概率的基本运算法则
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概率的加法公式
若事件A,B互不相容，P ( A U B ) = P ( A) + P ( B ) 互不相容， 若事件 互不相容 证明： 证明：仅就古典概型证明 设试验的样本空间的样本点数是n 设试验的样本空间的样本点数是 ， 事件A,B包含的样本点数分别是 ，b 包含的样本点数分别是a 事件 包含的样本点数分别是 因为事件A,B互不相容，没有公共的样本点， 互不相容，没有公共的样本点， 因为事件 互不相容 所以， 包含的样本点数是a+b 所以，事件A U B 包含的样本点数是
A
B = A U ( B − A).
P ( B ) = P ( A) + P ( B − A)
∴ P ( B − A) = P ( B ) − P ( A ) ≥ 0
一般情况下， 一般情况下，如图所示
B
AB
P ( B − A) = P ( B − AB ) (Q AB ⊂ B )
= P ( B ) − P ( AB )
(2) P ( B − A) = P ( B ) − P ( AB )
包含于B， 当A包含于 ，即AB=A， 包含于
P ( B − A) = P ( B ) − P ( A)
1 1 例2 已知P ( A) = , P( B) = , 求下列情况下P( B A)的值. 3 2 1 (1) A与B互斥 (2) A ⊂ B (3) P ( AB ) = 8 解 : (1) Q A与B互斥 ∴ B ⊂ A 从而B A = B, 1 ∴ P ( B A) = P ( B ) = 2 解 : (2) Q A ⊂ B ∴ P ( B A) = P( B − A) = P ( B ) − P( A) 1 = 6 = P ( B − AB ) 解 : (3) P ( B A) = P ( B − A) 3 = P ( B) − P ( AB ) = 8
A
A,B是任意两个事件，则 是任意两个事件， 是任意两个事件
B
B− A
P ( A U B ) = P ( A) + P ( B ) − P ( AB ).
证明 如图所示，事件 A U B 是互 如图所示， 不相容事件A与 的并： 不相容事件 与B-A的并： 的并
A
A U B = A + ( B − A),
1 = P (Ω ) = P ( A) + P ( A)
∴ P ( A) = 1 − P ( A)
假设每人的生日在一年365天中任一天是等可能 例1 假设每人的生日在一年 天中任一天是等可能 班中有n名学生 的,班中有 名学生，试求有人生日是同一天的概率。 班中有 名学生，试求有人生日是同一天的概率。 解: 他们生日都不相同的概率是
P ( A U B ) = P ( A) + P ( B − A) = P ( A) + P ( B ) − P ( AB )
推广至三个事件 (多除少补 )
P ( A U B U C ) = P ( A) + P ( B ) + P ( C )
− P ( AB ) − P ( BC ) − P ( AC ) + P ( ABC )
a+b a b P ( A U B) = = + = P ( A) + P ( B ) n n n
推广： 推广：任意有限个互不相容事件 A1 , A2 ,L, An
P ( A1 U A2 UL U An ) = P ( A1 )+ P ( A2 ) + L + P ( An )
推论1 推论1 任事件A，有 P ( A) = 1 − P ( A ) 证： Q A U A = Ω , A I A = Φ
C
B
A
总结
(1) P ( A U B ) = P ( A) + P ( B ) − P ( AB ).
当A,B互不相容，即P ( AB ) = 0, 互不相容， 互不相容
P ( A U B ) = P ( A) + P ( B )
当B是A的对立事件，即 B = A, 的对立事件， 是 的对立事件
P ( A) + P ( A) = 1
我们利用软件包进行数值计算计算可得下述结果 我们利用软件包进行数值计算计算可得下述结果: 计算可得下述结果
推论2 推论2
A ⊂ B, P ( A) ≤ P ( B ),
P ( B − A) = P ( B ) − P ( A).
B− A
B
证明: 如图所示，事件B是互不 证明 如图所示，事件 是互不 相容事件A与 的并： 相容事件 与B-A的并： 的并
P ( A ) + P ( B ) = 1, ∴ P ( B ) = 1 − p
例 2 已知事件 A, B 满足
P( AB ) = P ( A B),
且 P ( A) = p, 求 Fra Baidu bibliotek ( B ).
