矩阵的乘法运算

第三讲：矩阵的乘法运算及逆运算

一、矩阵的乘法运算

矩阵的乘法运算是矩阵的一种重要运算，这种运算的定义是从大量的实际模型中抽象出来的。一个m×n 的矩阵就是m×n 个数排成m 行n 列的一个数阵执有当矩阵A 的列数与矩阵B 的行数相等时A ×B 才有意义。一个m ×n 的矩阵a （m ,n )左乘一个n ×p 的矩阵b （n ,p )，会得到一个m ×p 的矩阵c （m ,p )，满足 矩阵乘法满足结合律，但不满足交换律

A 121381001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭

B 121022001⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭

E 100010001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ →100310001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭

E *3 则A*E *3=B 求证 既求

121381001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭×100310001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭=121022001⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭

=B

例 2112-⎛⎫ ⎪-⎝⎭×1324⎛⎫ ⎪⎝⎭=2112-⎛⎫ ⎪-⎝⎭×12⎛⎫ ⎪⎝⎭×2112-⎛⎫ ⎪-⎝⎭×34⎛⎫ ⎪⎝⎭=0235⎛⎫ ⎪-⎝

⎭

A m 行

B n 列 则

C m n +行 列

A m =

B n

它的行与第一行的矩阵相同，列与第二个矩阵的列相同

二、矩阵的逆

逆矩阵： 设A 是数域上的一个n 阶方阵，若在相同数域上存在另一个n 阶矩阵B ，使得： AB=BA=E 。 则我们称B 是A 的逆矩阵，而A 则被称为可逆矩阵。

1327⎛⎫ ⎪⎝⎭a c b d ⎛⎫

⎪⎝⎭=1001⎛⎫

⎪⎝⎭

解1：1327⎛⎫ ⎪⎝⎭a b ⎛⎫ ⎪⎝⎭=1

001⎛⎫

⎪⎝⎭

！

解1：1327⎛⎫

⎪⎝⎭c d ⎛

⎫

⎪⎝⎭=01⎛⎫

⎪⎝⎭

解方程：

a +3

b =1

2a+7b=0

c+3d=0

2c+7d=1

写出增广矩阵()A b 131270⎛⎫

⎪⎝⎭→107012⎛⎫

⎪⎝⎭

()2A b 130270⎛⎫ ⎪⎝⎭→

103011-⎛⎫

⎪⎝⎭

a,b,c,d 得 a c b d ⎛⎫ ⎪⎝⎭=7

321-⎛⎫

⎪-⎝⎭

解2（A ，b 1，b 2 ）=13102701⎛

⎫ ⎪⎝⎭=107

3012

1-⎛⎫ ⎪-⎝⎭

A 1-=7321-⎛⎫

⎪-⎝⎭

（A ，E ）行变换→（E ，A -1）

问：什么样的A 可逆

1矩阵不可逆

2必须为方阵形矩阵

3 A 为降秩不可逆

注：秩是阶梯型矩阵中的非零行行数A为满秩则为秩二阶

例A

13

26

⎛⎫

⎪

⎝⎭

→

13

00

⎛⎫

⎪

⎝⎭

所以R（A）＝1≠2 A不可逆

A

123

479

321

⎛⎫

⎪

⎪

⎪

⎝⎭

→

123

0-1-3

004

⎛⎫

⎪

⎪

⎪

⎝⎭

三阶非零行R（A）=3 所以A可逆

一个矩阵如果可逆一定可以化为与它同阶的单位矩阵

A～EA A～E (A相当于E)

三、逆矩阵的求法:

A^(-1)=(1/|A|)×A* ，其中A^(-1)表示矩阵A的逆矩阵，其中|A|为矩阵A的行列式A*为矩阵A的伴随矩阵。

逆矩阵的另外一种常用的求法：

(A|E)经过初等变换得到(E|A^(-1))。

注意：初等变化只用行（列）运算，不能用列（行）运算。E为单位矩阵。

一般计算中，或者判断中还会遇到以下11种情况来判断逆矩阵：

1、秩等于行数

2、行列式不为0

3、行向量(或列向量)是线性无关组

4、存在一个矩阵,与它的乘积是单位阵

5、作为线性方程组的系数有唯一解

6、满秩

7、可以经过初等行变换化为单位矩阵

8、伴随矩阵可逆

9、可以表示成初等矩阵的乘积

10、它的转置可逆

11、它去左(右)乘另一个矩阵,秩不变