概率的基本运算法则
概率统计基础知识--简略版
（a）A-B
（b）A-B（ A B ）
事件运算性质：
—— 交换律：A B B A ，A B B A —— 结合律 A B C A B C 运算相同：
A B C A B C
—— 分配律 A B C A B A C 运算不同：
事件H=“两次抽到的结果一致” ={(0,0), (1,1)} 若这批产品10000件中合格品与不合格品各占一半，且产品分布均匀随机，则 • P（A）=？ • P（B）=？ • P（C）=？ • P（H）=？ 若批产品总数10000件中不合格品有2000件，结果会怎样呢？
2016/4/16 中级概率1 19
在一个随机现象中有两个事件A与B，若 事件A与B没有相同的样本点，则称A与B互不 相容。
可推广到三个或更多个事件间的互不相容
—— 相等：A=B即AB且B A 两个随机事件A与B，若样本A与B含有相同的 样本点，则称事件A与B相等。
投掷骰子2次：A={（x，y）：x + y =奇数} B={（x，y）：x与y的奇偶性不同} 则： A=B= (1,2),(1,4),(1,6),(2.1),(2,3),(2,5) (3,2),(3,4),(3,6)…
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中级概率1
25
三、概率的性质及其运算法则 概率的性质：（可由概率的定义看出）
—— 性质1：对任意事件A，有0≤P(A)≤1；
—— 性质2： P ( A) 1 P ( A)
—— 性质3：若AB 则P（A-B）=P（A）-P（B）
三、概率的性质及其运算法则 概率的性质：（可由概率的定义看出） —— 性质4：P（A∪B）=P（A）+P（B）-P（AB）
概率运算公式
概率运算公式
概率运算是描述事件发生可能性的一种方法，它是基于数学理论的。
在概率运算中，有许多基本的公式被广泛使用。
接下来，我们将介绍一些常用的概率运算公式。
1. 加法法则：对于两个不相交的事件A和B，它们的并集概率
等于它们各自的概率之和。
P(A∪B) = P(A) + P(B)
2. 乘法法则：对于两个独立事件A和B，它们的交集概率等于
它们各自的概率之积。
P(A∩B) = P(A) × P(B)
3. 全概率公式：对于一个事件A，如果它可以分解成一系列互
不相交的事件{B1, B2, ..., Bn}的并集，那么有：
P(A) = Σ P(Bi) × P(A|Bi)
其中，P(A|Bi)表示在Bi发生的条件下，事件A发生的概率。
4. 贝叶斯公式：对于一个事件A和一系列互不相交的事件{B1, B2, ..., Bn}，如果已知它们的先验概率P(Bi)和在各个条件下的条件概率P(A|Bi)，那么有：
P(Bi|A) = P(Bi) × P(A|Bi) / Σ P(Bj) × P(A|Bj) 其中，P(Bi|A)表示在事件A发生的条件下，事件Bi发生的概率。
以上是概率运算中常用的一些公式，它们在实际应用中非常重要，可以帮助我们更好地理解事件发生的可能性。
- 1 -。
概率论知识点
第一章 随机事件及其概率§1.1 随机事件及其运算随机现象：概率论的基本概念之一。
是人们通常说的偶然现象。
其特点是,在相同的条件下重复观察时,可能出现这样的结果,也可能出现那样的结果,预先不能断言将出现哪种结果.例如,投掷一枚五分硬币,可能“国徽”向上,也可能“伍分”向上;从含有5件次品的一批产品中任意取出3件,取到次品的件数可能是0,1,2或3.随机试验：概率论的基本概念之一.指在科学研究或工程技术中,对随机现象在相同条件下的观察。
对随机现象的一次观察(包括试验、实验、测量和观测等),事先不能精确地断定其结果,而且在相同条件下可以重复进行,这种试验就称为随机试验。
样本空间: 概率论术语。
我们将随机试验E 的一切可能结果组成的集合称为E 的样本空间,记为Ω。
样本空间的元素,即E 的每一个结果,称为样本点。
随机事件：实际中,在进行随机试验时,人们常常关心满足某种条件的那些样本点所组成的集合.称试验E 的样本空间Ω的子集为E 的随机事件,简称事件.在每次试验中,当且仅当这一子集中的一个样本点出现时,称这一事件发生.特别,由一个样本点组成的单点集,称为基本事件.样本空间Ω包含所有的样本点,它是Ω自身的子集,在每次试验中它总是发生的,称为必然事件.空集Ø不包含任何样本点,它也作为样本空间的子集,它在每次试验中都不发生,称为不可能事件.互斥事件（互不相容事件）: 若事件A 与事件B 不可能同时发生，亦即ΦB A = ，则称事件A 与事件B 是互斥(或互不相容)事件。
互逆事件: 事件A 与事件B 满足条件ΦB A = ，Ω=B A ,则称A 与B 是互逆事件，也称A 与B 是对立事件,记作A B =（或B A =）。
互不相容完备事件组：若事件组n A A A ,,21满足条件ΦA A j i = ，（n 1,2j i, =），Ω== n 1i i A,则称事件组n A A A ,,21为互不相容完备事件组(或称n A A A ,,21为样本空间Ω的一个划分)。
第二章 随机事件与概率
古典概率
1、古典概型（等可能性概型）
（1）试验结果只有有限个； （2）每个结果出现的可能性相同。 如抛一颗骰子，出现的结果为{1点，2点…，6点} 共有6个结果，每个结果出现的可能性都是1/6， 因此这个试验就是古典概型.
