《方阵的行列式》PPT课件
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计算行列式的方法总结PPT
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性质
行列式具有以下基本性质
行列式转置不变
行列式的值与其转置行列式的值相 等。
行列式按行（列）展开
行列式的值等于其任意一行（列）元 素与其对应代数余子式的乘积之和。
行列式的倍数性质
行列式中某一行（列）的所有元素 都乘以一个常数k，则行列式的值也 乘以k。
行列式的消元性质
若行列式中两行（列）成比例，则 行列式的值为0。
例题3
利用数学归纳法计算分块矩阵的行列式。对于具有某种递推关系的分块矩阵，可以利用数 学归纳法进行证明和计算。通过假设当n=k时结论成立，进而证明当n=k+1时结论也成 立，从而得出对于任意正整数n结论都成立的结论。
06
特殊类型行列式的计算方法
箭型行列式的计算
箭型行列式的定义
箭型行列式是一种具有特殊形状的行列式，其主对角线上方的元素构成了一个箭头形状。
计算方法
对于 n 阶箭型行列式，可以先将其化为上三角或下三角行列式，然后直接计算对角线元素的乘积。具体步骤包括 ：利用行列式的性质，将第 1 列的 -1 倍加到其他列上，从而将箭型行列式化为上三角或下三角行列式；计算对 角线元素的乘积。
两三角型行列式的计算
两三角型行列式的定义
两三角型行列式是指行列式的上半部分和下半部分分别呈现三角形形状的行列式。
80%
典型方法
拉普拉斯展开定理，将高阶行列 式按某一行（列）展开为低阶行 列式的和。
典型例题解析
例题1
利用数学归纳法计算范德蒙德 行列式。
例题2
计算含有特定元素的行列式， 如含有三角函数、指数函数等 。
例题3
利用归纳法证明某些特殊类型 的行列式具有特定的性质，如 对称性、反对称性等。
线性代数方阵的行列式
a21 b2 j a2n a21 c2 j a2n
an1 bnj ann an1 cnj ann
§2 n阶行列式的性质
➢例
1025 1025 1025
2 D
1
0 0
1 3
0 2 41
0 0
1 3
02
41
0 0
1 3
0 2D
4
2042 2042 2042
D 0.
➢ 推论 行列式的某一行(列)的元素全为零，则行列 式的值为零. ➢ 证 设行列式的第i行(列)的元素全为零，因行列 式的均布项都含第i行(列)的元素，故其值为零.
1201
120 1
r1 r2
1 3 5 0 0 r1 r4 1 5 1
D
0156
015 6
1234
003 3
120 1
120 1
0 r2 r3 1 5 1 r3 r4 0 1 5 1
000 7
003 3
003 3
000 7
11 3 7 21
§2 n阶行列式的性质
➢ 例2
3 1 1 1 6 r2 r1 6 6 6
a11 a12
即
ai1
ai 2
aj1 aj2
an1 an2
a1n
a11
ain kri rj
ai1
aj2
a j1 kai1
ann
an1
a12
ai 2
a j2 kai2
an2
a1n ain a jn kain ann
§2 n阶行列式的性质
➢或
a11 a1i a1 j a1n
a11 a12
即 ai1 ai2
线性代数-行列式PPT课件
矩阵的秩和行列式
矩阵的秩和行列式之间也存在关系。矩阵的 秩等于其行向量或列向量生成的子空间的维 数，而行向量或列向量生成的子空间的维数 又等于该矩阵的阶数与非零特征值的个数之 和减去一，而一个矩阵的非零特征值的个数 又等于该矩阵的行列式的值。
05
特殊行列式介绍
二阶行列式
定义
二阶行列式表示为2x2的矩 阵，其计算公式为a11*a22a12*a21。
对于任何n阶方阵A，其行列式|A|和转置行列式|A^T|相等，即|A^T| = |A|。
行列式的乘法规则
总结词
行列式的乘法规则
详细描述
行列式的乘法规则是两个矩阵的行列式相乘等于它们对应元素相乘后的行列式。即，如果矩阵A和B分别是m×n 和n×p矩阵，那么它们的行列式相乘|AB| = |A||B|。
向量和向量的外积
行列式可以用来描述向量的外积，即两个向量的叉积。叉积 的结果是一个向量，其方向垂直于作为叉积运算输入的两个 向量，大小等于这两个向量的模的乘积与它们之间夹角的正 弦的乘积。
在线性方程组中的应用
解线性方程组
