分子对称性与群论初步
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分子对称性与群论初步分子中心是S4的图形符号
Hale Waihona Puke Baidu、旋转反演操作与反轴
先凭借某一轴线施行旋转操作，再凭借此轴线上一 点进行反演操作，这种复合操作被称为旋转反演 操作。 Iˆn
施行反演操作所凭借的直线，称为反轴，符号为In。
映转轴和反轴可相互代 替。
分子对称性与群论初步
CH4中的反轴I4与旋转反演操作
i
分子对称性与群论初步
• 与操作的先后顺序无关
宏观对称操作与宏观对称元素
分子对称性与群论初步
3.3 对称元素的组合
当两个对称元素按一定的相对位置同时存 在的时候，必能导出第三个对称元素，这被称 为对称元素的组合。
对称元素的组合要服从一定的组合原则：
分子对称性与群论初步
一、两个反映面的组合
两个夹角为α的反映面的交线，一定是一个基转角 为2α的n重旋转轴。
菲分子：
1C2，2σv
分子对称性与群论初步
苯分子：
分子对称性与群论初步
3.5 分子的对称类型——分子点群
有限图形按其对称性进行分类，把具有相同类型 和个数的对称元素的图形划为一类，称为一种对称 类型。
一种对称类型是宏观对称元素的一种组合方式。 分子的对称类型则由点群来描述。
分子对称性与群论初步
许多元素的集合构成群，
分子的宏观对称操作和宏观对称元素有5种：
分子对称性与群论初步
一、旋转操作与旋转轴
将图形中的各点绕某一轴线旋转一定角度的操作被
称为旋转操作，符号为 Cˆ n
施行旋转操作所凭借的几何元素为一直线，称为旋
转轴，符号为Cn 。
n：轴次
n 2
H2O中的C2 分子对称性与群论初步
：基转角
基转角是能使图形绕某一对称轴旋转而复原的 最小非零角度.
分子对称性与群论初步
三、偶次轴与垂直面的组合
如果一个图形中，偶次轴和垂直于偶次轴的对称面 存在，则必存在对称中心。
即偶次轴、垂直面、对称中心三者共存。
反式二氯乙烯：
1×C2，1×σh ，i
分子对称性与群论初步
3.4 对称元素的周期
凭借同一对称元素进行的独立对称操作的数 目被称为对称元素的周期。 一、对称面和对称中心的周期是2
分子对称性与群论初步
旋转180度
H2O分子
图形复原
分子对称性与群论初步
3.2 对称操作与对称元素
对称操作：不改变图 形中任何两点的距离而能 使图形复原的操作叫做对 称操作；
实施对称操作所凭借 的几何要素叫做对称元素.
对称元素: 旋转轴 对称操作: 旋转
分子对称性与群论初步
有限图形所具 有的对称操作和对 称元素被称为宏观 对称操作和宏观对 称元素。
C2
n 2 2
H2O2
N O 分子对称性与群论初步
2
0 n
N2O中的C∞
二、反映操作与反映面
将图形中的各点移动到某一平面相反方向的等距离
处的操作被称为反映操作。 ˆ
施行反映操作所凭借的几何元素为一平面，称为反 映面，符号为σ。
分子对称性与群论初步
对称面有三类： σv： 包含主轴的对称面；
σh ：垂直主轴的对称面； σd：包含主轴、并平分与主轴垂直的二重轴之间 的夹角的对称面。
分子对称性与群论初步
试找出分子中的旋转轴和反映面
分子对称性与群论初步
三、反演操作与对称中心
将图形中的各点移动到某一点相反方向的等距离处
的操作被称为反演操作。 iˆ
施行反演操作所凭借的几何元素为一点，称为对称 中心，符号为i 。
σ的周期为2
分子对称性与群论初步
二、n重轴的周期为n
C4的周期为4
分子对称性与群论初步
三、映转轴和反轴的周期
1、当n为偶数，周期为n
S4的周期为4
分子对称性与群论初步
2、当n为奇数，周期为2n
S3的周期为6
分子对称性与群论初步
3.4 独立的对称元素
说明映轴和反轴只有轴次为4的整数倍时才是独立的， 其他的均可由反映面、旋转轴、对称中心来代替。
第四第章四章分子分子对对称称性性和与分群子论点初群步
ChaCphtaepr4te.rM4.olMecoulleacruSlay分rm子Sm对ym称et性mry与eat群rny论da初Pn步idonInt tGrrooduupction to Group Theory
4.1 对称图形的定义
生
物
界
的
对
称
性
分子对称性与群论初步
分子对称性与群论初步
建
筑
中
的
对
称
性
分子对称性与群论初步