2、概率的古典定义 若互斥完备群由有限的n个基本事件构成， 而事件A包含m个基本事件，则事件A发生的概率为
（一）条件概率
已知事件A发生的条件下， 事件B发生的概率称为 A条件下B的条件概率，记作P(B|A)
【例13 】 设袋中有3个白球，2个红球，现从袋 中任意抽取两次，每次取一个，取后不放回，已 知第一次取到红球，求第二次也取到红球的概率
设A：第一次取到红球, B：第二次取到红球
P ( B | A) 1
2、对立事件加法 证： A A Φ, A A Ω
P ( A) 1 P ( A).
【例12】 20片药片中,有黄连素15片,穿心莲5片, 随机抽取3片, 求其中至少有1片穿心莲的概率。 解：设 Ai = {任取3片中有i片穿心莲}，i=0,1,2,3
B={3片中至少有1片穿心莲} 3 0 C15C5 P( B) 1 P( A0 ) 1 3 1 0.3991 0.6009 C20 3、一般加法 A,B任意,P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)
【例11】 20片药片中,有黄连素15片,穿心莲5 片, 随机抽取3片, 求其中至少有2片穿心莲的 概率。 解：设 Ai ={任取3片中有i片穿心莲}，i=0,1,2,3
B={3片中至少有2片穿心莲} 则 B A2 A3 ，故 P ( B) P( A2 A3 ) P( A2 ) P( A3 ) 1 2 0 3 C15 C5 C15 C5 0.1404 3 3 C 20 C 20
概率论与数理统计复习汇总
第二章：随机变量及其相关内容
基本概念：随机变量、分布律、概率密度、分布函数 随机变量：设随机试验的样本空间为 S = {e}, X = X (e) 是定义在样本空间 S 上的
实值单值函数，称 X = X (e) 为随机变量. ( 样本点到数的对应法则) 随机变量的分类：离散型随机变量和连续型随机变量(基于 r.v. 的取值类型) 离散型随机变量 取值为有限个或者无限可列个的随机变量 分布律 若 r.v. X 的取值为 x1, x2 , , xn , 对应概率值为 p1, p2 , , pn , ，即
(1) 任取一件产品为次品的概率是多少？ (2) 已知取得的产品为次品，求此次品来自甲厂生产的概率是多少？ 2. 人们为了了解一支股票未来一定时期内价格的变化，往往会去分析影响股票 价格的基本因素，比如利率的变化. 现假设人们经分析评估知利率下降的概率为 60%，利率不变的概率为 40%.根据经验，人们估计，在利率下调的情况下，该
一个划分.或者 B1, B2 , , Bn 为一个完备事件组.
全概率公式：设设 S 为随机试验 E 的样本空间， B1, B2, , Bn 为一个完备事件组，
则有 P( A) = P(B1)P( A B1) + P(B2 )P( A B2 ) + + P(Bn )P( A Bn )
Bi 称为原因， A 称为结果；全概率公式由原因找结果； 贝叶斯公式： 由结果找造成的原因
运算规律：德摩根律 AB = A ∪ B; A ∪ B = AB
加法原理： n1 + n2 + + nm (分类)，乘法原理： n1 ⋅ n2 ⋅ ⋅ nm (分步)
概率论与数理统计考点
《概率论与数理统计》 第一章 随机事件与概率事件之间的关系： 事件之间的运算： 运算法则：交换律A ∪B=B ∪A A ∩B=B ∩A结合律(A ∪B)∪C=A ∪(B ∪C) (A ∩B)∩C=A ∩(B ∩C) 分配律(A ∪B)∩C=(AC)∪(BC) (A ∩B)∪C=(A ∪C)∩(B ∪C) 对偶律 A ∪B ‾‾ =A ‾∩B ‾ A ∩B ‾‾ =A ‾∪B ‾ 古典概型： 概率公式：求逆公式 P(A ‾)=1- P(A)加法公式 P(A ∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)P(A ∪B ∪C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC) 求差公式：P(A-B)=P(A)-P(AB); 当A ⊃B 时，有P(A-B)=P(A)-P(B)注意： A-B = A B ‾ = A-AB = (A ∪B)-B条件概率公式：P(A|B)=P(AB)P(B); (P(B)>0)P(A|B)表示事件B 发生的条件下，事件A 发生的概率。
乘法公式：P(AB)=P(A)P(B|A)= P(B)P(A|B) (其中P(A)>0, P(B)>0) 一般有P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB) (其中P(AB)>0)全概率公式：P(A)= ∑i=1nP(A|B i )P(B i ) 其中B 1,B 2,…,B n 构成Ω的一个分斥。
贝叶斯公式：P(A k |B)= P(B|A k )P(A k )P(B) = P(B|A k )P(A k )∑i=1nP(B|A i )P(A i )（由果溯因）概论的性质：事件的独立性：如果事件A 与事件B 满足P(AB)=P(A)P(B)，则称事件A 与事件B 相互独立。
结论：1. 如果P(A)>0，则事件A 与B 独立⇔2. 事件A 与事件B 独立⇔事件A 与事件B ‾独立⇔事件A ‾与事件B 独立⇔事件A ‾与事件B ‾独立贝努里概型：指在相同条件下进行n 次试验；每次试验的结果有且仅有两种A 与A ‾；各次试验是相互独立；每次试验的结果发生的概率相同P(A)=p, P(A‾)=1-p 。
概率的基本性质【新教材】人教A版高中数学必修第二册课件
2,P(E∪F)=P(E)+P(F)=0.