行列式可以用来判断线性方程组是否有 解，以及解的个数。如果一个线性方程 组的系数矩阵的行列式不为零，则该线 性方程组有唯一解；如果系数矩阵的行 列式为零，则该线性方程组可能无解、 有唯一解或有无穷多解。
线性代数-行列式ppt课件
• 引言 • 行列式的计算方法 • 行列式的性质 • 行列式的应用 • 特殊行列式介绍 • 行列式的计算技巧
01
引言
主题简介
01
行列式是线性代数中的基本概念 之一，用于描述矩阵的某些性质 和运算规则。
02
行列式在数学、物理、工程等领 域有广泛的应用，是解决实际问 题的重要工具。
线性代数PPT行列式
行列式的计算公式是n阶行列式的展开式， 即用代数余子式表示n阶行列式的公式。
性质
行列式的计算公式具有高度的对称性，可以方便地 计算出n阶行列式的值。
计算方法
根据行列式的展开式，将n阶行列式展开成n 个代数余子式的乘积之和。
特殊行列式的计算
01
对角线型行列式
如果一个n阶行列式的主对角线上的元素都是1，其他元素都是0，则该
该行列式称为下三角型行列式。下三角型行列式的值等于副对角线上元
素的乘积的相反数。
03
行列式在几何中的应用
行列式与向量叉积的关系
01
行列式可以表示为三个向量的叉积的线性组合，即行列式值 等于三个向量叉积的代数和。
02
当行列式值为零时，三个向量共面，即它们之间存在线性关 系。
03
行列式可以用来判断向量的叉积是否为零，从而判断三个向 量是否共面。
消元法
将方程组中的系数行列式化为0， 然后利用代数余子式求出方程组 的解。
递推法
利用递推关系式求解方程组，通 过将系数行列式展开，得到一系 列递推关系式，从而求解方程组。
克拉默法则
克拉默法则是一种利用行列 式解线性方程组的方法，其 基本思想是将方程组的解表
示为系数行列式的比值。
1
克拉默法则的前提是系数行列 式不为0，否则方程组无解。
程组无解或有无穷多解。
行列式可以用来判断方程组的解 的情况，也可以用来求解方程组 的解。
03
行列式的性质和计算方法在方程 组的求解过程中具有重要的作用
。
04
05
行列式的应用实例
利用行列式求平面上的点
确定点的位置
通过给定的行列式，我们可以确定平面上的一个点。例如，给 定一个行列式$D$和两个向量$vec{a}$和$vec{b}$，我们可以 使用行列式来找到满足$vec{a} cdot vec{x} = D$和$vec{b} cdot vec{x} = 0$的点$vec{x}$。
性质
行列式的计算公式具有高度的对称性，可以方便地 计算出n阶行列式的值。
计算方法
根据行列式的展开式，将n阶行列式展开成n 个代数余子式的乘积之和。
特殊行列式的计算
01
对角线型行列式
如果一个n阶行列式的主对角线上的元素都是1，其他元素都是0，则该
该行列式称为下三角型行列式。下三角型行列式的值等于副对角线上元
素的乘积的相反数。
03
行列式在几何中的应用
行列式与向量叉积的关系
01
行列式可以表示为三个向量的叉积的线性组合，即行列式值 等于三个向量叉积的代数和。
02
当行列式值为零时，三个向量共面，即它们之间存在线性关 系。
03
行列式可以用来判断向量的叉积是否为零，从而判断三个向 量是否共面。
消元法
将方程组中的系数行列式化为0， 然后利用代数余子式求出方程组 的解。
递推法
利用递推关系式求解方程组，通 过将系数行列式展开，得到一系 列递推关系式，从而求解方程组。
克拉默法则
克拉默法则是一种利用行列 式解线性方程组的方法，其 基本思想是将方程组的解表
示为系数行列式的比值。
1
克拉默法则的前提是系数行列 式不为0，否则方程组无解。
程组无解或有无穷多解。
行列式可以用来判断方程组的解 的情况，也可以用来求解方程组 的解。
03
行列式的性质和计算方法在方程 组的求解过程中具有重要的作用
。
04
05
行列式的应用实例
利用行列式求平面上的点
确定点的位置
通过给定的行列式，我们可以确定平面上的一个点。例如，给 定一个行列式$D$和两个向量$vec{a}$和$vec{b}$，我们可以 使用行列式来找到满足$vec{a} cdot vec{x} = D$和$vec{b} cdot vec{x} = 0$的点$vec{x}$。
线性代数矩阵第2节行列式-PPT精选文档
a c b d a c a d b c b d ① u x + v y , ② u x + u y + v x + v y .
