二次根式的概念与性质2
二次根式知识点
二次根式知识点二次根式是初中数学中一个重要的知识点。
在学习二次根式之前，我们首先来了解一下根式的定义。
一、根式的概念根式是代表求根运算的一种表示方法。
其中，被开方数叫做被开方数，开方的次数叫做指数，开方的运算叫做根号运算。
开方的基本性质有三个：非负性、唯一性、封闭性。
1. 非负性：对于任意的实数a，当a≥0时，a的平方根存在且唯一。
2. 唯一性：对于任意的实数a，其平方根是唯一的。
3. 封闭性：平方根的运算封闭在非负实数集合内。
二、二次根式的定义二次根式是指指数为2的根式，也即平方根。
如果a≥0，那么二次根式√a就是等于非负实数b的平方根。
例如，√9 = 3，√16 = 4，√25 = 5等。
三、二次根式的化简在计算二次根式时，有时需要对二次根式进行化简。
化简的目的是为了得到最简形式的二次根式。
二次根式的化简原则如下：1. 提出因式：如果二次根式中有完全平方因子，可以将其提出根号外部。
2. 合并同类项：如果根式中有相同的根号，则可以将其合并并进行运算。
3. 分解质因数：如果根式中的被开方数可以分解为质因数的乘积，那么可以在根号内部进行分解。
化简二次根式的过程需要掌握一定的分解质因数的技巧，并且需要熟练掌握平方数的求法。
四、二次根式的运算规则在二次根式的运算过程中，需要掌握以下几个基本的运算规则。
1. 加减运算：二次根式之间可以进行加减运算，但要求被开方数、指数相同。
2. 乘法运算：二次根式之间可以进行乘法运算，运算后仍然是二次根式。
3. 除法运算：二次根式之间可以进行除法运算，运算后仍然是二次根式。
4. 有理化：如果二次根式中含有分母，可以通过有理化的方法将其变为无理数的形式。
掌握了这些运算规则，我们可以在计算中利用它们进行简化和优化，使得计算更加方便和高效。
五、二次根式的应用二次根式在数学中有广泛应用，在解决实际问题时也经常会用到。
1. 几何应用：在几何中，二次根式常常用来表示长度、距离等概念。
数学八下二次根式
数学八下二次根式
1.定义：一般地，形如√a（a≥0）的代数式叫做二次根式，其中，a叫做被开方数。
当a≥0时，√a表示a的算术平方根；当a小于0时，在实数范围内，这样的二次根式是没有意义的。
2.最简二次根式：在二次根式的化简过程中，无论是计算还是得出最后的结果，二次
根式必须化为最简形式，即被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。
3.二次根式的加减法：
•同类二次根式：几个二次根式化为最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式就是同类二次根式。
•合并同类二次根式：将几个同类二次根式合并为一个二次根式。
•加减法则：在进行二次根式的加减运算时，首先需要将每个二次根式化为最简形式，然后找出被开方数相同的项进行合并。
4.二次根式的乘除法：
•乘法：当两个二次根式相乘时，将被开方数相乘，而根指数保持不变。
然后，将结果化为最简二次根式。
•除法：与乘法类似，当两个二次根式相除时，将被开方数相除，根指数保持不变，并将结果化为最简二次根式。
二次根式的概念和性质
二次根式与有理数的关系
二次根式与有理数存在着紧密的关系。有理数可以表示为二次根式的特殊形 式，而二次根式也可以化简为有理数的形式。理解这种关系可以帮助我们更 好地处理二次根式的运算和问题。
胡克定理和三角不等式
胡克定理
三角不等式
胡克定理描述了弹簧的弹性变形与所受力的关系， 可以用二次根式的形式表示。
二次根式的运算法则
加减法
二次根式加减法遵循同底 同幂原则，将根号内的数 值进行合并，然后进行相 应操作。
乘除法
二次根式乘除法时，可以 通过有理化的方法将根号 内的数值转化为有理数， 然后进行相应操作。
化简
化简二次根式是将一个二 次根式转化为另一种形式， 通常是将根号内的数值合 并或提取出满足条件的因 式。
二次根式的概念和性质
二次根式是代数Leabharlann 的一种重要形式，表示为一个数的平方根。学习二次根式 的概念和性质，将帮助我们更好地理解和运用这一概念。本章将系统介绍二 次根式的相关内容。
什么是二次根式？
二次根式是一个数的平方根，如√2、√5等。它们在代数和几何中都有重要的 应用。通过学习二次根式的性质，可以深入理解数学中的平方根概念。
三角不等式是数学中一条基本不等式，可以用二 次根式的形式表示。它在几何和代数中都有应用。
二次根式的图像及其性质
二次根式的图像通常是一个开口向上或向下的抛物线。通过研究二次根式的图像特性，我们可以了解它 的曲线形状、对称性以及其他重要的几何性质。
二次根式在实际生活中的应用
二次根式在实际生活中有广泛的应用，例如在物理学中描述速度和加速度，以及在几何学中描述曲线和 曲面的形状。了解这些应用可以帮助我们更好地应用二次根式。
二次根式的加减法和乘除法
二次根式的概念及性质
二次根式的概念及性质对于大多数人来说，学习数学常常会遇到许多难题，其中包括二次根式。
在本文中，我们将会详细探讨二次根式的概念及性质，以便更深刻地理解这一数学概念。
一. 二次根式概念二次根式，也就是平方根式，是指表达式中含有平方根的式子。
例如，我们可以将$\sqrt{2}$看做二次根式。
二次根式是一种特殊的无理数，也就是说它不能写成分数形式。
二次根式具有以下一些重要特征：1. 二次根式中的数值通常是无理数，因此不能表示为分数形式。
对于非完全平方数，无法化约，只能用$\sqrt{a}$表示。
2. 满足乘方的指数法则:$\sqrt{i} \times \sqrt{j} = \sqrt{ij}$。
3. 满足加减的公式:$\sqrt{i} \pm \sqrt{j}$是不能合并的。
二. 二次根式性质在接下来的内容中，将讨论二次根式的乘法、开方以及化简。
乘法我们来看一下下面这个式子:$(a+b\sqrt{2})(c+d\sqrt{2})$。
这是二次根式的乘法公式，可以化简为$ac+2bd+(ad+bc)\sqrt{2}$。
简易的乘法公式可概述为:$$\sqrt{a} \times \sqrt{b} = \sqrt{ab}$$同理，$$(a-b)\times \sqrt{c} = a\sqrt{c}-b\sqrt{c}$$开方当对一个平方根求值时,我们要找到它的平方是多少。
找到它的平方根就是简单的数学操作。
举个例子，如果是$\sqrt{9}$，平方是9，所以它的平方根就是3.而如果是$\sqrt{a^2 + b^2}$，则无法化简。
直接求这个平方根是十分困难的，所以我们往往采取近似求解或其他算法将其化简为另一个更容易求解的式子，在此不做详细讲解。
化简化简二次根式是化简至最简二次根式的过程。
例如，$\sqrt{8}$可以被化简为$2\sqrt{2}$。
我们可以通过合理运用乘法公式，将含有多个平方根的式子简化为最简的形式。
二次根式的性质与应用
二次根式的性质与应用二次根式是数学中的一个重要概念，它广泛应用于各个领域。
本文将介绍二次根式的性质和应用，并探讨其在实际问题中的具体运用。
一、二次根式的性质1. 二次根式的定义二次根式是指形如√a的数，在这里，a称为被开方数，√称为根号。
被开方数可以是任意实数，但是当a为负数时，二次根式就成了虚数。
2. 二次根式的化简化简二次根式是常见的操作，它可以将一个二次根式转化为一个更简单的形式。
化简的基本原则是将根号内的因式进行拆分，并利用分配律和其他运算法则进行合并。
例如，对于√2×√3，我们可以将其化简为√6。
3. 二次根式的运算二次根式的运算包括加法、减法、乘法和除法。
加法和减法的运算可以通过化简后合并同类项实现，乘法和除法的运算则需要考虑根号内的因式进行合并。
例如，(√2 + √3) × (√2 - √3)可以通过平方差公式化简为2 - 3，即-1。
二、二次根式的应用1. 几何应用二次根式在几何学中有广泛的应用。
例如，当计算正方形的对角线长度时，可以利用二次根式来表示其值。
又如，当计算圆的周长或面积时，也需要利用二次根式进行计算。
这些应用场景中，二次根式的性质和运算技巧都起到了重要的作用。
2. 物理应用在物理学中，二次根式能够描述实际问题中的一些规律。
例如，当计算自由落体下落的速度或者弹性碰撞中物体的运动轨迹时，常常需要运用二次根式。
这些应用中，二次根式的数学模型为物理学家提供了重要的工具。
3. 经济应用二次根式在经济学中也有一定的应用。
例如，当计算复利的增长率或者测算风险投资回报率时，经济学家通常需要运用到二次根式。
这些应用中，二次根式的性质和运算方法为经济决策提供了科学依据。
三、总结综上所述，二次根式具有重要的性质和广泛的应用。
在学习和应用中，我们需要熟悉二次根式的定义、化简和运算方法。
在实际问题中，我们要善于将二次根式与具体场景相结合，灵活运用二次根式解决各种实际问题。
二次根式及其性质课件
1 •下列式子一定是二次根式的是( C )
知1－练
2 •(中考·武汉)若代数式 C
•则x的取值范围是( )
在实数范围内有意义，
•A．x≥－2 B．x>－2 C．x≥2 D．x≤2
知识点 2 二次根式的性质
知2－导
做一做
（1）计算下列各式，你能得到什么猜想？
4 9 ____, 4 9 _____; 4 _____, 4 _____;
•
的根指数为2，所以
是二次根式．
• (7)是．理由：因为|x|≥0，且 根式．
的根指数为2，所以
是二次
总结
知1－讲
二次根式是在初始的外在情势上定义的，不能从化 简结果上判断，如 是二次根式. 像 （a≥0）这样的式子只能称为含有二次根式 的式子，不能称为二次根式.
知1－讲
• 例2 当x取怎样的数时，下列各式在实数范围内有意 义？
知识点 1 二次根式的定义
知1－讲
形如 a (a≥0)的式子叫做二次根式． 其中a为整式或分式，a叫做被开方式． 特点：①都是形如 a 的式子，
②a都是非负数.
