概率统计基础知识

i
，离散分布 ，连续分布
Var( x) [ x E ( x)]2 f ( x)dx
a
b
如：
X
P
0
0.95
1
0.05
E ( x) 0.05
Var( x) (0 0.5)2 0.95 (1 0.5)2 0.05 0.25
均值、方差的性质
（1）E(aX b) aE( X ) b （2）Var(aX b) a 2Var( X ) （3）E( X1 X 2 ) E( X1 ) E( X 2 ) （4）Var( X1 X 2 ) Var( X1 ) Var( X 2 )
x ~ N (, ) n
2
第三节 统计基础知识
1 2 3 4
总体与样本 直方图
统计量
抽样分布
1.总体与样本
总体与个体
总体：研究对象的全体； 个体：构成总体的每个单位；
例如 某饮料生产企业用自动罐装机罐装饮料，每罐标准含量为 500ml，为保证产品的稳定性，需要每隔一定时间检查每罐饮料的
含量情况。
1 , 当x [a, b]时； f ( x) b a 其他情况， 0， 则称随机变量 X 服从均匀分布，记为：X ~ U (a, b)
2 a b ( b a ) 其均值、方差分别为： E ( X ) , Var( X ) 2 12
均匀分布密度函数曲线
指数分布
概率的统计定义
如果进行N次重复试验，事件A发生的次数为n，我们将频率n /N 看作是事件A的概率。 【如】： 1.刮发票的中奖密封时，大多得到“谢谢”。如果你刮了150张 发票，只有3张中奖，你会认为，你的中奖概率大约是3/150=0.02 ；
3.概率的性质及其运算法则
性质
0 P( A) 1 ；
第一章 概率统计基础知识
北京理工大学珠海学院 吴浩然
第一章 概率统计基础知识
1 2 3 4 5 概率基础知识 随机变量及其分布 统计基础知识 参数估计 假设检验
第一节 概率基础知识
1
事件与概率
2
概率的古典定义与统计定义
3
概率的性质及其运算法则
1.事件与概率
确定性现象 在一定条件下必然会发生的现象。 【如】：水100ºC沸腾。 随机现象 在一定条件下，并不总是出现相同结果的现象。 【如】：
（1）掷一枚硬币，出现正面或反面？
（2）一批产品中，不合格品的数量； （3）机械加工中出现的误差；
样本空间 随机现象一切可能结果（样本点）构成的全体，称为样本空 间 。 【如】： （1）掷一枚硬币。
＝{ 正面，反面 }；
（2）一批产品中，不合格品的数量。
＝{ 0，1，2，3， … }；
随机事件 随机现象的某些样本点构成的集合，称为事件，用大写英文字 母A、B、„、表示。表示。 【如】： （1）掷一颗骰子，出现奇数点。
E( x) xi pi
i
，离散分布 ，连续分布
E ( x) xf ( x)dx
a
b
如：
X
P
0
0.95
1
0.05
E ( x) xi pi 0 0.95 1 0.05 0.05
i
方差
方差用来表示分布的离散程度，用Var ( x)表示。其中
Var( x) [ xi E ( x)]2 pi
如果随机变量 X 的密度函数为：
f ( x) exp(x),
则称随机变量 X 服从指数分布，记为： X ~ E ( )
其均值、方差分别为：
E( X )
1

, Var ( X )
1
2
（0，0） 指数分布的密度函数曲线
中心极限定理
不论总体服从何种分布，只要样本容量足够大，样 本均值 x 的分布都大致服从正态分布：
（1）标准差不变，不同的均值，正态分布曲线的形状相同，位 置不同；均值不变，不同的标准差，正态分布曲线的位置相同，形 状不同； （2） X ~ N ( , 2 ) X ~ N (0,1) （3） (u) P(U u)
其它连续分布
均匀分布
如果随机变量 X 的密度函数为：
泊松分布
如果随机变量 X 取 x的概率为： x
P( X x) x! e , x 0,1,2,...