解： Q P ( AB ) = P ( A ) + P ( B ) − P ( A + B )
P ( AB ) = P ( A B ) = P ( A + B ) = 1 − P ( A + B )
365 ⋅364 L (365 − n + 1)
365 n 有人生日是同一天的概率是 p = 1 − 365 ⋅ 364 ⋅ L ⋅ ( 365 − n + 1) . 365n
64 个人的班级里，有人生日是同一天的概率是 个人的班级里，
365 ⋅ 364 ⋅ L ⋅ ( 365 − 64 + 1) = 0.997 . p = 1− 36564
若事件A,B互不相容，P ( A U B ) = P ( A) + P ( B ) 互不相容， 若事件 互不相容 证明： 证明：仅就古典概型证明 设试验的样本空间的样本点数是n 设试验的样本空间的样本点数是 ， 事件A,B包含的样本点数分别是 ，b 包含的样本点数分别是a 事件 包含的样本点数分别是 因为事件A,B互不相容，没有公共的样本点， 互不相容，没有公共的样本点， 因为事件 互不相容 所以， 包含的样本点数是a+b 所以，事件A U B 包含的样本点数是
A
B = A U ( B − A).
P ( B ) = P ( A) + P ( B − A)
∴ P ( B − A) = P ( B ) − P ( A ) ≥ 0
一般情况下， 一般情况下，如图所示
B
AB
P ( B − A) = P ( B − AB ) (Q AB ⊂ B )
= P ( B ) − P ( AB )
(2) P ( B − A) = P ( B ) − P ( AB )
包含于B， 当A包含于 ，即AB=A， 包含于
P ( B − A) = P ( B ) − P ( A)
1 1 例2 已知P ( A) = , P( B) = , 求下列情况下P( B A)的值. 3 2 1 (1) A与B互斥 (2) A ⊂ B (3) P ( AB ) = 8 解 : (1) Q A与B互斥 ∴ B ⊂ A 从而B A = B, 1 ∴ P ( B A) = P ( B ) = 2 解 : (2) Q A ⊂ B ∴ P ( B A) = P( B − A) = P ( B ) − P( A) 1 = 6 = P ( B − AB ) 解 : (3) P ( B A) = P ( B − A) 3 = P ( B) − P ( AB ) = 8
A
A,B是任意两个事件，则 是任意两个事件， 是任意两个事件
B
B− A
P ( A U B ) = P ( A) + P ( B ) − P ( AB ).
证明 如图所示，事件 A U B 是互 如图所示， 不相容事件A与 的并： 不相容事件 与B-A的并： 的并
A
A U B = A + ( B − A),
1 = P (Ω ) = P ( A) + P ( A)
∴ P ( A) = 1 − P ( A)
假设每人的生日在一年365天中任一天是等可能 例1 假设每人的生日在一年 天中任一天是等可能 班中有n名学生 的,班中有 名学生，试求有人生日是同一天的概率。 班中有 名学生，试求有人生日是同一天的概率。 解: 他们生日都不相同的概率是
P ( A U B ) = P ( A) + P ( B − A) = P ( A) + P ( B ) − P ( AB )
推广至三个事件 (多除少补 )
P ( A U B U C ) = P ( A) + P ( B ) + P ( C )
− P ( AB ) − P ( BC ) − P ( AC ) + P ( ABC )
a+b a b P ( A U B) = = + = P ( A) + P ( B ) n n n
推广： 推广：任意有限个互不相容事件 A1 , A2 ,L, An
P ( A1 U A2 UL U An ) = P ( A1 )+ P ( A2 ) + L + P ( An )
推论1 推论1 任事件A，有 P ( A) = 1 − P ( A ) 证： Q A U A = Ω , A I A = Φ
C
B
A
总结
(1) P ( A U B ) = P ( A) + P ( B ) − P ( AB ).
当A,B互不相容，即P ( AB ) = 0, 互不相容， 互不相容
P ( A U B ) = P ( A) + P ( B )
当B是A的对立事件，即 B = A, 的对立事件， 是 的对立事件
P ( A) + P ( A) = 1
我们利用软件包进行数值计算计算可得下述结果 我们利用软件包进行数值计算计算可得下述结果: 计算可得下述结果
推论2 推论2
A ⊂ B, P ( A) ≤ P ( B ),
P ( B − A) = P ( B ) − P ( A).
B− A
B
证明: 如图所示，事件B是互不 证明 如图所示，事件 是互不 相容事件A与 的并： 相容事件 与B-A的并： 的并
P ( A ) + P ( B ) = 1, ∴ P ( B ) = 1 − p
例 2 已知事件 A, B 满足
P( AB ) = P ( A B),
且 P ( A) = p, 求 Fra Baidu bibliotek ( B ).
解： Q P ( AB ) = P ( A ) + P ( B ) − P ( A + B )
P ( AB ) = P ( A B ) = P ( A + B ) = 1 − P ( A + B )
365 ⋅364 L (365 − n + 1)
365 n 有人生日是同一天的概率是 p = 1 − 365 ⋅ 364 ⋅ L ⋅ ( 365 − n + 1) . 365n
64 个人的班级里，有人生日是同一天的概率是 个人的班级里，
365 ⋅ 364 ⋅ L ⋅ ( 365 − 64 + 1) = 0.997 . p = 1− 36564