分子中的对称性
分子对称性与群论初步
3.1 对称图形的定义
对称图形是能被不改变图形中任意两点间的距离 的操作所复原的图形。
操作：将图形中的每一点按一定的规律从一个位 置移到另一个位置。
复原：实施操作前什么地方有什么，操作后仍有 些什么，以致于无法观察图形中各点位置是否发生变 化。
分子对称性与群论初步
四、映转操作与映转轴
先凭借某一轴线施行旋转操作，再凭借与此轴垂直 的平面进行反映操作，这种复合操作被称为映转 操作。 Sˆ n
施行反演操作所凭借的直线，称为映转轴，符号为 Sn。
分子对称性与群论初步
CH4中的映轴S4与旋转反映操作
分子对称性与群论初步
• 与操作的先后顺序无关
环辛四烯衍生物中的 S4
分子对称性与群论初步
试找出分子中所有的独立对称元素
乙烷重叠型
分子对称性与群论初步
乙烷交错型
分子对称性与群论初步
俯视图
交错型二茂铁
分子对称性与群论初步
分子结构是有限图形， 具有宏观对称操作和宏观对称元素：
分子对称性与群论初步
讨论分子结构时，独立的对称元素有： 旋转轴； 反映面；
对称中心； 轴次为4的倍数的映转轴。
G＝｛A、B、C、D、E｝
群
群中元素的个数为群的阶，符号为h。
推论：若有一个反映面包含n重轴，必有n个反映面 包含n重轴。
NH3分子：
1C3，3σv
相邻两个反映面夹角为60度
分子对称性与群论初步
二、两个旋转轴的组合
垂直于夹角为α的两个2重轴交点的直线，一定是一 个基转角为2α的n重旋转轴。
推论：若有一个2重轴垂直于n重轴，必有n个2重 轴垂直于n重轴。
苯分子： 1×C6，6×C2 相邻两个2重轴的夹角为30
分子对称性与群论初步
S2 i
例如,先作二重旋转，再对垂直于该轴 的镜面作反映，等于对轴与镜面的交 点作反演.
分子对称性与群论初步
重叠型二茂
铁具有S5， 可 以由C5和与之 垂直的σ来代
替。
S5C5h
分子对称性与群论初步
讨论分子结构时，独立的对称元素有： 旋转轴； 反映面；
对称中心； 轴次为4的倍数的映转轴。
Hale Waihona Puke Baidu、旋转反演操作与反轴
先凭借某一轴线施行旋转操作，再凭借此轴线上一 点进行反演操作，这种复合操作被称为旋转反演 操作。 Iˆn
施行反演操作所凭借的直线，称为反轴，符号为In。
映转轴和反轴可相互代 替。
分子对称性与群论初步
CH4中的反轴I4与旋转反演操作
i
分子对称性与群论初步
• 与操作的先后顺序无关
宏观对称操作与宏观对称元素
分子对称性与群论初步
3.3 对称元素的组合
当两个对称元素按一定的相对位置同时存 在的时候，必能导出第三个对称元素，这被称 为对称元素的组合。
对称元素的组合要服从一定的组合原则：
分子对称性与群论初步
一、两个反映面的组合
两个夹角为α的反映面的交线，一定是一个基转角 为2α的n重旋转轴。
菲分子：
1C2，2σv
分子对称性与群论初步
苯分子：
分子对称性与群论初步
3.5 分子的对称类型——分子点群
有限图形按其对称性进行分类，把具有相同类型 和个数的对称元素的图形划为一类，称为一种对称 类型。
一种对称类型是宏观对称元素的一种组合方式。 分子的对称类型则由点群来描述。
分子对称性与群论初步
许多元素的集合构成群，
分子的宏观对称操作和宏观对称元素有5种：
分子对称性与群论初步
一、旋转操作与旋转轴
将图形中的各点绕某一轴线旋转一定角度的操作被
称为旋转操作，符号为 Cˆ n
施行旋转操作所凭借的几何元素为一直线，称为旋
转轴，符号为Cn 。
n：轴次
n 2
H2O中的C2 分子对称性与群论初步
：基转角
基转角是能使图形绕某一对称轴旋转而复原的 最小非零角度.
分子对称性与群论初步
三、偶次轴与垂直面的组合
如果一个图形中，偶次轴和垂直于偶次轴的对称面 存在，则必存在对称中心。
即偶次轴、垂直面、对称中心三者共存。
反式二氯乙烯：
1×C2，1×σh ，i
分子对称性与群论初步
3.4 对称元素的周期
凭借同一对称元素进行的独立对称操作的数 目被称为对称元素的周期。 一、对称面和对称中心的周期是2
分子对称性与群论初步
旋转180度
H2O分子
图形复原
分子对称性与群论初步
3.2 对称操作与对称元素
对称操作：不改变图 形中任何两点的距离而能 使图形复原的操作叫做对 称操作；
实施对称操作所凭借 的几何要素叫做对称元素.
