2x1 )5 的通项是
CC(1)2 x s r 56
s
5s
16r2s 2
课堂小结：
1、二项式定理、通项公式及二项式系数的性 质。
2、要区分二项式系数与展开式项的系数的异 同。
3、熟练求算二项展开式的Tr+1项、常数项、x 的r次方项等题型。
二项式定理的复习
1.二项展开式：
a bn
c n 0 a n c 1 n a n 1 b c n ra n rb r c n n b n
这个公式叫做二项式定理,等号后面的 式子叫做(a+b)n的二项展开式,其中 Cnk(k=0,1,2,…,n)叫做二项式系数。
二项展开式中的第k+1项为Cnkan-kbk
用(1-x)3 展开式中的一次项乘以(1+x)10 展开式中 的x4项可得到(-3x)(C104x4)=-3C104x5；
二项式定理
二项式定理一、基础知识011222(0,1,2,,)1.()()(2)1rn n n n n r n r r n nn n n n n n C r n a b C a C a b C a b C a b C b a b n ---=+=++++++∈++*二项式系数：在二项展开式中各项的系数叫做二项式系数二项式定理：（n N ）.这个公式所表示的定理叫做二项式定理。
2.几个基本概念(1)二项展开式：右边的多项式叫做的二项展开式.项数：二项展开式中共有项.(3).(4)通项：二项展开式的通1011(012)3.11(3)r n r r r n n m m m n n n n n m n m n n T C a b r n C C C C C C C -+-+-====+==在二项展开式中,在二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等，项公式：，，，二项式定理中，二项式系数的性质：(1)，，(2)即如果二项式的幂指数n 是偶数， 中间一项 的二项式系数最大；如果二项式的幂指数n 是奇数， 中间两项 的二项式系数相等并且最大。
(4)二项式01213502412301230012312,2(5)24.()()nr n nn n n n n n n n n n n n n nn nnn x C C C C C C C C C C C a bx a a x a x a x a x a a a a a a a a b -=++++++=+++=+++=+=+++++=+++++=+a>0时，若b>0，则当时，各项系系数的和等于即二项展开式中，偶数项系数和等于奇数项系数和，即已知当x=0时，常数项；当x=1时，各项系数和01230123()1()n n nn a a a a a a b x a a a a a a b +++++=+=-+++++=-数绝对值的和a>0时，若b<0，则当时，各项系数绝对值的和二、基础练习210202*********101.1024()(1)(1)20267(1)1202.r r r r r rr T C x C x r r C x x --+==-=--==-=-2n 6n n 2103n3已知(x -1)展开式的各项二项式系数和等于1024，求展开式中含x 的项。
二项式定理
一、 二项式定理1． 二项式定理()()011222...nn n n n n n n n n a b C a C a b C a b C b n --*+=++++∈N 这个公式表示的定理叫做二项式定理．2． 二项式系数、二项式的通项011222...n n n n nn n n n C a C a b C a b C b --++++叫做()na b +的二项展开式，其中的系数()0,1,2,...,r n C r n =叫做二项式系数，式中的r n r rnC a b -叫做二项展开式的通项． 用1r T +表示，即通项为展开式的第1r +项：1r n r rr n T C a b -+=．3． 二项式展开式的各项幂指数二项式()na b +的展开式项数为1n +项，各项的幂指数状况是 （1） 各项的次数都等于二项式的幂指数n ．（2） 字母a 的按降幂排列，从第一项开始，次数由n 逐项减1直到零，字母b 按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n ． 4． 二项式系数的性质（1） 对称性：在二项展开式中，与首末两项“等距离”的两项的二项式系数相等．单调性：二项式系数（数列）在前半部分逐渐增大，在后半部分逐渐减小，在中间（项）取得 （2） 最大值．其中当n 为偶数时，二项展开式中间一项的二项式系数2nn C 最大；当n 为奇数时，二项展开式中间两项的二项式系数12n nC-, 12n nC+相等，且最大．（3） 组合总数公式：012n 2n n nn n C C C C ++++= 即二项展开式中各项的二项式系数之和等于n 2．（4） “一分为二”的考察：二项展开式中各奇数项的二项式系数之和等于各偶数项的二项式系数之和，即024135-1n n 2n n n n n C C C C C C +++=+++=．备注：1． 通项1r n r rr n T C a b -+=是()na b +的展开式的第1r +项，这里0,1,2,...,r n =．2． 二项式()n a b +的1r +项和()nb a +的展开式的第1r +项r n r rnC b a -是有区别的，应用二项式定理时，其中的a 和b 是不能随便交换的．3． 注意二项式系数（rn C ）与展开式中对应项的系数不一定相等，二项式系数一定为正，而项的系数有时可为负．4． 通项公式是()na b +这个标准形式下而言的，如()na b -的二项展开式的通项公式是()11rr n r rr n T C a b -+=-（只须把b -看成b 代入二项式定理）这与1r n r r r n T C a b -+=是不同的，在这里对应项的二项式系数是相等的都是r n C ，但项的系数一个是()1rrn C -，一个是r n C ，可看出，二项式系数与项的系数是不同的概念．5． 设1,a b x ==，则得公式：()12211......nr rn n n n x C x C x C x x +=++++++．6． 通项是1r T +=r n r r n C a b -()0,1,2,...,r n =中含有1,,,,r T a b n r +五个元素，只要知道其中四个即可求第五个元素．【例1】41()x x-展开式中的常数项是（）A ．6B ．4C ．4-D ．6-【例2】在251(2)x x-的二项展开式中，x 的系数（ ）A ．10-B ．10C ．40-D ．40【例3】 61x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的二项展开式中的常数项为______.【例4】在261x x+（）的展开式中，3x 的系数和常数项依次是（ ） A ．20,20B ．15,20C ．20,15D ．15,15【例5】6(42)()x x x R --∈的展开式中的常数项是A ．20-B ．15-C ．15D ．20【例6】72()x x x-的展开式中，4x 的系数是______ (用数字作答).【例7】20(1)x -的二项展开式中，x 的系数与9x 的系数之差为__.【例8】设常数a R ∈,若52a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中7x 项的系数为10-,则______a =例题精讲【例9】若83a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中4x 的系数为7,则实数a =______.【例10】 5()a x +展开式中2x 的系数为10，则实数a 的值为__________.【例11】若()014455513a x a x a x a x ++⋅⋅⋅++=+，则2a 的值为（ ）A ．270B ．2702xC ． 90D ．902x【例12】 设6622105)21)(1(x a x a x a a x x +⋅⋅⋅+++=+-，则2a =___________。
二项式定理
二项式定理1．二项式定理2.(1)0≤k ≤n 时，C k n 与C n －k n 的关系是C k n ＝C n －kn .(2)二项式系数先增后减中间项最大当n 为偶数时，第n 2＋1项的二项式系数最大，最大值为C n2n ；当n 为奇数时，第n ＋12项和n ＋32项的二项式系数最大，最大值为(3)各二项式系数和：C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n ＝2n ，C 0n ＋C 2n ＋C 4n ＋…＝C 1n ＋C 3n ＋C 5n ＋…＝2n －1. 3．判断下列结论的正误(正确的打“√”错误的打“×”)(1)C r n an －r b r 是二项展开式的第r 项．(×) (2)二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项．(×) (3)(a ＋b )n 的展开式中某一项的二项式系数与a ，b 无关．(√) (4)在(1－x )9的展开式中系数最大的项是第五、第六两项．(×)(5)若(3x －1)7＝a 7x 7＋a 6x 6＋…＋a 1x ＋a 0，则a 7＋a 6＋…＋a 1的值为128.(×) (6)在(x ＋1)n 的展开式中，每一项的二项式系数就是这项的系数．(√) (7)(a ＋b )n 与(b ＋a )n 的展开式中通项公式是一样的．(×)(8)(x －y )n 的展开式中，第m 项的系数为(－1)m C m －1n .(×)(9)(1＋2x )5的展开式中含x 的项的系数为5.(×)(10)n x x )12(3 的展开式中不可能有常数项．(×)考点一 二项展开式的通项及应用[例1] (1)(2016·高考全国乙卷)(2x ＋x )5的展开式中，x 3的系数是________．(用数字填写答案)解析：T r ＋1＝C r 5(2x )5－r ·(x )r ＝25－r C r 5·，令5－r2＝3，得r ＝4，∴T 5＝10x 3，∴x 3的系数为10. 答案：10(2)(2016·高考四川卷)设i 为虚数单位，则(x ＋i)6的展开式中含x 4的项为( ) A ．－15x 4 B ．15x 4 C ．－20i x 4 D ．20i x 4解析：∵T r ＋1＝C r 6x r (i)6－r ，∴含x 4的项为T 5＝C 46x 4i 2＝－15x 4.答案：A(3)(2017·河北唐山一模)322)21(-+xx 展开式中的常数项为( ) A ．