第二章 矩阵与行列式
§2.2 行列式
a11 a21 … a n1
a11 a21 =k … a n1
P.-S. Laplace[法]
(1749.3.23~1827.3.5)
= a11A11+a12A12+…+a1nA1n
= a11(1)1+1M11 + a12(1)1+2M12 + … + a1n (1)1+nM1n
n1阶行列式
(Laplace Expansion of Determinants)
第二章 矩阵与行列式
§2.2 行列式
二. 行列式的性质
性质1. 互换行列式中的两列, 行列式变号.
a11 例如 a 21 a12 a22 a12 = a11a22 a12a21, a22 a11 = a12a21 a11a22. a21
1 1 1 1 D= = = D D = 0. 2 2 2 2 推论. 若行列式 D 中有两列完全相同, 则 D = 0.
第二章 矩阵与行列式
§2.2 行列式
性质2. (线性性质) (1) det(1, …, kj, …, n) = kdet(1, …, j, …, n); (2) det(1, …, j+j, …, n) = det(1, …, j, …, n) + det(1, …, j, …, n). 现学现用 n ( 1) (1) 设A为n阶方阵, 则det(A) = ____ det(A). (2) a+b c+d = [ ]. u+v x+y
第二章 矩阵与行列式
§2.2 行列式
a11 a21 … a n1
a11 a21 =k … a n1
P.-S. Laplace[法]
(1749.3.23~1827.3.5)
= a11A11+a12A12+…+a1nA1n
= a11(1)1+1M11 + a12(1)1+2M12 + … + a1n (1)1+nM1n
n1阶行列式
(Laplace Expansion of Determinants)
第二章 矩阵与行列式
§2.2 行列式
二. 行列式的性质
性质1. 互换行列式中的两列, 行列式变号.
a11 例如 a 21 a12 a22 a12 = a11a22 a12a21, a22 a11 = a12a21 a11a22. a21
1 1 1 1 D= = = D D = 0. 2 2 2 2 推论. 若行列式 D 中有两列完全相同, 则 D = 0.
第二章 矩阵与行列式
§2.2 行列式
性质2. (线性性质) (1) det(1, …, kj, …, n) = kdet(1, …, j, …, n); (2) det(1, …, j+j, …, n) = det(1, …, j, …, n) + det(1, …, j, …, n). 现学现用 n ( 1) (1) 设A为n阶方阵, 则det(A) = ____ det(A). (2) a+b c+d = [ ]. u+v x+y
方阵的行列式.ppt
10a13 5a23 5a33
6a11 解； 3a21
3a31
2a12 a22 a32
a11
2 (3) 5 a21
a31
10a13
3a11 a12
5a23 2 3a21 a22
5a33
3a31 a32
5a13 5a23 5a33
a12 a13
a22 a23 2 (3) 5 1 30
a a a a x b a b a
11 22
12 21
2
2 11 1 21
当a11a22 a12a21 0时：
b1
x1
b2 a11
a21
a12 a22 a12 a22
a11
x2
a21 a11
a21
b1 b2 a12 a22
设：det A a11 a12 0 a21 a22
det
B1
b1 b2
例：a21 a22 a23 a24 a12 a22 a32 a42
a31 a32 a33 a34
a13 a23 a33 a43
a41 a42 a43 a44
a14 a24 a34 a44
性质2. 交换行列式的某两行列，行列式的值变号。
1 0 1 例. 1 2 0 1,
1 3 2
1 0 1 1 3 2 1. 120
A 记为 ij 。即 Aij (1)i j Mij
a11 a12 a13 a14
a11 a13 a14
例
D a21 a22 a23 a24 a31 a32 a33 a34
A32 (1)32 M32 a21 a23 a24
a41 a42 a43 a44
a41 a43 a44
第2节n阶方阵的行列式
-18-
推论 如果行列式有一行（列）为零，则行列式 等于零。 例如
000 0
0 0 0 0
-19-
性质５ 若行列式的某一行（列）的元素都是两数之 和，则可把这两个数拆开，其它元素不变写成两个行列 式的和。
例如
103 100 204 100 3 100 204 199 200 395 200 1 200 395 301 300 600 300 1 300 600
a22
0
0
a11a22 ann
an1 an2 ann
证明： 1) 当n 2时,可得 A a11a22
2)假设n k时，以上结论成立(k 3) 即 A a11a22 akk
a22
0 0
当n k 1时，A a11(1)11
a32
a33
上两式相加求得(设分母不为零)
x1
b1a22 a11a22
a12b2 a12a21
同理可求得
x2
a11b2 a11a22
b1a21 a12a21
-3-
a11 x1 a12 x2 b1 a21 x1 a22 x2 b2
x1
b1a22 a11a22
a12b2 a12a21
1 2 1 4 r2 r1 1 2 1 4 1 2 1 0 r3 r1 0 0 2 4 D
1 1 0 2 r4 2r1 0 1 1 2
2 1 10
0 5 3 8
-21-
1 2 1 4
1 2 1 4
0 0 2 4 r2 r3 0 1 1 2
《线性代数》课件-第2章方阵的行列式
教学重点：方阵行列式的性质及展开定理，计算典型 的行列式的各种方法.
