空间统计学分析
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第六章 空间统计学分析
• 空间统计分析方法由来
由于空间现象之间存在不同方向、不同距 离成分等相互作用，使得传统的数理统计 方法无法很好地解决空间样本点的选取、 空间估值和两组以上空间数据的关系等问 题，因此，空间统计分析方法应运而生。
• 空间统计分析方法组成
空间统计分析方法由分析空间变异与结构 的半变异函数和用以空间局部估计的克立 格插值法两个主要部分组成，是GIS空间 分析的一个重要技术手段。
连续性
不同的区域 化变量具有 不同程度的 连续性，用 区域化变量 的半变异函 数来描述。
各向异性
当区域化变 量在各个方 向上具有相 同性质时称 各向同性， 否则称为各 向异性。
其它属性：
① 区域化变量在一定范围内呈一定程度的 空间相关，当超出这一范围之后，相关性 变弱甚至消失。
② 对于任一区域化变量，特殊的变异性可 以叠加在一般的规律之上。
确切的说，无论位移向量h多大，两个k维向量的随机变 量{Z(x1),Z(x2),…,Z(xk)}和{Z(x1+h),Z(x2+h),…,Z(xk+h)} 有相同的分布律。
• 当区域化变量满足下列两个条件时，称该区域化 变量满足二阶平稳：
① 在整个研究区内，区域化变量Z(x)的数学期望 对任意x存在且等于常数，即E[Z(x)]=m(常数)，任 意x。
当随机函数依赖于多个自变量时，Z(x)=Z （Xu，Xv，Xw）称为随机场，而随机场Z(x) 在空间点x和x+h处的两个随机变量Z(x)和 Z(x+h)的二阶混合中心矩定义为随机场Z(x) 的自协方差函数，即
Cov{Z(x)，Z(x+h)}=E[Z(x)Z(x+h)]—E[Z(x)]E[Z(x+h)] (6.2)
①在整个研究区内随机函数Z(x)的增量的数学期望
为0，即
E[Z(x)-
Z(x+h)]=0， 任意x,h
Leabharlann Baidu
②对于所有矢量的增量的方差函数存在且平稳 Var[Z(x)-
Z(x+h)]=E[Z(x)-Z(x+h)]2
=2γ(x,h)=2γ(h)，任意X,h
即要求Z(x)的半变异函数存在且平稳。
• 内蕴假设可以理解为：
• 自相关
空间统计分析方法假设研究区中所有的值都是非 独立的，相互之间存在相关性。在空间或时间范 畴内，这种相关性被称为自相关。
• 空间统计分析的重要任务
揭示空间数据的相关规律和利用相关规律进行未 知点预测。由于空间统计分析包含这两个显著的 任务，所以涉及两次使用样点数据，第一次用作 估计空间自相关，第二次用作未知点预测。
随机函数Z(x)的增量Z(x)-Z(x+h)只依赖于分隔它 们的向量h，而不依赖于具体位置x，这样，被向量 h分割的每一对数据[Z(x)，Z(x+h)]可以看成是一 对随机变量{Z(x1)，Z(x2)}的一个不同现实，而半变 异函数γ(h)的估计量γ*(h)为
γ＊(h)=1/2N(h)*∑[Z(xi)-Z(xi+h)]2
γ(x，h)=1/2*Var[Z(x)—Z(x+h)]2 =1/2*E[Z(x)—Z(x+h)]2—1/2*{E[Z(x)]—E[Z(x+h)]}2 (6.4)
• 在二阶平稳假设条件下对任意h有
E[Z(x+h)]=E[Z(x)]
• 因此，式（6.4）可改写为
γ(x，h)=1/2*E[Z(x)—Z(x+h)]2
② 在整个研究区内，区域化变量的空间协方差函 数对任意x和h存在且平稳，即
Cov{Z(x)， Z(x+h)}=E[Z(x)Z(x+h)]-m2=C(h)，任意x,h
• （2）内蕴假设
• 一些自然现象和随机函数具有无限离散性，这时 区域化变量Z(x)的增量Z(x)-Z(x+h)满足下列两个 条件时，就称该区域化变量满足内蕴假设：
Conten ts
6.1 空间统计分析方法的基本原理 6.2 空间自相关 6.3 空间局部估计 6.4 确定性插值法 6.5 探索性空间数据分析
6.1.1 空间统计分析的概念