－8 B ．－12 C ．－20 D ．20解析：∵322)21(-+x x ＝6)1(xx -，∴T r ＋1＝C r 6x 6－r rx )1(-＝C r 6(－1)r x 6－2r ，令6－2r ＝0，得r ＝3，∴常数项为C 36(－1)3＝－20.答案：C(4)(2015·高考课标全国卷Ⅰ)(x 2＋x ＋y )5的展开式中，x 5y 2的系数为( ) A ．10 B ．20 C ．30 D ．60 解析：法一：利用二项展开式的通项公式求解．(x 2＋x ＋y )5＝[(x 2＋x )＋y ]5，含y 2的项为T 3＝C 25(x 2＋x )3·y 2. 其中(x 2＋x )3中含x 5的项为C 13x 4·x ＝C 13x 5. 所以x 5y 2的系数为C 25C 13＝30.故选C.法二：利用组合知识求解．(x 2＋x ＋y )5为5个x 2＋x ＋y 之积，其中有两个取y ，两个取x 2，一个取x 即可，所以x 5y 2的系数为C 25C 23C 11＝30.答案：C[方法引航] 求二项展开式中的指定项，一般是利用通项公式进行，化简通项公式后，含字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数k ＋1，代回通项公式即可.1．在本例(1)中，求展开式中系数最大的项是第几项． 解：设第r ＋1项的系数最大，T r ＋1＝25－r C r 5·，第r 项的系数为26－r C r －15第r ＋2项的系数为24－r C r ＋15∴⎩⎨⎧25－r C r 5≥26－r C r －1525－r C r 5≥24－r C r ＋15，1≤r ≤2当r ＝1时，T 2＝ 当r ＝2时，T 3＝故系数最大的项为T 2或T 3.2．在本例(2)中，求展开式中的常数项．解：由T r ＋1＝C r 6x6－r ·i r可知，当r ＝6时． 常数项为T 7＝C 66·i 6＝－1. 3．在本例(4)中，求展开式中含x 3y 3的系数．解析：(x 2＋x ＋y )5为5个x 2＋x ＋y 之积，其中有三个取y ，一个取x 2，一个取x 即可，所以x 3y 3的系数为C 35C 12C 11＝10×2×1＝20.考点二 二项展开式的系数和问题[例2] 在(2x －3y )10的展开式中，求： (1)二项式系数的和； (2)各项系数的和；(3)奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和； (4)奇数项系数和与偶数项系数和； (5)x 的奇次项系数和与x 的偶次项系数和．解：设(2x －3y )10＝a 0x 10＋a 1x 9y ＋a 2x 8y 2＋…＋a 10y 10，(*)各项系数和为a 0＋a 1＋…＋a 10，奇数项系数和为a 0＋a 2＋…＋a 10，偶数项系数和为a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 9，x 的奇次项系数和为a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 9，x 的偶次项系数和为a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 10.由于(*)是恒等式，故可用“赋值法”求出相关的系数和．(1)二项式系数的和为C 010＋C 110＋…＋C 1010＝210.(2)令x ＝y ＝1，各项系数和为(2－3)10＝(－1)10＝1.(3)奇数项的二项式系数和为C 010＋C 210＋…＋C 1010＝29， 偶数项的二项式系数和为C 110＋C 310＋…＋C 910＝29.(4)令x ＝y ＝1，得到a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 10＝1，① 令x ＝1，y ＝－1(或x ＝－1，y ＝1)， 得a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 10＝510，②①＋②得2(a 0＋a 2＋…＋a 10)＝1＋510，∴奇数项系数和为1＋5102；①－②得2(a 1＋a 3＋…＋a 9)＝1－510，∴偶数项系数和为1－5102.(5)x 的奇次项系数和为a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 9＝1－5102； x 的偶次项系数和为a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 10＝1＋5102.[方法引航] (1)“赋值法”普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，对形如(ax ＋b )n 、(ax 2＋bx ＋c )m (a 、b ∈R )的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x ＝1即可；对形如(ax ＋by )n (a ，b ∈R )的式子求其展开式各项系数之和，只需令x ＝y ＝1即可.(2)若f (x )＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，则f (x )展开式中各项系数之和为f (1)，奇数项系数之和为a 0＋a 2＋a 4＋…＝f (1)＋f (－1)2，偶数项系数之和为a 1＋a 3＋a 5＋…＝f (1)－f (－1)2.1.5)12)((x x x a x -+的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为( )A ．－40B ．－20C ．20D ．40 解析：选D.令x ＝1得(1＋a )(2－1)5＝1＋a ＝2，所以a ＝1.因此5)12)(1(x x x x -+展开式中的常数项即为5)12(xx -展开式中1x 的系数与x 的系数的和.5)12(xx -展开式的通项为T k ＋1＝C k 5(2x )5－k ·(－1)k ·x －k ＝C k 525－k x 5－2k·(－1)k .令5－2k ＝1，得2k ＝4，即k ＝2，因此5)12(xx -展开式中x 的系数为C 2525－2(－1)2＝80.令5－2k ＝－1，得2k ＝6，即k ＝3，因此5)12(x x -展开式中1x 的系数为C 3525－3·(－1)3＝－40. 所以5)12)(1(x x x x -+展开式中的常数项为80－40＝40.2．(2017·广西来宾一中检测)(1－x ＋x 2)3(1－2x 2)4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 14x 14，则a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 13的值为________．解析：设f (x )＝(1－x ＋x 2)3(1－2x 2)4.令x 分别取1，－1，f (1)＝a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 13＋a 14＝1，f (－1)＝a 0－a 1＋a 2－…－a 13＋a 14＝27，∴a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 13＝f (1)－f (－1)2＝1－272＝－13.答案：－13考点三 二项式定理的综合应用[例3] (1)若S ＝C 127＋C 227＋…＋C 2727，求S 除以9的余数． 解：S ＝C 127＋C 227＋…＋C 2727＝227－1＝89－1 ＝(9－1)9－1＝C 09×99－C 19×98＋…＋C 89×9－C 99－1 ＝9(C 09×98－C 19×97＋…＋C 89)－2.∵C 09×98－C 19×97＋…＋C 89是正整数，∴S 被9除的余数为7.(2)求1.025的近似值．(精确到两位小数)解：1.025＝(1＋0.02)5＝1＋C 15×0.02＋C 25×0.022＋…＋C 55×0.025≈1＋5×0.02＝1.10.[方法引航] (1)利用二项式定理进行近似计算：当n 不很大，|x |比较小时，(1＋x )n ≈1＋nx . (2)利用二项式定理证明整除问题或求余数问题：在证明整除问题或求余数问题时要进行合理的变形，使被除式(数)展开后的每一项都有除式的因式，要注意变形的技巧.1．将本例(1)变为S ＝1＋2＋22＋…＋25n －1.求证：S 能被31整除． 证明：∵1＋2＋22＋…＋25n －1＝25n －12－1＝25n－1＝32n －1＝(31＋1)n －1 ＝C 0n ×31n ＋C 1n ×31n －1＋…＋C n －1n ×31＋C nn －1 ＝31(C 0n ×31n －1＋C 1n ×31n －2＋…＋C n －1n )，显然C 0n ×31n －1＋C 1n ×31n －2＋…＋C n －1n 为整数，∴原式能被31整除．2．将本例(2)改为：求1.028的近似值．(精确到小数点后三位)解：1.028＝(1＋0.02)8≈C 08＋C 18·0.02＋C 28·0.022＋C 38·0.023≈1.172.[易错警示]多次应用二项展开式通项公式搭配不全[典例] (x 2＋2)52)11(-x的展开式的常数项是( ) A ．－3 B ．－2 C ．2 D ．3 [正解] 二项式52)11(-x展开式的通项为： T r ＋1＝C r 5r x-52)1(·(－1)r ＝C r 5·x 2r －10·(－1)r. 当2r －10＝－2，即r ＝4时，有x 2·C 45x －2·(－1)4＝C 45×(－1)4＝5；当2r －10＝0，即r ＝5时，有2·C 55x 0·(－1)5＝－2. ∴展开式中的常数项为5－2＝3，故选D. [答案] D [易误] (x 2＋2)与52)11(-x的各因式的积为常数项，不只是2与(－1)的积，还有x 2与x －2的积也为常数．[警示] 求几个二项式积的展开式中某项的系数或特定项时，一般要根据这几个二项式的结构特征进行分类搭配，分类时要抓住一个二项式逐项分类，分析其它二项式应满足的条件，然后再求解结果．[高考真题体验]1．(2015·高考课标全国卷Ⅱ)(a ＋x )(1＋x )4的展开式中x 的奇数次幂项的系数之和为32，则a ＝________.