特别地,当事件A或事件B至少有一个是不可能事件时,A∩B=∅,此时也有P(A∩B)=0.
12
因为P(A)=0.
45,P(AB)=0.
P(A1)+P(A2)+…+P(Am)
P(A)+P(B)-P(A∩B)
5
45,P(AB)=0.
12
2,P(E∪F)=P(E)+P(F)=0.
摸出白球的概率为 P(C).
因为 P(A)+P(B)=0.4,P(A)+P(C)=0.9,且 P(A)+P(B)+P(C)=1,
所以 P(C)=1-P(A)-P(B)=0.6,P(B)=1-P(A)-P(C)=0.1,
所以 P(B)+P(C)=0.7.
答案:A
0.6
2.若 E,F 是互斥事件,P(E)=0.2,P(E∪F)=0.8,则 P(F)=
事件 B 为对立事件,所以 P(B)=1-P(A)=1-0.95=0.05.
5.拔高练袋中装有大小、质地相同的红球、黑球、黄球、
1
3
绿球各若干个,从中任取一球,得到红球的概率是 ,得到黑球或
5
12
5
12
黄球的概率是 ,得到黄球或绿球的概率是 ,试求得到黑球、
黄球、绿球的概率各是多少.
解析:因为E,F是互斥事件,
P(A)+P(B)-P(A∩B)
解析:因为E,F是互斥事件,
解析:因为E,F是互斥事件,
15,所以P(B)=0.
提示:若事件A与事件B互斥,则A∩B为不可能事件,此时有P(A∩B)=0.
45,P(AB)=0.
10.1.4-概率的基本性质-教案-2022-2023学年高中数学人教A版(2019)必修第二册
10.1.4概率的基本性质一、教学目标 1. 理解概率的基本性质2. 掌握利用互斥事件和对立事件的概率公式解决与古典概型有关的问题二、教学重点概率的运算法则及性质教学难点概率性质的应用三、教学过程1、复习回顾情境引入问题1：古典概型的特征、古典概型的概率？答：一般地，若试验E具有以下特征：(1)有限性：样本空间的样本点只有有限个(2)等可能性：每个样本点发生的可能性相等称试验E为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型一般地，设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义事件A的概率P(A)＝kn＝n(A)n(Ω)一般而言,给出了一个数学对象的定义，就可以从定义出发研究这个数学对象的性质。
例如，在给出指数函数的定义后，我们从定义出发研究了指数函数的定义域、值域、单调性、特殊点的函数值等性质,这些性质在解决问题时可以发挥很大的作用。
类似地，在给出了概率的定义后，我们来研究概率的基本性质问题2：你认为可以从哪些角度研究概率的性质?引导学生思考讨论，由此引出本节学习内容2、探索新知由概率的定义可知：任何事件的概率都是非负的，在每次试验中,必然事件一定发生,不可能事件一定不会发生1）性质1：对任意的事件A，都有P(A) ≥ 0性质2：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P(Ω)=1，P(∅)=0探究1：设事件A与事件B互斥,和事件A∪B的概率与事件A、B的概率之间具有怎样的关系?答：我们用10.1.2节例6来探究，一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红色球(标号为1和2)，2个绿色球(标号为3和4),从袋中不放回地依次随机摸出2个球. R=“两次都摸到红球”，G=“两次都摸到绿球”，事件R与事件G互斥,R∪G=“两次摸到球颜色相同，因为n(R)=2，n(G)=2，n(R∪G)=2+2=4，所以P(R)+P(G)=22 1212124+==P(R∪G)2）性质3：如果事件A与事件B互斥，那么P(A∪B)=P(A)+P(B)性质3推论：如果事件A 1、A 2、…、A m 两两互斥，那么事件A 1∪A 2∪…∪A m 发生的概率等于这m 个事件分别发生的概率之和，即P (A 1∪A 2∪…∪Am)=P (A 1)+P (A 2)+…+P (A m )探究2：设事件A 和事件B 互为对立事件，它们的概率有什么关系?答：因为事件A 和事件B 互为对立事件，所以和事件A ∪B 为必然事件，即P (A ∪B)=1.由性质3得1=P (A ∪B)=P (A)+P (B)3）性质4：如果事件A 与事件B 互为对立事件，那么P (B)=1-P (A)，P (A)=1-P (B) 性质5(概率的单调性) ：如果A ⊆B ，那么P (A)≤P (B) 性质5推论：对于任意事件A ，0≤P (A)≤1探究3：在10.1.2节例6的摸球试验中，“两个球中有红球”12R R =，那么()12P R R 和()()12P R P R +相等吗？