高三总复习-三角函数
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高三总复习-三角函数
一、
本讲进度
《三角函数》复习
二、
本讲主要内容
1、三角函数的概念及象限角、弧度制等概念;
2、三角公式,包括诱导公式,同角三角函数关系式和差倍半公式等;
3、三角函数的图象及性质。
三、
学习指导
1、角的概念的推广。从运动的角度,在旋转方向及旋转圈数上引进负角及大于3600
的角。这样一来,在直角坐标系中,当角的终边确定时,其大小不一定(通常把角的始边放在x 轴正半轴上,角的顶点与原点重合,下同)。为了把握这些角之间的联系,引进终边相同的角的概念,凡是与终边α相同的角,都可以表示成k ·3600
+α的形式,特例,终边在x 轴上的角集合{α|α=k ·1800
,k ∈Z},终边在y 轴上的角集合{α|α=k ·1800
+900
,k ∈Z},终边在坐标轴上的角的集合{α|α=k ·900
,k ∈Z}。
在已知三角函数值的大小求角的大小时,通常先确定角的终边位置,然后再确定大小。
弧度制是角的度量的重要表示法,能正确地进行弧度与角度的换算,熟记特殊角的弧度制。在弧度制下,扇形弧长公式=|α|R ,扇形面积公式||R 2
1
R 21S 2α==
,其中α为弧所对圆心角的弧度数。 2、利用直角坐标系,可以把直角三角形中的三角函数推广到任意角的三角数。三角函数定义是本章重点,从它可以推出一些三角公式。重视用数学定义解题。
设P(x ,y)是角α终边上任一点(与原点不重合),记22y x |OP |r +==,则r y sin =
α,r
x
cos =α,x
y
tan =
α,y x cot =α。
利用三角函数定义,可以得到(1)诱导公式:即
α+πt 2
k
与α之间函数值关系(k ∈Z )
,其规律是“奇变偶不变,符号看象限”;(2)同角三角函数关系式:平方关系,倒数关系,商数关系。
3、三角变换公式包括和、差、倍、半公式,诱导公式是和差公式的特例,对公式要熟练地正用、逆用、变用。如倍角公式:cos2α=2cos 2
α-1=1-2sin 2
α,变形后得2
2cos 1sin ,22cos 1cos 22α
-=
αα-=
α,可以作为降幂公式使用。
三角变换公式除用来化简三角函数式外,还为研究三角函数图象及性质做准备。
4、三角函数的性质除了一般函数通性外,还出现了前面几种函数所没有的周期性。周期性的定义:设T 为非零常数,若对f(x)定义域中的每一个x ,均有f(x+T)=f(x),则称T 为f(x)的周期。当T 为f(x)周期时,kT (k ∈Z ,k ≠0)也为f(x)周期。
三角函数图象是性质的重要组成部分。利用单位圆中的三角函数线作函数图象称为几何作图法,熟练掌握平移、伸缩、振幅等变换法则。
5、本章思想方法
(2)数形结合。充分利用单位圆中的三角函数线及三角函数图象帮助解题; (3)分类讨论。 四、
典型例题
例1、 已知函数f(x)=)x cos x (sin log 2
1- (1)求它的定义域和值域; (2)求它的单调区间; (3)判断它的奇偶性; (4)判断它的周期性。 解题思路分析:
(1)x 必须满足sinx-cosx>0,利用单位圆中的三角函数线及π+π<<π+
π4
5
k 2x 4k 2,k ∈Z ∴ 函数定义域为)4
5
k 2,4k 2(π+ππ+
π,k ∈Z ∵ )4x sin(2x cos x sin π
-=-
∴ 当x ∈)45k 2,4k 2(π+ππ+
π时,1)4
x sin(0≤π
-< ∴ 2cos x sin 0≤-< ∴ 2
1
2log y 2
1
-
=≥ ∴ 函数值域为[+∞-
,2
1
) (3)∵ f(x)定义域在数轴上对应的点关于原点不对称
∴ f(x)不具备奇偶性 (4)∵ f(x+2π)=f(x)
∴ 函数f(x)最小正周期为2π
注;利用单位圆中的三角函数线可知,以Ⅰ、Ⅱ象限角平分线为标准,可区分sinx-cosx 的符号; 以Ⅱ、Ⅲ象限角平分线为标准,可区分sinx+cosx 的符号,如图。 例2、 化简)cos 1(2sin 12α++α+,α∈(π,2π) 解题思路分析:
凑根号下为完全平方式,化无理式为有理式 ∵ 222
)2
cos 2(sin 2cos 2sin 22cos 2sin sin 1α
+α=αα+α+α=α+ 2
cos 4)12cos 21(2)cos 1(222α
=-α+=α+ ∴ 原式=|2
cos |2|2cos 2sin
|2α
+α+α ∵ α∈(π,2π)
∴
),2(2ππ
∈α ∴ 02
cos <α
当
π≤α<ππ≤α<π23,4922时,02
cos 2sin >α
+α ∴ 原式=2
sin 2α
当
π<α<ππ<α<π223,243时,02
cos 2sin <α
+α ∴ 原式=)2arctan 2
sin(522cos 42sin
2+α
-=α-α- ∴ 原式=⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧π
<α<π+α-π≤α<πα223)2arctan 2sin(522
32sin 2
注:
1、本题利用了“1”的逆代技巧,即化1为2
cos 2sin 22
α
+α,是欲擒故纵原则。一般地有|cos sin |2sin 1α±α=α+,|cos |22cos 1α=α+,|sin |22cos 1α=α-。
2、三角函数式asinx+bcosx 是基本三角函数式之一,引进辅助角,将它化为)x sin(b a 22φ++(取
a b
arctan =φ)是常用变形手段。特别是与特殊角有关的sin ±cosx ,±sinx ±3cosx ,要熟练掌握变形
结论。
例3、 求0
2
2
10
sin 21)140
cos 1140
sin 3(
⋅-
。
解题思路分析: 原式=
2
2
020210
sin 21140
cos 140sin 140sin 140cos 3⋅
-
16160
sin 200sin 1680cos 80sin 200sin 810sin 21
80
sin 4
1200sin 80sin 410sin 21)40cos 40sin ()
140sin 140cos 3)(140sin 140cos 3(0
000002000
2
000000=-=-=⋅⋅-=⋅
-+-=
注:在化简三角函数式过程中,除利用三角变换公式,还需用到代数变形公式,如本题平方差公式。 例4、已知00
<α<β<900
,且sin α,sin β是方程-
+-020240cos x )40cos 2(x 2
1
=0的两个实数根,求sin(β-5α)的值。