概率统计基础知识讲义
《概率与统计初步》课件
贝叶斯定理与后验概率
贝叶斯定理
贝叶斯定理是概率论中的一个基 本定理，它提供了在给定一些证 据的情况下，更新某个事件发生 的概率的方法。
后验概率
后验概率是指在考虑了一些新的 证据后，对某个事件发生的概率 的重新评估。
贝叶斯推断
01
贝叶斯推断是一种基于贝叶斯定 理的统计推断方法，它利用先验 知识和样本信息来估计未知参数 的后验概率分布。
总结词
非线性回归分析适用于因变量和自变量之间存在非线性关系的情况，提供了更广泛的模 型选择。
详细描述
非线性回归分析允许我们探索非线性关系，这意味着因变量和自变量之间的关系不是直 线关系。这种方法提供了更多的灵活性，可以更好地适应各种数据分布和关系，但也需
要更多的数据和更复杂的模型来拟合数据。
04
贝叶斯统计
假设检验的概念
假设检验是根据样本数据对总 体参数或分布进行推断的过程
。
假设检验的基本步骤
提出假设、构造检验统计量、 确定临界值、做出决策。
单侧检验与双侧检验
根据假设的类型，假设检验可 分为单侧检验和双侧检验。
假设检验的局限性
假设检验依赖于样本数据和假 设的合理性，可能存在误判的
风险。
方差分析
方差分析的概念
03
回归分析
一元线性回归
总结词
一元线性回归是回归分析中最基础的形式，它探讨一个因变 量与一个自变量之间的关系。
详细描述
一元线性回归分析通过建立线性方程来描述两个变量之间的 关系，通常表示为y = ax + b，其中a是斜率，b是截距。这 种方法可以帮助我们了解一个变量如何随着另一个变量的变 化而变化，并可以用于预测和解释数据。
多元线性回归
概率统计基础知识--简略版
（a）A-B
（b）A-B（ A B ）
事件运算性质：
—— 交换律：A B B A ，A B B A —— 结合律 A B C A B C 运算相同：
A B C A B C
—— 分配律 A B C A B A C 运算不同：
事件H=“两次抽到的结果一致” ={(0,0), (1,1)} 若这批产品10000件中合格品与不合格品各占一半，且产品分布均匀随机，则 • P（A）=？ • P（B）=？ • P（C）=？ • P（H）=？ 若批产品总数10000件中不合格品有2000件，结果会怎样呢？
2016/4/16 中级概率1 19
在一个随机现象中有两个事件A与B，若 事件A与B没有相同的样本点，则称A与B互不 相容。
可推广到三个或更多个事件间的互不相容
—— 相等：A=B即AB且B A 两个随机事件A与B，若样本A与B含有相同的 样本点，则称事件A与B相等。
投掷骰子2次：A={（x，y）：x + y =奇数} B={（x，y）：x与y的奇偶性不同} 则： A=B= (1,2),(1,4),(1,6),(2.1),(2,3),(2,5) (3,2),(3,4),(3,6)…
2016/4/16
中级概率1
25
三、概率的性质及其运算法则 概率的性质：（可由概率的定义看出）
—— 性质1：对任意事件A，有0≤P(A)≤1；
—— 性质2： P ( A) 1 P ( A)
—— 性质3：若AB 则P（A-B）=P（A）-P（B）
三、概率的性质及其运算法则 概率的性质：（可由概率的定义看出） —— 性质4：P（A∪B）=P（A）+P（B）-P（AB）
概率与统计的基础知识
概率与统计的基础知识统计学是一门研究如何收集、整理、分析、解释和呈现数据的学科。
概率是统计学的基础，它被用来描述和分析在不同情况下事件发生的可能性。
本文将介绍概率与统计的基础知识，包括概率的定义、概率的计算方法、统计的概念以及统计的应用。
一、概率的定义概率是描述事件发生可能性的数值，它介于0到1之间。
0表示事件不可能发生，1表示事件一定发生。
根据概率的定义，我们可以得出以下公式：P(A) = n(A) / n(S)其中，P(A)表示事件A发生的概率，n(A)表示事件A包含的有利结果的数量，n(S)表示样本空间中可能结果的总数。
二、概率的计算方法1. 经典概率经典概率又称为古典概率，适用于样本空间中所有可能结果都是等可能发生的情况。
在这种情况下，事件A发生的概率可以通过以下公式计算：P(A) = n(A) / n(S)2. 相对频率概率相对频率概率是通过实验的结果来估计概率的方法。
通过多次实验，统计事件A发生的次数，然后将次数除以总实验次数，即可得到相对频率概率。
3. 主观概率主观概率是个体主观判断下对事件发生概率的估计。
它是依据经验、直觉和专业知识来进行的估计。
三、统计的概念统计是利用数据进行推断、决策和预测的过程。
在统计学中，数据被分为两种类型：定性数据和定量数据。
1. 定性数据定性数据是用于描述某种特征或属性的数据。
它通常用文字或符号进行表示，如性别、颜色、态度等。
2. 定量数据定量数据是用于表示数量或度量的数据。
它通常用数字进行表示，如身高、体重、温度等。
统计中的两个重要概念是总体和样本。
总体是指研究对象的全体，而样本是指从总体中随机选取的一部分。
四、统计的应用统计学在各个领域都有广泛的应用，以下是几个常见的应用领域：1. 生物统计学生物统计学是将统计学应用于生物学研究的领域。