解析：(1＋x )4的展开式通项为C r 4x r ，其中r 可取0,1,2,3,4. x 的所有奇数次幂为a C 14x ，a C 34x 3，C 04x ，C 24x 3，C 44x 5，∴系数和为8a ＋8＝32，∴a ＝3. 答案：32．(2014·高考课标全国卷Ⅰ)(x －y )(x ＋y )8的展开式中x 2y 7的系数为________．(用数字填写答案)解析：(x －y )(x ＋y )8＝x (x ＋y )8－y (x ＋y )8，故展开式中x 2y 7的系数为C 78－C 68＝8－28＝－20.答案：－203．(2014·高考课标全国卷Ⅱ)(x ＋a )10的展开式中，x 7的系数为15，则a ＝________.(用数字填写答案)解析：∵(x ＋a )10展开式的通项为T r ＋1＝C r 10x10－r a r (r ＝0,1，…，10)， ∴(x ＋a )10的展开式中x 7的系数为C 310a 3＝15，得a ＝12. 答案：124．(2013·高考课标全国卷Ⅰ)设m 为正整数，(x ＋y )2m 展开式的二项式系数的最大值为a ，(x ＋y )2m ＋1展开式的二项式系数的最大值为b .若13a ＝7b ，则m ＝( ) A ．5 B ．6 C ．7 D ．8解析：选B.由题意可知a ＝C m 2m ，b ＝C m ＋12m ＋1，又13a ＝7b ，即13C m 2m ＝7C m 2m ＋1，解得m ＝6.课时规范训练 A 组 基础演练1．(1＋2x )5的展开式中，x 2的系数等于( )A ．80B ．40C ．20D ．10解析：选B.T k ＋1＝C k 515－k (2x )k ＝C k 5×2k ×x k ，令k ＝2，则可得含x 2项的系数为C 25×22＝40.2.532)2(x x -展开式中的常数项为( )A ．80B ．－80C ．40D ．－40解析：选C.T k ＋1＝C k 5(x 2)5－k kx )2(3-＝C k 5(－2)k x 10－5k，令10－5k ＝0得k ＝2.∴常数项为T 3＝C 25(－2)2＝40.3．(x －2y )8的展开式中，x 6y 2项的系数是( )A ．56B ．－56C ．28D ．－28解析：选A.二项式的通项为T r ＋1＝C r 8x 8－r (－2y )r ，令8－r ＝6，即r ＝2，得x 6y 2项的系数为C 28(－2)2＝56.4．已知8)(x a x -展开式中常数项为1 120，其中a 是常数，则展开式中各项系数的和是( )A ．28B ．38C ．1或38D ．1或28解析：选C.由题意知C 48·(－a )4＝1 120，解得a ＝±2，令x ＝1，得展开式中各项系数的和为(1－a )8＝1或38.5．如果nx x )12(2+的展开式中含有常数项，则正整数n 的最小值为( ) A ．3 B ．5 C ．6 D ．10解析：选B.n xx )12(2+的展开式的通项为T r ＋1＝C r n ·(2x )n －r rx )1(2＝∵n ，r ∈N ，且r ≤n ，∴n ＝5r ∈N ，即n 的最小值为5.6．在n x x )12(3-的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中常数项是( ) A ．－7 B ．7 C ．－28 D ．28解析：选B.由题意有n ＝8，T k ＋1＝C k 8k -8)21((－1)kx 8－43k ，k ＝6时为常数项，常数项为7. 7．已知C 0n ＋2C 1n ＋22C 2n ＋22C 3n ＋…＋2n C n n ＝729，则C 1n ＋C 2n ＋C 3n ＋…＋C nn 等于( )A ．63B ．64C ．31D ．32解析：选A.逆用二项式定理得C 0n ＋2C 1n ＋22C 2n ＋23C 3n ＋…＋2n C n n ＝(1＋2)n ＝3n ＝729，即3n ＝36，所以n ＝6，所以C 1n ＋C 2n ＋C 3n ＋…＋C n n ＝26－C 0n ＝64－1＝63.故选A.8．若n x x )1(2-的展开式中第三项与第五项的系数之比为314，则展开式中常数项是( ) A ．－10 B ．10 C ．－45 D ．45解析：选D.因为展开式的通项公式为T r ＋1＝C r n (x 2)n －r·＝C r n (－1)r，所以C 2nC 4n＝314，解得n ＝10，所以T r ＋1＝C r 10·(－1)r ·，令20－5r 2＝0，则r ＝8.所以常数项为T 9＝C 810＝C 210＝45.9．在52)12(x x -的二项展开式中，x 的系数为( )A ．10B ．－10C ．40D ．－40解析：选D.因为T k ＋1＝C k 5(2x 2)5－k kx )1(-＝C k 525－k x 10－2k (－1)k x －k ＝C k 525－k(－1)k x 10－3k ， 令10－3k ＝1，得k ＝3，所以x 的系数为C 3525－3(－1)3＝－40. 10．(1＋3x )n (其中n ∈N 且n ≥6)的展开式中x 5与x 6的系数相等，则n 等于( ) A ．6 B ．7 C ．8 D ．9解析：选B.(1＋3x )n 的展开式中含x 5的项为C 5n (3x )5＝C 5n 35x 5，展开式中含x 6的项为C 6n 36x 6，由两项的系数相等得C 5n ·35＝C 6n ·36，解得n ＝7.B 组 能力突破1．(4x －2－x )6(x ∈R )展开式中的常数项是( )A ．－20B ．－15C ．15D ．20解析：选C.设展开式的常数项是第k ＋1项，则T k ＋1＝C k 6·(4x )6－k ·(－2－x )k ＝C k 6·(－1)k ·212x －2kx ·2－kx＝C k 6·(－1)k ·212x －3kx ，∴12x －3kx ＝0恒成立．∴k ＝4，∴T 5＝C 46·(－1)4＝15. 2．若(1＋x )＋(1＋x )2＋…＋(1＋x )n ＝a 0＋a 1(1－x )＋a 2(1－x )2＋…＋a n (1－x )n ，则a 0－a 1＋a 2－…＋(－1)n a n 等于( )A.34(3n －1)B.34(3n －2)C.32(3n －2)D.32(3n －1) 解析：选D.在展开式中，令x ＝2得3＋32＋33＋…＋3n ＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋(－1)n a n ， 即a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋(－1)na n ＝3(1－3n )1－3＝32(3n－1)．3．设(x －1)21＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 21x 21，则a 10＋a 11＝________. 解析：a 10，a 11分别是含x 10和x 11项的系数，所以a 10＝－C 1121，a 11＝C 1021，所以a 10＋a 11＝C 1021－C 1121＝0.答案：04．(2016·高考山东卷)若52)1(xax +的展开式中x 5的系数是－80，则实数a ＝________. 解析：T r ＋1＝rrrx C a 251055--，令10－52r ＝5，解之得r ＝2，所以a 3C 25＝－80，a ＝－2.答案：－25．(2016·高考天津卷)82)1(xx -的展开式中x 7的系数为________．(用数字作答)解析：T r ＋1＝C r 8x 16－2r (－1)r x －r ＝(－1)r ·C r 8x 16－3r，令16－3r ＝7，得r ＝3，所以x 7的系数为(－1)3C 38＝－56.答案：－566．已知(1＋3x )n 的展开式中，后三项的二项式系数的和等于121，则展开式中二项式系数最大的项为________．解析：由已知得C n －2n ＋C n －1n ＋C n n＝121，则12n ·(n －1)＋n ＋1＝121，即n 2＋n －240＝0，解得n ＝15(舍去负值)，所以展开式中二项式系数最大的项是T 8＝C 715(3x )7和T 9＝C 815(3x )8. 答案：T 8＝C 715(3x )7和T 9＝C 815(3x )8。
二项式定理及求特定项
④ amn am an
特殊幂
① a0 1
②
an
1 an
⑦ an bn (当n 2,3时，背诵之)
⑧
(a b)n
当 当nn
42时,3时, 二，项背式诵定之理
⑤ amn (am )n (an )m ⑨ (a b)n an bn
m
⑥ a n n am
A1 An
A2
An1
A3 A4
①公式法： hn (k 1)n (1)n (k 1)
②递推法：参新课课件附录37的内容……
②有心环型域 先染心 无心环型域
③其他型域 ：两理两数四优先……
传球(踢毽子)问题
注1：该类问题；解法甚多， 可参新课件附录37的内容……
注2：该类问题等价于无心环型域的染色问题
k个人进行传球游戏，由甲先传，经过n次 传球后，球仍回到甲手中的传球方法数
可转换成：
k种颜色n块区域的无心环型域的染色问题
k
hn g Cn
(k
1)n (1)n (k (k 1)n (1)n
1) (k 1)
§107 二项式定理及求特定项
一、二项式定理： 1.展开式： 2.通项公式：
二、求特殊项 ： 1.方法：
160 x
另法：
因
(2
1 )6 3x
(1 23 x2
x )6
故
T4
C63 (23 x2
x )3
160 x
纯属运气！
试试看：若求第二项，结果还会一样吗……
(5)(2012年安徽)
(x2
1 2)( x2
1)5 的展开式的常数项是
A.-2
B.2
二项式定理
求x的取值范围．
解析： 1 x＜－10 －1≤x≤0 4
C 1－2x＞C 0 5 5 1 由题意可得 C5 －2x≥C52－2x2
⇒
1 1 ⇒－4≤x＜－10.
.
1 1 所以x的取值范围是x－4≤x＜－10
化简：Cn0(x＋1)n－Cn1(x＋1)n－1＋…＋(－1)kCnk(x＋ 1)n－k＋…＋(－1)nCnn.
由题目可获取以下主要信息： ①展开式是关于x＋1的单项式； ②x＋1的指数最高次为n，依次递减至0，且每项的指数等于 对应的组合数的下标与上标的差．
解答本题可先把x＋1看成一个整体，分析结构形式，逆用二
项式定理求解．
[解题过程]
原式＝Cn0(x＋1)n＋Cn1(x＋1)n－1·(－1)＋Cn2(x
a 1 5 x＋ 2x－ 的展开式中各项系 x x
数的和为2，则该展开式中常数项为( A．－40 C．20 B．－20 D．40
)
解析： 令x＝1得(1＋a)(2－1)5＝1＋a＝2，所以a＝1.