如果不相等，请你说明原因，并思考如何计算()12P R R答：1212()12,()()6,()10n n R n R n R R Ω====()()()1212610,1212P R P R P R R ∴===()()()1212P R R P R P R ∴≠+()(){}121,2,2,1R R φ=≠即事件12,R R 不是互斥的，容易得到()()()()121212P R R P R P R P R R =+-4）性质6：设A 、B 是一个随机试验中的两个事件，我们有()()()()P A B P A P B P A B =+-显然，性质3是性质6的特殊情况【例1】从不包含大小王牌的52张扑克牌中随机抽取一张，设事件A=“抽到红心”，事件B=“抽到方片”，P(A)=P(B)=14，那么 (1)C=“抽到红花色”，求P(C) (2)D=“抽到黑花色”，求P(D)解：（1）因为C=A ∪B ，A 与B 是互斥事件，根据互斥事件的概率加法公式 得P(C)=P(A)+P(B)=111442+= （2）因为C 与D 互斥，又因为C ∪D 是必然事件，所以C 与D 互为对立事件因此P(D)=1-P(C)= 11122-= 方法规律：运用互斥事件的概率加法公式解题的一般步骤 (1)确定各事件彼此互斥(2)求各事件分别发生的概率，再求其和注意：(1)是公式使用的前提条件，不符合这点，是不能运用互斥事件的概率加法公式的【例2】为了推广一 种饮料，某饮料生产企业开展了有奖促销活动：将6罐这种饮料装一箱，每箱中都放置2罐能够中奖的饮料，若从一箱中随机抽出2罐，能中奖的概率为多少?解：设事件A =“中奖”，事件A 1=“第一罐中奖”，事件A 2=“第二罐中奖”，那么事件12A A =“两罐都中奖”12A A =“第一罐中奖，第二罐不中奖”，12 A A =“第一罐不中奖，第二罐中奖”，且121212A A A A A A A =⋃⋃ 因为12A A ，12A A ，12A A 两两互斥 所以根据互斥事件的概率加法公式，可得121212((())))(P A P A A P A A P A A =++ 我们借助树状图如图所示来求相应事件的样本点数可以得到，样本空间包含的样本点个数为()6530n Ω=⨯=，且每个样本点都是等可能的. 因为12()2n A A =，128()n A A =，128()n A A =，所以288183()303030305P A =++== 【例3】一盒中装有各色球12个，其中5个红球、4个黑球、2个白球、1个绿球，从中随机取出1球，求(1)取出1球是红球或黑球的概率 (2)取出1球是红球或黑球或白球的概率解：记事件A 1＝{任取1球为红球}；A 2＝{任取1球为黑球}；A 3＝{任取1球为白球} A 4＝{任取1球为绿球}，则P (A 1)＝512，P (A 2)＝412，P (A 3)＝212，P (A 4)＝112根据题意，事件A 1，A 2，A 3，A 4彼此互斥 方法一 由互斥事件概率公式，得(1)取出1球为红球或黑球的概率为P(A1＋A2)＝P(A1)＋P(A2)＝512＋412＝34(2)取出1球为红球或黑球或白球的概率为P(A1＋A2＋A3)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＝512＋412＋212＝1112方法二(1)取出1球为红球或黑球的对立事件为取出1球为白球或绿球，即A1＋A2的对立事件为A3＋A4所以取出1球为红球或黑球的概率为P(A1＋A2)＝1－P(A3＋A4)＝1－P(A3)－P(A4)＝1－212－112＝912＝34(2)A1＋A2＋A3的对立事件为A4，所以P(A1＋A2＋A3)＝1－P(A4)＝1－112＝1112方法规律：求复杂事件的概率通常有两种方法(1)将所求事件转化成几个彼此互斥的事件的和事件(2)若将一个较复杂的事件转化为几个互斥事件的和事件时，需要分类太多，而其对立面的分类较少，可考虑利用对立事件的概率公式，即“正难则反”，它常用来求“至少……”或“至多……”型事件的概率四、课堂练习P242 练习1、口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出1个球，摸出红球的概率是0.42，摸出白球的概率是0.28，那么摸出黑球的概率是( D)A.0.42B.0.28C.0.3D.0.72、4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为( D )A. 18B.38C.58D.783、某学校的篮球队、羽毛球队、乒乓球队各有10名队员，某些队员不止参加了一支球队，具体情况如图所示.