它可以帮助研究人员分析生物实验数据、评估药物疗效以及研究遗传变异等。
2. 经济统计学经济统计学是将统计学应用于经济学研究的领域。
概率统计基础知识
X P
x1 p1
x2 p2
… …
xn pn
11
[例]掷两颗骰子，其样本空间为：
（1，1） （1，2） （1，3)
(1，4) (1，5)
(1，6)
（2，1） （2，2） （2，3)
Ω＝
(2，4) (2，5)
(2，6)
(3，1） （3，2） （3，3） （3，4 （3，5） （3，6） （4，1） （4，2） （4，3） （4，4 （4，5） （4，6）
2 2 2
= 1.91
σ(X) = 1.91
1/2
= 1.41
19
四 常用分布
（一）常用的离散分布
1、二项分布 二项分布可用来描述由n次随机试验组成的随机现象，它满足如下条件： 重复进行n次随机试验 n次试验相互独立，即一次试验结果不对其它试验结果产生影响
每次试验结果仅有两个可能结果
每次试验成功的概率为p，失败的概率为1－p 概率函数为：
∫b
σ ＝ σ（X） ＝ [Var(X)]
[x- E（X）] p(x)dx
2
若X是连续分布
方差的量纲是X的量纲的平方，为使表示分布散步大小的量纲与X的量纲相同，常对方差开平方， 记它的平方根为σ，并称它为X的标准差：
1/2
由于σ与X的量纲相同，在实际使用中更常使用标准差σ来表示分布散步大小，但它的计算通常 是要通过现计算方差，然后开方获得。
6
[例] 1 历史上抛硬币试验中正面出现频率
试验者 德●摩根 蒲丰 皮尔逊 皮儿孙 微尼
抛的次数n 2048 4040 12000 24000 30000
出现正面次数k 1061 2048 6019 12012 14994
概率与统计基础知识
概率与统计基础知识概率与统计是数学的一个分支，是研究不确定性的科学。
概率论主要研究随机现象，统计学则通过采样和分析数据来推断总体特征。
今天，我们将介绍一些概率与统计的基础知识，包括概率的定义、常见的概率分布以及统计学中的一些基本概念。
一、概率的定义概率是描述一个随机事件发生可能性的数值。
常用的概率定义有频率定义、古典概型以及主观概率等。
频率定义是指根据统计实验的结果来计算概率，即事件发生的次数与试验总次数的比值。
古典概型是指事件的每种可能结果发生的概率相等。
主观概率则是基于主观判断和经验估计得出的概率。
二、常见的概率分布1. 均匀分布：均匀分布是概率分布中最简单的一种形式。
在一个区间内，每个数值的概率都是相等的。
例如，掷骰子的结果就是均匀分布。
2. 正态分布：正态分布也被称为高斯分布，它是自然界中非常常见的一种分布形式。
正态分布的特点是对称，其密度曲线呈钟形。
许多自然现象和统计数据都符合正态分布，如身高和成绩分布等。
3. 二项分布：二项分布适用于只有两个可能结果的独立重复实验。
例如，抛硬币的结果只有正面和反面两种可能，这时可以用二项分布来描述硬币正反面的概率。
4. 泊松分布：泊松分布用来描述单位时间或单位空间内事件发生的次数，如一天内接到的电话数量、某个时间段内停车场停车次数等。
三、统计学的基本概念1. 总体与样本：总体是指我们研究的对象的全体，样本是从总体中选取的一部分。
通过对样本的研究，我们可以推断总体的特征。
2. 参数与统计量：总体的特征可以用参数来表示，样本的特征则可以用统计量来估计。
例如，总体均值用μ表示，样本均值用x表示。
3. 抽样：抽样是指从总体中选择一定数量的个体作为样本的过程。
抽样是统计学中非常重要的一环，对样本的选择要具有代表性和随机性。
4. 假设检验：假设检验是统计学中用来推断总体特征的一种方法。
通过建立假设和进行显著性检验，我们可以判断某个结论是否具有统计学意义。
总结起来，概率与统计是研究随机现象的一门学科，它可以帮助我们了解事件发生的概率和推断总体特征。
概率论和统计学基础知识PPT课件
学习总结
经常不断地学习,你就什么都知道。你知道得越多,你就越有力量 Study Constantly, And You Will Know Everything. The More
You Know, The More Powerful You Will Be
结束语
当你尽了自己的最大努力时，失败也是伟大的， 所以不要放弃，坚持就是正确的。
• 本着目的性、联系性、简明性三大原则，统计整理可以分为3类，分别是定期统 计报表数据的整理、专题性统计数据的整理和历史统计数据的整理。
• 数据整理的一般过程有以下5部组成： • （1）对搜集到的资料进行全面审核，以确保统计资料符合统计研究目的的要求，
资料准确无误，这是数据整理的起点、也是数据分析的重要环节。 • （2）根据研究目和统计分析的需要，选择整理的标志，并进行划类分组，这部
2.4.2 数据的整理
• 统计整理：就是对搜集得到的初始数据进行审核、分组、汇总，使之条理化、 系统化，变成能反映总体特征的综合数据的工作过程，而且，对已整理过的资 料（包括历史资料）进行再加工也属于统计整理。统计整理是整个统计工作和 研究过程的中间环节，起着承前启后的作用，同时也是统计调查的继续，又是 统计分析的基础，还是积累历史资料的必要手段。