1 1 5 1 5 因此 x＋x 2x－x 展开式中的常数项即为 2x－x 展开 1 5 1 式中 x 的系数与x的系数的和. 2x－x 展开式的通项为Tr＋1＝
＋1)n－2·(－1)2＋…＋Cnk(x＋1)n－k·(－1)k＋…＋Cnn·(－1)n
＝[(x＋1)＋(－1)]n＝xn.
[题后感悟] 本题是二项式定理的逆用，需要熟悉二项展开
式的每个单项式的结构，若对公式还不很熟悉，可先把x＋1换元 为a，再分析结构形式，则变得简单些．
2.(1)设n为自然数，化简Cn0·2n－Cn1·2n－1＋…＋(－1)k·Cnk·2n－k＋…＋ (－1)n·Cnn. (2)设S＝(x－1)4＋4(x－1)3＋6(x－1)2＋4(x－1)＋1，它等于( A．(x－2)4 B．(x－1)4 )
二项式定理递推公式
二项式定理递推公式一、二项式定理内容回顾。
1. 二项式定理表达式。
- 对于(a + b)^n=∑_k = 0^nC_n^ka^n - kb^k，其中C_n^k=(n!)/(k!(n - k)!)，n∈N^*。
2. 二项式展开式的通项公式。
- T_r + 1=C_n^ra^n - rb^r（r = 0,1,·s,n），它表示二项式展开式中的第r+1项。
二、二项式定理的递推公式推导。
1. 从(a + b)^n到(a + b)^n+1的递推关系。
- 我们知道(a + b)^n=∑_k = 0^nC_n^ka^n - kb^k，(a + b)^n+1=(a + b)×(a +b)^n。
- 把(a + b)^n=∑_k = 0^nC_n^ka^n - kb^k代入(a + b)^n+1=(a + b)×(a + b)^n可得：(a + b)^n+1=(a + b)∑_k = 0^nC_n^ka^n - kb^k=∑_k = 0^nC_n^ka^n - k + 1b^k+∑_k = 0^nC_n^ka^n - kb^k+1。
- 在∑_k = 0^nC_n^ka^n - k + 1b^k中，令k = r；在∑_k = 0^nC_n^ka^n -kb^k+1中，令k=r - 1。
- 对于∑_k = 0^nC_n^ka^n - k + 1b^k，当k = n时，这一项为C_n^na^1b^n。
- 对于∑_k = 0^nC_n^ka^n - kb^k+1，当k = 0时，这一项为C_n^0a^n+1b^0。
- 则(a + b)^n+1=∑_r = 0^n + 1C_n+1^ra^n+1 - rb^r，其中C_n+1^r=C_n^r -1+C_n^r（r = 1,2,·s,n），C_n+1^0 = C_n^0 = 1，C_n+1^n+1=C_n^n = 1。
2. 递推公式的意义。
二项式定理(通项公式)(完整资料).doc
【最新整理，下载后即可编辑】二项式定理二项式知识回顾 1. 二项式定理0111()n n n k n k kn nn n n n a b C a C a b C a b C b --+=+++++,以上展开式共n+1项，其中k n C 叫做二项式系数，1k n k k k n T C a b -+=叫做二项展开式的通项.（请同学完成下列二项展开式）0111()(1)(1)n n n k k n k k n n n n n n n a b C a C a b C a b C b ---=-++-++-，1(1)k k n k kk n T C a b -+=-01(1)n k k n nn n n n x C C x C x C x +=+++++ ①0111(21)(2)(2)(2)(2)1n n n k n k n n n n n x C x C x C x C x ---+=+++++1110n n n k n n n k a x a x a x a x a ----=+++++②① 式中分别令x=1和x=-1，则可以得到 012n n n n n C C C +++=，即二项式系数和等于2n ；偶数项二项式系数和等于奇数项二项式系数和，即021312n n n n n C C C C -++=++=② 式中令x=1则可以得到二项展开式的各项系数和. 2. 二项式系数的性质（1）对称性：与首末两端等距离的两个二项式系数相等，即m n m n n C C -=.（2）二项式系数k n C 增减性与最大值： 当12n k +<时，二项式系数是递增的；当12n k +≥时，二项式系数是递减的.当n 是偶数时，中间一项2nnC 取得最大值.当n 是奇数时，中间两项12n nC -和12n nC +相等，且同时取得最大值.3.二项展开式的系数a 0,a 1,a 2,a 3,…,a n 的性质：f(x )= a 0+a 1x +a 2x 2+a 3x 3……+a n x n⑴ a 0+a 1+a 2+a 3……+a n =f(1) ⑵ a 0-a 1+a 2-a 3……+(-1)n a n =f(-1)⑶a0+a2+a4+a6……=2)1 ()1(-+ff⑷a1+a3+a5+a7……=2)1 ()1(--ff经典例题1、“n ba)(+展开式：例1．求4)13(xx+的展开式；【练习1】求4)13(xx-的展开式2.求展开式中的项例2.已知在n的展开式中，第6项为常数项.（1）求n；（2）求含2x的项的系数；（3）求展开式中所有的有理项.【练习2】若n展开式中前三项系数成等差数列.求：（1）展开式中含x的一次幂的项；（2）展开式中所有x的有理项.3.二项展开式中的系数例3.已知22x的展开式的二项式系数和比(31)n)nx-的展开式的二项式系数和大992，求21-的展开式中：（1）二项式系数最(2)nxx大的项；（2）系数的绝对值最大的项[练习3]已知*22)()n n N x∈的展开式中的第五项的系数与第三项的系数之比是10：1.(1)求展开式中含32x 的项；(2)求展开式中系数最大的项和二项式系数最大的项.4、求两个二项式乘积的展开式指定幂的系数例4．72)2)(1-+x x （的展开式中，3x 项的系数是 ；5、求可化为二项式的三项展开式中指定幂的系数例5（04安徽改编）3)21(-+xx 的展开式中，常数项是 ；6、求中间项例6求（103)1xx -的展开式的中间项；例7 103)1(xx -的展开式中有理项共有 项；8、求系数最大或最小项（1） 特殊的系数最大或最小问题例8（00上海）在二项式11)1(-x 的展开式中，系数最小的项的系数是 ；（2） 一般的系数最大或最小问题例9求84)21(xx +展开式中系数最大的项；（3） 系数绝对值最大的项例10在（7)y x -的展开式中，系数绝对值最大项是 ；9、利用“赋值法”及二项式性质3求部分项系数，二项式系数和例11．若443322104)32(x a x a x a x a a x ++++=+， 则2312420)()(a a a a a +-++的值为 ；【练习1】若2004221020042004...)21(x x a x a a x ++++=-，则=++++++)(...)()(200402010a a a a a a ；【练习2】设0155666...)12(a x a x a x a x ++++=-， 则=++++6210...a a a a ；【练习3】92)21(xx 展开式中9x 的系数是 ；。
二项式定理(通项公式)
二项式定理二项式知识回顾1. 二项式定理0111()n n n k n k kn nn n n n a b C a C a b C a b C b --+=+++++,以上展开式共n+1项，其中k n C 叫做二项式系数，1k n k kk n T C a b -+=叫做二项展开式的通项.（请同学完成下列二项展开式）0111()(1)(1)n n n k k n k kn n n n n n n a b C a C a b C a b C b ---=-++-++-，1(1)k k n k kk n T C a b -+=-01(1)n k kn nn n n n x C C x C x C x +=+++++ ① 0111(21)(2)(2)(2)(2)1n n n k n k n n n n n x C x C x C x C x ---+=+++++1110n n n k n n n k a x a x a x a x a ----=+++++ ②① 式中分别令x=1和x=-1，则可以得到 012n n n n n C C C +++=，即二项式系数和等于2n；偶数项二项式系数和等于奇数项二项式系数和，即021312n n n n n C C C C -++=++=② 式中令x=1则可以得到二项展开式的各项系数和.2. 二项式系数的性质（1）对称性：与首末两端等距离的两个二项式系数相等，即m n mn n C C -=.（2）二项式系数kn C 增减性与最大值： 当12n k +<时，二项式系数是递增的；当12n k +≥时，二项式系数是递减的. 当n 是偶数时，中间一项2nnC 取得最大值.当n 是奇数时，中间两项12n nC -和12n nC+相等，且同时取得最大值.3.二项展开式的系数a 0,a 1,a 2,a 3,…,a n 的性质：f(x )= a 0+a 1x +a 2x 2+a 3x 3……+a n x n⑴ a 0+a 1+a 2+a 3……+a n =f(1)⑵ a 0-a 1+a 2-a 3……+(-1)na n =f(-1) ⑶ a 0+a 2+a 4+a 6 (2)1()1(-+f f⑷ a 1+a 3+a 5+a 7……=2)1()1(--f f经典例题1、“n b a )(+展开式：例1．求4)13(xx +的展开式；【练习1】求4)13(xx -的展开式2.求展开式中的项例2.已知在n 的展开式中，第6项为常数项.（1） 求n ； （2）求含2x 的项的系数；（3）求展开式中所有的有理项.【练习2】若n 展开式中前三项系数成等差数列.求：（1）展开式中含x 的一次幂的项；（2）展开式中所有x 的有理项.3.二项展开式中的系数例3.已知22)n x 的展开式的二项式系数和比(31)nx -的展开式的二项式系数和大992，求21(2)nx x-的展开式中：（1）二项式系数最大的项；（2）系数的绝对值最大的项[练习3]已知*22)()n n N x∈的展开式中的第五项的系数与第三项的系数之比是10：1.(1)求展开式中含32x 的项；(2)求展开式中系数最大的项和二项式系数最大的项.4、求两个二项式乘积的展开式指定幂的系数例4．72)2)(1-+x x （的展开式中，3x 项的系数是 ；5、求可化为二项式的三项展开式中指定幂的系数例5（04改编）3)21(-+xx 的展开式中，常数项是 ；6、求中间项例6求（103)1xx -的展开式的中间项；例7 103)1(xx -的展开式中有理项共有 项；8、求系数最大或最小项（1） 特殊的系数最大或最小问题例8（00）在二项式11)1(-x 的展开式中，系数最小的项的系数是 ；（2） 一般的系数最大或最小问题 例9求84)21(xx +展开式中系数最大的项；（3） 系数绝对值最大的项例10在（7)y x -的展开式中，系数绝对值最大项是 ；9、利用“赋值法”及二项式性质3求部分项系数，二项式系数和例11．若443322104)32(x a x a x a x a a x ++++=+， 则2312420)()(a a a a a +-++的值为 ；【练习1】若2004221020042004...)21(x x a x a a x ++++=-， 则=++++++)(...)()(200402010a a a a a a ；【练习2】设0155666...)12(a x a x a x a x ++++=-， 则=++++6210...a a a a ；【练习3】92)21(xx -展开式中9x 的系数是 ；。