现从中随机抽取一名队员，求：(1)该队员只属于一支球队的概率(2)该队员最多属于两支球队的概率解：分别令“抽取一名队员只属于篮球队、羽毛球队、乒乓球队”为事件A，B，C.由题图知3支球队共有球员20名则P(A)＝520，P(B)＝320，P(C)＝420(1) 令“抽取一名队员，该队员只属于一支球队”为事件D 则D＝A＋B＋C，∵事件A，B，C两两互斥∴P(D)＝P(A＋B＋C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝520＋320＋420＝35(2) 令“抽取一名队员，该队员最多属于两支球队”为事件E 则E为“抽取一名队员，该队员属于3支球队”∴P(E)＝1－P(E)＝1－220＝910五、课堂小结概率的性质及其应用六、课后作业习题10.1 9、10。
概率论与数理统计总结1
三Байду номын сангаас 事件间的关系与运算
1. 包含关系: 若事件发生必然导致事件发生 B A或A B 2. 相等关系: A B 且B A 3. 事件的和 ( A B ) :A 与 B 至少有一个发生构成的事件 4. 事件的积 ( A B , 或AB) : A与B 同时发生构成的事件 5.互不相容事件（互斥事件） ：A 与 B 不能同时发生，即 AB=
二. 条件概率
在实际问题中， 常常需要计算在某个事件 B 已发生的条件下,， 另一个事件 A 发生的概率 。 在概率论中，称此概率为事件 B 已发生的条件下事件 A 发生的条件概率，记为 P( A | B ) 。 一般地，因为增加了“事件 B 已发生”的条件，所以 P( A | B ) P ( A) 。
下面举例引出条件概率的定义. 例 1 某工厂有职工 500 人，男女各占一半，男女职工中技术优秀的分别为 40 人与 10 人。 现从中人选一名职工，试问： (1) 该职工为技术优秀的概率是多少? (2) 已知选出的是女职工,她为技术优秀的概率是多少? 解 设 A 表示选出的职工为技术优秀的事件， B 表示选出的是女职工的事件。 40 10 1 (1) P( A) 500 10 10 1 (2) P( A | B ) 250 25 显然， P( A) P( A | B) 。这是因为限制在 B 已发生的条件下求 A 的概率的缘故。 10 10 500 P( AB) 另外，可由 P( A | B ) 250 250 P( B ) 500 推得一般情况下条件概率的定义. 设实验的基本事件总数为 n ，事件 B 所包含的基本事件数为 m B ， 事件 AB 所包含的基本事件数为 m B ，则有
i 1 i 1 n n
1.3概率公式
P( B1 B2 A) P( B1 A) P( B2 A) P( B1B2 A)
P( B A) 1 P( B A) P( B1 B2 A) P( B1 A) P( B1 B2 A)
概率乘法公式 两个事件积事件的概率等于一 个事件的概率乘以这个事件发生的 条件下另一事件的条件概率，这就 是概率乘法公式。即
(1) P( Ak | A1 A2 ... Ak 1 )
1 n k 1
(2) P( Ak ) P( A1 A2 ... Ak 1 Ak )
P( Ak A1 A2 ... Ak 1 ) P( Ak 1 A1 A2 ... Ak 2 )
....P( A3 A1 A2 )P ( A2 A1 ) P( A1 ) 1 n k 1 n 3 n 2 n 1 1 n k 1 n k 2 ... n 2 n 1 n n
条件概率的计算方法
（1） 古 典 概 型 可用缩减样本空间法 （2） 其 他 概 型 用定义与有关公式
条件概率也是概率, 故具有概率的性质：
非负性 规范性 可列可加性
P( B A) 0 P( A) 1 P Bi A PBi A i1 i 1
(2) 由图示得
P ( B A) P ( B ) P ( A) 1 1 1 . 2 3 6
B
A
（3）
P ( B A) P( B A) P( B AB)
P( B) P( AB) 1 1 3 .
2 8 8
A AB
B
一般减法公式 对任意两事件 A，B，有 P(AB)=P(A)P(AB)
第三节 概率的 基本运算法则
1.3概率的运算法则解读
若P ( A) 0, 则P ( AB ) P ( A) P ( B A). 同样, 若P ( B ) 0, P ( AB ) P ( B ) P ( A B ).
从而有P( AB) P ( A) P( B A) P ( B) P( A B).
