初中数学解题模型专题讲解16---相似三角形六大证明技巧

初中数学解题模型专题讲解 专题16 16 相似三角形相似三角形6大证明技巧大证明技巧
相似三角形的判定方法总结
相似三角形的判定方法总结：： 1. 平行于三角形一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似. 2. 三边成比例的两个三角形相似.（SSS）
3. 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似. (SAS)
4. 两角分别相等的两个三角形相似.(AA)
5. 斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似(HL) 相似三角形的模型方法总结相似三角形的模型方法总结：： “反A ”型与型与““反X ”型.
“类射影
”与射影模型
与射影模型
类射影”
”
一线三等角”“旋转相似
”与“一线三等角旋转相似”
反A型与反X型
已知△ABC 中，∠AEF=∠ACB ，求证：（1）AE AB AF AC ⋅=⋅（2）∠BEO=∠CFO ， ∠EBO=∠FCO （3）∠OEF=∠OBC ，∠OFE=∠OCB
O
F E
C
B
A
类射影
如图，已知2AB AC AD =⋅，求证：
BD AB
BC AC
= A B
C
D
射影定理
已知△ABC ，∠ACB =90°，CH ⊥AB 于H ，求证：2AC AH AB =⋅，2BC BH BA =⋅，
2HC HA HB =⋅
通过前面的学习，我们知道，比例线段的证明，离不开“平行线模型”（A 型，X 型，线束型），也离不开上述的6种“相似模型”. 但是，王老师认为，“模型”只是工具，怎样选择工具，怎样使用工具，怎样用好工具，取决于我们如何思考问题. 合理的思维
比例式的证明方法
方法，能让模型成为解题的利刃，让复杂的问题变简单。

在本模块中，我们将学比例式的证明中，会经常用到的思维技巧. 技巧一：三点定型法 技巧二：等线段代换 技巧三：等比代换 技巧四：等积代换 技巧五：证等量先证等比 技巧六：几何计算 【例1】 如图，平行四边形ABCD 中，E 是AB 延长线上的一点，DE 交BC 于F ，求证：
DC CF AE AD
=． A
B
C
F
D
E
【例2】 如图，ABC △中，90BAC ∠=°，M 为BC 的中点，DM BC ⊥交CA 的延长线于D ，
交AB 于E ．求证：2AM MD ME =⋅
技巧一技巧一：：三点定型三点定型
C
B
A
E
D
M
【例3】 如图，在Rt ABC △中，AD 是斜边BC 上的高，ABC ∠的平分线BE 交AC 于E ，
交AD 于F ．求证：
BF AB
BE BC
=．
D
B
A
C
F E
悄悄地替换比例式中的某条线段…
【例4】 如图，在△ABC ，AD 平分∠BAC ，AD 的垂直平分线交AD 于E ，交BC 的
延长线于F ，求证：2FD FB FC =⋅
A
B
C
D
E
F
【例5】 如图，四边形ABCD 是平行四边形，点E 在边BA 的延长线上，CE 交AD 于F ，
ECA D ∠=∠．求证：AC BE CE AD ⋅=⋅．
技巧二技巧二：：等线段代换等线段代换
C
B
A
D E
F
【例6】 如图，△ACB 为等腰直角三角形，AB=AC ，∠BAC=90°，∠DAE=45°，求证：
2AB BE CD =⋅
A
B
C
E
【例7】 如图，ABC △中，AB AC =，AD 是中线，P 是AD 上一点，过C 作CF AB ∥，
延长BP 交AC 于E ，交CF 于F ．求证：2BP PE PF =⋅．
C
B
A
D
P
E
F
【例8】 如图，平行四边形ABCD 中，过B 作直线AC 、AD 于O ，E 、交CD 的延长线
于F ，求证：2OB OE OF =⋅．
技巧三技巧三：：等比代换等比代换
O
F
E
D
C B
A
【例9】 如图，在ABC △中，已知90A ∠=°时，AD BC ⊥于D ，E 为直角边AC 的中点，
过D 、E 作直线交AB 的延长线于F ．求证：AB AF AC DF ⋅=⋅．
E
F
C
A
B
D
【例10】 如图，在ABC △中（AB ＞AC ）的边AB 上取一点D ，在边AC 上取一点E ，使
AD AE =，直线DE 和BC 的延长线交于点P ．求证：BP CE CP BD
⋅=⋅
E C
D B
A
P
【例11】 如图，ABC △中，BD 、CE 是高，EH BC ⊥于H 、交BD 于G 、交CA 的延长线
于M ．求证：2HE HG MH =⋅．
技巧四技巧四：：等积代换等积代换
P
M
N D A
B
C
A B
C
D
E H
G
M
【例12】 如图，在ABC △中，AD BC ⊥于D ，DE AB ⊥于E ，DF AC ⊥于F ，连EF ，求
证：∠AEF =∠C
F
E
D
C
B
A
【例13】 如图，在ABC △中，90BAC ∠=°，D 为AC 中点，AE BD ⊥，E 为垂足，求证：
CBD ECD ∠=∠．
C
B
A
D
E
【例14】 在Rt △ABC 中，AD ⊥BC ，P 为AD 中点，MN ⊥BC ，求证2MN AN NC =⋅
【例15】 已知，平行四边形ABCD 中，E 、F 分别在直线AD 、CD 上，EF //AC ，BE 、
BF 分别交AC 于M 、N .，求证：AM =CN.
【例16】 已知如图AB =AC ，BD //AC ，AB //CE ，过A
点的直线分别交BD 、CE 于D 、E . 求证：AM =NC ，MN //DE .
D
B
A
E
M N
【例17】 如图，△ABC 为等腰直角三角形，点P 为AB 上任意一点，PF ⊥BC ，PE ⊥
AC ，AF 交PE 于N ，BE 交PF 于M .，求证：PM =PN ，MN //AB .
C
B
A
P E
F
N M
技巧五技巧五：：证等量先证等比证等量先证等比
F
M
N
E
D
C B
A
【例18】 如图，正方形BFDE 内接于△ABC ，CE 与DF 交于点N ，AF 交ED 于点M ，
CE 与AF 交于点P . 求证：（1）MN //AC ；（2）EM =DN .
P
N
M E
F
D A
B
C
【例19】 （※）设E 、
F 分别为AC 、AB 的中点，D 为BC 上一点，P 在BF 上，DP //CF ，Q 在CE 上，DQ //BE ，PQ 交BE 于R ，交CF 于S ，求证：1
3
RS PQ =
C
B
A
D
P Q
S
E F
G
R
【例20】 （※）如图，梯形ABCD 的底边AB 上任取一点M ，过M 作MK //BD ，
MN //AC ，分别交AD 、BC 于K 、N ，连KN ，分别交对角线AC 、BD 于P 、Q ，求证：KP =QN .
Q N S P
R
K
M O
D
C B
A
【例21】 （2016年四月调考）如图，在△ABC 中，AC ＞AB ，AD 是角平分线，AE 是
中线，BF ⊥AD 于G ，交AC 于点M ，EG 的延长线交AB 于点H .（1）求证：
AH =BH ，（2）若∠BAC =60°，求FG DG
的值. H
M F
G E D C
B A
【例22】 （2016七一华源）如图：正方形ABCD 中，点E 、点F 、点G 分别在边BC 、
AB 、CD 上，∠1＝∠2＝∠3＝α. 求证：（1）EF ＋EG ＝AE （2）求证：CE
＋CG ＝AF
技巧六技巧六：：几何计算几何计算。