第二章 2.1 第二课时等式性质与不等式的性质

第二课时 等式性质与不等式的性质
课标要求
素养要求
1.掌握不等式的基本性质；
2.运用不等式的性质解决有关问题.
通过学习不等式的性质及运用不等式的性质解决问题，提升数学抽象及数学运算素养.
教材知识探究
在日常生活中，糖水中加些糖后就会变的更甜，也可以用不等式来表示这一现象.
问题 你能利用这一事实表示出糖水浓度不等式吗？
提示 糖水变甜这一现象对应的不等式为a b <a ＋c b ＋c
，其中a <b ，c >0.
1.等式的性质
性质1 如果a ＝b ，那么b ＝a ； 性质2 如果a ＝b ，b ＝c ，那么a ＝c ； 性质3 如果a ＝b ，那么a ±c ＝b ±c ； 性质4 如果a ＝b ，那么ac ＝bc ； 性质5 如果a ＝b ，c ≠0，那么a c ＝b c .
2.不等式的性质 注意这些性质是否可逆(易错点) 性质1 如果a >b ，那么b <a ；如果b <a ，那么a >b .即a >b b <a .
性质2 如果a >b ，b >c ，那么a >c ，即a >b ，b >c a >c . 性质3 如果a >b ，那么a ＋c >b ＋c .
性质4 如果a >b ，c >0，那么ac >bc ；如果a >b ，c <0，那么ac <bc . 性质5 如果a >b ，c >d ，那么a ＋c >b ＋d . 性质6 如果a >b >0，c >d >0，那么ac >bd . 性质7 如果a >b >0，那么a n >b n (n ∈N ，n ≥2).
教材拓展补遗
[微判断] 1.a >b
ac 2>bc 2.(×)
提示 当c ＝0时，不成立.
2.同向不等式相加与相乘的条件是一致的.(×)
提示 相乘需要看是否⎩⎨⎧a >b >0，
c >
d >0，而相加与正、负和零均无关系.
3.设a ，b ∈R ，且a >b ，则a 3>b 3.(√) [微训练]
1.已知a ，b ，m 是正实数，则不等式b ＋m a ＋m >b
a 成立的条件是( )
A.a <b
B.a >b
C.与m 有关
D.恒成立
解析
b ＋m a ＋m －b a ＝m （a －b ）a （a ＋m ），而a >0，m >0且m （a －b ）
a （a ＋m ）
>0，∴a －b >0.即a >b . 答案 B
2.已知m >n ，则( ) A.m 2>n 2 B.m >n C.mx 2>nx 2
D.m ＋x >n ＋x
解析 由于m 2－n 2＝(m －n )(m ＋n )，而m ＋n >0不一定成立，所以m 2>n 2不一定成立，而m ，n 不一定有意义，所以选项A ，B 不正确；选项C 中，若x 2＝0，则不成立. 答案 D [微思考]
1.若a >b ，c >d ，那么a ＋c >b ＋d 成立吗？a －c >b －d 呢？
提示 a ＋c >b ＋d 成立，a －c >b －d 不一定成立，但a －d >b －c 成立. 2.若a >b ，c >d ，那么ac >bd 成立吗？
提示 不一定，但当a >b >0，c >d >0时，一定成立.
题型一 利用不等式的性质判断命题的真假
【例1】 若1a <1
b <0，有下面四个不等式：①|a |>|b |，②a <b ，③a ＋b <ab ，④a 3>b 3，则不正确的不等式的个数是( ) A.0 B.1 C.2
D.3
解析 由1a <1
b <0可得b <a <0，从而|a |<|b |，①②均不正确；a ＋b <0，ab >0，则a ＋b <ab 成立，③正确；a 3>b 3，④正确. 故不正确的不等式的个数为2. 答案 C
规律方法 不等式的性质常与比较大小结合考查，此类问题一般结合不等式的性质，利用作差法或作商法求解，也可以用特殊值求解.
【训练1】 设a >b >0，c <d <0，则下列不等式中一定成立的是( ) A.ac >bd B.a d <b c C.a d >b c
D.ac 2<bd 2
解析 a >b >0，c <d <0，即为－c >－d >0， 即有－ac >－bd >0，即ac <bd <0，故A 错；
由cd >0，又ac <bd <0，两边同乘1cd ，可得a d <b
c ，则B 对，C 错； 由－c >－
d >0，－ac >－bd >0， 可得ac 2>bd 2，则D 错.故选B. 答案 B
题型二 利用不等式的性质证明不等式
解决此类问题一定要记准，记熟不等式的性质，并注意在解题中灵活地加以应用 【例2】 若bc －ad ≥0，bd >0，求证：a ＋b b ≤c ＋d
d . 证明 ∵bc －ad ≥0，∴bc ≥ad ，
∴bc ＋bd ≥ad ＋bd ， 即b (c ＋d )≥d (a ＋b ).
又bd >0，两边同除以bd 得，a ＋b b ≤c ＋d
d .