决于事物本身的特点。对于有些事物构成比较复杂，组数可多可少的情况， 就需要考虑统计研究任务的具体要求。人口统计时，性别比例的统计就属 于属性分组方法。 • 变量分组的方法：是按数量标志分组的方法，分组时各组数量界限的确定 必须能反映事物质的差别，而且，应根据被研究的现象总体的数量特征， 采用适当的分组形式，确定相宜的组距、组限。人口统计中的年龄结构计 算应属于变量分组方法的应用范畴。
面运用最多的有分布、t分布和F 3个比较重要的
概率与统计基础知识
06
参数估计与假设检验的应用
参数估计的应用
点估计
点估计是一种对总体参数的估计 方法，通过样本统计量作为总体 参数的近似值。例如，使用样本 平均值作为总体平均值的估计。
区间估计
区间估计是一种提供估计区间的 方法，该区间通常包含未知的总 体参数。例如，使用样本置信区
间来估计总体的真实值。
01
03
02 04
假设检验
假设检验的基本思想
假设检验是一种通过样本数据来检验关于总体参数的假设是否成立的方法。如 果样本数据与假设不一致，则拒绝该假设，否则接受该假设。
假设检验的步骤
假设检验通常包括以下步骤：提出假设、构造统计量、确定显著性水平、计算 临界值、做出决策。
03
随机变量及其分布
随机变量的概念与分布函数
概率
度量事件发生的可能性大小
事件的运算与概率的性质
事件的加法
两个事件至少有一个发生
概率的性质
非负性，规范性，可加性，可减性，乘法 公式，加法公式，全概率公式，贝叶斯公 式
事件的除法
两个事件不可能同时发生
事件的减法
两个事件至少有一个不发生
事件的乘法
两个事件同时发生
古典概型与伯努利概型
古典概型
有限个样本点，每个样本点出现 的可能性相等
随机变量
定义为样本空间中的函数，其值域为实数。随机变量用于描 述随机现象的结果。
分布函数
定义为一个实数函数，描述了随机变量取值小于或等于某个 特定值的概率。
离散型随机变量及其分布
离散型随机变量
其取值只能是一些离散的数值，例如掷硬币的结果（正面或反面）。
离散型分布
描述离散型随机变量的取值概率，例如二项分布、泊松分布等。
概率统计基础PPT课件
A .r=0
B．r=1
C．r<0
D．r>0
2021/6/20
8、10个产品中有3个不合格品，每次从中随机抽取一
个（取出后不放回）直到把3个不合格品都取出，至少
抽（A ）次才确保抽出所有不合格品。
A 13
B9
C8
D7
29
9、15个产品中有5个不合格品，每次从中随机抽取一
个（取出后不放回），直到把5个不合格品都取出，
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（五）样本数据的整理
从总体X中获得的样本是总体的一个缩影，需要对样本数据进
行加工，将有用信息提取出来，以便对总体有所了解。
对数据加工有两种方法：一是计算统计量；二是利用图形与
表格。
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三、正态概率纸 1、用来检验一组数据是否来自正态分布 2、在确认样本来自正态分布后，可在正态概率纸上作出正态 均值与正态标准差的估计 3、在确认样本来自非正态分布后，可对数据作变换后再在正 态概率纸上描点，若诸点近似在一条直线附近，则可认为变 换后的数据来自某正态总体，常用的变换有如下两个：
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（二）二项分布 1、重复进行 n 次试验； 2、 n 次试验间相互独立； 3、每次试验仅有两个可能结果； 4、成功的概率为p，失败的概率为1-p
在上述四个条件下，设x表示n次独立重复试验中成功出 现的次数，则有
P( X x) n p x (1 p)nx x 0,1,, n x
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（三）正态分布
1、正态分布的概率密度函数
p(x)
1
概率统计经典讲义
一、中心极限定理的客观背景 在实际问题中，常常需要考虑许多随
机因素所产生的总的影响.
例如：炮弹射击的落点与目标的偏差，就 受着许多随机因素的影响.
如瞄准时的误差， 空气阻力所产生的误差， 炮弹或炮身结构所引起的误差等等. 对我们来说重要的是这些随机因素的总影响.
自从高斯指出测量误差服从正 态分布之后，人们发现，正态分布 在自然界中极为常见.
则
n
Xi n
lim P{ i1
x}
x
1 e-t2 2dt(x)
n
n
- 2
定理1表明，当n充分大时，n个具有期望和方 差的独立同分布r.v.之和近似服从正态分布.
n
Xi n 近似
i1
~ N(0,1)
n
1 n
ni1
Xi
X
近似~/ n / nN(0,1)近似
X ~ N(,2/n)
定理2（Liapunov中心极限定理）
0.2
0.2
1 P{ X 14 0} 1 (0) 0.2
1 0.5 0.5
例２ 某单位有200部电话分机,每部电话约有5% 的时间要使用外线通话.设每部电话是否使用外线 通话是相互独立的.求该单位总机至少需要安装多 少条外线才能以90%以上的概率保证每部电话需 要使用外线时可以打通?