例1 判断下列各式是否为二次根式，并说明理由．
知1－讲
导引： 判断一个式子是不是二次根式，实质是看它是否具备二次根
式定义的条件，紧扣定义进行辨认．
知3－练
1 (中考·淮安)下列式子为最简二次根式的是( A )
2 在下列根式中，不是最简二次根式的是( D )
1. 当a≥0时， 2. 当a≥0时， •3.
完成教材P43,习题T1-T4
谢谢！
知2－讲
知识点
商的算术平方根再探索 (1)商的算术平方根的性质的实质是逆用二次根式的除法
第5讲 二次根式(解析版)
第5讲 二次根式一、考点知识梳理【考点1 二次根式的概念和性质】 1．平方根、算术平方根若x 2＝a ，则x 叫a 的平方根．当a≥0时，a 是a 的算术平方根．正数b 的平方根记作± b.a 是一个非负数，只有非负数才有平方根． 2．立方根及性质若x 3＝a ，则x 叫a 的立方根．求一个数的立方根的运算叫开立方；任一实数a 的立方根记作3a ；3a 3＝a ，(3a)3＝a ，3－a ＝－3a ． 3．二次根式的概念(1)形如a(a≥0)的式子叫二次根式，而a 为二次根式的条件是a≥0； (2)满足下列两个条件的二次根式叫最简二次根式： ①被开方数的因数是整数，因式是整式； ②被开方数中不含有开得尽方的因数或因式． 4．二次根式的性质 (1)ab ＝a·b(a≥0，b≥0)；a b ＝ab(a≥0，b ＞0)； (2)(a)2＝a(a≥0)； (3)a 2＝|a|＝⎩⎪⎨⎪⎧ a （a≥0）－a （a ＜0）.【考点2 二次根式的运算】 二次根式的运算(1)二次根式的加减：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把同类二次根式分别合并； (2)二次根式的乘法：a·b ＝ab(a≥0，b≥0)； (3)二次根式的除法：ba =ba(a≥0，b ＞0)； (4)二次根式的估值：二次根式的估算，一般采用“夹逼法”确定其值所在范围．具体地说，先对二次根式平方，找出与平方后所得的数相邻的两个能开得尽方的整数，对其进行开方，即可确定这个二次根式在哪两个整数之间；(5)在二次根式的运算中，实数的运算性质和法则同样适用．二次根式的混合运算顺序是：先算乘除，后算加减，有括号时，先算括号内的(或先去括号)． 二、考点分析【考点1 二次根式的概念和性质】 【解题技巧】1.判断二次根式有意义的条件： （1）二次根式的概念．形如（a ≥0）的式子叫做二次根式．（2）二次根式中被开方数的取值范围．二次根式中的被开方数是非负数．2.二次根式的基本性质：①≥0； a ≥0（双重非负性）．②a ＝ （a ≥0）（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）．③＝a （a ≥0）（算术平方根的意义）【例1】（2019 甘肃中考）使得式子有意义的x 的取值范围是（ ）A ．x ≥4B ．x ＞4C ．x ≤4D ．x ＜4【答案】D ．【分析】直接利用二次根式有意义的条件分析得出答案． 【解答】解：使得式子有意义，则：4﹣x ＞0，解得：x ＜4，即x 的取值范围是：x ＜4． 故选：D ．【一领三通1-1】（2019•广西）若二次根式有意义，则x 的取值范围是 ．【答案】x ≥﹣4；【分析】根据被开数x +4≥0即可求解； 【解答】解：x +4≥0， ∴x ≥﹣4； 故答案为x ≥﹣4；【一领三通1-2】（2019•广州）代数式有意义时，x 应满足的条件是 ．【答案】x ＞8．【分析】直接利用分式、二次根式的定义求出x 的取值范围． 【解答】解：代数式有意义时，x ﹣8＞0， 解得：x ＞8．()2a ()2a故答案为：x＞8．【一领三通1-3】（2019 台湾中考）若＝2，＝3，则a+b之值为何？（）A．13B．17C．24D．40【答案】B．【分析】根据二次根式的定义求出a、b的值，代入求解即可．【解答】解：∵＝＝2，∴a＝11，∵＝＝3，∴b＝6，∴a+b＝11+6＝17．故选：B．【一领三通1-4】（2016河北中考）关于的叙述，错误的是（）A．是有理数B．面积为12的正方形边长是C．＝2D．在数轴上可以找到表示的点【答案】B．【分析】根据无理数的定义：无理数是开方开不尽的实数或者无限不循环小数或π；由此即可判定选择项．【解答】解：A、是无理数，原来的说法错误，符合题意；B、面积为12的正方形边长是，原来的说法正确，不符合题意；C、＝2，原来的说法正确，不符合题意；D、在数轴上可以找到表示的点，原来的说法正确，不符合题意．故选：A．【一领三通1-5】（2019 山东济南中考模拟）如图，表示7的点在数轴上表示时，在哪两个字母之间()A．C与D B．A与B C．A与C D．B与C【答案】A.【分析】(1)根据平方根的定义和绝对值的性质分别填空即可；(2)主要考查数轴，根据数轴上的点利用平方法，估算7的大致范围，然后结合数轴上点的位置和大小即可得到7的位置．【解答】(1)7是一个正数，它的绝对值大于2；②它的绝对值小于3；③2.5的平方是6.25；故选A【考点2 二次根式的运算】【解题技巧】1.二次根式的化简：①利用二次根式的基本性质进行化简；②利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简．2.化简二次根式的步骤：①把被开方数分解因式；②利用积的算术平方根的性质，把被开方数中能开得尽方的因数（或因式）都开出来；③化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2．3.二次根式运算的结果可以是数或整式，也可以是最简二次根式，如果二次根式的运算结果不是最简二次根式，必须化为最简二次根式．【例2】（2019 江苏南京中考）计算﹣的结果是．【答案】0．【分析】先分母有理化，然后把二次根式化为最简二次根式后合并即可．【解答】解：原式＝2﹣2＝0．故答案为0．【一领三通2-1】计算÷的结果是．【答案】3．【分析】根据二次根式的性质把化简，再根据二次根式的性质计算即可．【解答】解：．故答案为：3【一领三通2-2】（2019 山西中考）下列二次根式是最简二次根式的是（）A．B．C．D．【答案】D．【分析】检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．【解答】解：解：A、，故A不符合题意；B、，故B不符合题意；C、，故C不符合题意；D、是最简二次根式，故D符合题意．故选：D．【一领三通2-3】（2019 天津中考）估计的值在（）A．2和3之间B．3和4之间C．4和5之间D．5和6之间【答案】D．【分析】由于25＜33＜36，于是＜＜，从而有5＜＜6．【解答】解：∵25＜33＜36，∴＜＜，∴5＜＜6．故选：D．【一领三通2-4】（2019•青岛）计算：﹣（）0＝2+1．【答案】2+1．【分析】根据二次根式混合运算的法则计算即可．【解答】解：﹣（）0＝2+2﹣1＝2+1，故答案为：2+1．【一领三通2-5】（2019•广州中考模拟）如图，每个小正方形的边长为1，把阴影部分剪下来，用剪下来的阴影部分拼成一个正方形，那么新正方形的边长是（）A B 2 C D【答案】C【分析】利割补法求阴影部分的面积.【解答】阴影部分的面积5，新正方形的边长为 5.故选：C三、【达标测试】（一）选择题1.（2019 云南中考）要使有意义，则x的取值范围为（）A．x≤0B．x≥﹣1C．x≥0D．x≤﹣1【答案】B．【分析】要根式有意义，只要令x+1≥0即可【解答】解：要使根式有意义则令x+1≥0，得x≥﹣1故选：B．2.（2019 重庆中考）估计（2+6）×的值应在（）A．4和5之间B．5和6之间C．6和7之间D．7和8之间【答案】C．【分析】先根据二次根式的乘法进行计算，再进行估算．【解答】解：（2+6）×，＝2+6，＝2+，＝2+，∵4＜5，∴6＜2+＜7，故选：C．3.（2019•兰州）计算：﹣＝（）A．B．2C．3D．4【答案】A．【分析】先化简二次根式，再合并同类二次根式即可得．【解答】解：﹣＝2﹣＝，故选：A．4.（2019 山东青岛中考模拟）若实数x满足|x﹣3|+＝7，化简2|x+4|﹣的结果是（）A．4x+2B．﹣4x﹣2C．﹣2D．2【答案】A．【分析】根据x的取值﹣4≤x≤3以及二次根式的性质，化简绝对值即可得到结果．【解答】解：∵|x﹣3|+＝7，∴|x﹣3|+|x+4|＝7，∴﹣4≤x≤3，∴2|x+4|﹣＝2（x+4）﹣|2x﹣6|＝2（x+4）﹣（6﹣2x）＝4x+2，故选：A．5.（2019 河北衡水中考模拟）化简﹣a的结果是（）A．﹣2a B．﹣2a C．0D．2a【答案】A．【分析】直接利用二次根式的性质化简进而得出答案．【解答】解：﹣a＝﹣a﹣a2•＝﹣a+a＝0．故选：C．6.（2019 河北沧州中考模拟）若（a+）2与|b﹣1|互为相反数，则的值为（）A．B．+1C．﹣1D．1﹣【答案】C．【分析】根据互为相反数的两个数等于0得出（a+）2+|b﹣1|＝0，推出a+＝0，b﹣1＝0，求出a＝﹣，b＝1，代入求出即可．【解答】解：∵（a+）2与|b﹣1|互为相反数，∴（a+）2+|b﹣1|＝0，∴a+＝0，b﹣1＝0，∴a＝﹣，b＝1，∴＝＝＝﹣1，故选：C．7.（2019 山东青岛中考模拟）已知a为实数，则代数式的最小值为（）A．0B．3C．D．9【答案】B．【分析】把被开方数用配方法整理，根据非负数的意义求二次根式的最小值．【解答】解：∵原式＝＝＝∴当（a﹣3）2＝0，即a＝3时代数式的值最小，为即3故选：B．8.（2019 辽宁盘锦中考模拟）方程，当y＝2时，m的取值范围是（）A．350B．C．O D．m≤2【答案】C．【分析】根据两个非负数的和为0，必须都为0，得出4x﹣8＝0，x﹣y﹣m＝0，求出xy的值，代入即可求出m的值．【解答】解：∵方程，∴4x﹣8＝0，x﹣y﹣m＝0，x＝2，m＝y﹣2，∵y＝2，∴m＝0，故选：C．