第十三章 第2节 第1课时绝对值不等式

2.(选修 4－5P19 习题 T9 改编)若关于 x 的不等式|a|≥|x＋1|＋|x－2|，存在实数解，
则实数 a 的取值范围是________. 解析 由于|x＋1|＋|x－2|≥|(x＋1)－(x－2)|＝3，
∴|x＋1|＋|x－2|的最小值为 3，要使原不等式有解，
只需|a|≥3，即 a≥3 或 a≤－3.
，
5
－0
2
[ ) 14
14
即－4≤a＜ .所以，所求实数 a 的取值范围为 －4， .
5
5
考点一 绝对值不等式的解法
【例 1－1】 (2018·全国Ⅰ卷)已知 f(x)＝|x＋1|－|ax－1|.
(1)当 a＝1 时，求不等式 f(x)>1 的解集； (2)若 x∈(0，1)时不等式 f(x)>x 成立，求 a 的取值范围. 解 (1)当 a＝1 时，f(x)＝|x＋1|－|x－1|，
确定适当的 a，b，利用整体思想使函数、不等式中不含变量，可以求最值，也可
以证明不等式．
【训练 2】 对于任意实数 a，b，已知|a－b|≤1，|2a－1|≤1，且恒有|4a－3b＋2|≤m， 求实数 m 的取值范围. 解 因为|a－b|≤1，|2a－1|≤1，
| |1 1
所以|3a－3b|≤3， a－ ≤ ， 22
不等式
a>0
a＝0
a<0
|x|<a
{x|－a<x<a}
∅
∅
|x|>a {x|x>a 或 x<－a} {x|x∈R 且 x≠0}
R
(2)|ax＋b|≤c(c>0)和|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法
①|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c；
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②|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c 或 ax＋b≤－c.
3.|x－a|＋|x－b|≥c(c>0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c>0)型不等式的解法
可得 f(x)≥0 的解集为{x|－2≤x≤3}.
②f(x)≤1 等价于|x＋a|＋|x－2|≥4.
又|x＋a|＋|x－2|≥|a＋2|，且当 x＝2 或 x＝－a 时等号成立.故 f(x)≤1 等价于|a＋
2|≥4.
由|a＋2|≥4 可得 a≤－6 或 a≥2.
所以 a 的取值范围是(－∞，－6]∪[2，＋∞).
故由图可知，k∈(－∞，－2)∪ ，＋∞ . 2
规律方法 解绝对值不等式的基本方法
(1)利用绝对值的定义，通过分类讨论转化为解不含绝对值符号的普通不等式．
(2)当不等式两端均为正号时，可通过两边平方的方法，转化为解不含绝对值符号
的普通不等式．
(3)利用绝对值的几何意义，数形结合求解． x
【训练 1】 (1)解不等式|x＋3|－|2x－1|< ＋1. 2
考点二 绝对值不等式性质的应用
【例 2】 (1)若对于实数 x，y 有|1－x|≤2，|y＋1|≤1，求|2x＋3y＋1|的最大值.
(2)若 a≥2，x∈R，证明：|x－1＋a|＋|x－a|≥3.
(1)解 由|2x＋3y＋1|＝|2(x－1)＋3(y＋1)|≤2|x－1|＋3|y＋1|≤7，得|2x＋3y＋1|的
( )1 5
所以|4a－3b＋2|＝|(3a－3b)＋ a－ ＋ | 22
1 5 15 ≤|3a－3b|＋|a－ |＋ ≤3＋ ＋ ＝6，
2 2 22 则|4a－3b＋2|的最大值为 6， 所以 m≥|4a－3b＋2|max＝6，m 的取值范围是[6，＋∞). 考点三 绝对值不等式的综合应用 【例 3－1】 (2018·全国Ⅲ卷)设函数 f(x)＝|2x＋1|＋|x－1|. (1)画出 y＝f(x)的图像； (2)当 x∈[0，＋∞)时，f(x)≤ax＋b，求 a＋b 的最小值.
(2)(2018·全国Ⅱ卷)设函数 f(x)＝5－|x＋a|－|x－2|.