1 n
每箱产品的平均强度为 n i1 X i X
X =
X14=X14
2
0.2
近 似
~ N(0,1)
n 100
(1) P{X 14.5} P{X 14 14.514}
0.2
0.2
P{X 14 2.5}1 P{X 14 2.5}
0.2
概率讲义
概率讲义一、基础知识1、概率的意义一般地，在大量重复试验中，如果事件A 发生的频率mn 会稳定在某个常数p 附近，那么这个常数p 就叫做事件A 的概率。
2、事件和概率的表示方法如果在一次试验中，有n 种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A 包含其中的m 中结果，那么事件A 发生的概率为P （A ）=n m 3、确定事件和随机事件（1）确定事件必然发生的事件：在一定的条件下重复进行试验时，在每次试验中必然会发生的事件。
不可能发生的事件：有的事件在每次试验中都不会发生，这样的事件叫做不可能的事件。
（2）随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不放声的事件，称为随机事件（3）如果用P 表示一个事件A 发生的概率，则0≤P （A ）≤1；P （必然事件）=1； P （不可能事件）=0；4、列表法求概率（1）列表法用列出表格的方法来分析和求解某些事件的概率的方法叫做列表法。
（2）列表法的应用场合当一次试验要设计两个因素， 并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法。
5、树状图法求概率（1） 树状图法就是通过列树状图列出某事件的所有可能的结果，求出其概率的方法叫做树状图法。
（2）运用树状图法求概率的条件当一次试验要设计三个或更多的因素时，用列表法就不方便了，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树状图法求概率。
6、频率估计概率在随机事件中，一个随机事件发生与否事先无法确定，当我们做大量重复试验后，这个事件发生的频率呈现稳定性，可以用事件发生的频率作为这个事件发生的概率。
二、经典例题【例一】布袋中装有1个红球，2个白球，3个黑球，它们除颜色外完全相同，从袋中任意摸出一个球，摸出的球是白球的概率是【例二】若100个产品中有95个正品，5个次品，从中随机抽取一个，恰好是次品的概率是【例三】一个袋中有4个珠子，其中2个红色，2个蓝色，除颜色外其余特征均相同，若从这个袋中任取2个珠子，都是蓝色的概率是( ) A.12 B.13 C.14 D.16【例四】甲、乙两袋均有红、黄色球各一个，分别从两袋中任意取出一球， 那么所取出的两球是同色球的概率为（ ）A ．B ．C ．D ． 【例五】汶川大地震时，航空兵空投救灾物质到指定的区域（圆A ）如图所示，若要使空投物质落在中心区域（圆B ）的概率为12，则B ⊙与A ⊙的半径之比为 ．【例六】下面是两个可以自由转动的转盘，每个转盘被分成了三个相等的扇形，小明和小亮用它们做配紫色（红色与蓝色能配成紫色）游戏，你认为配成紫色与配不成紫色的概率相同吗?【例七】桌面上放有4张卡片，正面分别标有数字1，2，3，4，这些卡片除数23121316字外完全相同，把这些卡片反面朝上洗匀后放在桌面上，甲从中任意抽出一张，记下卡片上的数字后仍放反面朝上放回洗匀，乙从中任意抽出一张，记下卡片上的数字，然后将这两数相加；（1）请用列表或画树状图的方法求两数和为5的概率；（6分）（2）若甲与乙按上述方式作游戏，当两数之和为5时，甲胜；反之则乙胜；若甲胜一次得12分，那么乙胜一次得多少分，这个游戏对双方公平吗？三、中考真题1、（2013，陕西）甲、乙两人用手指玩游戏，规则如下：ⅰ）每次游戏时，两人同时随机地各伸出一根手指；ⅱ）两人伸出的手指中，大拇指只胜食指、食指只胜中指、中指只胜无名指、无名指只胜小拇指、小拇指只胜大拇指，否则不分胜负.依据上述规则，当甲、乙两人同时随机的各伸出一根手指时，（1）求甲伸出小拇指取胜的概率；（2）求乙胜出的概率.2、（2012，陕西）小峰和小轩用两枚质地均匀的骰子做游戏，规则如下：每人随机掷两枚骰子一次（若掷出的两枚骰子摞在一起，则重掷），点数和大的获胜；点数和相同为平局．依据上述规则，解答下列问题：（1）随机掷两枚骰子一次，用列表法求点数和为2的概率；（2）小峰先随机掷两枚骰子一次，点数和是7，求小轩随机掷两枚骰子一次，胜小峰的概率．（骰子：六个面分别刻有1、2、3、4、5、6个小圆点的立方块．点数和：两枚骰子朝上的点数之和．）3、(2013，临沂)如图，在平面直角坐标系中,点A1 ，A2在x轴上，点B1，B2在y轴上，其坐标分别为A1(1，0),A2(2,0),B1(0,1)，B2（0,2），分别以A1A2B1B2其中的任意两点与点．．O．为顶点作三角形，所作三角形是等腰三角形的概率是（A） 34. (B)13.(C) 23. (D)12.4、(2013，武汉)袋子中装有4个黑球和2个白球，这些球的形状、大小、质地等完全相同，在看不到球的条件下，随机地从袋子中摸出三个球．下列事件是必然事件的是（）A．摸出的三个球中至少有一个球是黑球．B．摸出的三个球中至少有一个球是白球．C．摸出的三个球中至少有两个球是黑球．D．摸出的三个球中至少有两个球是白球．