8.1 空间几何体的结构、三视图和直观图练习题

§8.1 空间几何体的结构、三视图和直观图

一、选择题

1．以下关于几何体的三视图的论述中，正确的是( )．

A．球的三视图总是三个全等的圆

B．正方体的三视图总是三个全等的正方形

C．水平放置的正四面体的三视图都是正三角形

D．水平放置的圆台的俯视图是一个圆

解析画几何体的三视图要考虑视角，但对于球无论选择怎样的视角，其三视图总是三个全等的圆．

答案 A

2. 设四面体的六条棱的长分别为1，1，1，1a且长为a

棱异面，则a的取值范围是（）

（A）（B）（C）（D）

答案 A

3. 下列四个几何体中，几何体只有正视图和侧视图相同的是( )

A．①② B．①③

C．①④ D．②④

解析由几何体分析知②④中正视图和侧视图相同．

答案：D

4．一个平面四边形的斜二测画法的直观图是一个边长为a 的正方形，则原平面四边形的面积等于( )． A.

24a 2 B ．22a 2 C.22a 2 D.223

a 2 解析 根据斜二测画法画平面图形的直观图的规则，可以得出一个平面图形的面积S 与它的直观图的面积S ′之间的关系是S ′＝

2

4

S ，本题中直观图的面积为a 2，所以原平面四边形的面积等于

a 224

＝22a 2.故选B.

答案

B

5．将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如下图所示，则该几何体的侧视图为( )．

解析 被截去的四棱锥的三条可见侧棱中有两条为长方体的面对角线，它们在右侧面上的投影与右侧面(长方形)的两条边重合，另一条为体对角线，它在右侧面上的投影与右侧面的对角线重合，对照各图，只有选项D 符合． 答案 D

6．如下图，某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形，且体积为1

2，则

该几何体的俯视图可能是( )．

解析当俯视图为A中正方形时，几何体为边长为1的正方体，体积为1；当俯

视图为B中圆时，几何体为底面半径为1

2

，高为1的圆柱，体积为

π

4

；当俯视图

为C中三角形时，几何体为三棱柱，且底面为直角边长为1的等腰直角三角形，

高为1，体积为1 2 .

答案 C

7. 若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是( )

解析由正视图可排除A，C；由侧视图可判断该几何体的直观图是B.

答案 B

二、填空题

8．利用斜二测画法得到的：

①三角形的直观图一定是三角形；

②正方形的直观图一定是菱形；

③等腰梯形的直观图可以是平行四边形；

④菱形的直观图一定是菱形．

以上结论正确的个数是________．

解析由斜二测画法的规则可知①正确；②错误，是一般的平行四边形；③错误，等腰梯形的直观图不可能是平行四边形；而菱形的直观图也不一定是菱形，④也错误．

答案 1

9．一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正(主)视图与侧(左)视图分别如图所示，则该几何体的俯视图为________．

解析由三视图中的正(主)、侧(左)视图得到几

何体的直观图如图所示，所以该几何体的俯视图为③.

答案③

10. 用单位正方体块搭一个几何体，使它的正视图和俯视图如图所示，则它的体积的最大值为________，最小值为________．

解析由俯视图及正视图可得，如图所示，由图示可得体积的最大值为14，体积的最小值为9.

答案 14 9

11．如图，网格纸的小正方形的边长是1，在其上用粗线画出了某多面体的三视图，则这个多面体最长的一条棱的长为________．

解析(构造法)由正视图和俯视图可知几何体是

正方体切割后的一部分(四棱锥C1- ABCD)，还原

在正方体中，如图所示．多面体最长的一条棱即

为正方体的体对角线，如图即AC1.由正方体棱长

AB＝2知最长棱AC

1

的长为2 3.

答案2 3

【点评】构造正方体，本题就很容易得出结论，此种方法在立体几何问题中较为常见，把抽象问题转化为直观问题解决．

12．如果一个几何体的三视图如图所示，其中正视图中△ABC是边长为2的正三角形，俯视图为正六边形，那么该几何体的侧视图的面积为________．

解析

可知其底面正六边形的边长为1，棱锥的高为h＝ 3.由于三视图中“宽相等”，那么侧视图中的三角形的底边边长与俯视图中正六边形的高相等，可得其长度为

3，则该几何体的侧视图的面积为S＝1

2

×3×3＝

3

2

.

答案3 2

三、解答题、

13．如下的三个图中，上面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图，它的正视图和侧视图在下面画出(单位：cm)．

(1)在正视图下面，按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图；

(2)按照给出的尺寸，求该多面体的体积；

解析 (1)如图．

(2)所求多面体的体积

V ＝V 长方体－V 正三棱锥＝4×4×6－13

×⎝ ⎛⎭

⎪⎫12×2×2×2 ＝284

3

(cm 3)． 14．正四棱锥的高为3，侧棱长为7，求侧面上斜高(棱锥侧面三角形的高)为多少？

解析 如图所示，正四棱锥S-ABCD 中， 高OS ＝3，侧棱SA ＝SB ＝SC ＝SD ＝7， 在Rt △SOA 中，

OA ＝SA 2－OS 2＝2，∴AC ＝4. ∴AB ＝BC ＝CD ＝DA ＝2 2. 作OE ⊥AB 于E ，则E 为AB 中点． 连接SE ，则SE 即为斜高，

在Rt △SOE 中，∵OE ＝1

2BC ＝2，SO ＝3，

∴SE ＝5，即侧面上的斜高为 5.