教学难点：n阶行列式的计算，拉普拉斯定理的应用.
教学时间：6学时.
§1 n 阶行列式的定义
设n阶方阵A=(aij),称
a11 a12
a1n
a21 a22
a2n
an1 an2
ann
为方阵A 的行列式,记为| A |或det A .
1.1 n 阶行列式的引出
于是D中可能不为0的均布项可以记为
a a a b b . 1p1 1p2
mpm 1q1
nqn
这里，pi=ri,qi=rm+i-m,设l为排列p1p2 …pm(m+q1) …(m+qn)的 逆序数。以t，s分别表示排列p1p2 …pm及q1q2 …qn的逆序数，
应有l= t+s，于是
D
(1)l a1p1 a2 p2 a b b mpm 1q1 2q2 bnqn
b2
a2n , j 1, 2, , n.
an1
bn
ann
提出三个问题
（1）D=？（怎么算）？
（2）当D≠0时，方程组是否有唯一解？
（3）若D≠0时，方程组有唯一解，解的形式 是否是
xj
Dj D
,
j 1,2,
, n.
1.2 全排列及其逆序数
1、全排列 用1，2，3三个数字可以排6个不重复三位数即：
第二章 方阵的行列式
行列式是一种常用的数学工具，也是代数学中必不可 少的基本概念，在数学和其他应用科学以及工程技术中有 着广泛的应用。本章主要介绍行列式的概念、性质和计 算方法。
教学目的：通过本章的教学使学生了解行列式的概念， 掌握行列式的性质，会计算各种类型的行列式.
教学难点：n阶行列式的计算，拉普拉斯定理的应用.
教学时间：6学时.
§1 n 阶行列式的定义
设n阶方阵A=(aij),称
a11 a12
a1n
a21 a22
a2n
an1 an2
ann
为方阵A 的行列式,记为| A |或det A .
1.1 n 阶行列式的引出
于是D中可能不为0的均布项可以记为
a a a b b . 1p1 1p2
mpm 1q1
nqn
这里，pi=ri,qi=rm+i-m,设l为排列p1p2 …pm(m+q1) …(m+qn)的 逆序数。以t，s分别表示排列p1p2 …pm及q1q2 …qn的逆序数，
应有l= t+s，于是
D
(1)l a1p1 a2 p2 a b b mpm 1q1 2q2 bnqn
b2
a2n , j 1, 2, , n.
an1
bn
ann
提出三个问题
（1）D=？（怎么算）？
（2）当D≠0时，方程组是否有唯一解？
（3）若D≠0时，方程组有唯一解，解的形式 是否是
xj
Dj D
,
j 1,2,
, n.
1.2 全排列及其逆序数
1、全排列 用1，2，3三个数字可以排6个不重复三位数即：
第二章 方阵的行列式
行列式是一种常用的数学工具，也是代数学中必不可 少的基本概念，在数学和其他应用科学以及工程技术中有 着广泛的应用。本章主要介绍行列式的概念、性质和计 算方法。
教学目的：通过本章的教学使学生了解行列式的概念， 掌握行列式的性质，会计算各种类型的行列式.
线性代数第2讲 方阵的行列式
矩阵的转置运算满足规律
a21 am1 a22 am 2 . a2 n amn
( AT ) T A ， ( A B ) T AT B T ， (kA)T kAT .