5、（2013聊城）下列事件：①在足球赛中，弱队战胜强队．②抛掷1枚硬币，硬币落地时正面朝上．③任取两个正整数，其和大于1④长为3cm，5cm，9cm的三条线段能围成一个三角形．其中确定事件有（）A．1个B．2个C．3个D．4个6、（2013•恩施州）如图所示，在平行四边形纸片上作随机扎针实验，针头扎在阴影区域内的概率为（）A．B．C．D．7、（2013，菏泽）某小区为了促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余、可回收和其他三类，分别记为a，b，c，并且设置了相应的垃圾箱，“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱和“其他垃圾”箱，分别记为A，B，C．（1）若将三类垃圾随机投入三类垃圾箱，请用画树状图的方法求垃圾投放正确的概率；（2）为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了该小区三类垃圾箱中总1 000吨生活垃圾，数据统计如下（单位：吨）：8、（2013，温州）一个不透明的袋中装有5个黄球，13个黑球和22个红球，它们除颜色外都相同．（1）求从袋中摸出一个球是黄球的概率；（2）现从袋中取出若干个黑球，并放入相同数量的黄球，搅拌均匀后使从袋中摸出一个是黄球的概率不小于，问至少取出了多少个黑球？四、练习题1、在一个不透明的布袋中装有3个白球和5个红球，它们除了颜色不同外，其余均相同．从中随机摸出一个球，摸到红球的概率是（）2、在一个不透明的盒子里，装有4个黑球和若干个白球，它们除颜色外没有任何其他区别，摇匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复，共摸球40次，其中10次摸到黑球，则估计盒子中大约有白球（）A．12个B．16个C．20个D．30个3、下列叙述正确的是（）A．“如果a，b是实数，那么a+b=b+a”是不确定事件B．某种彩票的中奖概率为，是指买7张彩票一定有一张中奖C．为了了解一批炮弹的杀伤力，采用普查的调查方式比较合适D．“某班50位同学中恰有2位同学生日是同一天”是随机事件4、一项“过关游戏”规定：在过第n关时要将一颗质地均匀的骰子（六个面上分别刻有1到6的点数）抛掷n次，若n次抛掷所出现的点数之和大于n2，则算过关；否则不算过关，则能过第二关的概率是（）A．1318B．518C．14D．195、从1到9这九个自然数中任取一个，是偶数的概率是（）A．B．C．D．6、如图，正方形ABCD是一块绿化带，其中阴影部分EOFB，GHMN都是正方形的花圃．已知自由飞翔的小鸟，将随机落在这块绿化带上，则小鸟在花圃上的概率为（）A．B．12C．D．7、有三张正面分别标有数字：﹣1，1，2的卡片，它们除数字不同外其余全部相同，现将它们背面朝上，洗匀后从中抽出一张记下数字，放回洗匀后再从中随机抽出一张记下数字．（1）请用列表或画树形图的方法（只选其中一种），表示两次抽出卡片上的数字的所有结果；（2）将第一次抽出的数字作为点的横坐标x，第二次抽出的数字作为点的纵坐标y，求点（x，y）落在双曲线上y=上的概率．8、某班有50位学生，每位学生都有一个序号，将50张编有学生序号（从1号到50号）的卡片（除序号不同外其它均相同打乱顺序重新排列，从中任意抽取1张卡片（1）在序号中，是20的倍数的有：20，40，能整除20的有：1，2，4，5，10（为了不重复计数，20只计一次），求取到的卡片上序号是20的倍数或能整除20的概率；（2）若规定：取到的卡片上序号是k（k是满足1≤k≤50的整数），则序号是k 的倍数或能整除k（不重复计数）的学生能参加某项活动，这一规定是否公平？请说明理由；（3）请你设计一个规定，能公平地选出10位学生参加某项活动，并说明你的规定是符合要求的．。
《概率与统计初步》课件
时间序列分析在许多领域都有应用，如金融、经济、气象 、水文等。
06 案例分析
概率论在日常生活中的应用
概率论在保险业中的应用
保险公司在制定保费和赔偿方案时，需要利用概率论来评估风险 和计算预期损失。
概率论在赌博游戏中的应用
概率论在赌博游戏中也起着重要作用，例如在扑克牌和骰子游戏中 ，玩家需要运用概率计算胜算。
假设检验是统计推断的重要方法，它通过检验假设来决定是否接受或 拒绝某一假设。
时间序列分析在金融市场预测中的应用
移动平均线
移动平均线是一种常见的时间序 列分析工具，它通过计算过去一 段时间内的平均价格来平滑市场 波动。
指数平滑
指数平滑是一种时间序列预测方 法，它通过赋予近期数据更大的 权重来调整预测值。
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THANKS
01
连续随机变量是在一定范围内可以连续取值的随机变量，其取
值是连续的。
连续随机变量的概率分布
02
连续随机变量的概率分布通常用概率密度函数（PDF）表示，
Байду номын сангаас
它给出了在任意区间内取值的概率。
常见的连续随机变量
03
常见的连续随机变量包括正态分布、均匀分布等。
随机变量的期望与方差
期望的定义与计算
