高三数学第一轮复习_知识点

高中数学一轮复习知识点
第一章-集合
考试内容：集合、子集、补集、交集、并集．逻辑联结词．四种命题．充分条件和必要条件． 考试要求：
（1）理解集合、子集、补集、交集、并集的概念；了解空集和全集的意义；了解属于、包含、相等关系的意义；掌握有关的术语和符号，并会用它们正确表示一些简单的集合． （2）理解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义理解四种命题及其相互关系；掌握充分条件、必要条件及充要条件的意义．
§01. 集合与简易逻辑 知识要点
一、知识结构:
本章知识主要分为集合、简单不等式的解法（集合化简）、简易逻辑三部分：
二、知识回顾：
（一） 集合
1. 基本概念：集合、元素；有限集、无限集；空集、全集；符号的使用.
2. 集合的表示法：列举法、描述法、图形表示法. 集合元素的特征：确定性、互异性、无序性. 集合的性质：
①任何一个集合是它本身的子集，记为A A ⊆； ②空集是任何集合的子集，记为A ⊆φ； ③空集是任何非空集合的真子集； 如果B A ⊆，同时A B ⊆，那么A = B. 如果C A C B B A ⊆⊆⊆，那么，.
[注]：①Z = {整数}（√）
②已知集合S 中A 的补集是一个有限集，则集合A 也是有限集.（×）（例：S=N ； A=+N ，则C s A= {0}） ③ 空集的补集是全集.
④若集合A =集合B ，则C B A = ∅， C A B = ∅ C S （C A B ）= D （ 注 ：C A B = ∅）. 3. ①{（x ，y ）|xy =0，x ∈R ，y ∈R }：坐标轴上的点集. ②{（x ，y ）|xy ＜0，x ∈R ，y ∈R
}：二、四象限的点集.
③{（x ，y ）|xy ＞0，x ∈R ，y ∈R } ：一、三象限的点集. [注]：①对方程组解的集合应是点集. 例： ⎩
⎨
⎧=-=+1323
y x y x 解的集合{(2，1)}.
②点集与数集的交集是φ. （例：A ={(x ，y )| y =x +1} B={y |y =x 2
+1} 则A ∩B =∅） 4. ①n 个元素的子集有2n
个. ②n 个元素的真子集有2n
－1个. ③n 个元素的非空真子集有2n
－2个.
5. ⑴①一个命题的否命题为真，它的逆命题一定为真. 否命题⇔逆命题. ②一个命题为真，则它的逆否命题一定为真. 原命题⇔逆否命题. 例：①若325≠≠≠+b a b a 或，则应是真命题.
解：逆否：a = 2且 b = 3，则a+b = 5，成立，所以此命题为真. ②
且21≠≠y x 3≠+y . 解：逆否：x + y =3x = 1或y = 2.
2
1≠≠∴y x 且3≠+y x ,故3≠+y x 是21≠≠y x 且的既不是充分，又不是必要条件.
⑵小范围推出大范围；大范围推不出小范围. 3. 例：若255 x x x 或，⇒. 4. 集合运算：交、并、补.
{|,}{|}{,}
A B x x A x B A B x x A x B A x U x A ⇔∈∈⇔∈∈⇔∈∉U 交：且并：或补：且C 5. 主要性质和运算律 （1） 包含关系：
,,,,
,;,;,.
U A A A A U A U A B B C A C A B A A B B A B A A B B ⊆Φ⊆⊆⊆⊆⊆⇒⊆⊆⊆⊇⊇C
（2） 等价关系：U A B A B A A B B A
B U ⊆⇔=⇔=⇔=
C （3） 集合的运算律：
交换律：.;A B B A A B B A ==
结合律:)()();()(C B A C B A C B A C B A == 分配律:.)()()();()()(C A B A C B A C A B A C B A == 0-1律：,,,A A A U A A U A U Φ
=ΦΦ===
等幂律：.,A A A A A A ==
求补律：A ∩C U A =φ A ∪C U A =U C U U =φ C U φ=U
反演律：C U (A ∩B)= (C U A )∪(C U B ) C U (A ∪B)= (C U A )∩(C U B )
6. 有限集的元素个数
定义：有限集A 的元素的个数叫做集合A 的基数，记为card( A)规定 card(φ) =0.
基本公式：
(1)()()()()(2)()()()()
()()()
()
card A B card A card B card A B card A B C card A card B card C card A B card B C card C A card A B C =+-=++---+
(3) card ( U A )= card(U)- card(A)
(二)含绝对值不等式、一元二次不等式的解法及延伸 1.整式不等式的解法 根轴法（零点分段法）
①将不等式化为a 0(x-x 1)(x-x 2)…(x-x m )>0(<0)形式，并将各因式x 的系数化“+”；(为了统一方便)
②求根，并在数轴上表示出来；
③由右上方穿线，经过数轴上表示各根的点（为什么？）；
④若不等式（x 的系数化“+”后）是“>0”,则找“线”在x 轴上方的区间；若不等式是“<0”,则找“线”在x 轴下方的区间.
+
-
+
-
x 1
x 2
x 3
x m-3
x m-2x
m-1
x m
x
（自右向左正负相间） 则不等式)0)(0(00221
10><>++++--a a x a x
a x a n n n n
的解可以根据各区间的符号
确定.
特例① 一元一次不等式ax>b 解的讨论；②一元二次不等式ax 2
+bx+c>0(a>0)解的讨论. 0>∆ 0=∆ 0<∆ 二次函数
c bx ax y ++=2
（0>a ）的图象
一元二次方程
()的根
00
2
>=++a c bx ax
有两相异实根 )(,2121x x x x <
有两相等实根
a
b x x 221-==
无实根
的解集
)0(02>>++a c bx ax
{}2
1
x x x x x ><或
⎭⎬⎫⎩
⎨⎧-≠a b x x 2
R
原命题若p 则q 否命题若┐p 则┐q 逆命题
若q 则p
逆否命题若┐q 则┐p 互为
逆否互
逆
否互
为
逆否互互逆
否
互
2.分式不等式的解法 （1）标准化：移项通分化为
)()(x g x f >0(或)()(x g x f <0)；)()(x g x f ≥0(或)
()
(x g x f ≤0)的形式， （2）转化为整式不等式（组）⎩⎨⎧≠≥⇔≥>⇔>0
)(0)()(0)
()(;0)()(0)()(x g x g x f x g x f x g x f x g x f
3.含绝对值不等式的解法
（1）公式法：c b ax <+,与)0(>>+c c b ax 型的不等式的解法.
（2）定义法：用“零点分区间法”分类讨论.
（3）几何法：根据绝对值的几何意义用数形结合思想方法解题. 4.一元二次方程根的分布
一元二次方程ax 2
+bx+c=0(a ≠0)
（1）根的“零分布”：根据判别式和韦达定理分析列式解之.
（2）根的“非零分布”：作二次函数图象，用数形结合思想分析列式解之. （三）简易逻辑
1、命题的定义：可以判断真假的语句叫做命题。