二项式定理
二项式定理：一、框架二项式定理是高中数学中与排列组合、多项式的概念性质联系比较紧密的内容，高考在这一部分命题主要以选择、填空题的形式考查二项展开式的项、系数及其相关问题。
复习时先要正确的理解二项式定理、二项展开式的项、系数等概念和性质，牢牢掌握二项展开式的通项公式是解答有关问题的关键，同时注意把握二项式与定积分及其它知识的联系。
其中非标准二项式定理求解特殊项的问题，是难点问题。
1．二项式定理：公式(a ＋b )n ＝C 0n a n ＋C 1n a n －1b ＋…＋C k n a n －k b k ＋…＋C n nb n (n ∈N *)叫做二项式定理． 2．通项:T k ＋1＝C k n an －k b k 为展开式的第k ＋1项． 提醒： (1)T k ＋1表示的是第k ＋1项，而非第k 项．(2)要正确区分二项展开式中的“项”、“项的系数”、“项的二项式系数”等概念的异同． 3. 求二项展开式中的项的方法:求二项展开式的特定项问题，实质是考查通项T k ＋1＝C k n an －k b k的特点，一般需要建立方程求k ，再将k 的值代回通项求解，注意k 的取值范围(k ＝0,1,2，…，n )． (1)第m 项：此时k ＋1＝m ，直接代入通项；(2)常数项：即这项中不含“变元”，令通项中“变元”的幂指数为0建立方程； (3)有理项：令通项中“变元”的幂指数为整数建立方程;特定项的系数问题及相关参数值的求解等都可依据上述方法求解． 4．二项式系数与项的系数(1)二项式系数：二项展开式中各项的系数C kn (k ∈{0,1，…，n })叫做二项式系数．(2)项的系数：项的系数是该项中非字母因数部分，包括符号等，与二项式系数是两个不同的概念． 5．二项式系数的性质(1)对称性：在二项展开式中与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即C mn ＝C n －mn . (2)增减性与最大值：二项式系数C kn ，当k <n ＋12时，二项式系数逐渐增大；当k >n ＋12时，二项式系数逐渐减小．当n 是偶数时，中间一项的二项式系数最大；当n 是奇数时，中间两项的二项式系数最大． (3)各二项式系数的和：(a ＋b )n 的展开式的各个二项式系数的和等于 2n ，即C 0n ＋C 1n ＋…＋C n n ＝2n. (4)奇数项的二项式系数之和等于偶数项的二项式系数之和，即C 0n ＋C 2n ＋…＝C 1n ＋C 3n ＋…＝2n －1.6．在高考中，常常涉及一些多项式二项式问题，主要考查学生的化归能力．归纳起来常见的命题角度有： (1)几个多项式和的展开式中的特定项(系数)问题； (2)几个多项式积的展开式中的特定项(系数)问题； (3)三项展开式中的特定项(系数)问题.7．赋值法研究二项式的系数和问题：“赋值法”普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，对形如(ax ＋b )n、(ax 2＋bx ＋c )m(a ，b ∈R)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x ＝1即可；对形如(ax ＋by )n (a ，b ∈R)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x ＝y ＝1即可．二、方法诠释第一方面：二项式的项、二项式的项的系数、二项式的系数 例1：在⎝⎛⎭⎫x －2x 6的二项展开式中常数项是( ) A ．－120 B ．－60 C ．120D ．60解：选D 二项展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 6(x )6－r ·⎝⎛⎭⎫－2x r＝C r 6(－2)r x 3－32r ，令3－32r ＝0，得r ＝2，所以常数项为C 26(－2)2＝60.第二方面：对称性、增减性、最值与二项式系数例2：已知(1＋x )n 的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则n ＝________. 解：容易得到n ＝10.第三方面：几个多项式和的展开式中的特定项(系数)问题 例3：⎝⎛⎭⎫x 3－2x 4＋⎝⎛⎭⎫x ＋1x 8的展开式中的常数项为( ) A ．32 B ．34 C ．36D ．38解：选D ⎝⎛⎭⎫x 3－2x 4的展开式的通项为T m ＋1＝C m 4(x 3)4－m ·⎝⎛⎭⎫－2x m ＝C m 4(－2)m x 12－4m ，令12－4m ＝0，解得m ＝3，⎝⎛⎭⎫x ＋1x 8的展开式的通项为T n ＋1＝C n 8x 8－n ⎝⎛⎭⎫1x n ＝C n 8x 8－2n ，令8－2n ＝0，解得n ＝4，所以所求常数项为C 34(－2)3＋C 48＝38.问题四：几个多项式积的展开式中的特定项(系数)问题 例4： ⎝⎛⎭⎫2x ＋x (1－x )4的展开式中x 的系数是________．解：(1－x )4展开式的通项公式T r ＋1＝C r 4(－x )r ＝(－1)r C r 4x r 2，⎝⎛⎭⎫2x ＋x (1－x )4的展开式中含x 的项为 2x ·(－1)4C 44x 2＋x ·(－1)0C 04x 02＝2x ·x 2＋x ·1＝3x ，故系数是3. 答案：3 问题五：三项展开式中特定项(系数)问题例5：(x 2－4x ＋4)5的展开式中x 的系数是________．解：由(x 2－4x ＋4)5＝(x －2)10，得二项展开式的通项为T r ＋1＝C r 10x10－r (－2)r ，所以x 的系数为(－2)9C 910＝－5 120. 答案：－5 120 问题六：赋值法例6.1:若(x ＋2＋m )9＝a 0＋a 1(x ＋1)＋a 2(x ＋1)2＋…＋a 9(x ＋1)9，且(a 0＋a 2＋…＋a 8)2－(a 1＋a 3＋…＋a 9)2＝39，则实数m 的值为( )A ．1或－3B ．－1或3C ．1D ．－3解：选A 令x ＝0，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 9＝(2＋m )9，令x ＝－2，得a 0－a 1＋a 2－…－a 9＝m 9，又(a 0＋a 2＋…＋a 8)2－(a 1＋a 3＋…＋a 9)2＝39，即(a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 9)·(a 0－a 1＋a 2－…－a 9)＝39，即(2＋m )9·m 9＝39，所以(2＋m )m ＝3，解得m ＝1或－3.例6.2：化简:121393n nn n n C C C ++++= ．解：小结：二项式定理是一个恒等式，使用时有两种思路：一是利用恒等定理(两个多项式恒等，则对应项系数分别相等)；二是赋值．二项式定理结合“恒等”与“赋值”两条思路可以使很多求二项展开式的系数的问题迎刃而解．赋值法是处理组合数问题、系数问题的最有效的经典方法，一般对任意A x ∈，某式子恒成立，则对A 中的特殊值，该式子一定成立，特a 殊值x 如何选取视具体情况决定，灵活性较强，一般取1,1,0-=x 居多.若2012()...,n n n ax b a a x a x a x +=++++则设()()=+nf x ax b .有：①0(0);a f = ②012...(1);n a a a a f ++++=③0123...(1)(1);nn a a a a a f -+-++-=- ④0246(1)(1)...;2f f a a a a +-++++=⑤1357(1)(1) (2)f f a a a a --++++=7.二项式与定积分的综合：在考查二项式定理时常常会把定积分和二项式结合在一起，把定积分作为二项式的一项、二项式的值或二项式的指数是常考模式，注意定积分的概念和计算是关键. 例7：设20(sin 12cos )2xa x dx π=-+⎰，则621()(2)a x x x-•+的展开式中常数项是 .解：三、巩固训练1. ⎝⎛⎭⎫12x －2y 5的展开式中x 2y 3的系数是( ) A ．－20 B ．－5 C ．5 D ．202.(x ＋a )10的展开式中，x 7的系数为15，则a ＝________.(用数字填写答案)3.若⎝⎛⎭⎫x ＋2x 2n 展开式中只有第6项的二项式系数最大，则展开式的常数项是( ) A ．360 B ．180 C ．90D ．454.若⎝⎛⎭⎫x 2－1x n 的展开式中含x 的项为第6项，设(1－3x )n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，则a 1＋a 2＋…＋a n 的值为________．5.设n 为正整数，⎝⎛⎭⎫x －1x x 2n 展开式中存在常数项，则n 的一个可能取值为( )A ．16B ．10C ．4D ．26.若二项式⎝⎛⎭⎪⎫x ＋23x n的展开式中的常数项是80，则该展开式中的二项式系数之和等于________．7. ⎝⎛⎭⎫ax ＋366的展开式的第二项的系数为－3，则∫a －2x 2d x 的值为( )A ．3 B.73 C ．3或73D ．3或－1038.⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋13x n的展开式中各项系数之和为729，则该展开式中x 2项的系数为________．9.二项式(2x －3y )9的展开式中，求：(1)二项式系数之和；(2)各项系数之和；(3)所有奇数项系数之和；(4)各项系数绝对值之和．10．已知在⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3x －123x n 的展开式中，第6项为常数项． (1)求n ；(2)求含x 2的项的系数； (3)求展开式中所有的有理项．