推论
若 P ( A1 A2 An1 ) 0, 则
P ( A B C ) P ( A) P ( B ) P (C ) P ( AB) PAC ) P ( BC ) P ( ABC )
推论 若A、B、C为任意三事件，则
对任意的n个事件有 P ( A1 A2 An ) P ( Ai )
1 i j k n
e
e (1 1
k
) 1e
则
P ( A) 1 P ( A ) 1 P ( A0 ) 1 e
所得结果与上同。
这里所讲的两种解法较为典型。前者从事件的互 斥分解开始，通常称为直接解法。其优点是较为直观， 易于理解，缺点是计算较繁琐。后者是从对立事件出 发，通常称为间接解法。其优点是应用了对立事件的 概率计算公式，使计算过程大为简化，在具体解决实 际问题中，应注意此方法的运用。
(2) 若已知选的一套住房是经济适用房，求它被困难 户购买的概率。
解 设A={任选一套住房被困难户购买}
3000 6 在已知B 发生的条件下，A的概率为 P( A B) 3500 7
(1) 由表可知，样本空间所含基本事件数为5000， 有利于A的基本事件数为3200。 3200 16 所以 P ( A) 5000 25 (2) B={ 选出的一套住房为经济适用房}
概率 全概公式和贝叶斯定理
P(B1)=0.35, P(B2)=0.40, P(B3)=0.25, )=0.01。 P(A|B1)=0.03,P(A|B2)=0.02,P(A|B3)=0.01。 由贝叶斯公式， 由贝叶斯公式，得
P(B1 | A) P( A | B1 )P(B1 ) = P( A | B1 )P(B1 ) + P( A | B2 )P(B2 ) + P( A | B3 )P(B3 )
对于A也一定独立， 若A对于B独立，则B对于A也一定独立，? 对于B独立，
称事件A与事件B相互独立。 称事件A与事件B相互独立。
定义1.5 如果n(n>2)个事件A1,A2,…,An中任 何一个事件发生的可能性都不受其他一个 或几个事件发生与否的影响，则称 A1,A2,…,An相互独立
若P(A i ) f 0
个乒乓球都是新球， 例6 ：12个乒乓球都是新球，每次比赛时取出 个乒乓球都是新球 每次比赛时取出3 个用完后放回去，求第3次比赛时取到的 次比赛时取到的3个球 个用完后放回去，求第 次比赛时取到的 个球 都是新球的概率。 都是新球的概率。 分别表示第一、 解：设事件Ai、Bi、Ci分别表示第一、二、 设事件 三次比赛时取到i个新球 ＝ 、 、 、 ） 个新球（ 三次比赛时取到 个新球（i＝0、1、2、3） A 3 =Ω 则 A 0 =A1 =A 2 =φ 且B0、B1、B2、B3构成一个完备事件组
则称事件A、B、C相互独立 相互独立。 相互独立
关于独立性的几个结论如下： 关于独立性的几个结论如下： 1.事件A与B相互独立的充分必要条件是 P(AB)=P(A)P(B)
0.35× 0.03 1 = = ; 0.35× 0.03 + 0.40× 0.02 + 0.25× 0.01 2
概率运算的五个基本公式和例题
概率运算的五个基本公式和例题
x
一、基本公式
1. 概率的定义：设A是一个样本空间，B是A的一个事件，记作P(B)，则定义为P(B)为A发生B的可能性，范围在0≤P(B)≤1之间。
2. 乘法法则：若事件A、B满足条件“A和B互不相容”，则P （A∩B）＝P（A）×P（B）。
3. 求和法则：若事件A、B满足条件“A和B互不相容”，则P （A∪B）＝P（A）＋P（B）－P（A∩B）。
4. 链式法则：若事件A、B、C满足条件“A、B、C互不相容”，则P（A∩B∩C）＝P（A）×P（B|A）×P（C|A∩B）。
5. 贝叶斯法则：若事件A、B满足条件“A和B互不相容”，则P （A|B）＝P（A∩B）/P（B）。
二、例题
1. 已知抽取一个球，其中一个是黑色的，一个是白色的，求抽到黑色球的概率。
解：P（黑色）＝1/2，抽到黑色球的概率P（黑色）＝1/2。
2. 已知从一个六面骰子中投掷一次，求投掷出偶数的概率。
解：P（偶数）＝3/6，投掷出偶数的概率P（偶数）＝3/6。
3. 将1~5个数字的牌放在一个行列，给出每列里出现3的概率。
解：P（每列有3）＝5/120，每列出现3的概率P（每列有3）
＝5/120。
概率论与数理统计总复习
随
机 试 验
可能结果
基 本 事 件
Ai
只有两个
不含任何ω Φ
Ai Aj 完
不可能 i j 备 Ai任何组合事件A p(Ai ) 0事
Ai
i
必然
Ωi
Ai
件 组
Ai
等
1 P(A i) n
概 完
i 1,2, n 备
事
件
可能结果
条件：
组
贝努利试验
n次重复
定义 随机变量 X 的取值可以一一列举（有限或无限）
称X 为离散型随机变量。
分布律（分布列） 表示法
公式法
PX xk pk
k 1,2,
列表法 X x1 x2
xk
xn
pk p1 p2
pk
pn
性质
1. PX xk 0 k 1,2,
n
2. pk 1
7 7
k 1
2、连续性随机变量 定义 对于随机变量X，若存在非负函数
将 F( y) 用 F[h( y)] 及有关函数表述出来。
利用 F '( y) f ( y) 求出Y的密度函数。
f
(
y)
F
(h(
y))'
h(
y)
h'
(
y)
0
y
其他
14
14
三、二维随机变量及其分布
（一）二维随机变量（X,Y) 的分布函数
定义 对于任意实数 x, y 二元函数
F(x, y) P{X x,Y y}
X为离散型其分布列为 PX xk pk
k 1,2,, n.