（二）填空题1.（2019 天津中考）计算（+1）（﹣1）的结果等于．【答案】2．【分析】利用平方差公式计算．【解答】解：原式＝3﹣1 ＝2． 故答案为2．2.（2019 上海中考）如果一个正方形的面积是3，那么它的边长是 ． 【答案】【分析】根据算术平方根的定义解答． 【解答】解：∵正方形的面积是3， ∴它的边长是．故答案为：3.（2019•长春）计算：3﹣＝ ．【答案】2．【分析】直接合并同类二次根式即可求解． 【解答】解：原式＝2．故答案为：2．4.（2019 山东枣庄中考模拟）函数y ,自变量x 的取值范围是 . 【答案】x≥-12且x≠1【分析】二次根式的被开方数为非负数，分式的分母不为0. 【解答】根据题意得⎩⎨⎧≠-≥+01012x x ∴x≥-12且x≠1.故答案是：x≥-12且x≠15. （2019 湖南长沙中考模拟）已知a 、b 为两个连续整数，且a ＜7＜b ，则b a += . 【答案】5.【分析】利用估算求二次根式的范围. 【解答】因为2<7<3, 所以a=2,b=3, ∴a+b=2+3=5. 故答案是：56.（2019 上海中考模拟）方程31x 2=-的根是 ． 【答案】x=5【分析】求根式中的被开方数中的未知数.乘法法则，乘法公式适合于二次根式. 【解答】两边平方，得2x -1=9. ∴2x=10 ∴x=5.经检验x=5是方程2x+1=3的根. 故答案是：x=57.（2019 上海中考模拟）化简：=-321 ．【答案】2+ 3 【分析】化简1a+b形式通常乘以a -b,利用平方差公式(a+b)(a -b)=a -b. 【解答】原式=12-3=1×(2+3)(2-3)( 2+3) =2+322-(3)2 = 2+ 3.故答案是：2+ 38. （2019 河北沧州中考模拟）在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如，，一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：以上这种化简的步骤叫做分母有理化．还可以用以下方法化简：（1）请用不同的方法化简；（2）化简：． 【答案】（1）﹣（2）．【分析】（1）分式的分子和分母都乘以﹣，即可求出答案；把2看出5﹣3，根据平方差公式分解因式，最后进进约分即可． （2）先每一个二次根式分母有理化，再分母不变，分子相加，最后合并即可．【解答】解：（1）．（2）原式＝＝． （三）解答题1.（2019 河北石家庄中考模拟）如图，实数a 、b 在数轴上的位置，化简222()a b a b -【分析】a 2=|a|=⎩⎨⎧<-≥).0(),0(a a a a 【解答】∵-1<a<0,0<b<1∴a -b<0.∴原式=|a|-|b|-|a -b|=-a -b+a -b=-2b.2.（2019 河北唐山中考模拟）先化简,再求值：222344322+-++÷+++a a a a a a a ，其中22-=a ． 【分析】结果的分母应不含根号.先化简，再代入求值，化简时把分子、分母进行因式分解.【解答】当a=2-2时，原式=a(a+3)(a+2)2·a+2a+3-2a+2=a -1a+2=2-2-22-2+2 =2-42=1-2 2. 3. （2019 辽宁沈阳中考模拟）计算：cos45°·(－21)－2－(22－3)0＋｜－32｜＋121 【分析】先把三角函数，负指数、零指数、绝对值及分子分母中的根号等进行化简.a -p =1a p (a≠0,p 为正整数), 1a -b 化简为1a -b =a+b (a -b)(a+b)=a+b a -b. 【解答】原式=22×4-1+32+12-1=22-1+42+2+1=7 2.4.（2019 山东淄博中考模拟）（1）已知a +3与2a ﹣15是一个正数的平方根，求a 的值；（2）已知x ，y 为实数，且y ＝﹣+4，求的值．【分析】（1）直接利用平方根的定义分析得出答案；（2）利用二次根式有意义的条件分析得出答案．【解答】解：（1）根据平方根的性质得，a +3+2a ﹣15＝0，解得：a ＝4，a +3＝2a ﹣15，解得：a ＝18， 答：a 的值为4或18；（2）满足二次根式与有意义，则，解得：x ＝9，∴y ＝4，∴＝+＝5． 5.（2019 湖南长沙中考模拟）阅读材料：小明在学习二次根式的化简后，遇到了这样一个需要化简的式子：．该如何化简呢？思考后，他发现3+2＝1+2+（）2＝（1+）2．于是＝＝1+．善于思考的小明继续深入探索；当a+b＝（m+n）2时（其中a，b，m，n均为正整数），则a+b＝m2+2mn+2n2．此时，a＝m2+2n2，b＝2mn，于是，＝m+n．请你仿照小明的方法探索并解决下列何题：（1）设a，b，m，n均为正整数且＝m+n，用含m，n的式子分别表示a，b时，结果a＝，b＝；（2）利用（1）中的结论，选择一组正整数填空：＝+；（3）化简：．【分析】（1）利用已知直接去括号进而得出a，b的值；（2）取m＝2，n＝1，计算a和b的值，利用完全平方公式，变形得出答案；（3）直接利用完全平方公式，变形化简即可．【解答】解：（1）由题意得：a+b＝（m+n）2，∴a+b＝m2+3n2+2mn，∴a＝m2+3n2，b＝2mn；故答案为：m2+3n2；2mn；（2）取m＝2，n＝1，则a＝m2+3n2＝7，b＝2mn＝4，7+4＝（2+）2；故答案为：；（3）＝＝+1．6.（2019 河北衡水中考模拟）已知a、b、c为△ABC的三边长，化简：+．【分析】直接利用三角形三边关系得出a+b﹣c＞0，b﹣c﹣a＜0，进而化简得出答案．【解答】解：∵a、b、c为△ABC的三边长，∴a+b﹣c＞0，b﹣c﹣a＜0，∴原式＝a+b﹣c﹣（b﹣c﹣a）＝2a．7.（2019 河北石家庄中考模拟）已知|2018﹣m|+＝m，求m﹣20182的值．【分析】直接利用二次根式有意义的条件分别分析得出答案．【解答】解：∵m﹣2019≥0，∴m≥2019，∴2018﹣m≤0，∴原方程可化为：m﹣2018+＝m，∴＝2018，∴m﹣2019＝20182，∴m﹣20182＝2019．8.（2019 河北石家庄中考模拟）在学习了二次根式的相关运算后，我们发现一些含有根号的式子可以表示成另一个式子的平方，如：3+2＝2+2+1＝（）2+2+1＝（+1）2；5+2＝2+2+3＝（）2+2××+（）2＝（+）2（1）请仿照上面式子的变化过程，把下列各式化成另一个式子的平方的形式：①4+2；②6+4（2）若a+4＝（m+n）2，且a，m，n都是正整数，试求a的值．【分析】（1）根据完全平方公式求出即可；（2）先根据完全平方公式展开，再求出m、n的值，再求出a即可．【解答】解：（1）4+2＝3+2+1＝（）2+2×+12＝（+1）2；6+4＝4+4+2＝22+2×2×+（）2＝（2+）2；（2）∵a+4＝（m+n）2，∴a+4＝m2+2mn+3n2，∴a＝m2+3n2，2mn＝4，∴mn＝2，∵m，n都是正整数，∴m＝2，n＝1或m＝1，n＝2；当m＝2，n＝1时，a＝22+3×12＝7；当m＝1，n＝2时，a＝12+3×22＝13；即a的值是7或13．。
数学中的二次根式与分式
数学中的二次根式与分式在数学中，二次根式和分式是我们经常会遇到的两个概念。
它们在解决方程、计算和简化表达式等方面都具有重要的作用。
本文将详细介绍二次根式和分式的定义、性质以及它们在数学中的应用。
一、二次根式的定义与性质二次根式是指根号下包含二次项的表达式。
具体地说，对于一个非负实数a和正整数n，我们定义二次根式√a为满足以下条件的实数x：x的n次方等于a，即x^n = a。
其中，n称为根式的指数，而a则是根式的被开方数。
二次根式的性质如下：1. 非负性质：二次根式的值不会小于0，即根号下的被开方数必须为非负实数。
2. 分解性质：对于一个二次根式√ab，可以将其分解为√a * √b。
3. 合并性质：对于两个同类项的二次根式√a和√b，可以合并为√(a+b)。
4. 化简性质：如果被开方数能够整除完全平方数，那么二次根式就可以化简为一个有理数。
二、分式的定义与性质分式是数学中的一种表达形式，通常由分子和分母组成，中间用分数线分隔。
分式可以表示两个数之间的关系，其中分子表示被除数，分母表示除数。
分式的定义如下：对于两个整数a和b（其中b≠0），我们定义分式a/b为两个整数a和b的比值。
在分式中，a被称为分子，b被称为分母。
分式的性质如下：1. 除法性质：分式表示的是除法运算，即a/b = a÷b。
2. 分子和分母的性质：在一个分式中，如果分子和分母乘（或除）以同一个非零实数k，则分式的值不变。
3. 分式的简化：如果分子和分母有一个公因数，那么可以进行约分，将分式化简为最简形式。
4. 分式的加减乘除：两个分式的加减可以通过通分和化简的方法进行，两个分式的乘除可以通过分子乘分子、分母乘分母的方法进行。
三、二次根式与分式的联系与应用二次根式和分式在数学中经常会有联系，并在解决问题中应用到一起。
1. 化简分式时可以利用二次根式的性质进行转化。
比如，在分式中出现二次根式时，可以将其转化为最简形式，使得分母中不存在二次根式。
二次根式的有关概念及性质
，
..........都不是最简二次根式，而
， ，5 ， 都是最简二次根式。
3.同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数一样，这几个二次根
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
式就叫做同类二次根式。如 , ,
就是同类二次根式，因为 =2 ， =3 ，
它们与 的被开方数均为 2。
4.有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，则说这两 个代数式互为有理化因式。如 与 ，a+ 与 a- ， - 与 + ，互为有理化 因式。
z.