注2 显然考察 | A | 的行(列)相当于考察 | A | 的列(行). 因而，行列式的对于行(列)
□
性质 7
□
性质 7′ | c1 , , c j , , ci , , cn | | c1 , , ci , , c j , , cn | . 注 6′统称为行列式的初等列变换性质. 命题 1 设 A [ aij ] 为 n 阶方阵，则
- 10 -
□
性质 7、3( k 0 )、6 统称为行列式的初等行变换性质；性质 7′、3′( k 0 )、
(564312) 4 4 3 2 0 13 ，逆序数为奇数，所以 564312 为奇排列； (12 n) 0 为偶数，所以标准排列 12 n 为偶排列；
j1 j2 j3 123 231 312 132 213 321 0 2 2 1 1 3 ( j1 j2 j3 ) ( j1 j2 j3 ) (1) 1 1 1 1 1 1
定义 1(行列式的完全展开式) 设 A [aij ] 为 n 阶方阵，则 A 的行列式为
a11 a | A | 21 an1
a12 a1n a22 a2 n an 2 ann
当 n 1 时，
j1 j2 jn为n 阶排列
(1) ( j1 j2 jn ) a1 j1 a2 j2 anjn .
| A|
1 i1 i2 ik n
N i1 , i2 , , ik ; j1 , j2 , , jk Ai1 , i2 , , ik ; j1 , j2 , , jk .
a21 am1 a22 am 2 . a2 n amn
( AT ) T A ， ( A B ) T AT B T ， (kA)T kAT .
注2 显然考察 | A | 的行(列)相当于考察 | A | 的列(行). 因而，行列式的对于行(列)
□
性质 7
□
性质 7′ | c1 , , c j , , ci , , cn | | c1 , , ci , , c j , , cn | . 注 6′统称为行列式的初等列变换性质. 命题 1 设 A [ aij ] 为 n 阶方阵，则
- 10 -
□
性质 7、3( k 0 )、6 统称为行列式的初等行变换性质；性质 7′、3′( k 0 )、
(564312) 4 4 3 2 0 13 ，逆序数为奇数，所以 564312 为奇排列； (12 n) 0 为偶数，所以标准排列 12 n 为偶排列；
j1 j2 j3 123 231 312 132 213 321 0 2 2 1 1 3 ( j1 j2 j3 ) ( j1 j2 j3 ) (1) 1 1 1 1 1 1
定义 1(行列式的完全展开式) 设 A [aij ] 为 n 阶方阵，则 A 的行列式为
a11 a | A | 21 an1
a12 a1n a22 a2 n an 2 ann
当 n 1 时，
j1 j2 jn为n 阶排列
(1) ( j1 j2 jn ) a1 j1 a2 j2 anjn .
| A|
1 i1 i2 ik n
N i1 , i2 , , ik ; j1 , j2 , , jk Ai1 , i2 , , ik ; j1 , j2 , , jk .
线性代数课件 n阶(方阵的)行列式
例4
a11
计算上三角行列式
a12 a1n a22 a2 n ann
a11 a22
ann
a11a22 ann
注意！
d1 dn dn
-13-
d1
n( n 1) ( 1) 2 d
1d 2 d n
性质7
a11 a1k a k 1 a kk D c11 c1k c n1 c nk
a11 a12 a1n
D
a21 a22 a2n
an1
an2 ann
DT
a11 a 21 a n1 a12 a 22 a n 2 a1n a 2 n a nn
1 0 0 D 2 1 0 0 1 2
1 2 0 0 1 1 DT 0 0 2
说明
行列式的性质凡是对行成立的，对列也成立， 反之亦然。
3 100 204 100 100 204 200 200 395 1 200 395 1 300 600 300 300 600
-10-
性质6
把行列式的某一行的各元素乘以同一数然后加
到另一行对应的元素上去,行列式的值不变。 只用 ri k r j 这种变换，把行列式化为 三角形，然后计算行列式的值。
0 b11 b1n bn1 bnn
b11 b1n D2 det(bij ) , bn1 bnn
a11 a1k D1 det(a ij ) , a k 1 a kk
则 D D1 D2
-14-
例5
0 0 0 0 0 0
-1-
方阵的行列式.ppt
本文首先介绍了二阶行列式的概念和计算方法。通过二元线性方程组的求解过程，引出了二阶行列式的定义，即由四个数排成二行二列的矩阵所确定的表达式。详细阐述了二阶素乘积。此外，还通过实例演示了如何利用二阶行列式求解二元线性方程组。接下来，文档扩展到了n阶行列式的概念，并定义了余子式和代数余子式。余子式是通过划去n阶行列式中某个元素所在的行和列后得到的n-1阶行列式，而代数余子式则是在余子式的基础上乘以一个与元素位置相关的符号因子。最后，介绍了行列式按行（列）的展开法则，这是计算n阶行列式的重要方法。
方阵的行列式
性质4. 若将行列式中的某一行（列）的每一个元素都写成两个 数的和，则此行列式可以写成两个行列式的和，这两个行列式 分别以这两个数为所在行（列）对应位置的元素，其它位置的 元素与原行列式相同。即
a11
a12 ... a1n
...