X为连续型其密度函数为 f (x).
概率论初步知识介绍
（2，7）
（2，8） （3，6）
（3，7）
（3，8） （4，6）
（4，7）
（4，8）
2.组合计数法则
▪阶乘
n!=n(n-1)(n-1)…3·2·1
▪排列
从n个不同对象中抽取r个（r<n）进行有序放置称为排列。
若n=r叫全排列。
P
r n
=n(n-1)···(n-r+1)
完成结果 投资成功 投资失败 合计
咨询意见 可以投资 不宜投资
154次 38次
2次
156次
6次
44次
合计
192次
8次
7、事件逆
样本空间S与事件A之差，即S-A这一事件称为A的逆事件、
对立事件或互补事件。记作 A。
8、互斥事件
如果两个事件A与B不可能同时发生，则称A与B互不相容 事件，或称为互斥事件,记作AB=Φ。
在我们的生活中会面临许多不确定性的决策问题
❖ 1、如果提高产品价格，则销售下降的“机会”有多少？ ❖ 2、某种新的装配方法会有多大的“可能性”提高生产率？ ❖ 3、某项工程按期完成的“可能”有多大？ ❖ 4、新投资赢利的机率有多大？
工期超过十个月的概率是多少？
一、概率的加法定理
2、相容事件的加法定理
如果事件A、B同时出现，则事件A和事件B称为联合事件,记 为AB。两个相容事件A与B之和的概率为： P(A∪B)=P(A)+P(B)—P(AB) [例] 投资房地产赚钱的概率是0.7，投资电脑软件业的成功率 是0.8，同时投资的成功率是0.6，问投资二者中至少一种赚 钱的概率为多少？ 解：P(A∪B)=P(A)+P(B)—P(AB)=0.7+0.8-0.6=0.9
经济数学（第三版）-教案9.2概率的性质与运算法则（1）
P( A3 )
18 35
4 35
22 35
性质 4 不可能事件的概率为零，即 P() 0
性 质 5 如果 事 件 A1, A2 , An 两 两 互 不相 容 ， 即 Ai Aj (i j)，则
P(A1 A2 An ) P(A1) P(A2 ) P(An ) 性质 6 对任何事件 A，有 P(A) 1 P(A)
从而P( AB) P( A) P(B A) 0.0480
相应的课堂练习 巩固所学知识
（2）由于 B B (A A)B AB AB，且 AB与AB 互不
相容，则根据加法公式有 P(B) P(AB) P(AB) ，再根据乘法公式有 P( AB) P( A) P(B A) 5 4 0.0020 100 99
P(A)称为无条件概率或原概率. 例 3 甲、乙两个工厂生产同类产品，结果如表所示
基础上掌握随机 事件条件概率。
合格品数 废品数 合计
甲厂产品数 67
3
70
乙厂产品数 28
2
30
通过引例、思考、
合计
95
5
100
问：如果已知取到的产品是合格品，那么这件产品是甲 厂产品的概率是多少呢？
图示等方法导出 条件概率的定义 及两种计算方法。
设计意图
解 设事件 Ai 为抽取 3 个球中有 i 个白球（ i =1，2，3）， 帮 助 学 生 理 解 性
显然， A2 A3 ，
质，感知概率在我
因为 P(A2 P(
A3
)
C43 C73
4 35
，且 A2、A3
们身边。
互不相容，所求概率为
P( A2
A3 )
P( A2 )
P(A) 0.22， P(B) 0.2， P( AB) 0.1；由公式（6.4）
概率论与数理统计期末复习知识点
fZ(z)
f (z y, y)dy
f (x, z x)dx
当X 和Y 相互独立:卷积公式
fZ (z) f X ( x) fY (z x)dx
f X (z y) fY ( y)dy
(2) 当X 和Y 相互独立时:
M = max(X,Y ) 的分布函数
Fmax(z) P{M z} FX (z)FY (z)
E(Y ) E[g( X )] g( xk )pk k 1
(1-3)设( X,Y ) 离散型随机变量. 分布律为：
P{X xi , Y y j } pij i, j 1,2,
若 Z=g(X,Y)（g为二元连续函数）
则 E(Z ) E[g( X ,Y )]
g( xi , y j )pij
(2) 连续型随机变量的分布函数的定义
x
F ( x) f (t)dt
f(x)的性质
1. f (x) 0
2. f ( x)dx 1
3. P{x1 X x2}
x2 f ( x)dx
x1
4. F( x) f ( x)，在f ( x)的连续点.
⁂ 三种重要的连续型随机变量
(一)均匀分布
pi1
p•1
pi2
p•2
pij pi•
p• j 1
性质：
1 0 pij 1
2
pij 1.
j 1 i1
2.边缘分布律
3. 独立性
pij pi• p• j , ( i, j 1,2, )
4.分布函数 ( x, y) R2
F ( x, y) pij xi x yjy
n
n
则
Ai Ai
Ai Ai
i 1
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A
A,B是任意两个事件，则 是任意两个事件， 是任意两个事件
B
B− A
P ( A U B ) = P ( A) + P ( B ) − P ( AB ).