二、二次根式的性质：
1. (a≥0)是一个非负数, 即 ≥0;
2.非负数的算术平方根再平方仍得这个数，即：( )2=a(a≥0)；
3.*数的平方的算术平方根等于*数的绝对值，即 =|a|=
4.非负数的积的
算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积，即 = · 〔a≥0,b≥0〕。
.
一、二次根式的有关概念：
-
二次根式的有关概念及性质
1.二次根式：式子 (a≥0)叫做二次根式。 2.最简二次根式：满足以下两个条件的二次根式，叫做最简二次根式； 〔1〕被开方数的因数是整数，因式是整式；
〔2〕被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。如 不是最简二次根式，因被开方数中
含有 4 是可开得尽方的因数，又如 ，
二次根式
3、二次根式的双重非负性
例7 已知实数 x、y、a 满足：
x y 8 8 x y 3x y a x 2 y a 3
x、y、a .问：
以 为三边长的线段能否组成一个三角形？如果能，请 求出三角形的周长；如果不能，请说明理由.
3、二次根式的双重非负性
1 x 2 x
的图像上，
变式：如果代数式 m
有意义，那么在平面直角坐
象限.
x2 6 x m
标系中，点 P m, n 的位置在第 例4 无论x取任何实数，代数式 取值范围为 .
都有意义，则m的
2、二次根式有意义的条件
例5 设 a 8 x , b 3x 4, c x .2 a、b、c 都有意义？ （1）当x取什么实数时， （2）若a、b、c 为Rt△ABC的三边长，求x的值.
a a a 0, b 0 b b
n
3、二次根式的加减： 先化简，再求值 4、根式运算法则： a b ab ,
n n n
a na n b b
最简二次根式：
0.2 x ,
12 x 12 y ,
x2 y2 ,
5ab 2
同类二次根式：
在
ab b 1 b , , , 3 中，与 a3b是同类二次根式的是 2 a ab a
a、b、c ，且 a、b、c 例8 已知△ABC的三边长分别为 满足a 2 6a 9 a b 1 c 2 5 0 .试判断△ABC的形 状.
几个非负数的和为0，则每个非负数都为0. 初中常见的三大非负数： （1）绝对值； （2）偶次方； （3）算术平方根.
变式1：若 a b+1 与 a 2b 4 互为相反数
二次根式的知识点汇总
二次根式的知识点汇总二次根式是指含有平方根（开方）的代数式。
学习和掌握二次根式的知识点，对于进一步理解和应用高等数学和物理学等学科内容至关重要。
以下是二次根式的知识点汇总：一、基本概念与性质：1.平方根与二次根式的概念：平方根的定义及其在代数中的性质，二次根式的定义与示例。
2.约分与化简：二次根式的约分、化简及约分规则。
3. 同类二次根式的合并与分解：同类二次根式的合并与分解法则，如$\sqrt{a} \pm \sqrt{b} = \sqrt{(\pm \sqrt{a})^2 + (\pm\sqrt{b})^2}$。
二、四则运算：1. 加减法：同类二次根式的加减法规则，如$\sqrt{a} \pm \sqrt{b} = \sqrt{(\pm \sqrt{a})^2 + (\pm \sqrt{b})^2}$。
2. 乘法：二次根式的乘法规则，如$(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd$。
3. 除法：二次根式的除法规则，如$\frac{a+b}{c+d}=\frac{(a+b)(c-d)}{(c+d)(c-d)}$。
4.有理化方法：如分子、分母都有二次根式时的有理化方法，分别是乘以共轭式和有理化因式。
三、二次根式的化简与证明：1.合并同类项：在二次根式的化简中，将同类项合并为一个二次根式。
2.分解因式：在二次根式的化简中，将二次根式分解为若干个二次根式相乘的形式。
3.公因式提取：在二次根式的化简中，提取公因式使其化简为整数或其他形式。
四、二次根式的应用：1.代数方程的解：使用二次根式求解一元二次方程。
2.几何意义：二次根式在几何中的应用，例如计算三角形的边长、面积等。
3.物理问题：通过建立代数模型和运用二次根式，解决物理问题，如自由落体、速度、力等。
五、常见的二次根式：1. $\sqrt{a^2}=，a，$，其中$a$表示任意实数。
2. $\sqrt{a}\sqrt{b}=\sqrt{ab}$，其中$a$和$b$分别表示任意非负实数。
专题01 二次根式及其性质
专题01 二次根式及其性质【考点剖析】1、二次根式概念：一般地，我们把形如（a≥0）的式子叫二次根式.2、二次根式有意义的条件：二次根式中的被开方数是非负数.（1）如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数．（2）如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零．3、二次根式的性质与化简（1）二次根式的基本性质：①；②；③（2）与要注意区别与联系：①a的取值范围不同，中a≥0，中为任意值；②a≥0时，；a＜0时，无意义，二次根式的定义【典例】例1．下列式子：，，，，，，中，一定是二次根式的是（ ）A．3个B．4个C．5个D．6个【答案】B【解析】解：在所列式子中，一定是二次根式的是，，，这4个，故选：B．【点睛】根据二次根式的性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义，逐一判断．本题考查了二次根式的定义．理解被开方数是非负数，给出一个式子能准确的判断其是否为二次根式，并能根据二次根式的定义确定被开方数中的字母取值范围．【巩固练习】1．、、、、中二次根式有（ ）A．5个B．4个C．3个D．2个【答案】C【解析】解：、、是二次根式，、的被开方数不一定为非负数，故不一定是二次根式．故选：C．2．下列各式中①；②；③；④；⑤；是二次根式的有（ ）个．A．2个B．3个C．4个D．5个【答案】A【解析】解：①、②的被开方数是负数，不是二次根式；③；④符合二次根式的定义；⑤当﹣1＜x＜1时，被开方数是负数，不是二次根式．综上所述，二次根式的个数是2．故选：A．3．下列各式中：①；②；③；④．其中，二次根式的个数有（ ）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】A【解析】解：①；②；③；④．二次根式的只有①，故选：A．二次根式有意义的条件【典例】例1．式子中x的取值范围是（ ）A．x≥1且x≠2B．x＞1且x≠2C．x≠2D．x＞1【答案】A【解析】解：由题意得：x﹣1≥0且x﹣2≠0，解得：x≥1且x≠2．故选：A．【点睛】根据二次根式有意义的条件可得x﹣1≥0，再根据分式有意义的条件可得x﹣2≠0，再解出x的值．此题主要考查了二次根式有意义的条件，以及分式有意义的条件，关键是掌握分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．例2．若已知a、b为实数，且2b+4，则a+b＝______．【答案】1【解析】解：由题意得，a﹣5≥0，5﹣a≥0，解得，a＝5，则b＝﹣4，则a+b＝1，故答案为：1．【点睛】根据二次根式中的被开方数必须是非负数解答即可．本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式中的被开方数必须是非负数是解题的关键．【巩固练习】1．若二次根式有意义，则x的取值范围是（ ）A．x B．x C．x D．x≤5【答案】B【解析】解：由题意得，5x﹣1≥0，解得，x，故选：B．2．代数式有意义，则x应满足的条件是（ ）A．x≠3B．x C．x且x≠3D．x且x≠3【答案】C【解析】解：由题意得，1+3x≥0，x﹣3≠0，解得，x且x≠3，故选：C．3．如果代数式有意义，那么x的取值范围是（ ）A．x≥0B．x≠1C．x＞1D．x≥0且x≠1【答案】C【解析】解：由题意得，x≥0，x﹣1＞0，解得，x＞1，故选：C．4．如果y3，那么y x的算术平方根是（ ）A．2B．3C．9D．±3【答案】B【解析】解：由题意得，x﹣2≥0，2﹣x≥0，解得，x＝2，∴y＝3，则y x＝9，9的算术平方根是3．故选：B．5．若|2017﹣m|m，则m﹣20172＝____________．【答案】2018【解析】解：∵|2017﹣m|m，∴m﹣2018≥0，m≥2018，由题意，得m﹣2017m．化简，得2017，平方，得m﹣2018＝20172，m﹣20172＝2018．故答案为：20186．已知a满足|2017﹣a|a，则a﹣20172的值是____________．【答案】2018【解析】解：∵|2017﹣a|a，∴a﹣2018≥0，故a≥2018，则原式可变为：a﹣2017a，故a﹣2018＝20172，则a﹣20172＝2018．故答案为：2018．二次根式的性质【典例】例1．下列各式中，一定能成立的是（ ）A．B．（）2C．x﹣1D．•【答案】A【解析】解：A、，所以A选项正确；B、（）2当a为负数是不成立，所以B选项错误；C、x﹣1当x＜1时不成立，所以C选项错误；D、•当x＜3时不成立，所以D选项错误．故选：A．例2．实数a，b在数轴上的位置如图，则化简|a﹣b|的结果为（ ）A．2a B．﹣2a C．2b D．﹣2b 【答案】B【解析】解：由题意得：a＞b，|a|＜|b|，a＞0，b＜0，∴a﹣b＞0，a+b＜0，∴|a﹣b|＝﹣a﹣b﹣a+b＝﹣2a，故选：B．例3．阅读下面的解题过程，判断是否正确？若不正确，请写出正确的解答．已知m为实数，化简：解：原式．【答案】见解析【解析】解：不正确，根据题意，m成立，则m为负数，＝m＝m＝（m+1）．【点睛】本题主要考查了二次根式的性质的灵活运用，关键是根据成立，则m为负数，要求熟练掌握负整数指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算．【巩固练习】1．下列各式成立的是（ ）A．2B．（）2＝2C．a D．3【答案】D【解析】解：A、2，故此选项错误；B、（）2＝4，故此选项错误；C、|a|，故此选项错误；D、3，正确．故选：D．2．实数a在数轴上的位置如图所示，则化简后为（ ）A．8B．﹣8C．2a﹣18D．无法确定【答案】A【解析】解：由题意可知6＜a＜12，∴a﹣5＞0、a﹣13＜0．∴|a﹣5|+|a﹣13|＝a﹣5+13﹣a＝8．故选：A．3．如图所示，实数a、b在数轴上的位置化简的结果是（ ）A．﹣2a B．﹣2b C．0D．2a﹣2b 【答案】A【解析】解：由数轴可知：a＜0，b＞0，a﹣b＜0，∴原式＝﹣a﹣b﹣（a﹣b）＝﹣a﹣b﹣a+b＝﹣2a故选：A．4．把x根号外的因数移到根号内，结果是（ ）A．B．C．D．【答案】C。
二次根式知识点
二次根式知识点知识回顾：算术平方根的定义：一般地，如果一个正数x的平方等于a，那么这个正数x叫做a的算术平方根。
