坐标系与参数方程(知识总结)

坐标系与参数方程

【要点知识】

一、坐标系

1.平面直角坐标系中的伸缩变换

设点(,)P x y 是平面直角坐标系xOy 中的任意一点，在变换(0)

:(0)x x y y λλϕμμ'=>⎧⎨'=>⎩

的作用

下，点(,)P x y 对应到点(,)P x y '''，我们把ϕ称为平面直角坐标系xOy 中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换.

2.极坐标系

（1）极坐标系的概念

如图所示，在平面内取一个定点O ，叫做极点；自极点O 引一条射线Ox ，叫做极轴；再选定一个长度单位，一个角度单位（通常取弧度）及其正方向（通常取逆时针方向），这样我们就建立了一个极坐标系.

（2）极坐标

设点M 是平面内一点，极点O 与点M 的距离叫做点M 的极径，记为ρ；以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的xOM ∠叫做点M 的极角，记为θ. 我们把有序数对(,)ρθ叫做点M 的极坐标，记为(,)M ρθ. （3）极径、极角的取值范围

一般地，极径0ρ≥，极角R θ∈.

3.极坐标与直角坐标之间的互化

如图所示，设点M 是平面内任意一点，记点M 的直角坐标为(,)x y ，极坐标为(,)ρθ. 我们可以得到极坐标与直角坐标之间如下关系：

（ⅰ）直角坐标化极坐标：cos x ρθ=，sin y ρθ=； （ⅱ）极坐标化直角坐标：2

2

2

x y ρ=+，tan y

x

θ=

（0x ≠）.

【注】上面两类关系式是我们进行极坐标与直角坐标互化的重要关系式. 解题时，大家要根据题意灵活选用.

4.几个简单曲线的极坐标方程

（1）圆的极坐标方程：圆心在(,0)C a （0a >），半径为a 的圆的极坐标方程为

2cos a ρθ=；

（2）直线的极坐标方程：经过极点，从极轴到直线的角是

4

π

的直线l 的极坐标方程为4

πθ=

和54

πθ=

.

5.柱坐标系与球坐标系 （1）柱坐标系

如图所示，建立空间直角坐标系Oxyz ，设点P 是空间中任意一点，它在Oxy 平面上的射影为点Q ，用(,)ρθ（0ρ≥，02θπ≤<）表示点Q 在Oxy 平面上的极坐标，这时点P

的位置可用有序数组(,,)z ρθ（z R ∈）表示. 我们把建立上述对应关系的坐标系叫做柱坐标系；相应地，把有序数组(,,)z ρθ叫做点P 的柱坐标，记作(,,)P z ρθ，其中0ρ≥，

02θπ≤<，z R ∈.

【注】直角坐标与柱坐标互化的变换公式： （2）球坐标系

如图所示，建立空间直角坐标系Oxyz ，设点P 是空间中任意一点，连结OP ，记

OP r =，OP 与Oz 轴正向所夹的角为ϕ，设点P 在Oxy 平面上的射影为点Q ，Ox 轴按

逆时针方向旋转到OQ 时所转过的正角为θ，这样点P 的位置就可以用有序数组(,,)r ϕθ表示. 我们把建立上述对应关系的坐标系叫做球坐标系（或空间极坐标系）；相应地，把有序数组(,,)r ϕθ叫做点P 的球坐标，记作(,,)P r ϕθ，其中0r ≥，0ϕπ≤≤，02θπ≤<.

【注】直角坐标与球坐标互化的变换公式：cos cos cos sin sin x r y r z r θϕ

θϕθ=⎧⎪

=⎨⎪=⎩

二、参数方程

1.参数方程的概念

一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x ，y 都是某个变数t 的函

数()()x f t y g t =⎧⎨=⎩

①，并且对于t 的每一个允许值，由方程组①所确定的点(,)P x y 都在这条曲线

上，那么我们就把方程组①叫做这条曲线的参数方程，而把联系变数x ，y 的变数t 叫做参变数，简称参数.

2.参数方程与普通方程之间的互化

曲线的参数方程与普通方程是曲线方程的两种不同形式. 一般地，可以通过消去参数，由参数方程得到普通方程；反之，如果已知变数x ，y 中的一个与参数t 的关系，例如

()x f t =，则我们可以通过把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系()y g t =，

由此得到的方程组()()x f t y g t =⎧⎨=⎩

就是该曲线的参数方程.

【注】在解决参数方程与普通方程互化的问题时，必须要使x ，y 的取值范围保持一致.

3.几个简单曲线的参数方程

（1）圆的参数方程：圆心在原点O ，半径为r 的圆的参数方程为cos sin x r y r θ

θ=⎧⎨=⎩

（θ为参数）；

（2）椭圆的参数方程：中心在原点O ，焦点在x 轴上的椭圆的参数方程为cos sin x a y b ϕ

ϕ

=⎧⎨=⎩（ϕ为参数）；

（3）双曲线的参数方程：中心在原点O ，焦点在x 轴上的双曲线的参数方程为

sec tan x a y b ϕϕ=⎧⎨

=⎩

（ϕ为参数），这里，sec ϕ是ϕ的正割函数，并且1

sec cos ϕϕ=； （4）抛物线的参数方程：以原点O 为顶点，以x 轴为对称轴，开口向右的抛物线

2

2y px =（0p >）（不包括原点）的参数方程为22tan 2tan p x p y αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩

（α为参数）；

（5）直线的参数方程：过点000(,)M x y ，倾斜角为α（2

π

α≠）的直线l 的参数方程

为00cos sin x x t y y t α

α

=+⎧⎨

=+⎩（t 为参数）；

（6）渐开线的参数方程：(cos sin )

(sin cos )x r y r ϕϕϕϕϕϕ=+⎧⎨

=-⎩

（ϕ为参数）；

（7）摆线的参数方程：(sin )

(1cos )

x r y r ϕϕϕ=-⎧⎨=-⎩（ϕ为参数）.