规律方法 1.不等式证明的实质是比较两个实数(代数式)的大小；
2.证明不等式可以利用不等式性质证明，也可以用作差比较法证明，利用不等式性质证明时，不可省略条件或跳步推导.
【训练2】 (1)已知a >b ，e >f ，c >0，求证：f －ac <e －bc . (2)a <b <0，求证：b a <a
b .
证明 (1)因为a >b ，c >0，所以ac >bc ，即－ac <－bc . 又e >f ，即f <e ，所以f －ac <e －bc .
(2)由于b a －a b ＝b 2－a 2ab ＝（b ＋a ）（b －a ）
ab ，
∵a <b <0，∴b ＋a <0，b －a >0，ab >0， ∴（b ＋a ）（b －a ）ab <0，故
b a <a b . 题型三 利用不等式的性质求范围
同向可加性，同向同正可乘性是解这类问题的常用性质 【例3】 已知1<a <6，3<b <4，求a －b ，a
b 的取值范围. 求解范围时，不可两式直接相减 解 ∵3<b <4，∴－4<－b <－3. ∴1－4<a －b <6－3，即－3<a －b <3. 又14<1b <13，∴14<a b <63， 即14<a b <2.
规律方法 求含字母的数(或式子)的取值范围时，一要注意题设中的条件，二要正确使用不等式的性质，尤其是两个同方向的不等式可加不可减，可乘(同正)不可除.
【训练3】 已知－π2<β<α<π
2，求2α－β的取值范围.
解 ∵－π2<α<π2，－π2<β<π
2， ∴－π2<－β<π
2.∴－π<α－β<π. 又∵β<α，∴α－β>0，∴0<α－β<π， 又2α－β＝α＋(α－β)，∴－π2<2α－β<3
2π.
一、素养落地
1.通过学习并理解不等式的性质，培养数学抽象素养，通过运用不等式的性质解决问题，提升数学运算素养.
2.利用不等式的性质证明简单的不等式是否成立，实际上就是根据不等式的性质把不等式进行适当的变形，证明过程中注意不等式成立的条件. 二、素养训练
1.设M ＝x 2，N ＝－x －1，则M 与N 的大小关系是( ) A.M >N B.M ＝N C.M <N
D.与x 有关
解析 M －N ＝x 2＋x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122
＋3
4>0.
∴M >N . 答案 A
2.设a ，b ∈R ，若a ＋|b |<0，则下列不等式中正确的是( ) A.a －b >0 B.a 3＋b 3>0 C.a 2－b 2<0
D.a ＋b <0
解析 本题可采用特殊值法，取a ＝－2，b ＝1，则a －b <0，a 3＋b 3<0，a 2－b 2>0，排除A ，B ，C ，故选D. 答案 D
3.若8<x <10，2<y <4，则x
y 的取值范围为________. 解析 ∵2<y <4，∴14<1y <1
2.
又∵8<x <10，∴2<x
y <5. 答案 2<x
y <5
4.下列命题中，真命题是________(填序号).
①若a >b >0，则1a 2<1
b 2；②若a >b ，则
c －2a <c －2b ；③若a <0，b >0，则－a <b ；④若a >b ，则2a >2b . 解析 ①a >b >0
0<1a <1b
1a 2<1
b 2；②a >b
－2a <－2b
c －2a <c －2b ；对③取a
＝－2，b ＝1，则－a <b 不成立.④正确. 答案 ①②④
5.已知c a >d
b ，b
c >a
d ，求证：ab >0.
证明 ∵⎩⎪⎨⎪⎧c a >d b ，bc >ad ，∴⎩⎪⎨⎪⎧c a －d b >0，bc －ad >0.∴⎩⎪⎨⎪⎧bc －ad ab >0，bc －ad >0，
∴ab >0.
基础达标
一、选择题
1.已知a <b <0，则下列式子中恒成立的是( ) A.1a <1
b B.1a >1b C.a 2<b 2
D.a b <1
解析 因为a <b <0，不妨令a ＝－3，b ＝－2， 则－13>－1
2，可排除A ； (－3)2>(－2)2，可排除C ； a b ＝－3
－2>1，可排除D ； 而－13>－12，即1a >1
b ，B 正确. 答案 B
2.设x <a <0，则下列不等式一定成立的是( ) A.x 2<ax <a 2 B.x 2>ax >a 2 C.x 2<a 2<ax
D.x 2>a 2>ax
解析 ∵x <a <0，∴x 2>a 2. ∵x 2－ax ＝x (x －a )>0，∴x 2>ax . 又ax －a 2＝a (x －a )>0，∴ax >a 2. ∴x 2>ax >a 2. 答案 B
3.设a <b <0，则下列不等式中不正确的是( ) A.2a >2b B.ac <bc C.|a |>－b
D.－a >－b 解析 a <b <0，则2a >2
b ，选项A 正确；当
c >0时选项B 成立，其余情况不成立，则选项B 不正确；|a |＝－a >－b ，则选项C 正确；由－a >－b >0，可得－a >－b ，则选项D 正确，故选B. 答案 B
4.已知a <0，b <－1，则下列不等式成立的是( ) A.a >a b >a b 2 B.a b 2>a b >a C.a b >a >a b 2
D.a b >a b 2>a
解析 由题意知a
b >0，b 2>1， 则a b 2>a ，且a b 2<0，所以a b >a b 2>a . 答案 D
5.若1<a <3，－4<b <2，那么a －|b |的范围是( ) A.－3<a －|b |≤3 B.－3<a －|b |<5 C.－3<a －|b |<3
D.1<a －|b |<4 解析 ∵－4<b <2，∴0≤|b |<4，∴－4<－|b |≤0. 又∵1<a <3，∴－3<a －|b |<3. 答案 C
二、填空题
6.若a >b >0，则a ＋1b ________b ＋1
a (用“<”，“>”，“＝”填空). 解析 法一 ∵a >
b >0，∴0<1a <1
b ， 即1b >1a >0，∴a ＋1b >b ＋1a .