一、二次根式的概念一般地，我们把形如√a（a≥0）的式子叫做二次根式，“√”称为二次根号。
★正确理解二次根式的概念，要把握以下五点：（1）二次根式的概念是从形式上界定的，必须含有二次根号“√”，“√”的根指数为2，即“√2”，我们一般省略根指数2，写作“√”。
如√52可以写作√5。
（2）二次根式中的被开方数既可以是一个数，也可以是一个含有字母的式子。
（3）式子√a表示非负数a的算术平方根，因此a≥0，√a≥0。
其中a≥0是√a 有意义的前提条件。
（4）在具体问题中，如果已知二次根式√a，就意味着给出了a≥0这一隐含条件。
（5）形如b√a（a≥0）的式子也是二次根式，b与√a是相乘的关系。
要注意当b是分数时不能写成带分数，例如83√2可写成8√23，但不能写成223√2。
二、二次根式的性质：=｜a｜=a （a≥0）或=｜a｜= - a（a＜0）★(√a)2（a≥0）与√a2的区别与联系：典型例题剖析题型一：二次根式有意义的条件当x取何值时，下列各式在实数范围内有意义？；（3）√x−3+√3+x（1）√x+5-√3−2x；（2）√2x−1√1−x题型二：利用二次根式的非负性化简求值已知a+√b−2=4a-4，求√ab的值。
题型三：二次根式非负性的简单应用已知实数x，y满足｜x-4｜+√y−8=0，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是（）题型四：利用√a2=｜a｜并结合数轴化简求值已知实数a，b在数轴上的位置如图所示。
试化简：√a2+√b2+√(a−b)2+√(b−1)2-√(a−1)2题型五：√a2=｜a｜与三角形三边关系的综合应用在△ABC中，a，b，c是三角形的三边长，化简√(a−b+c)2-2｜c-a-b｜题型六：逆用(√a)2= a（a≥0）在实数范围内分解因式在实数范围内分解因式：（1）x-4；（2）x-4√x+4三、二次根式的乘除：1、单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。
二次根式的应用
二次根式的应用二次根式是数学中重要的一种特殊形式，它在实际生活中有着广泛的应用。
本文将介绍二次根式的概念以及在几个实际场景中的具体应用。
一、二次根式的概念和性质二次根式是指具有形如√a的表达式，其中a为非负实数。
它可以用带有根号的形式表示，也可以用有理数的形式表示，具体取决于根号内的数是否为完全平方数。
二次根式的运算包括加减、乘除、化简等。
二次根式在几何上有着重要的应用，它可以表示一些与平方相关的几何问题。
例如，在解决面积、体积等问题时，常常会遇到二次根式的出现。
二、二次根式在几何中的应用1. 面积问题二次根式在计算面积问题中起到重要的作用。
例如，当我们需要计算一个圆的面积时，就需要用到半径的平方，而半径的平方可以表示为二次根式。
同样地，计算一个三角形的面积时，需要用到底边和高的乘积，其中高可以表示为二次根式。
2. 体积问题二次根式在计算体积问题中也有广泛的应用。
例如，在计算一个圆柱体的体积时，我们需要用到半径的平方和高的乘积，其中半径的平方可以表示为二次根式。
三、二次根式在物理中的应用1. 物理运动问题在物理学中，二次根式常常用于描述物体的运动状态。
例如，在自由落体运动中，物体下落的距离可以用二次根式表示。
同样地，在抛体运动中，物体的轨迹也可以用二次根式表示。
2. 波动问题二次根式在描述波动问题中也有重要的应用。
例如，在波的传播中，波的幅度通常可以用二次根式表示。
另外，在声音的传播中，声音的强度也可以用二次根式表示。
四、二次根式在工程中的应用1. 结构稳定性问题在工程领域中，二次根式可以用于研究结构的稳定性。
例如，在分析桥梁结构的承载能力时，需要用到材料的强度，而材料的强度可以用二次根式表示。
2. 电路问题二次根式在电路分析中也有着重要的应用。
例如，在求解电阻、电容等元件的阻抗时，常常会遇到二次根式的计算。
综上所述，二次根式作为数学中重要的一种特殊形式，在实际生活、几何、物理和工程等领域中都有着广泛的应用。
二次根式知识点总结
二次根式【知识点回顾】 一、概念：1.二次根式：式子a （a ≥0）叫做二次根式。
“”叫二次根号，根指数为2，a叫被开方数。
2.最简二次根式：必须同时满足下列条件： ⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式； ⑵被开方数中不含小数或分数线； ⑶分母中不含根式。
3.同类二次根式：二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。
问:同类二次根式被开方数一定相同吗？二、二次根式的性质：（1）双重非负性 a ≥0，a ≥0（2）（a ）2=a （a ≥0）；（3）==a a 2三、二次根式的运算：（1）因式的外移和内移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先分解因式，变形为积的形式，再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面。
（2）二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式，找同类二次根式，合并同类a （a ＞0）a -（a ＜0）0 （a =0）二次根式。
（3）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式。
ab =a ·b （a≥0，b≥0）；b ba a=（b≥0，a>0）． 二次根式的乘法公式和除法公式返过来可以对二次根式进行化简。
（4）有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算。
【典型例题】1、概念与性质例1下列各式1）22211,2)5,3)2,4)4,5)(),6)1,7)2153x a a a --+---+， 其中是二次根式的是_________（填序号）． 例2、求下列二次根式中字母的取值范围（1）42-x （2）m1 （3）421-x （4）21-+x x （5）21++x x（6）x x --+21例3、 在根式1)222;2);3);4)275xa b x xy abc +-，最简二次根式是（ ） A ．1) 2) B ．3) 4) C ．1) 3) D ．1) 4)例4、已知：的值。
二次根式的定义和概念
1、定义：一般形如√ā（a≥0）的代数式叫做二次根式。
当a≥0时，√ā表示a的算术平方根；当a小于0时，非二次根式（在一元二次方程中，若根号下为负数，则无实数根）2、概念：式子√ā（a≥0）叫二次根式。
√ā（a≥0）是一个非负数。
其中，a叫做被开方数。
二次根式√a的简单性质和几何意义1）a≥0 ; √a≥0 [ 双重非负性]2）（√a）^2=a （a≥0）[任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式]3) c=√a^2+b^2表示直角三角形内，斜边等于两直角边的平方和的根号，即勾股定理推论。
二次根式的性质和最简二次根式如：不含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有√2、√3、√a （a≥0）、√x+y 等；含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有√4、√9、√a^2、√（x+y）^2、√x^2+2xy+y^2等最简二次根式同时满足下列三个条件：（1）被开方数的因数是整数，因式是整式；（2）被开方数中不含有能开的尽的因式；（3）被开方数不含分母。
二次根式的乘法和除法1.积的算数平方根的性质√ab=√a·√b（a≥0，b≥0）2. 乘法法则√a·√b=√ab（a≥0，b≥0）二次根式的乘法运算法则，用语言叙述为：两个因式的算术平方根的积，等于这两个因式积的算术平方根。
3.除法法则√a÷√b=√a÷b（a≥0，b>0）二次根式的除法运算法则，用语言叙述为：两个数的算术平方根的商，等于这两个数商的算术平方根。
4.有理化根式。
如果两个含有根式的代数式的积不再含有根式，那么这两个代数式叫做有理化根式,也称有理化因式。
1 同类二次根式一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式。
2 合并同类二次根式把几个同类二次根式合并为一个二次根式就叫做合并同类二次根式。
3二次根式加减时，可以先将二次根式化为最简二次根式，再将被开方数相同的进行合并。
二次根式的定义及性质
二次根式的定义及性质1、二次根式的定义形如)0(≥a a 的代数式叫二次根式（1）式子中含有二次根号“”；（2）a 可以表示数也可以表示代数式（3）二次根式)0(≥a a 表示非负数a 的算术平方根，0≥a ，即二次根式的两个非负性 二次根式的两个非负性：)0(≥a a ；0≥a ，具有非负性的还有02≥a ；0≥a ；几个非负数的和等于零，那么这几个非负数均为零。
2、二次根式的主要性质 （1）())0(2≥=a a a （2）⎪⎩⎪⎨⎧<-=>==)0()0(0)0(2a a a aa a a3、分母有理化：把分母中的根号化去，叫做分母有理化.方法:①单项二次根式：利用a =来确定．②两项二次根式：利用平方差公式()()22b a b a ba -=-+来确定．如: aa4、最简二次根式：被开方数中不含分母，并且被开方数中不含开的尽方的因数或因式叫最简二次根式 最简二次根式的条件①号内不含有开的尽方的因数或因式，②根号内不含有分母，③分母不含有根号。
5、 同类二次根式：被开方数相同的最简二次根式叫做同类二次根式6、 乘法公式：)0,0______(≥≥=⋅b a b a ；反之：)0,0_______(≥≥=b a ab7、除法公式：)0,0______(>≥=b a ba ；反之：)0,0______(>≥=b a b a 8、合并同类二次根式：__________________;=-=+a n a m a n a m形如)0(≥a a 的代数式叫二次根式例1、下列式子中二次根式的个数有（ ）（1）31（2）3-（3）12+-x （4）38（5）2)31(-（6）)1(1>-x x A.2个 B.3个 C.4个 D.5个【变式练习】1、下列各式中，一定是二次根式的有______________________________① a ；②z y +；③6a ；④32+x ；⑤962++x x ；⑥12-x2、222++a a 是不是二次根式？___________（填“是”或“否”）二次根式)0(≥a a 表示非负数a 的算术平方根，0≥a ，即二次根式的两个非负性例2、（2012.德阳）使代数式12-x x 有意义的x 的取值范围是（ ） A.0≥x B.21≠x C.210≠≥x x 且 D.一切实数 例3、 函数1213-+-=x x y 的自变量x 的取值范围是_______________【变式练习】1、 使12--x x 在实数范围内有意义的x 的取值范围是______________ 2、（2012.杭州）已知0)3(<-a a ，若a b -=2，则b 的取值范围是___________3、若2)(11y x x x +=---，则______=-y x())0(2≥=a a a例4、计算： (1) (2) (3) (4)(b ≥0) (5)【变式练习】计算： (1)； (2)； (3)； (4). ⎪⎩⎪⎨⎧<-=>==)0()0(0)0(2a a a a a a a例5、化简: (1)； (2)； (3)； (4).例6、2x =，则x 的取值范围是 。