20世纪60年代，法国统计学家Matheron G通过大量理论研究，形成了一门新的统计 学分支，即空间统计学。
空间统计学是以区域化变量理论为基础， 以变异函数为主要工具，研究具有地理空 间信息特性的事物或现象的空间相互作用 及变化规律的学科。
(6.5)
• 从式（6.5）可知，变异函数依赖于x和h，
当变异函数仅依赖于h，与x无关时，变异函 数γ(x，h)可改写成γ(h)，即
γ(h)=1/2*E[Z(x)—Z(X+h)]2
(6.6)
• 4. 平稳性假设及内蕴假设
• （1）平稳性假设
设某一随机函数Z(x)，其空间分布律不因平移而改变，即 若对任一向量h，关系式 G(z1,z2,…,x1,x2,…)=G(z1,z2,…,x1+h,x2+h,…) 成立时，则该随机函数为平稳性随机函数。
随机场Z(x)的自协方差函数亦称为协方差函 数，一般地，协方差函数依赖于空间点x和 向量h。当h=0时，协方差函数变为
Cov(x，x+0)=E[Z(x)]2—{E[Z(x)]}2
(6.3)
• 3. 变异函数
变异函数在一维条件下，当空间点x在一维x轴上变 化时，区域变量Z(x)在点x和x+h处的值Z(x)与 Z(x+h)差的方差一半定义为区域变量Z(x)在x轴上 的变异函数，记为γ(x，h)，即
• 2. 协方差函数
在随机函数中，当只有一个自变量x时称为随机过程， 随机过程Z(t)在时间t1和t2处的随机变量Z(t1)、 Z(t2)的二阶混合中心矩定义为随机过程的协方差函 数记为Cov{Z(t1)，Z(t2)}，即
Cov{Z(t1)，Z(t2)}=E[Z(t1)—EZ(t1)][Z(t2)—EZ(t2)] (6.1)
6.1.2 空间统计分析中的理论假设
• 1. 区域化变量
区域化变量的两重性表现在观测前把它 看成是随机场，依赖于坐标（Xu，Xv， Xw），观测后是一个普通的空间三元 函数值或一个空间点函数。
• 区域化变量是一种在空间上具有数值的实 函数，它具有以下属性：
空间局限性
区域化变量被 限制于一定空 间范围，这称 为几何域。在 几何域内，区 域化变量的属 性最为明显； 在几何域外， 不明显。
第六章 空间统计学分析
• 空间统计分析方法由来
由于空间现象之间存在不同方向、不同距 离成分等相互作用，使得传统的数理统计 方法无法很好地解决空间样本点的选取、 空间估值和两组以上空间数据的关系等问 题，因此，空间统计分析方法应运而生。
• 空间统计分析方法组成
空间统计分析方法由分析空间变异与结构 的半变异函数和用以空间局部估计的克立 格插值法两个主要部分组成，是GIS空间 分析的一个重要技术手段。
连续性
不同的区域 化变量具有 不同程度的 连续性，用 区域化变量 的半变异函 数来描述。
各向异性
当区域化变 量在各个方 向上具有相 同性质时称 各向同性， 否则称为各 向异性。
其它属性：
① 区域化变量在一定范围内呈一定程度的 空间相关，当超出这一范围之后，相关性 变弱甚至消失。
② 对于任一区域化变量，特殊的变异性可 以叠加在一般的规律之上。
确切的说，无论位移向量h多大，两个k维向量的随机变 量{Z(x1),Z(x2),…,Z(xk)}和{Z(x1+h),Z(x2+h),…,Z(xk+h)} 有相同的分布律。
• 当区域化变量满足下列两个条件时，称该区域化 变量满足二阶平稳：
① 在整个研究区内，区域化变量Z(x)的数学期望 对任意x存在且等于常数，即E[Z(x)]=m(常数)，任 意x。
当随机函数依赖于多个自变量时，Z(x)=Z （Xu，Xv，Xw）称为随机场，而随机场Z(x) 在空间点x和x+h处的两个随机变量Z(x)和 Z(x+h)的二阶混合中心矩定义为随机场Z(x) 的自协方差函数，即
Cov{Z(x)，Z(x+h)}=E[Z(x)Z(x+h)]—E[Z(x)]E[Z(x+h)] (6.2)
①在整个研究区内随机函数Z(x)的增量的数学期望
为0，即
E[Z(x)-
Z(x+h)]=0， 任意x,h
Leabharlann Baidu
②对于所有矢量的增量的方差函数存在且平稳 Var[Z(x)-