... ... ...
a11 a12 ... a1n ... ... ... ...
an1 an2 ... ann
an1 an2 ... ann
推论：若将行列式中的某一行（列）的每一个元素都写成m 个数的和（m>2），则此行列式可以写成m个行列式的和。
23
例3.计算下列行列式之值.
上三角形行列式： 下三角形行列式： 对角形行列式：
a11 a12 ... a1n 0 a22 ... a2n ... ... ... ...
a11 0 ... 0 a21 a22 ... 0 ... ... ... ...
0 0 ... ann
an1 an2 ... ann
a11 a12 ... a1n ... ... ... ...
bi1 ci1 bi2 ci2 ... bin cin = bi1 bi2 ... bin + c i1 c i2 ... c in
...
... ... ...
... ... ... ...
... ... ... ...
an1
an2 ... ann
例：a21 a22 a23 a24 a12 a22 a32 a42
a31 a32 a33 a34
a13 a23 a33 a43
a41 a42 a43 a44
a14 a24 a34 a44
性质2. 交换行列式的某两行列，行列式的值变号。
1-3方阵的行列式
L L L ai 2 L ain L L L = a j 2 L a jn L L L
kai 2 + a j 2 L kain + a jn L L L an 2 L ann
an1 an 2 L ann
3 1 例4计算行列式 2 1
2 1 1 1
1 0 0 −1 的值 . −1 1 1 1
补例：
a11 1、设 a21 a31 a12 a22 a32 a13 6a11 a23 = 1, 求 −3a31 a33 −3a21 −2a12 a32 a22 −10a13 5a33 5a23 .
n
定理1.3 | An×n Bn×n |=| A | ⋅ | B | 定理
| A1 A2 L An |=| A1 | ⋅ | A2 | ⋅L⋅ | An |
四. 行列式的计算
a b 例5 ( 对称行列式 )计算 n阶行列式 M b
1 + a1 1 1 1 + a2 1 1
b L b a L b M O M b L a
L n n x2 −1 + x2 − 2
L n n x n −1 + xn − 2
1-3 over
(2) a1 j A1l + a 2 j A2 l + L + a nj Anl =
n
n
∑a
i =1
j =1 n
ij
Ail = 0( i ≠ j )
| A |, k = i (i, k = 1,2,L n) 定理1.2 (1) ∑ aij Akj = 定理 k ≠i j =1 0, | A |, l = j (2) ∑ aij Ail = ( j , l = 1,2, L, n) l≠ j i =1 0,
高中数学《行列式》课件
4 2
1 1
100
4 2
1 1
4 2
1 1
200 6 194
18
性质5 (消法)将行列式的某一行(列)的各 元素乘以常数加到另一行(列)的对 应元素上去,则行列式的值不变,即
a11 a12
a1n
a11
a12
a1n
ai1 ai2 aj1 aj2
ain ai1 ka j1
a jn
a j1
ai2 ka j2 aj2
当 n 1 时， det( A) a11
n
当 n 1 时，det( A) ak1(1)k1 det( A(k,1)) k 1
n
设 An aij 则 det( A) ak1(1)k1 det( A(k,1))
k 1
Aij (1)i j det( A(i, j) ) 为 aij 的代数余子式
40
x (n 1)a a a a
x (n 1)a x a a
解
c1ci (i2,3,,n)
Dn x (n 1)a a x a
x (n 1)a a a x 1 a a a 1 x a a [x (n 1)a] 1 a x a
1 a a x 41
1 a a a 0 xa 0 0
rj r1 ( j:2,3,,n)
[x (n 1)a] 0 0 x a 0
0 0 0 xa
[x (n 1)a](x a)n1
42
例2 计算 n 阶行列式（两道一点）
a1 b1
a2 b2
Dn
an1 bn1
bn
an
解 Dn a1a2 an (1)n1bnb1b2 bn1
a1a2 an (1)n1b1b2 bn1bn
矩阵和行列式初步PPT教学课件
A A2 Ak1 Ak
E Ak E,
故
(E A)1 E A A2 Ak1.