二次根式的概念和性质
一、二次根式的概念和性质二次根式1.0a ≥）的式子叫做二次根式.说明：（1）被开方数是正数或0；（20a ≥）表示非负数a 的算术平方根. 2.二次根式的性质：（10； （2）2(0)a a =≥； （3(0)(0)(0)a a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩；（4）当0a ≥时，2=二、最简二次根式最简二次根式最简二次根式的定义：①被开方数的因数是整数，因式是整式（分母中不含根号）；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．这样的二次根式叫做最简二次根式． 最简二次根式的满足条件：（1）被开放数的因数是整数，因式是整式（被开方数不能存在小数、分数形式）； （2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式； （3）分母中不含二次根式．说明：二次根式的计算结果要写成最简根式的形式．三、二次根式的加减 同类二次根式几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫同类二次根式． 二次根式的加减二次根式知识点同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式．合并同类二次根式：(a b =+ 分母有理化分母有理化：把分母中的根号化去叫做分母有理化．互为有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，说这两个代数式互为有理化因式．0．四、二次根式综合运算二次根式的综合运算法则：先算乘除法，再算加减法，有括号的先算括号里面的，最终结果二次根式部分要化为最简二次根式．注意：在二次根式的计算题中，如果题目中没有明确说明字母的取值范围，按照字母使二次根式有意义来计算．五、二次根式化简求值二次根式的化简求值：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的加减乘除运算，化为较为简单的一个式子（或直接得出结果），最后代入未知数的值求解，有时候也会存在整体代入的情况．注意：对与二次根式的化简求值如果字母没有明确说明取值范围，必须要进行分类讨论．六、根式的大小比较 比较大小的方法1．作差法:比较a 、b 的大小，0,0,0,a b a b a b a b >>⎧⎪-==⎨⎪<<⎩２．作商法：比较a 、b 的大小，当0,0a b >>时，可以采用作商法，1,1,1,a b a a b b a b>>⎧⎪==⎨⎪<<⎩二次根式比较大小的方法 （1）0a b >>（2）二次根式比较大小：能直接比较大小的直接比较；不能直接比较大小的，先平方再比较．（3）估算法 （4）分子有理化 （5）倒数法七、二次根式的乘除 二次根式的乘除法=0a ≥，0b ≥）．=（0a ≥，0b >）． 说明：利用乘除法则时注意a 、b a 、b 都非负，否则不成立．一、 单选题1、（2015中考西城二模）函数2y x=-中，自变量的取值范围是（ ） A ．2x ≠ B ．2x ≥ C ．2x > D ．2x ≥-【答案】 B【解析】由二次根式有意义的条件可得20x -≥，即2x ≥，故答案为B ．2、（2013初二上期末房山区）下列各式中，计算正确的是（ ） A ．22=B 16=±C ．8D ．(26=【答案】 A【解析】该题考查的是二次根式的计算．x 例题A，22=，故A正确；B16，故B错误；C，8-，故C错误；D，(212=，故D错误．所以该题的答案是A．3）A．(1a-B．(1a-C．D．(1a-【答案】B【解析】(=-B选项．1a4、(2013初二上期末平谷区)下列二次根式中，最简二次根式是（）ABCD【答案】C【解析】该题考查最简二次根式．A =，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式；故本选项错误；BCD 故选C ．5、（2012初二下期末人大附中）如果最简二次根式b 那么a 、b 的值分别是（ ） A ．0a =，2b = B ．2a =，0b = C ．1a =-，1b = D ．1a =，2b =- 【答案】 A【解析】该题考查的是同类二次根式的概念．同类二次根式是被开方数相同的两个最简二次根式． ∴2322b a b b a -=⎧⎨=-+⎩，解得：02a b =⎧⎨=⎩．故选A ．6、下列运算中，正确的个数是（ ）①1251144251=；2=-；③214141161+=+④()442±=-5-A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【答案】B【解析】该题考查的是根式的运算．13111212=；=4，；⑤正确，故只有1个是正确的， 所以本题的答案是B ．7、( )A ．在9.1～9.2之间B ．在9.2～9.3之间C ．在9.3～9.4之间D ．在9.4～9.5之间【答案】 C【解析】9()x x +是小数部分；则有：()2988x +=，即：2187x x +=，得187x ≈，0.38x ≈，9.39.4～之间，故答案为C 选项．8、(2013初一上期末人民大学附属中学)已知正整数a 、b =那么a b -的值是( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5B【解析】该题考查的是根式的性质和运算．方法一：)1==因此可得6,3a b==，故a b-的值是3．方法二：由题知正整数a、b=9a b+-918a bab+=⎧⎨=⎩解得6a=，3b=，故a b-的值是3．故本题答案为B．二、填空题9、(2013初一上期末人民大学附属中学)，则3223a ba b+=-____【答案】-18【解析】该题考查非负数的性质．==0．∴43ab=-⎧⎨=-⎩求出321823a ba b+=--．10、实数a、b a的化简结果为______【答案】b-b a该题考查的是代数式化简．由图中可得0a >，0b <，且a b <，则0a b +<a a b a a b a b =++=--+=-．11、=____________=______________． 【答案】25，9 【解析】25==，369+=12、（2013a =_________【答案】1±【解析】该题考查的是二次根式．满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式： （1）被开方数的因数是整数，因式是整式； （2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式． 根据题意可列：22461a a +=- 解得：1a =±13、（2013．【答案】【解析】该题考查的是二次根式的计算．原式==14、(2013初一上期末人民大学附属中学+=____【答案】【解析】该题考查根式的分母有理化．++=+=三、解答题15、（2014【答案】【解析】本题考察的是根式的计算．==16、(2013初二上期末门头沟区)【答案】【解析】该题考查的是二次根式计算．原式+2=-17、（2013初二上期中C理工附）（1（2）点Q、M之间的距离是_________．（3）点M关于点Q的对称点是__________．（4）若点P、Q、M、所对应的实数分别是p、q、m，q m-+【答案】（1）P、M、Q（2）M Q-（3）2Q M-（4）p m-【解析】该题考察的是实数与数轴．（1<P，M，Q；（2）MQdM Q=-；（3）若数轴上两个点关于某个点对称，则这两个点的平均数为中间的那个点所表示的数，故点M关于点Q的对称点为2Q M-；（4q m-+()22q p m q p q=---+-p m=-18、1()2x yz++，求x、y、z的值．【答案】1,2,3x y z===P MQ【解析】1()2x y z ++得：0x y z ---1(1)1(2)10x y z -+--+--=即：2221)1)1)0++=所以：1,2,3x y z ===19、．【答案】<【解析】1==1=>∴11<- <1、（2015中考平谷一模）函数y =中自变量的取值范围是（ ）A ．1x ≠B ．1x >C ．1x ≥D ．1x ≥-【答案】 B【解析】根据题意可知，10x ->，即1x >．故选B ．2、对于所有实数,a b ，下列等式总能成立的是（ ） A．2a b =+Ba b + C 22a b+D a b =+【答案】 C【解析】因为220a b +≥22a b +，故答案为C 选项．3、（2011中考大兴一模）函数y =中，自变量x 的取值范围是___________【答案】 2x >-【解析】根据题意可知，只需20x +>，即2x >-即可．随堂练习4、实数P____【答案】1【解析】该题考查的是实数运算．由数轴可得，23p <<， ∴20p ->，30p -<， 23231p p p p -+-=-+-=．5、计算：=⨯12172_________，=--)84)(213(_________， =⨯-03.027.02_________，_____________=．【答案】24；0.18-；5-【解析】=，(24⎛--==⎝，20.090.18-=--⨯=-，4335-⨯=-6、(2013初一上期末人民大学附属中学)化简：2____【答案】43x -12 34p【解析】该题考查根式的化简．212x -+∵由题得120x -≥，12x ≤33x x =-=-．∴原式12343x x x =-+-=-． 故答案为43x -．7、设A B ==A ____B ．【答案】 A B >【解析】2A =2B =< ∴22A B< ∴A B >8、（2013初二下期中北京第四中学）已知: 1x =，求223x x +-的值．【答案】 2-【解析】该题考查的是代数式求值．把1x =代入得：原式))21213=+-323=--2=-9、已知：,x y 为实数，且3y ，化简：3y -【答案】1-【解析】 由3y <得：1x =，3y <，所以31634341y y y y y y --+=---=-++-1、（2015中考大兴一模）函数y =x 的取值范围是（ ） A ．2x ≤且0x ≠ B ．2x ≤C ．2x <且0x ≠D ．0x ≠【答案】 A【解析】根据题意可知，20x -≥，且0x ≠．解得2x ≤，且0x ≠． 2、若A （ ）A ．24a +B ．22a +C ．()222a +D ．()224a +【答案】 A 【解析】 因为()224A a+24a =+，故答案为A 选项．3、（2015中考西城二模）若2(2)0m ++ 则m n -= ．课后作业【答案】 3-【解析】因为2(2)0m +=，所以2m =-，1n =，故3m n -=-．4、在下列二次根式中，最简二次根式有____________________．【答案】【解析】由最简二次根式的定义可知是最简二次根式．5、（2012初二上期末通州区）若最简二次根式a =__________【答案】 4【解析】本题考查的是最简二次根式的定义．∴3530a a -=+≥，解得4a =．6、0，则3223a ba b+=-____【答案】-18【解析】该题考查非负数的性质．000=0=0．∴43a b =-⎧⎨=-⎩求出321823a ba b+=--．7、（2013初二下期中北京第四中学）12．（填“>”、“<”或“=”）．【答案】>【解析】该题考查的是二次根式比大小．102==>102->，12>．8、(2013初二下期末清华大学附属中学)01)【答案】 011+=0……5分9、化简：（1（2【答案】（11（2【解析】（11=（2===。