证明 如图所示，事件 A U B 是互 如图所示， 不相容事件A与 的并： 不相容事件 与B-A的并： 的并
A
A U B = A + ( B − A),
P ( A U B ) = P ( A) + P ( B − A) = P ( A) + P ( B ) − P ( AB )
推广至三个事件 (多除少补 )
பைடு நூலகம்
P ( A U B U C ) = P ( A) + P ( B ) + P ( C )
− P ( AB ) − P ( BC ) − P ( AC ) + P ( ABC )
C
B
A
总结
(1) P ( A U B ) = P ( A) + P ( B ) − P ( AB ).
当A,B互不相容，即P ( AB ) = 0, 互不相容， 互不相容
P ( A U B ) = P ( A) + P ( B )
当B是A的对立事件，即 B = A, 的对立事件， 是 的对立事件
P ( A) + P ( A) = 1
我们利用软件包进行数值计算计算可得下述结果 我们利用软件包进行数值计算计算可得下述结果: 计算可得下述结果
推论2 推论2
A ⊂ B, P ( A) ≤ P ( B ),
P ( B − A) = P ( B ) − P ( A).
B− A
B
证明: 如图所示，事件B是互不 证明 如图所示，事件 是互不 相容事件A与 的并： 相容事件 与B-A的并： 的并
365 ⋅364 L (365 − n + 1)
365 n 有人生日是同一天的概率是 p = 1 − 365 ⋅ 364 ⋅ L ⋅ ( 365 − n + 1) . 365n
64 个人的班级里，有人生日是同一天的概率是 个人的班级里，
365 ⋅ 364 ⋅ L ⋅ ( 365 − 64 + 1) = 0.997 . p = 1− 36564
a+b a b P ( A U B) = = + = P ( A) + P ( B ) n n n
推广： 推广：任意有限个互不相容事件 A1 , A2 ,L, An
P ( A1 U A2 UL U An ) = P ( A1 )+ P ( A2 ) + L + P ( An )
推论1 推论1 任事件A，有 P ( A) = 1 − P ( A ) 证： Q A U A = Ω , A I A = Φ
A
B = A U ( B − A).
P ( B ) = P ( A) + P ( B − A)
∴ P ( B − A) = P ( B ) − P ( A ) ≥ 0
一般情况下， 一般情况下，如图所示
B
AB
P ( B − A) = P ( B − AB ) (Q AB ⊂ B )
= P ( B ) − P ( AB )
例 2 已知事件 A, B 满足
P( AB ) = P ( A B),
且 P ( A) = p, 求 P ( B ).
解： Q P ( AB ) = P ( A ) + P ( B ) − P ( A + B )
P ( AB ) = P ( A B ) = P ( A + B ) = 1 − P ( A + B )
概率的加法公式
若事件A,B互不相容，P ( A U B ) = P ( A) + P ( B ) 互不相容， 若事件 互不相容 证明： 证明：仅就古典概型证明 设试验的样本空间的样本点数是n 设试验的样本空间的样本点数是 ， 事件A,B包含的样本点数分别是 ，b 包含的样本点数分别是a 事件 包含的样本点数分别是 因为事件A,B互不相容，没有公共的样本点， 互不相容，没有公共的样本点， 因为事件 互不相容 所以， 包含的样本点数是a+b 所以，事件A U B 包含的样本点数是
(2) P ( B − A) = P ( B ) − P ( AB )
包含于B， 当A包含于 ，即AB=A， 包含于
P ( B − A) = P ( B ) − P ( A)
1 1 例2 已知P ( A) = , P( B) = , 求下列情况下P( B A)的值. 3 2 1 (1) A与B互斥 (2) A ⊂ B (3) P ( AB ) = 8 解 : (1) Q A与B互斥 ∴ B ⊂ A 从而B A = B, 1 ∴ P ( B A) = P ( B ) = 2 解 : (2) Q A ⊂ B ∴ P ( B A) = P( B − A) = P ( B ) − P( A) 1 = 6 = P ( B − AB ) 解 : (3) P ( B A) = P ( B − A) 3 = P ( B) − P ( AB ) = 8
P ( A ) + P ( B ) = 1, ∴ P ( B ) = 1 − p
1 = P (Ω ) = P ( A) + P ( A)
∴ P ( A) = 1 − P ( A)
假设每人的生日在一年365天中任一天是等可能 例1 假设每人的生日在一年 天中任一天是等可能 班中有n名学生 的,班中有 名学生，试求有人生日是同一天的概率。 班中有 名学生，试求有人生日是同一天的概率。 解: 他们生日都不相同的概率是