期望是随机变量所有可能取值的概率加权和，用于描述随机变量的平均水平。对于离散 随机变量，期望值E(X)表示为E(X)=∑xp(x)xtext{E}(X) = sum x p(x)xE(X)=x∑p(x)；对 于连续随机变量，期望值E(X)表示为E(X)=∫−∞∞xf(x)dxE(X) = int_{-infty}^{infty} x
f(x) dxE(X)=∫−∞∞xf(x)d。
第一章概率统计基础知识PPT课件
例题
从20件产品中抽取5件，有2件不合格品的 概率，其中20件中有3件不合格品
从一批产品中抽取100件，抽到3件不合格 品的概率，其中不合格品率为5%
p17
43
概率的性质
P（ ø）=0 P（ Ω）=1 P（A）在0和1之间 对立事件的概率 独立事件的概率 全概率公式 条件概率
20
例题
随机抽取3件产品，至少一件合格品 随机抽取3件产品，3件全是废品
21
例题
随机抽取3件产品，至少一件合格品 随机抽取3件产品，3件全是废品 互不相容
22
例题
A抽10件产品不合格品不多于5件 B抽10件产品不合格品多于7件
AB AB= BA 互不相容
23
例题
A抽10件产品不合格品不多于5件 B抽10件产品不合格品多于7件
样本空间的最大子集 样本空间的最小子集
11
随机事件的特点
为Ω的一个子集 ω1属于A， ω1发生 ， A发生 ω2不属于A ω2发生，A不发生 可用集合表示，也可以用语言表示
A
ω2
Ω
12
例题
抽取2件产品，至少有1件不合格品的事件
13
例题
抽取2件产品，至少有1件不合格品的样本点 Ω （0，0）（0，1）（1，0）（1，1） A （0，1）（1，0）（1，1）
31
排列（放回取样）
从6个产品中取2个 6ⅹ6=36
32
排列（不放回取样）
从6个产品中取2个排队 6ⅹ5=30
33
取样
从100个产品中取5个 100ⅹ99ⅹ98ⅹ97ⅹ96 nⅹ（n-1) ⅹ(n-2) ⅹ(n-3) ⅹ(n-4)
ⅹ(n-5+1)
概率与统计的基础知识
概率与统计的基础知识概率与统计是数学中重要的分支，它们研究的是随机现象的规律性和不确定性问题。
概率论主要关注各种可能事件发生的可能性大小，而统计学则专注于数据的收集、分析和解释。
两者相辅相成，是现代科学研究和实践中不可或缺的工具。
本文将介绍概率与统计的基础知识，分别从概率的基本原理和统计的概念与应用等方面展开论述。
一、概率的基本原理概率是描述随机事件发生可能性的一种数学工具。
它可以用来计算某个事件发生的概率大小。
概率的基本原理包括古典概率和统计概率两种。
1. 古典概率古典概率是基于古典概率论的理论基础。
它适用于对于事物属性已知、样本空间有限且各样本等可能出现的情况。
古典概率的计算公式为：P(A) = m / n，其中A为事件，m为事件A的样本数，n为样本空间的总样本数。
2. 统计概率统计概率是基于统计学理论的概率推断方法。
它适用于对于事物属性未知、样本空间无限大的情况。
统计概率的计算方法一般通过频率来估计。
当事件发生的次数在大量试验中逐渐趋近于一个固定值时，这个固定值即为事件的统计概率。
二、统计的概念与方法统计学是研究收集、分析和解释数据的科学。
它通过利用样本数据做出对总体特征的推断，从而对实际问题进行分析和决策。
1. 数据的收集与整理统计的第一步是数据的收集与整理。
数据可以是定量数据也可以是定性数据。
定量数据指可以用数值来度量的观察值，如身高、体重等；定性数据指描述性质的观察值，如性别、颜色等。
在收集数据时，应做到全面、准确和可靠。
2. 描述统计与推论统计描述统计是以图表、指标等方式对收集到的数据进行总结和描述，以便直观地反映数据的分布特征。
推论统计则是通过样本数据推断总体特征，并对研究对象进行推断和预测。
3. 参数估计与假设检验参数估计是根据样本数据对总体参数的取值区间进行估计，判断总体参数的值是否落在该区间之中。
假设检验是根据样本数据对研究对象的某个特征提出假设，并在一定的显著性水平下进行判断。
概率与统计基本知识点总结
概率与统计基本知识点总结1.概率理论：概率的定义：概率是描述随机事件发生可能性的数值，通常用介于0和1之间的数表示。
概率的基本性质：概率值在0到1之间，且所有可能事件的概率之和为1事件的独立性：两个或多个事件相互独立，意味着一个事件的发生不受其他事件发生与否的影响。
加法法则：若A和B是两个事件，则它们联合发生的概率等于它们各自发生的概率之和减去它们同时发生的概率。
乘法法则：对于两个独立事件A和B，它们同时发生的概率等于它们各自发生的概率之积。
条件概率：事件A在事件B发生的条件下发生的概率，表示为P(A，B)。
贝叶斯定理：根据已知的条件概率，求解另一个条件概率的计算公式。
2.随机变量与概率分布：随机变量：将随机事件的结果映射到实数上的变量。
离散型随机变量：取有限个或可数个值的随机变量。
连续型随机变量：取任意实数值的随机变量。
概率分布：描述随机变量取各个值的概率的函数。
离散型概率分布：包括离散均匀分布、二项分布、泊松分布等。
连续型概率分布：包括连续均匀分布、正态分布、指数分布等。
期望：随机变量的平均值，反映其分布的中心位置。
方差：随机变量偏离其均值的程度，反映其分布的离散程度。
3.统计推断：总体与样本：总体是指研究对象的全体，样本是从总体中抽取的一部分个体。