二项式定理：1、解析：选A 由二项展开式的通项可得，第四项T 4＝C 35⎝⎛⎭⎫12x 2(－2y )3＝－20x 2y 3，故x 2y 3的系数为－20，选A.2、解析：二项展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 10x 10－r a r ，当10－r ＝7时，r ＝3，T 4＝C 310a 3x 7，则C 310a 3＝15，故a ＝12. 答案：123、解析：选B 展开式中只有第6项的二项式系数最大，则展开式总共11项，所以n ＝10，通项公式为T r ＋1＝C r 10(x )10－r ·⎝⎛⎭⎫2x 2r ＝C r 102r x 5－52r ，所以r ＝2时，常数项为180. 4、解析：展开式⎝⎛⎭⎫x 2－1x n 的通项为T r ＋1＝C r n (x 2)n －r ·⎝⎛⎭⎫－1x r ＝C r n(－1)r x 2n －3r ，因为含x 的项为第6项，所以r ＝5,2n －3r ＝1，解得n ＝8，令x ＝1，得a 0＋a 1＋…＋a 8＝(1－3)8＝28，又a 0＝1，所以a 1＋…＋a 8＝28－1＝255. 答案：2555、解析：选B ⎝⎛⎭⎫x －1x x 2n 展开式的通项公式为T k ＋1＝C k 2n x 2n －k ⎝⎛⎭⎫－1x x k ＝C k 2n (－1)k x 4n －5k 2，令4n －5k 2＝0，得k ＝4n5，∴n 可取10.6、解析：对于T r ＋1＝C r n (x )n －r⎝ ⎛⎭⎪⎫23x r ＝C r n 2rx n －r 2－r 3，当r ＝35n 时展开式为常数项，因此n 为5的倍数，不妨设n ＝5m ，则有r ＝3m ，则23m C 3m 5m ＝8m C 3m 5m＝80，因此m ＝1，则该展开式中的二项式系数之和等于2n ＝25＝32.答案：327、解析：选B 该二项展开式的第二项的系数为C 1636a 5，由C 1636a 5＝－3，解得a ＝－1，因此∫a －2x 2d x ＝∫－1－2x 2d x ＝x 33|－1－2＝－13＋83＝73. 8、解析：依题意得3n ＝729，n ＝6，二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋13x 6的展开式的通项是T r ＋1＝C r 6·(2x )6－r ·⎝ ⎛⎭⎪⎫13x r ＝C r 6·26－r ·x 6－4r 3.令6－4r 3＝2，得r ＝3.因此，在该二项式的展开式中x 2项的系数是C 36·26－3＝160.答案：160 9、解:设(2x －3y )9＝a 0x 9＋a 1x 8y ＋a 2x 7y 2＋…＋a 9y 9.(1)二项式系数之和为C 09＋C 19＋C 29＋…＋C 99＝29.(2)各项系数之和为a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 9，令x ＝1，y ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 9＝(2－3)9＝－1. (3)由(2)知a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 9＝－1 ①，令x ＝1，y ＝－1，得a 0－a 1＋a 2－…－a 9＝59 ②， ①＋②2得a 0＋a 2＋a 4＋a 6＋a 8＝59－12，此即为所有奇数项系数之和． (4)|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 9|＝a 0－a 1＋a 2－…－a 9，令x ＝1，y ＝－1，得|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 9|＝a 0－a 1＋a 2－…－a 9＝59，此即为各项系数绝对值之和． 10、解：(1)通项公式为T k ＋1＝C k n xn －k 3⎝⎛⎭⎫－12k x －k 3＝C k n ⎝⎛⎭⎫－12k x n －2k 3.因为第6项为常数项，所以k ＝5时，n －2×53＝0，即n ＝10.(2)令10－2k 3＝2，得k ＝2，故含x 2的项的系数是C 210⎝⎛⎭⎫－122＝454. (3)根据通项公式，由题意⎩⎪⎨⎪⎧10－2k3∈Z ，0≤k ≤10，k ∈N ，令10－2k 3＝r (r ∈Z)，则10－2k ＝3r ，k ＝5－32r ， ∵k ∈N ，∴r 应为偶数，∴r 可取2,0，－2，即k 可取2,5,8，∴第3项，第6项与第9项为有理项， 它们分别为C 210⎝⎛⎭⎫－122x 2，C 510⎝⎛⎭⎫－125，C 810⎝⎛⎭⎫－128x －2.。
二项式定理知识点总结
二项式定理知识点总结二项式定理专题一、二项式定理：二项式定理是一个重要的恒等式，它表示了任意实数a,b 和正整数n之间的关系。
具体地，对于任意正整数n和实数a,b，有以下恒等式成立：a+b)^n = C(n,0)*a^n + C(n,1)*a^(n-1)*b +。
+ C(n,n-1)*a*b^(n-1) + C(n,n)*b^n其中，C(n,k)表示从n个元素中选取k个元素的组合数，也就是n个元素中取k个元素的方案数。
右边的多项式叫做(a+b)的二项式展开式，其中各项的系数C(n,k)叫做二项式系数。
二项式定理的理解：1）二项展开式有n+1项。
2）字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1到0；字母b按升幂排列，从第一项开始，次数由0逐项加1到n。
3）二项式定理表示一个恒等式，对于任意的实数a,b，等式都成立。
通过对a,b取不同的特殊值，可为某些问题的解决带来方便。
例如，当a=1，b=x时，有以下恒等式成立：1+x)^n = C(n,0) + C(n,1)*x +。
+ C(n,n-1)*x^(n-1) +C(n,n)*x^n4）要注意二项式定理的双向功能：一方面可将二项式(a+b)展开，得到一个多项式；另一方面，也可将展开式合并成二项式(a+b)^n。
二、二项展开式的通项公式：二项展开式的通项公式是指，二项式展开式中第k+1项的系数C(n,k)的公式。
具体地，对于任意正整数n和实数a,b，有以下通项公式成立：T(k+1) = C(n,k)*a^(n-k)*b^k其中，T(k+1)表示二项式展开式中第k+1项的系数。
通项公式体现了二项展开式的项数、系数、次数的变化规律，是二项式定理的核心。
它在求展开式的某些特定项（如含指定幂的项、常数项、中间项、有理项、系数最大的项等）及其系数等方面有广泛应用。
三、二项展开式系数的性质：在二项式展开式中，二项式系数具有以下性质：①对称性：与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等，即C(n,0) = C(n,n)。
二项式定理公式常用结论
二项式定理公式常用结论二项式定理可是咱数学里相当重要的一块儿内容！咱先来说说二项式定理公式到底是啥。
这公式啊，简单来说就是$(a+b)^n=\sum_{r=0}^n C_n^r a^{n-r}b^r$ 。
这里面的$C_n^r$ 叫组合数，算起来就是 $C_n^r = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ 。
那这二项式定理公式有啥常用结论呢？比如说，二项式展开式的通项公式$T_{r+1}= C_n^r a^{n-r}b^r$ ，通过这个通项，咱能方便地找到展开式里的任意一项。
再比如说，二项式系数之和为 $2^n$ 。
这个结论很有用哦！我想起之前给学生们讲这部分内容的时候，有个学生特别有意思。
当时我在黑板上写了一道题：求$(x + 2)^5$ 的展开式中$x^3$ 的系数。
我刚写完题目，就看见这个学生皱着眉头，嘴里还嘟囔着：“这可咋整啊？”我就引导他们先写出通项公式，然后再找$x^3$ 的系数。
等我讲完这道题，再问大家有没有明白，那个学生眼睛一下子亮了，大声说：“老师，我懂啦！”看着他那兴奋的样子，我心里也特别开心。
还有啊，二项式展开式中奇数项系数之和等于偶数项系数之和，都等于 $2^{n-1}$ 。
这个结论有时候能让一些复杂的计算变得简单不少。
在解题的时候，咱们得灵活运用这些结论。
比如说，让你求二项式展开式中某一项的系数，或者让你证明一些和二项式系数相关的等式，这时候这些常用结论就能派上大用场啦。
咱再来说说二项式定理在实际生活中的应用。
你别觉得这只是数学课本里的枯燥知识，其实在很多领域都能看到它的影子。
比如说在概率统计里，计算某些事件发生的概率可能就会用到二项式定理。
还有啊，在计算机算法里，二项式定理也能帮助优化一些计算过程。
就像咱们平时用手机、电脑，背后的程序运行说不定就有它的功劳呢。
总之，二项式定理公式的常用结论虽然看起来有点复杂，但只要咱们多做几道题，多琢磨琢磨，就能熟练掌握，让它成为咱们解决数学问题的有力工具。
二项式定理
二项式定理要点一：二项式定理1.定义一般地,对于任意正整数n ,都有：nn n r r n r n n n n n n b C b a C b a C a C b a +++++=+-- 110)((*N n ∈)，这个公式所表示的定理叫做二项式定理，等号右边的多项式叫做n b a )(+的二项展开式。
式中的r n r r n C a b -做二项展开式的通项，用T r+1表示，即通项为展开式的第r+1项：1r n r r r n T C a b -+=，其中的系数r n C （r=0，1，2，…，n ）叫做二项式系数，2．二项式(a+b)n 的展开式的特点：(1)项数：共有n+1项，比二项式的次数大1；(2)二项式系数：第r+1项的二项式系数为r n C ，最大二项式系数项居中；(3)次数：各项的次数都等于二项式的幂指数n ．字母a 降幂排列，次数由n 到0；字母b 升幂排列，次数从0到n，每一项中，a，b 次数和均为n；3.两个常用的二项展开式：①011()(1)(1)n n n r r n r r n n nn n n n a b C a C a b C a b C b ---=-++-⋅++-⋅ (*N n ∈)②122(1)1n r r nn n n x C x C x C x x +=++++++ 要点二、二项展开式的通项公式公式特点：①它表示二项展开式的第r+1项，该项的二项式系数是r n C ；②字母b 的次数和组合数的上标相同；③a 与b 的次数之和为n。
要点诠释：（1）二项式(a+b)n 的二项展开式的第r+1项r n rr n C ab -和(b+a)n 的二项展开式的第r+1项r n r rn C b a -是有区别的，应用二项式定理时，其中的a 和b 是不能随便交换位置的．（2）通项是针对在(a+b)n 这个标准形式下而言的，如(a －b)n 的二项展开式的通项是1(1)r r n r rr n T C a b -+=-（只需把－b 看成b 代入二项式定理）。