则称随机变量 X 服从泊松分布，记为：X ~ P( )
其均值、方差分别为： E ( X ) 、 Var( X ) 应用 1.在一定时间内，操作系统发生的故障数；
2.概率的古典定义与统计定义
概率的古典定义
利用等可能事件， P(A)＝k / n，其中k 为事件A的样本点数目，
n为 的样本点数目。
【如】： 1.如果一个骰子是公平的 ，那么掷一次骰子会以等可能(概率 1/6，6种可能之一)得到1至6点的中的每一个点。 2.抛一个公平的硬币，则以等可能(概率1/2)出现正面或反面。
总体：某一批饮料； 个体：该批中每一罐饮料；
样本
从总体中抽取部分个体所组成的集合。 如： 某饮料生产企业用自动罐装机罐装橙汁饮料，每罐标准含量为 500ml，为保证产品的稳定性，需要每隔一定时间检查每罐饮料的 含量情况。现抽得10罐，测得其含量为(单位:ml) 495, 510, 498, 503, 492, 502, 505, 512, 497, 506。 样本： 10罐饮料的含量。
X
P
0
0.95
1
0.05
连续型随机变量的分布
定义
随机变量 X 如果能够在一区间内取任何值，则该变量称为在此 区间内是连续的，其分布称为连续型概率分布，用密度函数 f ( x) 表示。
逐渐增加矩形条数目的直方图和一个形状类似的密度曲线。
3.随机变量分布的均值、方差
均值
均值用来表示分布的中心位置，用 E ( x) 表示。其中
直方图：1.用于表示连续性变量的频数（频率）分布； 2.横轴表示分组，纵轴表示频数或频率。
户 数 比 重 (%)
25 20 15 10 5
结论：收入较少的家庭 占据多数，而收入较高 的家庭则占少数。
←
500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000 →
2.直方图
频数（频率）表
2007年某地区农村居民家庭纯收入数据 按纯收入分组（元） 500以下 500~1000 1000~1500 1500~2000 2000~2500 2500~3000 3000~3500 3500~4000 4000~4500 4500~5000 5000以上 户数比重（%） 2.28 12.45 20.35 19.52 14.93 10.35 6.56 4.13 2.68 1.81 4.94
P( A) 1 P( A) ；
A B P( A) P( B) ； A B P( B A) P( B) P( A) ；
P( A B) P( A) P( B) P( A B) ；
条件概率及概率的乘法法则
条件概率
在事件B已发生的条件下，事件A发生的概率，称为事件A在给 定B下的条件概率，记作P(A|B)。 其中：P(A|B)＝
P( A B) P( B)
例如 掷一颗骰子，事件A表示点数为3，事件B表示点数为6，则 P(A|B)表示第一次骰子的点数为6，第二次点数为3的概率。
独立性和独立事件的概率
定义
如果事件A和事件B有如下关系：
P( A B) P( A) P( B)
则称事件A和事件B相互独立。 例如 如果你有一个固定电话和一个手机，假定固定电话出毛病的概 率为0.01，而手机出问题的概率为0.05，那么，两个电话同时出毛
2. 一平方米玻璃上气泡的个数；
常见的连续分布
正态分布
如果随机变量 X 的密度函数为：
f ( x) (x )2 exp( ), 2 2 2 1
则称随机变量 X 服从正态分布(normal distribution)，记为：
X ~ N ( , 2 )
正态分布的曲线及性质
正态分布曲线
离散型随机变量的分布
定义
如果随机变量X只取有限个或可列个可能值，而且以确定的概 率取这些不同的值，则称X为离散型随机变量。 一般列成概率分布表： X P 性质 1. 2. x1 p1 x2 p2
„ „
xk
„
pk
„
pi 0
p
k 1
n
k
例如
一批产品的废品率为5％，从中任意抽取一个进行检验，用随 机变量描述废品出现的情况。 解： 用X ＝1表示产品为废品， X ＝0表示产品为合格品。 则：
描述样本集中位置的统计量
（1）样本均值： 设样本数据为：x1 ，x2 ，… ，xn ，样本均值的计算公式为：
x x xn x 1 2 n
x
i 1
n
i
n
（2）中位数：样本数据排序后，处于中间位置上的值，用Me表 示；
（3）众数：样本数据中出现次数最多的值，用Mod表示；
描述样本分散程度的统计量
病的概率是多少呢？
第二节 随机变量及其分布1 2 3 4随机变量 Nhomakorabea机变量的分布
随机变量分布的均值、方差
常用分布及中心极限定理
1.随机变量
随机变量
表示随机现象各种结果的变量，一般大写英文字母X、Y、Z表 示。
例如 抛一枚硬币， X表示正面出现的次数，它是随机变量，可取0或 1两个值。
2.随机变量的分布
A ＝{ 1，3，5 }；
事件之间的关系及运算
事件的包含
若事件A发生必然导致事件B发生，则称事件B包含事件A，记 作 A B 。用图形表示为：