参数与统计量：总体的数值特征称为参数，样本的数值特征称为统计量。
抽样分布：样本统计量的概率分布。
中心极限定理：在一定条件下，样本容量足够大时，样本的均值近似服从正态分布。
置信区间：用样本统计量作为总体参数的估计范围。
假设检验：通过对样本数据的分析，判断总体参数是否满足其中一种假设。
概率与统计的基础知识点总结
概率与统计的基础知识点总结一、概率的基本概念概率是研究随机现象中数量规律的数学分支。
在日常生活中，我们经常会遇到各种不确定的情况，比如掷骰子出现的点数、明天是否会下雨等，这些都可以通过概率来进行描述和分析。
首先，随机试验是指在相同条件下可以重复进行，并且每次试验的结果不止一个，且事先不能确定的试验。
例如，抛硬币就是一个随机试验，因为每次抛硬币出现正面或反面的结果是不确定的。
样本空间是随机试验中所有可能结果组成的集合。
例如，抛一次硬币，样本空间就是{正面，反面}。
随机事件是样本空间的子集，即随机试验中可能出现也可能不出现的结果。
比如，抛硬币出现正面就是一个随机事件。
事件的概率是指在大量重复试验中，该事件发生的频率稳定在某个常数附近，这个常数就称为该事件的概率。
概率的取值范围在 0 到 1 之间，0 表示不可能事件，1 表示必然事件。
二、概率的计算方法1、古典概型古典概型是一种最简单的概率模型，具有以下特点：试验的样本空间有限；每个样本点出现的可能性相等。
例如，从装有 5 个红球和 3 个白球的袋子中随机取出一个球，求取出红球的概率。
样本空间共有 8 个样本点（5 个红球和 3 个白球），取出红球的样本点有 5 个，所以取出红球的概率为 5/8。
计算古典概型的概率公式为：P(A) ＝ n(A) ／n(Ω)，其中 P(A)表示事件 A 的概率，n(A)表示事件 A 包含的样本点个数，n(Ω)表示样本空间的样本点总数。
2、几何概型几何概型是另一种常见的概率模型，适用于无限个样本点且每个样本点出现的可能性相等的情况。
比如，在一个时间段内等待公共汽车，假设公共汽车到达的时间是均匀分布的，求等待时间不超过 5 分钟的概率。
这时可以通过计算时间长度的比例来得到概率。
几何概型的概率计算公式为：P(A) ＝ m(A) ／m(Ω)，其中 m(A)表示事件 A 对应的区域长度（面积或体积），m(Ω)表示样本空间对应的区域长度（面积或体积）。
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对立事件
事件A 对立事件 A不发生 两者构成样本空间 Ω的对立事件是ø
事件的并
事件A 事件B AUB包括A和B的所有样本点 A与B至少一个发生 A或者B AUB=A+B-AB
事件的交
事件A 事件B 两个事件共同的样本点 A和B共同发生 AB A∩B
概率统计基础知识讲义
第五章 概率统计基础
内容
概率的基础知识 统计的基本概念 回归分析
第一节概率的基础知识
事件及其概率 二项分布与正态分布
一、事件及其概率
（一）随机现象
确定性现象 随机现象
随机现象
结果至少两个 结果不确定
随机现象的样本空间
样本空间Ω 样本点——每个结果 包括随机事件的所有结果 样本空间至少包含两个样本点
例题
X0 1 2 3 4 P 0.1 0.3 0.2 0.1
P（X=4） P（0〈X3）
二、二项分布与正态分布
（一）随机变量及其分布
随机变量 随机变量的分布
随机变量
表示随机现象结果的变量 X、Y表示 X、y表示随机变量的取值
离散型变量 连续型变量
离散型变量
由离差计算得到 应用更广泛
（五）样本数据的整理
频数分布表 直方图
频数分布表的步骤
极差（数据范围）R 最大值-最小值
根据样本量确定组数K（经验值） 确定组距h=R/K 确定组限和组中值 计算频数和频率 作图
直方图类型
频数直方图 频率直方图
直方图图示
横坐标为测量值，标出组限 纵坐标为频数或频率（等距分组时） 纵坐标为频数（频率）/组距的值（不等距
分组）
直方图的作用
分析数据的分布情况
直方图形状
对称形（很多测量型数据服从） 偏态（单侧公差、操作习惯、挑选后） 孤岛（生产条件发生变化） 平顶形（生产条件缓慢变化、多种生产条件
二、一元线性回归方程
一元线性回归方程
两个变量间的关系表达式
线性方程的假定
X自变量 因变量Y是随机变量 n组数据是独立的 Y的方差对所有x相等 Y的均值对x是线性的
掷嗀子
样本空间Ω={1 2 3 4 5 6}
随机事件 ： 点数小于7点 点数大于等于2点 点数大于7点
随机事件——点数小于7点
包含样本点 1，2，3，4，5，6 必然事件 包括所有样本点
样本空间的最大子集 用表示
随机事件——点数大于7
不包含样本点 不可能事件 样本空间的最小子集 用表示
用自然数表示 有限个取值点
离散型变量
进店人数 电视机故障数 桌面的瑕疵点 玻璃上的气泡数
连续型变量
取值为一个范围 寿命在1000到2000小时 取值有小数
连续型变量
工人工资 企业利润 产品尺寸 产品重量
随机变量的分布
随机变量的取值是什么 从包含4个不合格品的产品批中抽取10个产 品出现的不合格品数 01 2 3 4
（三）正态总体的无偏估计
总体均值的无偏估计 样本均值和样本中位数
样本方差是总体方差的无偏估计 样本标准差不是总体标准差的无偏估计 总体标准差的无偏估计有两个
