高考数学专题复习——导数

2016年高考数学专题复习——导数

目录

一、有关切线的相关问题

二、导数单调性、极值、最值的直接应用

三、交点与根的分布

1、判断零点个数

2、已知零点个数求解参数范围

四、不等式证明

1、作差证明不等式

2、变形构造函数证明不等式

3、替换构造不等式证明不等式

五、不等式恒成立求参数范围

1、恒成立之最值的直接应用

2、恒成立之分离常数

3、恒成立之讨论参数范围

六、函数与导数性质的综合运用

导数运用中常见结论

一、有关切线的相关问题

例题、【2015高考新课标1，理21】已知函数f （x ）=31

,()ln 4

x ax g x x ++=-. (Ⅰ)当a 为何值时，x 轴为曲线()y f x =的切线； 【答案】（Ⅰ）34

a =

跟踪练习：

1、【2011高考新课标1，理21】已知函数ln ()1a x b

f x x x

=++，

曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为230x y +-=。 （Ⅰ）求a 、b 的值；

解：（Ⅰ）22

1

(

ln )

'()(1)x x b x f x x x α+-=

-+

由于直线230x y +-=的斜率为12-，且过点(1,1)，故(1)1,

1'(1),2f f =⎧⎪

⎨=-⎪⎩即

1,

1,22

b a b =⎧⎪⎨-=-⎪⎩解得1a =，1b =。 2、(2013课标全国Ⅰ，理21)设函数f (x )＝x 2＋ax ＋b ，g (x )＝e x (cx ＋d )．若曲线y ＝f (x )和曲线y ＝g (x )都过点P (0,2)，且在点P 处有相同的切线y ＝4x ＋2. (1)求a ，b ，

c ，

d 的值；

解：(1)由已知得f (0)＝2，g (0)＝2，f ′(0)＝4，g ′(0)＝4. 而f ′(x )＝2x ＋a ，g ′(x )＝e x (cx ＋d ＋c )， 故b ＝2，d ＝2，a ＝4，d ＋c ＝4. 从而a ＝4，b ＝2，c ＝2，d ＝2.

3、(2014课标全国Ⅰ，理21)设函数1(0ln x x

be f x ae x x

-=+，曲线()y f x =在点（1，

(1)f 处的切线为(1)2y e x =-+. (Ⅰ)求,a b ；

【解析】：(Ⅰ) 函数()f x 的定义域为()0,+∞，112()ln x

x x x a b b f x ae x e e e x x x

--'=+-+

由题意可得(1)2,(1)f f e

'==，故1,2a b ==……………6分

二、导数单调性、极值、最值的直接应用

（一）单调性

1、根据导数极值点的相对大小进行讨论 例题：【2015高考江苏，19】

已知函数),()(2

3

R b a b ax x x f ∈++=. （1）试讨论)(x f 的单调性；

【答案】（1）当0a =时，()f x 在(),-∞+∞上单调递增； 当0a >时，()f x 在2,3a ⎛

⎫-∞-

⎪⎝⎭，()0,+∞上单调递增，在2,03a ⎛⎫

- ⎪⎝⎭上单调递减；

当0a <时，()f x 在(),0-∞，2,3a ⎛⎫

-

+∞ ⎪⎝⎭

上单调递增，在20,3a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减．

当0a <时，()

2,0,3a x ⎛⎫∈-∞-+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，20,3a x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()0f x '<，

所以函数()f x 在(),0-∞，2,3a ⎛⎫-

+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，在20,3a ⎛

⎫- ⎪⎝

⎭上单调递减．

练习：1、已知函数1()ln 1a

f x x ax x

-=-+

-()a ∈R . ⑴当1

2

a ≤

时，讨论()f x 的单调性； 答案：⑴1()ln 1(0)a f x x ax x x -=-+->，222l 11

()(0)a ax x a f x a x x x x

--++-'=-+=> 令2()1(0)h x ax x a x =-+->

①当0a =时，()1(0)h x x x =-+>，当(0,1),()0,()0x h x f x '∈><,函数()f x 单调递减；当(1,),()0,()0x h x f x '∈+∞<>，函数()f x 单调递增.

②当0a ≠时，由()0f x '=，即210ax x a -+-=，解得121

1,1x x a

==-. 当1

2a =

时12x x =，()0h x ≥恒成立，此时()0f x '≤，函数()f x 单调递减； 当102a <<时，1

110a ->>,(0,1)x ∈时()0,()0h x f x '><，函数()f x 单调递减；

1

(1,1)x a ∈-时，()0,()0h x f x '<>，函数()f x 单调递增；

1

(1,)x a

∈-+∞时，()0,()0h x f x '><，函数()f x 单调递减.

当0a <时1

10a

-<，当(0,1),()0,()0x h x f x '∈><,函数()f x 单调递减；

当(1,),()0,()0x h x f x '∈+∞<>，函数()f x 单调递增.

综上所述：当0a ≤时，函数()f x 在(0,1)单调递减，(1,)+∞单调递增；

当1

2

a =时12x x =,()0h x ≥恒成立,此时()0f x '≤，函数()f x 在(0,)+∞单调递减； 当102a <<时,函数()f x 在(0,1)递减,1

(1,1)a

-递增,1(1,)a -+∞递减.

2、已知a 为实数，函数()(1)e x f x ax =+，函数1

()1g x ax

=-，令函数()()()F x f x g x =⋅． 当0a <时，求函数()F x 的单调区间．

解：函数1()e 1x ax F x ax +=

-，定义域为1x x a ⎧

⎫≠⎨⎬⎩

⎭

． 当0a <时，222

2

22

2

21

()

21()e e (1)(1)x

x a a x a x a a F x ax ax +--

-++'=

=

--． 令()0F x '=，得22

21

a x a

+=

． ……………………………………9分 ①当210a +<，即1

2

a <-时，()0F x '<．

∴当12a <-时，函数()F x 的单调减区间为1(,)a -∞，1

(,)a +∞．………………11分

②当102a -<<时，解22

21

a x a +=

得12

x x ==．

∵

1a <