二次根式的性质与计算
二次根式的性质与计算二次根式是数学中一个重要的概念，它涉及到了根号以及平方等运算，具有一些特殊的性质和计算规律。
本文将介绍二次根式的一些基本性质和计算方法，帮助读者更好地理解和应用这个概念。
一、二次根式的定义二次根式是指形如√a的数，其中a是一个非负实数。
在二次根式中，根号下的数被称为被开方数。
被开方数的值必须大于等于零，否则二次根式就没有意义。
二、二次根式的性质1. 二次根式的值：对于二次根式√a，它的值是满足b^2 = a的非负实数b。
例如，√9的值是3，因为3^2等于9。
2. 二次根式的性质：(a) 任意非负实数a和b，有以下性质成立：a)√(a*b) = √a * √b；b)√(a/b) = √a / √b。
(b) 对于任意的非负实数a和b，有以下性质成立：a) √(a + b) ≠ √a + √b；b) √(a - b) ≠ √a - √b。
(c) 对于任意非负实数a，有以下性质成立：a) √(a^2) = |a|。
3. 二次根式的化简：当被开方数是特殊形式时，我们可以通过化简来简化二次根式的计算。
常见的化简规则包括：(a) 约分：如果被开方数能够被某个因数整除，那么可以将该因数提出到根号外。
(b) 分解因式：将被开方数分解成多个因数的乘积，然后将相同的因数提出到根号外。
(c) 完全平方数：如果被开方数是一个完全平方数，那么可以直接将其开方并化简。
三、二次根式的基本计算方法1. 二次根式的加减法：当两个二次根式相加或相减时，如果它们的被开方数相同，那么可以直接将系数相加或相减，并保持根号下的数不变。
例如，√3 + √3 =2√3，√5 - √2 = √5 - √2。
2. 二次根式的乘法：当两个二次根式相乘时，可以将它们的被开方数相乘，并保持根号下的数不变。
例如，√3 * √5 = √15，√2 * √2 = 2。
3. 二次根式的除法：当两个二次根式相除时，可以将它们的被开方数相除，并保持根号下的数不变。
二次根式的性质与计算
二次根式的性质与计算二次根式是数学中一个重要的概念，它在代数表达式和方程求解中有着广泛的应用。
本文将介绍二次根式的性质，并探讨如何进行二次根式的计算。
一、二次根式的性质1. 定义：二次根式是形如√a的表达式，其中a为非负实数。
根号下面的数称为被开方数。
2. 化简与合并：当被开方数是一个常数时，我们可以化简二次根式来得到一个最简形式，并且对不同的二次根式可以进行合并操作。
例如：√4 = 2√9 = 3√(4+9) = √133. 乘法与除法：二次根式之间可以进行乘法和除法运算，其中乘法的规则如下：√a * √b = √(a*b)同理，除法的规则如下：√a / √b = √(a/b)√2 * √3 = √(2*3) = √6√6 / √2 = √(6/2) = √34. 有理化：有理化是指将分母有二次根式的分式转化为分母为有理数的分式。
有理化的方法是将分子和分母同时乘以分母的共轭形式。
例如：1 / (√2 + √3) = (√2 - √3) / ((√2 + √3)(√2 - √3))= (√2 - √3) / (2 - 3)= (√2 - √3) / (-1)= -√2 + √3二、二次根式的计算1. 加法与减法：二次根式之间可以进行加法和减法运算，只要它们的被开方数相同。
例如：√2 + √2 = 2√2√5 - √3 = √5 - √3 （无法合并）2. 乘法：二次根式之间可以进行乘法运算，根据乘法规则，我们可以将二次根式的被开方数相乘，并将结果开方。
√2 * √3 = √63. 除法：二次根式之间可以进行除法运算，根据除法规则，我们可以将二次根式的被开方数相除，并将结果开方。
例如：√6 / √2 = √(6/2) = √34. 分式运算：在分式的计算中，二次根式可以作为分子或者分母出现。
我们可以按照有理化的方法将分母有二次根式的分式转化为分母为有理数的分式，然后进行简化计算。
例如：1 / (√2 + √3) = -√2 + √3结论：二次根式拥有多种性质，我们可以通过化简合并、乘法、除法和有理化等运算来对二次根式进行计算。
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二次根式的概念与性质2一．填空题（共40小题）1．当二次根式的值最小时，x=．2．当x=4时，二次根式的值为．3．观察下列各式：①，②，③，…，根据以上规律，第n个等式应为：．4．已知n为整数，则使为最小正有理数的n的值是．5．观察分析下列数据，寻找规律：0，，，3，2…那么第10个数据应是．6．若x是正整数，二次根式是正整数，则最小值x=．7．如果是二次根式，则x的取值范围是．若分式的值为零，则x的取值为．8．若a，b满足a=++7，则a b=；9．二次根式有意义的条件是．10．若式子有意义，则x．11．若有意义，则x的取值范围是．12．若y﹣=﹣2018，则（x+y）2018=．13．若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是．14．若x为整数，且满足|x|＜π，则当也为整数时，x的值可以是．15．当x时，代数式+（x﹣4）0有意义．16．使代数式+有意义的x的取值范围是17．若|2017﹣m|+=m，则m﹣20172=．18．若a、b为实数，且b=+5，则a+b的值为19．若有意义，则x的取值范围．20．在﹣，|﹣|，0，这四个实数中，最大的数是．21．如果，化简+=．22．已知实数a在数轴上的位置如图所示，则化简|1+a|﹣的结果为．23．二次根式的值是．24．若等式=x﹣8成立，则x的取值范围是．25．当﹣1＜a＜0时，则=．26．若a＞1，化简的结果是．27．已知xy＞0，化简二次根式x的正确结果是．28．观察下列各式：=2；=3；=4，……请你将发现的规律用含自然数n（n≥1）的等式表示出来．29．若x＜0，y＞0，化简=．30．若a≤1，则化简为．31．若1＜x＜2，则|x﹣3|+的值为．32．把中根号外的（a﹣1）移入根号内得．33．已知，则a的取值范围是．34．实数a、b在数轴上的位置如图所示，则化简=．35．已知实数a、b在数轴上的位置如图所示：化简：的结果为．36．a，b在数轴上的位置如图所示，化简﹣|a﹣b|=．37．若y＜0，则化简为．38．一般地，二次根式有如下性质：①；②．所以=．39．如果xy＞0，化简=．40．化简后的结果是．二次根式的概念与性质2参考答案与试题解析一．填空题（共40小题）1．当二次根式的值最小时，x=3．【分析】直接利用二次根式的定义分析得出答案．【解答】解：∵二次根式的值最小，∴2x﹣6=0，解得：x=3．故答案为：3．【点评】此题主要考查了二次根式的定义，正确把握定义是解题关键．2．当x=4时，二次根式的值为0．【分析】直接将x=4，代入二次根式解答即可．【解答】解：把x=4代入二次根式=0，故答案为：0【点评】此题主要考查了二次根式的定义，直接将x=4代入求出，利用二次根式的性质直接开平方是解决问题的关键．3．观察下列各式：①，②，③，…，根据以上规律，第n个等式应为：=（n+1）（n为正整数）．【分析】观察所给的等式易得第n个等式应为：=（n+1）（n为正整数）．【解答】解：第n个等式应为：=（n+1）（n为正整数）．故答案为：=（n+1）（n为正整数）．【点评】本题考查了二次根式的定义：形如（a≥0）叫二次根式．4．已知n为整数，则使为最小正有理数的n的值是3．【分析】由=2是最小有理数，n是整数，即可推出n=3．【解答】解：∵=2是最小有理数，n是整数，∴n=3时，=6，是最小有理数，故答案为3【点评】本题考查二次根式的定义，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．5．观察分析下列数据，寻找规律：0，，，3，2…那么第10个数据应是3．【分析】根据已知的数可以得到第n个数是被开方数是3的n﹣1倍，据此即可求解．【解答】解：0=，，，3=，2=，可以得到第10个数的被开方数一定能是3的9倍，则第10个数是：==3．故答案是：3．【点评】本题考查了二次根式的化简，正确理解规律：第n个数是被开方数是3的n﹣1倍，是关键．6．若x是正整数，二次根式是正整数，则最小值x=3．【分析】12分解质因数，然后根据二次根式的性质解答．【解答】解：∵12=4×3，∴是整数的正整数x的最小值是3．故答案为：3．【点评】本题考查了二次根式的定义，把12分解成平方数与另一个因数相乘的形式是解题的关键．7．如果是二次根式，则x的取值范围是x≥﹣1．若分式的值为零，则x的取值为x=．【分析】根据二次根式的性质，被开方数大于等于0，列不等式求解．根据分式的值为零的条件可以求出x的值．【解答】解：依题意有1+x≥0，解得x≥﹣1；由分式的值为零的条件得2x﹣1=0，x+2≠0，解得x=．故答案为：x≥﹣1；x=．【点评】此题主要考查了二次根式的概念．二次根式的概念：式子（a≥0）叫二次根式．二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．同时考查了分式值为0的条件，若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．8．若a，b满足a=++7，则a b=49；【分析】根据二次根式有意义的条件可得b=2，进而可得a的值，然后可得答案．【解答】解：由题意得：，解得：b=2，则a=7，a b=49，故答案为：49．【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数．9．二次根式有意义的条件是a．【分析】直接利用二次根式有意义则根号下部分大于等于零，进而得出答案．【解答】解：∵二次根式有意义，∴2+3a≥0，解得：x≥﹣．故答案为：x≥﹣．【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握二次根式的定义是解题关键．