法二 a ＋1b －(b ＋1a )＝（a －b ）（1＋ab ）
ab ，
∵a >b >0，∴a －b >0，ab >0，1＋ab >0， 则a ＋1b >b ＋1a . 答案 > 7.若a <b <0，则1a －b
与1
a 的大小关系是________. 解析
1a －b －1a ＝a －（a －b ）（a －b ）a ＝b （a －b ）a
， ∵a <b <0，∴a －b <0，则b （a －b ）a <0，1a －b <1
a
.
答案
1a －b <1
a
8.已知－π2≤α<β≤π
2，则α－β2的取值范围是________. 解析 ∵－π2≤α<β≤π2，∴－π4≤α2<β2≤π
4. ∴－π4≤α2<π
4，①
－π4<β2≤π4，∴－π4≤－β2<π4.② 由①＋②得－π2≤α－β2<π
2.
又知α<β，∴α－β<0.∴－π2≤α－β
2<0. 答案 －π2≤α－β
2<0 三、解答题
9.判断下列各命题的真假，并说明理由. (1)若a <b ，c <0，则c a <c
b ； (2)若a
c 3<bc 3，则a >b ； (3)若a >b ，且k ∈N *，则a k >b k ； (4)若a >b ，b >c 则a －b >b －c . 解 (1)∵a <b ，不一定有ab >0， ∴1a >1
b 不一定成立， ∴推不出
c a <c
b ，∴是假命题.
(2)当c >0时，c 3>0，∴a <b ，∴是假命题.
(3)当a ＝1，b ＝－2，k ＝2时，显然命题不成立，∴是假命题.
(4)当a ＝2，b ＝0，c ＝－3时，满足a >b ，b >c 这两个条件，但是a －b ＝2<b －c ＝3，∴是假命题. 10.已知c >a >b >0，求证：a c －a >b c －b
. 证明
a c －a －b
c －b ＝a （c －b ）－b （c －a ）（c －a ）（c －b ）
＝ac －ab －bc ＋ab （c －a ）（c －b ）＝c （a －b ）（c －a ）（c －b ）. ∵c >a >b >0，∴c －a >0，c －b >0，a －b >0. ∴c （a －b ）（c －a ）（c －b ）>0.∴a c －a >b c －b
. 能力提升
11.已知a >b >0，c <d <0，求证：⎝ ⎛⎭⎪⎫a d 3<⎝ ⎛⎭⎪⎫b c 3.
证明 ∵c <d <0，∴－c >－d >0， ∴0<－1c <－1
d .
∵a >b >0，∴－a d >－b
c >0，
∴⎝ ⎛⎭⎪⎫－a d 3
>⎝ ⎛⎭⎪⎫－b c 3
，即－⎝ ⎛⎭⎪⎫a d 3
>－⎝ ⎛⎭
⎪⎫b c 3
，
∴⎝ ⎛⎭⎪⎫a d 3<⎝ ⎛⎭
⎪⎫b c 3
. 12.已知1≤a ＋b ≤4，－1≤a －b ≤2，求4a －2b 的取值范围. 解 法一 设u ＝a ＋b ，v ＝a －b 得a ＝u ＋v 2，b ＝u －v
2， ∴4a －2b ＝2u ＋2v －u ＋v ＝u ＋3v . ∵1≤u ≤4，－1≤v ≤2，∴－3≤3v ≤6. 则－2≤u ＋3v ≤10，即－2≤4a －2b ≤10. 法二 令4a －2b ＝x (a ＋b )＋y (a －b )， ∴4a －2b ＝(x ＋y )a ＋(x －y )b . ∴⎩⎨⎧x ＋y ＝4，x －y ＝－2，∴⎩⎨⎧x ＝1，y ＝3. 又⎩
⎨⎧1≤a ＋b ≤4，－3≤3（a －b ）≤6. ∴－2≤4a －2b ≤10.。