AVL树的最少节点数

AVL树的最少节点数
今天考试数据结构考试前有这么道题：
高为h 的AVL（平衡二叉树）至少有几个节点。

但是可是给我难住了，当时真是眼前一蒙，但是自己还是迎着头皮钻研了一下，做出来了结果
首先，avl树的节点个数怎么计算
第一我们画出来一层的也就是只有一个节点
然后画出来两层的两个节点
以上都是至少所以后来我们计算有三层的时候，可以增加一个节点A，A的左子树就是两层的至少得情况右子树就是一层的情况，这样全部就是平衡的情况，而且数目最少，同时还满足平衡二叉树的条件：即左右子树的高度差不超过1.
这样我们得到了递推公式
A(n+2)=A(n+1)+A(n)+1; 1式
A(n+3)=A(n+2)+A(n+1)+1; 2式
数学里面学过特征根方程在数列求解递推公式和求解时候用到
这里就不再赘述了，高中数学知识
2式减1式，得出来
B(n+2)=B(n+1)+B(n);就是著名的斐波那契数列最后求得就是这个东西而A(n+1)-A(n)=B(n);就是说在求出来A就好了
根据特征根的有
x2=x+1
求出来的特征根满足
B n=sa1n+Ta2n
这时，带入b1=1，b2=2
得到结果是s=√5
5+√5
然后求得A时候有
A n−A n−1=
B n−1
A n−1−A n−2=
B n−2
…
…
A2−A1=B1
叠加起来就是对左边求和
A=
√5
5+√5
1−(
1+√5
2)
n−1
1−
1+√5
2
√5
5−√5
1−(
1−√5
2)
n−1
1−
1−√5
2
1
在这里求和结果就不再化简了
这里就是对结果进行了计算机的模拟贴出来模拟结果如下只显示前10项
这个结果在百度维基百科上面也能查到，就是斐波那契数列的后一项减去１写出我们写的斐波那契数列结果
√5 5+√5×(
1+√5
2
)
n+1
+
√5
5−√5
×(
1−√5
2
)
n+1
−1
附代码如下（C++）
#include<iostream>
#include<math.h>
using namespace std;
const long double g=sqrt((long double)5);//表示根号５const long double S=(3+g)/(5+g);
const long double T=(3-g)/(5-g);
const long double a1=(1+g)/2;
const long double a2=(1-g)/2;
long double Bn(int n){
long double aaa,bbb;
aaa=pow(a1,(long double)n);
bbb=pow(a2,(long double)n);
return S*aaa+T*bbb;
}
long double An(int n){
long double aaa,bbb;
aaa=(1-pow(a1,(long double)n-1))/(1-a1);
bbb=(1-pow(a2,(long double)n-1))/(1-a2);
return S*aaa*a1+T*bbb*a2+1;
}
int main(){
for (int i=1;i<11;i++)//控制输出的数据个数
{
cout<<Bn(i)<<" ";
}
cout<<endl;
for (int i=1;i<11;i++)
{
cout<<An(i)<<" ";
}
cout<<endl;
}。