二项式定理知识点总结
二项式定理知识点总结1．二项式定理公式：011()()n n n r n r rn nn n n n a b C a C a b C a b C b n N --*+=+++++∈,2．基本概念：①二项式展开式：右边的多项式叫做()na b +的二项展开式;②二项式系数:展开式中各项的系数rnC (0,1,2,,)r n =⋅⋅⋅. ③项数：共(1)r +项,是关于a 与b 的齐次多项式 ④通项：展开式中的第1r +项rn rr n C ab -叫做二项式展开式的通项;用1r n r rr nT C a b -+=表示; 3．注意关键点：①项数：展开式中总共有(1)n +项;②顺序：注意正确选择a ,b ,其顺序不能更改;()na b +与()nb a +是不同的;③指数：a 的指数从n 逐项减到0,是降幂排列;b 的指数从0逐项减到n ,是升幂排列;各项的次数和等于n .④系数：注意正确区分二项式系数与项的系数,二项式系数依次是012,,,,,,.rnn n n n n C C C C C ⋅⋅⋅⋅⋅⋅项的系数是a 与b 的系数包括二项式系数;4．常用的结论：令1,,a b x == 0122(1)()n r r n nn n n n n x C C x C x C x C x n N *+=++++++∈令1,,a b x ==- 0122(1)(1)()n r rn n nnn n n n x C C x C x C x C x n N *-=-+-+++-∈5．性质：①二项式系数的对称性：与首末两端“对距离”的两个二项式系数相等,即0,n n n C C =·1k k n n C C -=②二项式系数和：令1a b ==,则二项式系数的和为0122rnn nn n n n C C C C C ++++++=,变形式1221r nn n n n n C C C C +++++=-;③奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和：在二项式定理中,令1,1a b ==-,则0123(1)(11)0n nn n n n n n C C C C C -+-++-=-=,从而得到：0242132111222r r n n n n n n n n n C C C C C C C +-++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅=++++⋅⋅⋅=⨯=④奇数项的系数和与偶数项的系数和：0011222012012001122202121001230123()()1, (1)1,(1)n n n n n nnn n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n a x C a x C a x C a x C a x a a x a x a x x a C a x C ax C a x C a x a x a x a x a x a a a a a a x a a a a a a ----+=++++=+++++=++++=++++=++++=+---------=--+-++=-----024135(1)(1),()2(1)(1),()2n nn n nn a a a a a a a a a a a a ----++-++++=+---+++=⑤二项式系数的最大项：如果二项式的幂指数n 是偶数时,则中间一项的二项式系数212n nn C T +=取得最大值;如果二项式的幂指数n 是奇数时,则中间两项的二项式系数1212n nnT C--=,1212n nn CT ++=同时取得最大值,且2121+-=n nn n C C; ⑥系数的最大项：求()na bx +展开式中最大的项,一般采用待定系数法;设展开式中各项系数分别为121,,,n A A A +⋅⋅⋅,设第1r +项系数最大,应有112r rr r A A A A +++≥⎧⎨≥⎩,从而解出r 来;。
二项式定理
① ②
限时规范训练
反思感悟：善于总结，养成习惯 本题采用的是“赋值法”，它普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，在解有关问 题时，经常要用到这种方法．对形如(ax＋b)n、(ax2＋bx＋c)m(a，b，c∈R，m，n∈ N*)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令 x＝1 即可；对(ax＋ by)n(a，b∈R，n∈N*)的式子求其展开式各项系数之和，只需令 x＝y＝1 即可．
n 是偶数，则中间一项第2＋1 项的二项式系数最
n＋1 n＋1 是奇数， 则中间两项第 项与第 ＋ 1 项的二项式系数相等且最大； 2 2
(2)求展开式系数最大的项，如求(a＋bx)n(a，b∈R)的展开式中系数最大的项，一般 是采用待定系数法．设展开式各项系数分别为 A1，A2，„，An＋1，且第 r 项系数最 Ar≥Ar－1 大，应用 解出 r 来，即得系数最大的项． A ≥ A ＋ r r 1
11－r≥2r， 8 11 即 解得 ≤r≤ . 3 3 2r＋1≥10－r， ∵r∈Z，∴r＝3，故系数的绝对值最大的是第 4 项， T4＝－C3 27· x4＝－15 360x4. 10·
考基联动 考向导析
限时规范训练
反思感悟：善于总结，养成习惯 (1)求二项式系数最大的项：如果 n 大； 如果 n
考基联动
考向导析
限时规范训练
迁移发散 1．(x－y) 的展开式中，x y 的系数与 x y 的系数之和等于________．
3 7 3 7 3 7 解析：T4＝－C10x y ，T8＝－C10x y ， 10 7 3 3 7
则 x7y3 与 x3y7 的系数之和为－2C3 10＝－240.故填－240. 答案：－240
二项式定理(通项公式)
二项式定理二项式知识回顾1. 二项式定理0111()n n n k n k kn nn n n n a b C a C a b C a b C b --+=+++++,以上展开式共n+1项，其中k n C 叫做二项式系数，1k n k kk n T C a b -+=叫做二项展开式的通项.（请同学完成下列二项展开式）0111()(1)(1)n n n k k n k kn n n n n n n a b C a C a b C a b C b ---=-++-++-，1(1)k k n k kk n T C a b -+=-01(1)n k kn nn n n n x C C x C x C x +=+++++ ① 0111(21)(2)(2)(2)(2)1n n n k n k n n n n n x C x C x C x C x ---+=+++++1110n n n k n n n k a x a x a x a x a ----=+++++ ②① 式中分别令x=1和x=-1，则可以得到 012n n n n n C C C +++=，即二项式系数和等于2n；偶数项二项式系数和等于奇数项二项式系数和，即021312n n n n n C C C C -++=++=② 式中令x=1则可以得到二项展开式的各项系数和.2. 二项式系数的性质（1）对称性：与首末两端等距离的两个二项式系数相等，即m n mn n C C -=.（2）二项式系数kn C 增减性与最大值： 当12n k +<时，二项式系数是递增的；当12n k +≥时，二项式系数是递减的. 当n 是偶数时，中间一项2nnC 取得最大值.当n 是奇数时，中间两项12n nC -和12n nC+相等，且同时取得最大值.3.二项展开式的系数a 0,a 1,a 2,a 3,…,a n 的性质：f(x )= a 0+a 1x +a 2x 2+a 3x 3……+a n x n⑴ a 0+a 1+a 2+a 3……+a n =f(1)⑵ a 0-a 1+a 2-a 3……+(-1)na n =f(-1) ⑶ a 0+a 2+a 4+a 6 (2)1()1(-+f f⑷ a 1+a 3+a 5+a 7……=2)1()1(--f f经典例题1、“n b a )(+展开式：例1．求4)13(xx +的展开式；【练习1】求4)13(xx -的展开式2.求展开式中的项例2.已知在n 的展开式中，第6项为常数项.（1） 求n ； （2）求含2x 的项的系数；（3）求展开式中所有的有理项.【练习2】若n 展开式中前三项系数成等差数列.求：（1）展开式中含x 的一次幂的项；（2）展开式中所有x 的有理项.3.二项展开式中的系数例3.已知22)n x 的展开式的二项式系数和比(31)nx -的展开式的二项式系数和大992，求21(2)nx x-的展开式中：（1）二项式系数最大的项；（2）系数的绝对值最大的项[练习3]已知*22)()n n N x∈的展开式中的第五项的系数与第三项的系数之比是10：1.(1)求展开式中含32x 的项；(2)求展开式中系数最大的项和二项式系数最大的项.4、求两个二项式乘积的展开式指定幂的系数例4．72)2)(1-+x x （的展开式中，3x 项的系数是 ；5、求可化为二项式的三项展开式中指定幂的系数例5（04安徽改编）3)21(-+xx 的展开式中，常数项是 ；6、求中间项例6求（103)1xx -的展开式的中间项；例7 103)1(xx -的展开式中有理项共有 项；8、求系数最大或最小项（1） 特殊的系数最大或最小问题例8（00上海）在二项式11)1(-x 的展开式中，系数最小的项的系数是 ；（2） 一般的系数最大或最小问题 例9求84)21(xx +展开式中系数最大的项；（3） 系数绝对值最大的项例10在（7)y x -的展开式中，系数绝对值最大项是 ；9、利用“赋值法”及二项式性质3求部分项系数，二项式系数和例11．若443322104)32(x a x a x a x a a x ++++=+， 则2312420)()(a a a a a +-++的值为 ；【练习1】若2004221020042004...)21(x x a x a a x ++++=-， 则=++++++)(...)()(200402010a a a a a a ；【练习2】设0155666...)12(a x a x a x a x ++++=-， 则=++++6210...a a a a ；【练习3】92)21(xx -展开式中9x 的系数是 ；。
二项式定理
(2)∵Tr＋1＝34C20rx20－ryr(r＝0,1,2，„，20)系数为有理数， ∴r＝0,4,8,12,16,20，共 6 项．
[答案] (1)－5 (2)6
r
a 1．(2010· 陕西高考)(x＋x)5(x∈R)展开式中 x3 的系数为 10，则实数 a 等于( ) C．1 D．2
解析：A－B＝(3－1)7＝27＝128.