注：1. 矩阵的逆阵是线性代数中非常重要的一个 内容，主要包括：
①证明矩阵 A 可逆；②求逆阵；③证明矩阵 B是矩
阵A 的逆阵.
2. 证明矩阵 A 可逆，可利用 A 的行列式不为零或找 一个矩阵 B，使 AB=E 或 BA=E 等方法；对数字矩 阵，若求其逆阵，一般用 A*(如2阶矩阵)或初等变换 (3阶及3阶以上的方阵)的方法来做，有时也利用分块 矩阵来做.对抽象的矩阵 A，若求其逆，一般是用定 义或 A*来做；证明矩阵 B 是矩阵 A 的逆阵，只需 验证 AB=E 或 BA=E 即可.
三. 矩阵方程及其求解方法
矩阵方程
解
AX B
X A1 B
XA B
X BA1
AXB C
X A1C B1
例8
设
B
1 0
1 1
01，C
2 0
1 2
3 1
，
0 0 1
0 0 2
且 A( E C 1B)T C T B，求 A.
解 : 由于 A( E C 1B)T C T A(C CC 1B)T
0 0 1
0 1 0 0 1 0
解:
因为
A2
1
0
0 1 0
0
0 0 1 0 0 1
＝
1 0
0 1
00 ，
0 0 1
故 A4 E，从而 A2004 ( A4 )501 E 501 E .
1 0 0 1 0 0
所以 A2004 2 A2 0 1 0 2 0 1 0
0
.
1 an1
0
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d 2 2d 1 4d 4 6d 9 2
d 2 2d 1 2 6
3
定理1.1 设n阶方阵A aij ,则
(1) ai1 Ak1 ai 2 Ak 2
n
ain Akn aij Akj 0 j 1
(i k)
(2) a1 j A1l a2 j A2l
n
anj Anl aij Ail 0 i 1
性质4. 若将行列式中的某一行（列）的每一个元素都写成两个数的和，则此行列式 可以写成两个行列式的和，这两个行列式分别以这两个数为所在行（列）对应位置 的元素，其它位置的元素与原行列式相同。即
a11
a12 ... a1n
...
... ... ...
a11 a12 ... a1n ... ... ... ...
a a a a x b a b a
11 22
12 21
2
2 11 1 21
当a11a22 a12a21 0时：
b1
x1
b2 a11
a21
a12 a22 a12 a22
a11
x2
a21 a11
a21
b1 b2 a12 a22
设：det A a11 a12 0 a21 a22
det
B1
b1 b2
an1 an2 ... ann
an1 an2 ... ann
推论：若将行列式中的某一行（列）的每一个元素都写成m个数的和（m>2）， 则此行列式可以写成m个行列式的和。
性质5.将行列式中的某一行（列）的所有元素同乘以k后加于
另一行（列）对应位置的元素上，行列式的值不变。
举例：
3 1 1 1.计算行列式 597 201 299
A 记为
ij 。即 Aij (1)i j Mij
a11 a12 a13 a14
a11 a13 a14
例
D a21 a22 a23 a24 a31 a32 a33 a34
A32 (1)32 M32 a21 a23 a24
a41 a42 a43 a44
a41 a43 a44
定义1.8： n阶方阵A aij 的行列式detA,定义为
§1.3方阵的行列式
一、二阶行列式
记号：a11 a21
-
a12 a11a22 a12 a21
a22
+
称为二阶行列式.
例.计算 5
1 5 2 3 (1) 13
32
例：解二元一次方程组
a11x1
a21x1
a12 x2 a22 x2
b1 b2
消元x2
消元x1
a11a22 a12 a21 x1 b1 a22 b2 a12
a2
a3
a1
a2
a3
a1 a2
a3
0 a1 x 0
0
0
a2 x
an2 an1 x
an
an1
an1 an x
an1
an
0
0
0
0 a1(a1 x)(a2 x)(an2 x)(an1 x)
00
0 an2 x
0
00
0
0
an1 x
a1 (a1 x) (a2 x) (an2 x) (an1 x) 0
例 : 计算n阶行列式
ab0
00
0ab
00
00a
0 0 按第一列展开
000 b00
ab 0a
aA11 bAn1
ab0 0ab 00a a
00
b00
00
ab0
0 0 b(1)n1 0 a b
000 000
an (1)n1bn
ab
0
a n1阶
000 000
00 00 00
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
b0
a
b n1阶
例.解方程
例：a21 a22 a23 a24 a12 a22 a32 a42
a31 a32 a33 a34
a13 a23 a33 a43
a41 a42 a43 a44
a14 a24 a34 a44
性质2. 交换行列式的某两行列，行列式的值变号。
1 0 1 例. 1 2 0 1,
1 3 2
1 0 1 1 3 2 1. 120
3
0 1 1 2
0
0
2 4 1
0 0 2 2
0 1 1 2
0
0
2
4 1 (1) (2) (2) 4
0 0 0 2
a2 a12 a22 a32
b2 b12 b22 b32
4.证明：D
0
c2 c12 c22 c32
d 2 d 12 d 22 d 32
a2 a2 2a 1 证：D b2 b2 2b 1
四、行列式的计算
1 a1 1 1 ... 1 1 a2 1 ...
