分支定界法
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二、示例
例３ 用分枝定界法求解
max Z x1 x 2 9 51 x1 14 x 2 14 1 2 x1 x 2 3 x1 , x 2 0且取整数
x2
５ ４ ３ ２ １
s1
A(3 2 ,10 3)
max zB z1 10 / 3
LP0 z 29 6 1.5, x 2 10/3 z 0 29 / 6
x1 2
x 1 2 , x 2 23 / 9 S2 z 0 41 / 9
z0
LP1
LP2
z 41 9 z0
x2 2
x2 3
z 61 14 z0
S21
x1 33 / 14 , x 2 2 z 0 61 / 14
⑵ 定界 就没有分支的线性规划问题而言,以最优目 标函数值中的最大者为上界，以符合整数条件 的各子问题中目标函数值最大者作为下界，若 无整数解，在Z≥0的情况下，令 z 0
⑶ 比较与剪枝
若上界等于下界，则停止；否则，剪去小于下 界的分支，对于大于下界的分支继续重复步骤２ （优先分支函数值较大者）。
第三节 分支定界法
一、分支定界法步骤 二、示例
一、分支定界法步骤
使用范围：纯整数、混合整数规划。 基本思想：求松弛问题最优解，逐步缩小可域。
１、求解松弛问题的最优解，若非整数解，转２。 ２、分支与定界。下面我们先通过示例来了解一下第2 步的思路。例： max Z x x 1 2
9 51 x x 1 14 2 14 1 2 x1 x2 3 x1 , x2 0且取整数
其松弛问题的最优解为：A（3/2，10/3）
因X1=3/2, 所以IP问题的最优解中x1的取值范围一定满 足x1≤1（区域1）或x1≥2（区域2），如下图所示。
A(3 2 ,10 3)
区域1
区域2
１
２
３
x1
⑴ 分支 假设松弛问题中 xi b i 不是整数，则构造两 b i 及 xi b i 1 个约束条件 xi 分别加入松弛问题中得到子问题LP1与LP2，即 两个后继问题，并求解之。
zC z2 41/ 9
zD z21 61/ 14
zE z211 4
C (2, 23 9) D(33 14,2)
zF z212 4
B(1, 7 3)
E (2,2)
s2 s21
F (3,1)
s212
０
１ s211 ２
３
x1
S x1
x1 1
x 1 1, x 2 百度文库 / 3 S1 z 0 10 / 3
LP21
LP22
S22 x2 3 S212 x1 3, x 2 1
z0 4
无可行解
x1 2
z4 z4
S211
x1 2 , x 2 2 z0 4
LP211
LP212
返回
例３ 用分枝定界法求解
max Z x1 x 2 9 51 x1 14 x 2 14 1 2 x1 x 2 3 x1 , x 2 0且取整数
x2
５ ４ ３ ２ １
s1
A(3 2 ,10 3)
max zB z1 10 / 3
LP0 z 29 6 1.5, x 2 10/3 z 0 29 / 6
x1 2
x 1 2 , x 2 23 / 9 S2 z 0 41 / 9
z0
LP1
LP2
z 41 9 z0
x2 2
x2 3
z 61 14 z0
S21
x1 33 / 14 , x 2 2 z 0 61 / 14
⑵ 定界 就没有分支的线性规划问题而言,以最优目 标函数值中的最大者为上界，以符合整数条件 的各子问题中目标函数值最大者作为下界，若 无整数解，在Z≥0的情况下，令 z 0
⑶ 比较与剪枝
若上界等于下界，则停止；否则，剪去小于下 界的分支，对于大于下界的分支继续重复步骤２ （优先分支函数值较大者）。
第三节 分支定界法
一、分支定界法步骤 二、示例
一、分支定界法步骤
使用范围：纯整数、混合整数规划。 基本思想：求松弛问题最优解，逐步缩小可域。
１、求解松弛问题的最优解，若非整数解，转２。 ２、分支与定界。下面我们先通过示例来了解一下第2 步的思路。例： max Z x x 1 2
9 51 x x 1 14 2 14 1 2 x1 x2 3 x1 , x2 0且取整数
其松弛问题的最优解为：A（3/2，10/3）
因X1=3/2, 所以IP问题的最优解中x1的取值范围一定满 足x1≤1（区域1）或x1≥2（区域2），如下图所示。
A(3 2 ,10 3)
区域1
区域2
１
２
３
x1
⑴ 分支 假设松弛问题中 xi b i 不是整数，则构造两 b i 及 xi b i 1 个约束条件 xi 分别加入松弛问题中得到子问题LP1与LP2，即 两个后继问题，并求解之。
zC z2 41/ 9
zD z21 61/ 14
zE z211 4
C (2, 23 9) D(33 14,2)
zF z212 4
B(1, 7 3)
E (2,2)
s2 s21
F (3,1)
s212
０
１ s211 ２
３
x1
S x1
x1 1
x 1 1, x 2 百度文库 / 3 S1 z 0 10 / 3
LP21
LP22
S22 x2 3 S212 x1 3, x 2 1
z0 4
无可行解
x1 2
z4 z4
S211
x1 2 , x 2 2 z0 4
LP211
LP212
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