答案：128
5 ．已知 (1 － 2x)7 ＝ a0 ＋ a1x ＋ a2x2 ＋„＋ a7x7 ，那么 a1 ＋ a2 ＋ a3
＋„＋a7＝________.
解析：令x＝1，则a0＋a1＋a2＋„＋a7＝－1，
又令x＝0，则得a0＝1，
所以a1＋a2＋a3＋„＋a7＝－1－1＝－2. 答案：－2
解析：二项式系数之和 2 ＝64，则
2k n k 6－k 1 n＝6，Tk＋1＝C6 · x ·k＝C6kx6－
x
，当 6－2k＝0 时，即 k＝3 时为常数项，T3＋1＝C63＝20.
答案：B
4．设A＝37＋C7235＋C7433＋C763 ，B＝C7136＋C7334＋C7532＋
1，则A－B＝________.
解得 n＝8 或 n＝－3(舍去)． (1)令 x＝1 得各项系数的和为(1－2)8＝1.
(2)通项公式 Tr＋1＝C8 · ( x)
r
8－r
8－r 2 r r r · (－x2) ＝C8 · (－2) · x 2 －2r，
3 3 8－r 3 令 2 －2r＝2，则 r＝1，故展开式中含 x2的项为 T2＝－16x2.
二项式定理
1.能用计数原理证明二项式定理．
2．会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单
二项式定理
2、各项中a的指数从n起依次减小
1，到
0为止
各项中b的指数从0起依次增加 1，到 n为止
3、Cnr （r=0，1，2，…n）________ 二项式系数
1、二项式定理： 二项式定理：
(a + b) = C a + C a b + ⋯+ C a b + ⋯+ C b
(a+b)4 = C40 a4 ＋C41 a3b ＋ C42 a2b2 ＋ C43 ab3 ＋ C44 b4
二项展开式 一般地，对于n ∈ N*有 一般地，
(a+b)n = Cn0 an +Cn1 an-1b +
… +C
r n
an-r br +… +Cnn bn
右边的多项式叫做(a+b)n的二项展开式． 二项展开式．
n 0 n n
1 n−1 r n−r r n n n n 1、r不是项数，r+1才是项数 n 不是项数，
2、通项公式： 通项公式： Cnr an-rbr________二项展开式的通项， 二项展开式的通项，
r Tr + 1 = C n a n − r b r , ( r = 0 ,1, 2 , ⋯ n )
r Tr + 1 = C n b n − r a r
r Tr + 1 = ( − 1 ) r C n a n − r b r
（1 + x） = 1 + C x + C x + ⋯ + C x + ⋯ + C x
r n r n n
3、特例：设a=1，b=x，则得到公式 特例：
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二项式定理
天津四中
李萍
2008年3月31日
课题：二项式定理
第一课时：二项展开式及通项公式
一、教学目标
（1）知识与技能：理解二项式定理及其推导方法，掌握二项展开式的基本特征；
能应用二项式定理求二项展开式，能运用展开式中的通项公
式求展开式中的特定项．
（2）过程与方法：通过二项式定理的推导过程理解从特殊到一般的思维方法，
培养学生的观察归纳能力、抽象思维能力和逻辑思维能力．
（3）情感与价值观：通过本节学习，进一步培养提高学生的归纳推理能力，树
立由特殊到一般的归纳以及探究意识．
二、教学重、难点：
教学重点：用两个计数原理分析
2)b a +（的展开式，归纳得出二项式定理，并能用计数原理证明；掌握二项式的通项公式；能应用它解决简单问题．
教学难点：用两个计数原理分析
2)b a +（的展开式，并能用计数原理证明． 三、教学方法与手段：
1. 教学方法：诱导启发、自主探究的互助式教学方法．
2. 教学工具：多媒体辅助教学．
四、教学过程设计:
1．创设情境 引入新课:
问题1：今天是星期一，那么8天后的这一天是星期几呢？若23天后的这一天
呢？若82008天后的这一天呢？
设计意图：通过学生所熟知的问题情境引入本节课的教学内容，提高学生的学习
兴趣和学习热情，达到有效教学的目的．
2．探索研究
由
2222)b ab a b a ++=+（ 3223333)(b ab b a a b a +++=+
当时是利用多项式乘法法则依次展开，遇到同类项加以合并得到的．那么对于
4)b a +（，
5)b a +（的展开式，以至于 100)b a +（展开式还能用这个方法得到吗？分析
2)b a +（展开过程： 设计意图：引导学生将
2)b a +（的展开式与两个计数原理联系起来，分析展开式项的形式及各项前的系数，用组合数表示
2)b a +（展开式的系数．
思 考： 同学们能否求出
4)b a +（展开式？由此同学们能否进一步得出n b a )+（的展开式？
设计意图：巩固已有思想方法，建立猜想二项式定理的认知基础．
3．归纳提高：
归纳得出：
(a+b)n =0n C a n +1n C a n-1b+…+k k n k n b a C - +…+n n C b n (n ∈N *
) 并给出简单证明．
[指出]：上述这个公式所表示的定理叫做二项式定理，左边
n b a )+（这个式子叫二项式，右边多项式叫做n b a )+（的二项展开式．其中各项的系数k n C (k
＝0，1，2，…n)称为二项式系数，式中的k k n k n
b a C -叫做二项展开式的通项，它是第k+1项，用1+k T 表示．
引导学生归纳二项展开式的特征？
1、项数特征：展开式共有n+1项．
2、各项的次数都等于二项式的幂指数n,即a 与b 的指数的和为n ．
3、字母a 按降幂排列，从第一项开始，次数由n 逐项减1直到0；字母b 按升
幂排列，从第一项开始，次数由0逐项增1直到n ．
4、二项式的系数从0n C ，1n C ，直到n n C ．
设计意图：培养学生归纳总结的能力，加强由特殊到一般的数学思想的渗透．
4．例题讲解
例1、 展开4)11(x
+． 例2、 求和 例3、 展开6)1
2(x x -，并求第三项的二项式系数及第三项系数．
例4、 （1）求7)21(x +的展开式的第4项的系数．
（2）求9)1(x
x -的展开式中3x 的系数． 设计意图：熟悉定理，简单应用．通过巩固练习，达到知识的内化．．
5．课堂练习
6．小结：
本节课主要学习二项式定理的探求及其简单的应用，特别是探求过程中所使用特殊到一般的思想方法很重要，此外还有注意二项式系数与系数的区别以及.
2221010102102110010C C C C +⋅⋅⋅+++
k k n k n b a C 是第k+1项不是第k 项．
7．课后作业：P36 1，2，3，4
8．板书设计
9．课后反思：。