对称元素: 旋转轴 对称操作: 旋转
分子对称性与群论初步
有限图形所具 有的对称操作和对 称元素被称为宏观 对称操作和宏观对 称元素。
C2
n 2 2
H2O2
N O 分子对称性与群论初步
2
0 n
N2O中的C∞
二、反映操作与反映面
将图形中的各点移动到某一平面相反方向的等距离
处的操作被称为反映操作。 ˆ
施行反映操作所凭借的几何元素为一平面，称为反 映面，符号为σ。
分子对称性与群论初步
对称面有三类： σv： 包含主轴的对称面；
σh ：垂直主轴的对称面； σd：包含主轴、并平分与主轴垂直的二重轴之间 的夹角的对称面。
分子对称性与群论初步
试找出分子中的旋转轴和反映面
分子对称性与群论初步
三、反演操作与对称中心
将图形中的各点移动到某一点相反方向的等距离处
的操作被称为反演操作。 iˆ
施行反演操作所凭借的几何元素为一点，称为对称 中心，符号为i 。
σ的周期为2
分子对称性与群论初步
二、n重轴的周期为n
C4的周期为4
分子对称性与群论初步
三、映转轴和反轴的周期
1、当n为偶数，周期为n
S4的周期为4
分子对称性与群论初步
2、当n为奇数，周期为2n
S3的周期为6
分子对称性与群论初步
3.4 独立的对称元素
说明映轴和反轴只有轴次为4的整数倍时才是独立的， 其他的均可由反映面、旋转轴、对称中心来代替。
第四第章四章分子分子对对称称性性和与分群子论点初群步
ChaCphtaepr4te.rM4.olMecoulleacruSlay分rm子Sm对ym称et性mry与eat群rny论da初Pn步idonInt tGrrooduupction to Group Theory
4.1 对称图形的定义
生
物
界
的
对
称
性
分子对称性与群论初步
分子对称性与群论初步
建
筑
中
的
对
称
性
分子对称性与群论初步
分子中的对称性
分子对称性与群论初步
3.1 对称图形的定义
对称图形是能被不改变图形中任意两点间的距离 的操作所复原的图形。
操作：将图形中的每一点按一定的规律从一个位 置移到另一个位置。
复原：实施操作前什么地方有什么，操作后仍有 些什么，以致于无法观察图形中各点位置是否发生变 化。
分子对称性与群论初步
四、映转操作与映转轴
先凭借某一轴线施行旋转操作，再凭借与此轴垂直 的平面进行反映操作，这种复合操作被称为映转 操作。 Sˆ n
施行反演操作所凭借的直线，称为映转轴，符号为 Sn。
分子对称性与群论初步
CH4中的映轴S4与旋转反映操作
分子对称性与群论初步
• 与操作的先后顺序无关
环辛四烯衍生物中的 S4
分子对称性与群论初步
试找出分子中所有的独立对称元素
乙烷重叠型
分子对称性与群论初步
乙烷交错型
分子对称性与群论初步
俯视图
交错型二茂铁
分子对称性与群论初步
分子结构是有限图形， 具有宏观对称操作和宏观对称元素：
分子对称性与群论初步
讨论分子结构时，独立的对称元素有： 旋转轴； 反映面；
对称中心； 轴次为4的倍数的映转轴。
G＝｛A、B、C、D、E｝
群
群中元素的个数为群的阶，符号为h。
推论：若有一个反映面包含n重轴，必有n个反映面 包含n重轴。
NH3分子：
1C3，3σv
相邻两个反映面夹角为60度
分子对称性与群论初步
二、两个旋转轴的组合
垂直于夹角为α的两个2重轴交点的直线，一定是一 个基转角为2α的n重旋转轴。
推论：若有一个2重轴垂直于n重轴，必有n个2重 轴垂直于n重轴。
苯分子： 1×C6，6×C2 相邻两个2重轴的夹角为30
分子对称性与群论初步
S2 i
例如,先作二重旋转，再对垂直于该轴 的镜面作反映，等于对轴与镜面的交 点作反演.
分子对称性与群论初步
重叠型二茂
铁具有S5， 可 以由C5和与之 垂直的σ来代
替。
S5C5h
分子对称性与群论初步
讨论分子结构时，独立的对称元素有： 旋转轴； 反映面；
对称中心； 轴次为4的倍数的映转轴。