用样本标准差估计s/c4 用样本极差估计R/d2
正态总体总体均值的无偏估计
均值使用了全部信息，更有效 中位数计算简单 n=1，2时，两者相同
（二）样本
随机性 独立性 样本个数有多个 样本数据已知的，形成统计量 样本指标是随机变量 用统计量推断总体参数
（三）统计量与抽样分布
统计量 由样本数据计算得到 不含未知参数
（四）常用统计量
描述中心位置的统计量 描述分散程度的统计量
有序样本
从小到大排列 表示方法x(1)
（三）正态分布
概率密度函数公式 正态分布形状 两个重要的参数 标准正态分布 分位数 概率计算 不合格品率的计算 正态分布的性质
正态分布
最常用的分布 大量加工数据服从正态分布
概率密度公式和意义
概率密度公式 取值从-到+ 概率密度与X轴形成的面积表示取值范围内
取值的概率为多少 概率和为1
离散型随机变量的分布
离散变量
X
0
P(x) 0.12
1 0.32
23
4
0.13
0.21
P（1<X<4）= P(X=3)=
离散随机变量
二项分布
连续型变量的分布
用概率密度函数表示 概率密度曲线在x轴上方 概率密度曲线与x轴围城的面积为1 横坐标是变量X的取值范围，X在范围上取
（二）相关系数
用来说明在线性相关的条件下，两个变量间 关系的密切程度和方向的统计指标
计算 含义
（x- )(y- )<0 （x- )(y- )>0
••
••
• ••
（x- )(y- )>0 • • • （x- )(y- )<0
••
相关系数的意义
p145
相关系数的检验
用样本的相关系数检验总体是否相关
检验数据是否服从正态分布步骤
形成有序样本 计算累计概率的估计值 描点 判断是否在一条直线上——正态分布
估计正态总体的均值和标准差
画出一条直线l 纵轴0.5处画一条水平线与直线l相交，从交
点下垂与横轴的交点处为均值估计值 从纵轴0.84处画一水平线与直线相交，从交
点下垂与横轴的交点是+ 横坐标两点之间是
P（AUB）=P（A）+P(B) 对立事件的概率 独立事件的交的概率
P（AB）=P（A）P（B）
样本空间及其概率
P（）=1
例题
一批产品有4个不合格品，抽到不合格品的概率 不合格品数 X 0 1 2 3 4
概率P(x) 0.1 0.2 0.3 0.3 0.1
抽到2到4个不合格品的概率 不合格品大于2的概率
对非正态总体的转换
常用的两个
对原始数据作对数变换y=lnx 对原始数据作倒数变换y=1/x
第三节 回归分析
散布图与相关系数 一元线形回归
一、散布图与相关系数
相关关系
现象之间存在一定依存关系，但不是确定的一 一对应关系
分析目的：
现象之间相关方向和相关密切程度
（一）散布图
描述两变量间的关系
要求
识别事件件关系 会事件间运算
（四）事件的概率
随机事件发生的可能性的大小 用P（A）表示 大于等于0小于等于1 发生可能性越小 概率越小
概率定义
有大量稳定的重复试验 n次重复试验 事件A发生k次 概率近似为
概率的性质
P（ ø）=0 P（ Ω）=1 P（A）在0和1之间 互不相容的事件的并的概率
描述中心位置的样本统计量
样本均值 样本中位数
样本均值
计算p132 广泛使用 反映集中位置的指标
样本中位数
有序样本 中间位置上的数值
描述分散程度的样本统计量
反映数据的差异
样本极差 样本方差和标准差
样本极差
由两个端点值计算 信息利用不充分
样本方差
正态总体方差的估计
是所有无偏估计中最有效的
正态总体标准差的估计
n=2时两个估计相同 用标准差估计利用了全部信息更有效 用极差估计简单 样本量大于10用标准差估计
三、正态概率纸
特作用
检验数据是否是正态分布 求出正态分布的均值和标准差 对非正态分布作正态转换
X~N（10，2）
U=
不合格品率的计算
p129
第二节 统计的基本概念
样本与统计量 参数估计
一、样本与统计量
（一）总体和个体
研究对象的全体 总体：可以是对象的全体 指标的全体 总体是唯一的 总体指标往往是未知（参数） 总体分布
研究总体内容
总体构成范围 总体数据取值范围 总体分布（正态、二项等） 总体均值（位置） 总体方差（分散程度）
混合） 双峰形(两种生产条件)
二、参数估计
点估计 无偏性概念 正态总体的无偏性
（一）点估计
用样本统计量估计总体参数
（二）无偏性概念
每次估计会有偏差 但平均偏差为0
任何总体的无偏估计
样本均值是总体均值的无偏估计 样本方差是总体方差的无偏估计 样本标准差不是总体标准差的无偏估计
值
连续型分布
正态分布
随机变量分布的特征数
均值 表示分布中心 方差和标准差 表示散布程度，标准差越
大，分散程度越大
（二）二项分布
条件： n次重复试验 独立试验 结果有两个 成功概率p 不成功概率为1-p
二项分布
表示方法b（n，p） 概率计算
E（X）=np Var（x）=np（1-p）
的概率
正态分布形状
对称分布
两个重要的参数
均值 标准差
决定分布位置 决定分布的形状
标准正态分布
中心为0 标准差为1 概率密度函数
正态分布的分位数
0.9 0.1
u0.9=1.282
分位数
u0.5=0 u0.25=-u0.75
u0.1=-u0.9
正态分布的概率计算
随机事件——点数大于等于2点
包含样本点 2，3，4，5，6 其中任意样本点发生 随机事件A发生
随机事件的维恩图
A