10．若式子有意义，则x＞0．【分析】根据二次根式有意义的条件即可求出答案．【解答】解：由题意可知：解得：x＞0，故答案为：＞0【点评】本题考查二次根式有意义的条件，解题的关键是熟练运用二次根式有意义的条件，本题属于基础题型．11．若有意义，则x的取值范围是x≥0．【分析】直接利用二次根式有意义的条件进而分析得出答案．【解答】解：∵有意义，∴x≥0，故答案为：x≥0．【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握定义是解题关键．12．若y﹣=﹣2018，则（x+y）2018=1．【分析】先根据二次根式的意义确定出x=2017，进而求出y=﹣2018，即可得出结论．【解答】解：∵y﹣=﹣2018，∴x﹣2017≥0，2017﹣x≥0，∴x=2017，∴y=﹣2018，∴（x+y）2018=（2017﹣2018）2018=1，故答案为：1【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，幂的运算，求出x=2017是解本题的关键．13．若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是x≥﹣．【分析】直接利用二次根式有意义的条件进而分析得出答案．【解答】解：∵式子在实数范围内有意义，∴x+≥0，解得：x≥﹣．故答案为：x≥﹣．【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握二次根式的定义是解题关键．14．若x为整数，且满足|x|＜π，则当也为整数时，x的值可以是﹣1或2或3．【分析】直接得出x的取值范围，进而利用也为整数得出符合题意的值．【解答】解：∵|x|＜π，∴﹣π＜x＜π，∵也为整数，∴x的值可以是：﹣1或2或3．故答案为：﹣1或2或3．【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确得出x的取值范围是解题关键．15．当x＞3且x≠4时，代数式+（x﹣4）0有意义．【分析】根据二次根式、分式有意义的条件以及零指数幂的定义解答．【解答】解：依题意得：，解得x＞3且x≠4．故答案是：＞3且x≠4．【点评】此题主要考查了二次根式、分式有意义的条件，关键是掌握分式有意义的条件是分母不等于零．16．使代数式+有意义的x的取值范围是﹣3＜x≤0【分析】根据二次根式以及分式有意义的条件即可求出答案．【解答】解：根据题意知，解得：﹣3＜x≤0，故答案为：﹣3＜x≤0．【点评】本题考查二次根式有意义的条件，解题的关键是正确理解二次根式与分式有意义的条件，本题属于基础题型．17．若|2017﹣m|+=m，则m﹣20172=2018．【分析】根据二次根式的性质求出m≥2018，再化简绝对值，根据平方运算，可得答案．【解答】解：∵|2017﹣m|+=m，∴m﹣2018≥0，m≥2018，由题意，得m﹣2017+=m．化简，得=2017，平方，得m﹣2018=20172，m﹣20172=2018．故答案为：2018【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，利用二次根式的性质化简绝对值是解题关键．18．若a、b为实数，且b=+5，则a+b的值为4【分析】直接利用二次根式有意义的条件得出a，b的值，进而得出答案．【解答】解：由题意可得：a2﹣1=0，a﹣1≠0，解得：a=﹣1，则b=5，故a+b=4．故答案为：4．【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确得出a，b的值是解题关键．19．若有意义，则x的取值范围x≥2．【分析】根据二次根式有意义的条件得到x﹣2≥0，然后解不等式即可．【解答】解：∵有意义，∴x﹣2≥0，∴x≥2．故答案为x≥2．【点评】本题考查了二次根式有意义的条件：二次根式有意义的条件为被开方数为非负数，即当a≥0时有意义；若含分母，则分母不能为0．20．在﹣，|﹣|，0，这四个实数中，最大的数是．【分析】直接化简各数，进而比较大小即可．【解答】解：∵﹣，|﹣|=，0，=2，∴最大的数是：．故答案为：．【点评】此题主要考查了二次根式的性质与化简以及实数比较大小，正确化简各数是解题关键．21．如果，化简+=1．【分析】由已知不等式组得出x﹣2＞0，x﹣3＜0，再根据二次根式的性质=|a|化简可得．【解答】解：∵，∴x﹣2＞0，x﹣3＜0，则原式=+=|x﹣3|+|x﹣2|=3﹣x+x﹣2=1，故答案为：1．【点评】本题主要考查二次根式的性质与化简，解题的关键是掌握二次根式的性质=|a|．22．已知实数a在数轴上的位置如图所示，则化简|1+a|﹣的结果为2a+1．【分析】首先根据数轴上a点的位置确定出a的取值范围，然后再根据二次根式和绝对值的性质进行化简．【解答】解：由数轴得：﹣1＜a＜0，∴|1+a|﹣=a+1﹣（﹣a）=2a+1，故答案为：2a+1【点评】此题考查了二次根式的化简以及绝对值的性质，能够正确的根据数轴判断出a的取值范围是解题的关键．23．二次根式的值是2﹣．【分析】根据二次根式的性质=|a|计算可得．【解答】解：∵﹣2＜0，∴=|﹣2|=2﹣，故答案为：2﹣．【点评】本题主要考查二次根式的性质与化简，解题的关键是掌握=|a|．24．若等式=x﹣8成立，则x的取值范围是x≥8．【分析】直接利用二次根式的性质得出x﹣8的取值范围即可得出答案．【解答】解：∵等式=x﹣8成立，∴x﹣8≥0，解得：x≥8．故答案为：x≥8．【点评】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确把握二次根式的性质是解题关键．25．当﹣1＜a＜0时，则=2a．【分析】根据题意得到a+＜0，a﹣＞0，根据完全平方公式把被开方数变形，根据二次根式的性质计算即可．【解答】解：∵﹣1＜a＜0，∴a+＜0，a﹣＞0，原式=﹣=a﹣+a+=2a，故答案为：2a．【点评】本题考查的是二次根式的化简，掌握二次根式的性质是解题的关键．26．若a＞1，化简的结果是a﹣1．【分析】根据=|a|进行化简即可．【解答】解：原式==|1﹣a|=a﹣1，故答案为：a﹣1．【点评】此题主要考查了二次根式的化简和性质，关键是掌握=|a|．27．已知xy＞0，化简二次根式x的正确结果是．【分析】直接利用二次根式的性质得出x，y的符号，进而化简得出答案．【解答】解：由题意可得：y＞0，则x＞0，故原式=x×=．故答案为：．【点评】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确得出x，y的符号是解题关键．28．观察下列各式：=2；=3；=4，……请你将发现的规律用含自然数n（n≥1）的等式表示出来．【分析】根据题目中的式子的特点，可以得到第n个式子，从而可以解答本题．【解答】解：由题目中的式子可得，第n个式子为：，故答案为：．【点评】本题考查二次函数的性质与化简，解答本题的关键是明确题意，发现题目中数字的变化规律．29．若x＜0，y＞0，化简=﹣xy．【分析】根据二次根式的性质，进行化简，即可解答．【解答】解：=（﹣x）•y=﹣xy，故答案为：=﹣xy．【点评】本题考查二次根式的性质与化简，解决本题的关键是熟记二次根式的性质．30．若a≤1，则化简为（1﹣a）．【分析】根据a≤1，则1﹣a≥0，进而化简求出即可．【解答】解：∵a≤1，∴=（1﹣a）．故答案为：（1﹣a）．【点评】此题主要考查了二次根式的化简，正确利用二次根式的性质得出是解题关键．31．若1＜x＜2，则|x﹣3|+的值为2．【分析】先根据1＜x＜2得出x﹣3＜0，x﹣1＞0，再去绝对值符号并把二次根式进行化简，合并同类项即可．【解答】解：∵1＜x＜2，∴x﹣3＜0，x﹣1＞0，∴原式=3﹣x+x﹣1=2．故答案为：2．【点评】本题考查的是二次根式的性质与化简，熟知二次根式具有非负性是解答此题的关键．32．把中根号外的（a﹣1）移入根号内得．【分析】首先确定a的取值范围，从而确定a﹣1的符号，然后根据二次根式的乘法法则即可计算．【解答】解：∵﹣＞0，∴a＜1，∴a﹣1＜0，∴=﹣（1﹣a）=﹣•=﹣=﹣．故答案是：﹣【点评】本题考查了二次根式的性质与化简：=|a|=．33．已知，则a的取值范围是．【分析】根据=|a|≥0，即可得到关于a的不等式求得a的范围．【解答】解：根据题意得：3﹣2a≥0，解得：a≤．故答案是：a≤．【点评】本题考查了二次根式的性质，正确理解=|a|≥0是关键．34．实数a、b在数轴上的位置如图所示，则化简=﹣2a．【分析】首先根据实数a、b在数轴上的位置确定a、b的正负，然后利用二次根式的性质化简，最后合并同类项即可求解．【解答】解：依题意得：a＜0＜b，|a|＜|b|，∴=﹣a﹣b+b﹣a=﹣2a．故答案为：﹣2a．【点评】此题主要考查了二次根式的性质与化简，其中正确利用数轴的已知条件化简是解题的关键，同时也注意处理符号问题．35．已知实数a、b在数轴上的位置如图所示：化简：的结果为2a．【分析】本题利用实数与数轴的关系解答．【解答】解：由实数a、b在数轴上的位置可知：b＜0，a＞0，|b|＞|a|；∴a﹣b＞0，a+b＜0，∴=a﹣b+a+b=2a．【点评】本题综合性较强，不仅要结合图形，还需要熟悉算术平方根的意义．36．a，b在数轴上的位置如图所示，化简﹣|a﹣b|=2﹣2a+b．【分析】直接利用数轴得出a，b的取值范围，进而得出答案．【解答】解：由数轴可得：1＜a＜2，﹣1＜b＜0，则﹣|a﹣b|=2﹣a﹣（a﹣b）=2﹣2a+b．故答案为：2﹣2a+b．【点评】此题主要考查了二次根式的性质以及实数与数轴，正确得出a，b的取值范围是解题关键．37．若y＜0，则化简为﹣2y．【分析】根据二次根式的性质化简即可．【解答】解：∵y＜0，∴=﹣4x••=﹣2y，故答案为：﹣2y．【点评】本题考查的是二次根式的化简，掌握二次根式的性质是解题的关键．38．一般地，二次根式有如下性质：①；②．所以=0．【分析】根据二次根式的性质化简，计算即可．【解答】解：=7﹣7=0，故答案为：0．【点评】本题考查的是二次根式的化简，掌握二次根式的性质是解题的关键．39．如果xy＞0，化简=﹣y．【分析】由xy＞0，且﹣xy2≥0，即﹣y•xy≥0知x＜0，y＜0，据此根据二次根式的性质化简可得．【解答】解：∵xy＞0，且﹣xy2≥0，即﹣y•xy≥0，∴x＜0，y＜0，则原式=•=﹣y，故答案为：﹣y．【点评】本题主要考查二次根式的性质与化简，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．40．化简后的结果是．【分析】根据二次根式的性质化简即可求解．【解答】解：化简后的结果是．故答案为：．【点评】考查了二次根式的性质与化简，化简二次根式的步骤：①把被开方数分解因式；②利用积的算术平方根的性质，把被开方数中能开得尽方的因数（或因式）都开出来；③化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2．。