Z(x+h)]=E[Z(x)-Z(x+h)]2
=2γ(x,h)=2γ(h)，任意X,h
即要求Z(x)的半变异函数存在且平稳。
• 内蕴假设可以理解为：
• 自相关
空间统计分析方法假设研究区中所有的值都是非 独立的，相互之间存在相关性。在空间或时间范 畴内，这种相关性被称为自相关。
• 空间统计分析的重要任务
揭示空间数据的相关规律和利用相关规律进行未 知点预测。由于空间统计分析包含这两个显著的 任务，所以涉及两次使用样点数据，第一次用作 估计空间自相关，第二次用作未知点预测。
随机函数Z(x)的增量Z(x)-Z(x+h)只依赖于分隔它 们的向量h，而不依赖于具体位置x，这样，被向量 h分割的每一对数据[Z(x)，Z(x+h)]可以看成是一 对随机变量{Z(x1)，Z(x2)}的一个不同现实，而半变 异函数γ(h)的估计量γ*(h)为
γ＊(h)=1/2N(h)*∑[Z(xi)-Z(xi+h)]2
γ(x，h)=1/2*Var[Z(x)—Z(x+h)]2 =1/2*E[Z(x)—Z(x+h)]2—1/2*{E[Z(x)]—E[Z(x+h)]}2 (6.4)
• 在二阶平稳假设条件下对任意h有
E[Z(x+h)]=E[Z(x)]
• 因此，式（6.4）可改写为
γ(x，h)=1/2*E[Z(x)—Z(x+h)]2
② 在整个研究区内，区域化变量的空间协方差函 数对任意x和h存在且平稳，即
Cov{Z(x)， Z(x+h)}=E[Z(x)Z(x+h)]-m2=C(h)，任意x,h
• （2）内蕴假设
• 一些自然现象和随机函数具有无限离散性，这时 区域化变量Z(x)的增量Z(x)-Z(x+h)满足下列两个 条件时，就称该区域化变量满足内蕴假设：
Conten ts
6.1 空间统计分析方法的基本原理 6.2 空间自相关 6.3 空间局部估计 6.4 确定性插值法 6.5 探索性空间数据分析
6.1.1 空间统计分析的概念
20世纪60年代，法国统计学家Matheron G通过大量理论研究，形成了一门新的统计 学分支，即空间统计学。
空间统计学是以区域化变量理论为基础， 以变异函数为主要工具，研究具有地理空 间信息特性的事物或现象的空间相互作用 及变化规律的学科。
(6.5)
• 从式（6.5）可知，变异函数依赖于x和h，
当变异函数仅依赖于h，与x无关时，变异函 数γ(x，h)可改写成γ(h)，即
γ(h)=1/2*E[Z(x)—Z(X+h)]2
(6.6)
• 4. 平稳性假设及内蕴假设
• （1）平稳性假设
设某一随机函数Z(x)，其空间分布律不因平移而改变，即 若对任一向量h，关系式 G(z1,z2,…,x1,x2,…)=G(z1,z2,…,x1+h,x2+h,…) 成立时，则该随机函数为平稳性随机函数。
随机场Z(x)的自协方差函数亦称为协方差函 数，一般地，协方差函数依赖于空间点x和 向量h。当h=0时，协方差函数变为
Cov(x，x+0)=E[Z(x)]2—{E[Z(x)]}2
(6.3)
• 3. 变异函数
变异函数在一维条件下，当空间点x在一维x轴上变 化时，区域变量Z(x)在点x和x+h处的值Z(x)与 Z(x+h)差的方差一半定义为区域变量Z(x)在x轴上 的变异函数，记为γ(x，h)，即
• 2. 协方差函数
在随机函数中，当只有一个自变量x时称为随机过程， 随机过程Z(t)在时间t1和t2处的随机变量Z(t1)、 Z(t2)的二阶混合中心矩定义为随机过程的协方差函 数记为Cov{Z(t1)，Z(t2)}，即
Cov{Z(t1)，Z(t2)}=E[Z(t1)—EZ(t1)][Z(t2)—EZ(t2)] (6.1)
6.1.2 空间统计分析中的理论假设
• 1. 区域化变量
区域化变量的两重性表现在观测前把它 看成是随机场，依赖于坐标（Xu，Xv， Xw），观测后是一个普通的空间三元 函数值或一个空间点函数。
• 区域化变量是一种在空间上具有数值的实 函数，它具有以下属性：
空间局限性
区域化变量被 限制于一定空 间范围，这称 为几何域。在 几何域内，区 域化变量的属 性最为明显； 在几何域外， 不明显。