奥数-圆-第五讲圆学生版

第五讲 圆

一.基础知识

1.圆的有关概念,如圆,弦,弧,圆心角,圆周角等.

2.垂径定理及其推论.

3.在同圆或等圆中圆心角,弧,弦,弦心距四组量之间的关系.

4.圆周角定理及其概念.

5.圆内接四边形的性质及四点共圆的判定.

6.直线和圆的三种位置关系,即相离,相切,相交的判定方法和相应的性质.

7.圆切线的判定与性质.

8.相交弦定理,切割线定理,割线定理.

9.托勒密定理:圆内接四边形的两组对边乘积之和等于对角线乘积.

10.托勒密定理的逆定理:一个凸四边形内接于圆的充要条件是它的两组对边乘积的和等于其对角线的乘积.

11.两圆位置关系有两圆相交,两圆相切(内切或外切),两圆相离,两圆内含.设两个圆为12,O O ,半径分别

为12,,R R 且12R R ≥,1O 与2O 间距离为d ,那么有

12d R R >+⇔两圆相离;12d R R =+⇔两圆相外切;12d R R =-⇔两圆相内切; 1212R R d R R -<<+⇔两圆相交;12d R R <-⇔两圆内含(这里12R R ≠).

12.相交两圆的连心线垂直平分公共弦. 13.半径分别为,R r ,圆心距为d 的两圆 外公切线长22()l d R r =--外 内公切线长2()l d R r =

-+内

14.圆的内接正多边形和外切正多边形

如果把圆分成(2)n n >等分,那么顺次连结各个分点所得的多边形是圆的内接正多边形;经过各分点作圆的切线所组成的多边形是圆的外切正多边形.任意一个正多边形都有一个外接圆和内切圆,并且它们是同心圆.

二.例题

1.选择题

1)(2004.北京海淀★★)如图5-1,在

O 中,AB 为弦,OC AB ⊥,垂足为C.若AO=5,OC=3,则弦AB 的长为

( )

** B.8

** D.4

O

A B 图5-1

2)(2004.武汉★)如果

O 的周长为10cm π,那么它的半径为 ( )

A.5cm

B.10cm

C.10cm

D.5cm π

3)(2005.资阳★★)若

O 所在平面内一点P 到

O 上的点的最大距离为a ,最小距离为,()a b a b ->,则此

圆的半径为 ( )

A.2a b +

B.2a b -

C.2a b +或2

a b

- D.a b +或a b -

4)(2005.北京★★)如图5-2,PA,PB 是O 的两条切线,切点分别是A,B.如果OP=4,23PA =,那么AOB

∠等

于

( )

A.90︒

B.100︒ A

C.110︒

D.120︒ O P

B

图5-2

5)(2005.温州★★★)如图5-3,PT 切O 于点T,经过圆心O 的割线PAB 交O 于点A,B.已知PT=4,PA=2,

则O 的直径AB 等于 T ( )

** B.4

** D.8

P A O B

图5-3 6)(2004.重庆★★★)如图5-4,ABC ∆是等腰直角三角形,AC BC a ==以斜边AB 上的点O 为圆心的圆分别与AC,BC 相切于点E,F,与AB 分别相交于点G ,H,且EH 的延长线与CB 的延长线交于点D.则CD 的长为

( ) A.

2212a - B.2212a + C.2a D.1

(2)4

a - A

E O

C F B D

图5-4

7)(2005.武汉★★)如图5-5,外切于P 点的1O 和2O 都是半径为3cm 的等圆,两圆的连心线交1O 于点

A,交

2O 于点B,AC 与2O 相切于点C,连结PC,则PC 的长为 ( )

A.23cm

B.32cm C

C.3cm

D.4.5cm H

A 1O 2O B

图5-5

8)(2004.杭州★★★)如图5-6,三个半径为3的圆两两外切,且ABC ∆的每一边都与其中两个圆相切,那么

ABC ∆的周长是 ( )

A.1263+

B.1863+ A

C.18123+ D .12123+ 1o D

3o 2o E

B C 图5-6

9)(2004.陕西★)如图5-7,

1O 和2O 内切,它们的半径分别为3和1,过点1O 作2O 的切线,切点为A,则

1O A 的长为 ( )

** B.4

C.3

D.5

图5-7

10)(2004.北京★★)1996年版人民币一角硬币正面图案中有一个正九边形,如果这个正九形的外接圆的半径是R,那么这个正九边形的边长是 ( )

A.sin 20R ︒

B.sin 40R ︒

C. 2sin 20R ︒

D. 2sin 40R ︒

2.(1999.全国竞赛★★★)如图5-8,已知四边形ABCD 内接于直径为3的O,对角线AC 是直径,对角线AC

和BD 的交点是P,AB=BD,且PC=0.6,求四边形ABCD 的周长.

P

O

C

A

B

图5-8

3.(1996.全国联赛★★★★)设凸四边形ABCD 的对角形AC, BD 的交点为M,过点M 作AD 的平行线分别交AB,CD 于点E,F,交BC 的延长线于点O,P 是以O 为圆心OM 为半径的圆上一点,如图5-9.求证:OPF OEP ∠=∠.

图5-9

4.(2001.全国数学竞赛★★★)已知点P 是O 外一点,PS,PT 是

O 的两条切线,过点P 作

O 的割线PAB,

交O 于A,B 两点,与ST 交于点C,求证:

211

PC PA PB

=+

. .

图5-10

5.(2003.辽宁★★★)(1)如图5-11(a),已知直线AB 过圆心O,交O 于A,B,直线AF 交O 于F(不与B 重合),直线l 交

O 于C,D,交AB 于E,且与AF 垂直,垂足为G ,连结AC,AD,求证:

①;BAD CAG ∠=∠②.AC AD AE AF ⋅=⋅

(2)在问题(1)中,当直线l 向上平行移动,与O 相切时,其他条件不变. ①请你在图5-11(b)中画出变化后的图形,并对照图(a),标记字母;

②问题(1)中的两个结论是否成立?如成立,请给出证明;如果不成立,请说明理由.

j F

B

C D

O

A E

O

C(D)

B

G

F A

G E

(a) 图5-11 (b)

T

A

C O A

B S

F

M

A D

B

C

O E

P