①当 a＝1 时，求不等式 f(x)≥0 的解集；
②若 f(x)≤1，求 a 的取值范围.
x 解 (1)①当 x<－3 时，原不等式化为－(x＋3)－(1－2x)< ＋1，解得 x<10，所以 x<－
2
3；
1
x
2
②当－3≤x＜ 时，原不等式化为(x＋3)－(1－2x)< ＋1，解得 x<－ ，所以－3≤x＜
答案 (－∞，－3]∪[3，＋∞) 3.(选修 4－5P20 习题 T7 改编)不等式 3≤|5－2x|<9 的解集为( )
A.[－2，1)∪[4，7)
B.(－2，1]∪(4，7]
C.(－2，－1]∪[4，7)
D.(－2，1]∪[4，7)
{ ) { ) 解析 由题意得
|2x－5| < 9， |2x－5| ≥ 3，
1
{ ) －3x，x < － ， 2
解 (1)f(x)＝
1
y＝f(x)的图像如图所示.
x＋2，－ ≤ x < 1，
2
3x，x ≥ 1.
(2)由(1)知，y＝f(x)的图像与 y 轴交点的纵坐标为 2，且各部分所在直线斜率的最 大值为 3，故当且仅当 a≥3 且 b≥2 时，f(x)≤ax＋b 在[0，＋∞)成立，因此 a＋b 的最小值为 5. 【例 3－2】 (2017·全国Ⅲ卷)已知函数 f(x)＝|x＋1|－|x－2|.
第 2 节 不等式选讲
第 1 课时 绝对值不等式
最新考纲 1.理解绝对值的几何意义，并了解下列不等式成立的几何意义及取等 号的条件：|a＋b|≤|a|＋|b|(a，b∈R)；|a－b|≤|a－c|＋|c－b|(a，b，c∈R)；2.会利 用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|ax＋b|≤c；|ax＋b|≥c；|x－c|＋|x－ b|≥a.
(2)当 x∈(0，1)时|x＋1|－|ax－1|>x 成立等价于当 x∈(0，1)时|ax－1|<1 成立. 若 a≤0，则当 x∈(0，1)时，|ax－1|≥1；
{ | )}2
若 a>0，|ax－1|<1 的解集为 x 0 < x < ， a
2 所以 ≥1，故 0<a≤2.
a 综上，a 的取值范围为(0，2]. 【例 1－2】 (2019·邯郸一模)已知函数 f(x)＝|x－4|＋|x－1|－3.
B.[－4，6] D.(－∞，＋∞)
解析 |x－5|＋|x＋3|≥|(x－5)－(x＋3)|＝8>1⇒原不等式的解集为 R，故选 D.
答案 D 5.(2019·榆林二模)已知函数 f(x)＝|x－2|.
(1)求不等式 f(x)＋x2－4>0 的解集； (2)设 g(x)＝－|x＋7|＋3m，若关于 x 的不等式 f(x)<g(x)的解集非空，求实数 m 的 取值范围. 解 (1)当 x≥2 时，不等式等价于 x－2＋x2－4>0，解得 x>2， 当 x<2 时，不等式等价于 2－x＋x2－4>0，解得 x<－1. 综上，原不等式的解集为{x|x>2 或 x<－1}. (2)问题等价于|x－2|＋|x＋7|<3m 的解集非空， ∵|x－2|＋|x＋7|≥|x－2－x－7|＝9， ∴3m>9，∴m>3. 故实数 m 的取值范围是(3，＋∞). 6.(2019·东北三省三校模拟)已知不等式|2x－5|＋|2x＋1|>ax－1.
(1)当 a＝1 时，求不等式的解集；
(2)若不等式的解集为 R，求 a 的取值范围.
解 (1)令 f(x)＝|2x－5|＋|2x＋1|，
1
－4x＋4，x ≤ － ，
{ ) 则 f(x)＝|2x－5|＋|2x＋1|＝
2
1
5
6，－ < x ≤ ，
2
2
5 4x－4，x > ，
2
1
1
因为 a＝1，所以当 x≤－ 时，由－4x＋4>x－1，解得 x≤－ ，
{ ) 2－2x，x ≤ 1，
(2)f(x)＝|x－4|＋|x－1|－3＝ 0，1 < x < 4， 2x－8，x ≥ 4，
作出函数 f(x)的图像，如图所示，
直线 y＝kx－2 过定点 C(0，－2)， 1
当此直线经过点 B(4，0)时，k＝ ； 2
当此直线与直线 AD 平行时，k＝－2.
[ ) 1
知识梳理
1.绝对值三角不等式
定理 1：如果 a，b 是实数，则|a＋b| ≤|a|＋|b|，当且仅当 ab≥0 时，等号成立；
定理 2：如果 a，b，c 是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0
时，等号成立.
2.绝对值不等式的解法
(1)含绝对值的不等式|x|<a 与|x|>a 的解集
(1)求不等式 f(x)≥1 的解集；
(2)若不等式 f(x)≥x2－x＋m 的解集非空，求 m 的取值范围.