例 : 1 1 1 a3 ... ... ... ... ...
1 1
1 1 ...
1 1 1 ... 1 an
目标:化为三角形行列式
1 a1 1 1 ... 1
a1 = a1
...
a2 0 ... 0
0 ...
a3 ...
in
i1
i2
in
... ... ... ...
... ... ... ...
a a a ...
n1
n2
nn
a a a ...
n1
n2
nn
即：行列式某行(列)的所 有元素有公因子，则公因 子可 以提到行列式外面。
推论1. 若行列式某行（列）的所有元素全为零，则此行列式 值为零。
推论2.若行列式中有两行（列）的对应元素成比例，则此行列式的值等于零。
623
3
1
1
解：原式 600 3 200 1 300 1
6
2
3
00 0
3 1 1 3 1 1 600 200 300 3 1 1
6 2 3 623
2.设 a11 a12 a13
6a11 2a12 10a13
a21 a22 a23 1, 求 3a21 a22
5a23
a31 a32 a33
3a31 a32
5a33
6a11 解； 3a21
3a31
2a12 a22 a32
a11
2 (3) 5 a21
a31
10a13
3a11 a12
5a23 2 3a21 a22
5a33
3a31 a32
5a13 5a23 5a33
a12 a13
a22 a23 2 (3) 5 1 30
a22 a32
a11(a22a33 a23a32 ) a12 (a21a33 a23a31 ) a13 (a21a32 a22a31 )
2 12
例2.将 4 3 1 按第2行展开求值。
2 35
解：
2 12
1 4
2
3 3
1 5
按第2行
4
1 21
1 3
2 5
3
22 2 2 25
1 123 2 1 10
a11 a12 ... a1n ... ... ... ...
bi1 ci1 bi2 ci2 ... bin cin = bi1 bi2 ... bin + c i1 c i2 ... c in
...
... ... ...
... ... ... ...
... ... ... ...
an1
an2 ... ann
c2 c2 2c 1 d 2 d 2 2d 1
1
a2 4a 4 b2 4b 4 c2 4c 4 d 2 4d 4
a2 6a 9 b2 6b 9 c2 6c 9 d 2 6d 9
a2 2a 1 4a 4 6a 9 a2 2a 1 2 6
b2 2b 1 4b 4 6b 9 b2 2b 1 2 6 =0 c2 2c 1 4c 4 6c 9 c2 2c 1 2 6
a32 a33
0 1 1 2 3. 计算D 1 1 0 2
1 2 1 0 2110
0 1 1 2
1 1 0 2 1 2
解；D 1 1 0 2 1 2 1 0
2110
1 1 0 2
0 1 1
2
1
0 1 1 2
0 3 1 4
1 1 0 2
0 1 1 2
1 2 1 0
2 1 10
1 1 0 2
1 0 0 ... 1
... ... ... ... ...
0 0 0 ... 1
1
a1a2
an (1
n i 1
1 ai
)
例.计算n阶行列式
x a a a a x (n 1)a a a a a 1
a x a a a x (n 1)a x a a a
a a x a a x (n 1)a a x a a
a12 a22
则有：x j
det Bj det A
( j 1, 2)
det
B2
a11 a21
b1 b2
二、 n阶行列式的递推定义
定义：由一个数组成的一阶方阵和它的行列式就是这个数本身。
a 定义 在n阶方阵 A aij 中去掉元素
ij 所在的第i行和
第j列后，余下的n-1
a 阶行列式，称为A中元素 的余子式ij ，
( j l)
定理1.2 设n阶方阵A aij ,则
n
det A
(1)
aij Akj
j 1
0
若k i, 若k i;