{ ) －3，x ≤ －1，
解 (1)f(x)＝|x＋1|－|x－2|＝ 2x－1，－1 < x < 2， 3，x ≥ 2.
当 x≤－1 时，f(x)＝－3≥1 无解；
当－1<x<2 时，2x－1≥1，
2
2
5
2 －.
5
1
x
③当 x≥ 时，原不等式化为(x＋3)－(2x－1)< ＋1，解得 x>2，所以 x>2；
2
2
{ } 2
综上可知，原不等式的解集为 x|x < － 或x > 2 . 5
{ ) 2x＋4，x ≤ －1，
(2)①当 a＝1 时，f(x)＝ 2，－1 < x ≤ 2， －2x＋6，x > 2.
法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想.
法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想.
法三：通过构造函数，利用函数的图像求解，体现了函数与方程的思想.
[微点提醒]
1.在解决有关绝对值不等式的问题时，充分利用绝对值不等式的几何意义解决问 题能有效避免分类讨论不全面的问题.若用零点分段法求解，要掌握分类讨论的标 准，做到不重不漏. 2.绝对值三角不等式|a±b|≤|a|＋|b|，从左到右是一个放大过程，从右到左是缩小过 程，证明不等式可以直接用，也可利用它消去变量求最值.绝对值不等式是证明与 绝对值有关的不等式的重要工具，但有时还需要通过适当的变形使其符合绝对值 不等式的条件.
{ ) －2，x ≤ －1，
即 f(x)＝ 2x，－1 < x < 1， 2，x ≥ 1.
则当 x≥1 时，f(x)＝2>1 恒成立，所以 x≥1； 1
当－1<x<1 时，f(x)＝2x>1，所以 <x<1； 2
当 x≤－1 时，f(x)＝－2<1.
{ }1
故不等式 f(x)>1 的解集为 x|x > . 2
基础自测
1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)若|x|＞c 的解集为 R，则 c≤0.( ) (2)不等式|x－1|＋|x＋2|＜2 的解集为∅.( ) (3)对|a＋b|≥|a|－|b|当且仅当 a＞b＞0 时等号成立.( ) (4)对|a|－|b|≤|a－b|当且仅当|a|≥|b|时等号成立.( ) (5)对|a－b|≤|a|＋|b|当且仅当 ab≤0 时等号成立.( ) 答案 (1)× (2)√ (3)× (4)× (5)√
最大值为 7. (2)证明 因为|x－1＋a|＋|x－a|≥|(x－1＋a)－(x－a)|＝|2a－1|，又 a≥2，故|2a－ 1|≥3，即|x－1＋a|＋|x－a|≥3 成立. 规律方法 绝对值不等式性质的应用
利用不等式|a＋b|≤|a|＋|b|(a，b∈R)和|a－b|≤|a－c|＋|c－b|(a，b，c∈R)，通过
2
2
15
15
当－ ＜x≤ 时，由 6＞x－1，解得－ ＜x≤ ，
22
22
5
5
当 x＞ 时，由 4x－4>x－1，解得 x> .
2
2
综上得，所求不等式的解集为 R.
( )5
(2)由(1)作函数 f(x)的图像，点 A ，6 ，令 y＝ax－1，则其过定点 P(0，－1)，如 2
6－(－1)
图所示，由不等式|2x－5|＋|2x＋1|>ax－1 的解集为 R，可得－4≤a＜
解得 x≥1，则 1≤x<2；
当 x≥2 时，f(x)＝3≥1 恒成立，∴x≥2.
综上知 f(x)≥1 的解集为{x|x≥1}.
(1)求不等式 f(x)≤2 的解集；
(2)若直线 y＝kx－2 与函数 f(x)的图像有公共点，求 k 的取值范围.
{ ) { ) { ) 解 (1)由
f(x)≤2，得
x≤ 2－2x
1， ≤2
或
1< 0
x< ≤
4， 2
或
x ≥ 4， 2x－8 ≤ 2，
解得 0≤x≤5，故不等式 f(x)≤2 的解集为[0，5].
即
－9 < 2x－5 < 9， 2x－5 ≥ 3或2x－5 ≤
－3，
{ ) 解得
x
－2 < x < 7， ≥ 4或x ≤ 1，
不等式的解集为(－2，1]∪[4，7)．
答案 D
4.(2019·南阳第一中学月考)不等式|x－5|＋|x＋3|≥1 的解集是( )
A.[－5，7] C.(－∞，－5]∪[7，＋∞)