2、逻辑联结词、简单命题与复合命题： “或”、“且”、“非”这些词叫做逻辑联结词；不含有逻辑联结词的命题是简单命题；由简单命题和逻辑联结词“或”、“且”、“非”构成的命题是复合命题。

构成复合命题的形式：p 或q(记作“p ∨q ” )；p 且q(记作“p ∧q ” )；非p(记作“┑q ” ) 。

3、“或”、 “且”、 “非”的真值判断
（1）“非p ”形式复合命题的真假与F 的真假相反； （2）“p 且q ”形式复合命题当P 与q 同为真时为真，其他情况时为假； （3）“p 或q ”形式复合命题当p 与q 同为假时为假，其他情况时为真．
4、四种命题的形式：
原命题：若P 则q ； 逆命题：若q 则p ；
否命题：若┑P 则┑q ；逆否命题：若┑q 则┑p 。

(1)交换原命题的条件和结论，所得的命题是逆命题； (2)同时否定原命题的条件和结论，所得的命题是否命题；
(3)交换原命题的条件和结论，并且同时否定，所得的命题是逆否命题． 5、四种命题之间的相互关系：
一个命题的真假与其他三个命题的真假有如下三条关系：(原命题⇔逆否命题) ①、原命题为真，它的逆命题不一定为真。

②、原命题为真，它的否命题不一定为真。

③、原命题为真，它的逆否命题一定为真。

6、如果已知p ⇒q 那么我们说，p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件。

若p ⇒q 且q ⇒p,则称p 是q 的充要条件，记为p ⇔q.
7、反证法：从命题结论的反面出发（假设），引出(与已知、公理、定理…)矛盾，从而否定假设证明原命题成立，这样的证明方法叫做反证法。

高中数学第二章-函数
考试内容：映射、函数、函数的单调性、奇偶性． 反函数．互为反函数的函数图像间的关系．
指数概念的扩充．有理指数幂的运算性质．指数函数． 对数．对数的运算性质．对数函数． 函数的应用．
考试要求：（1）了解映射的概念，理解函数的概念．
（2）了解函数单调性、奇偶性的概念，掌握判断一些简单函数的单调性、奇偶性的方法． （3）了解反函数的概念及互为反函数的函数图像间的关系，会求一些简单函数的反函数． （4）理解分数指数幂的概念，掌握有理指数幂的运算性质，掌握指数函数的概念、图像 和性质．
（5）理解对数的概念，掌握对数的运算性质；掌握对数函数的概念、图像和性质． （6）能够运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题．
§02. 函数 知识要点
一、本章知识网络结构：
F:A →B
对数函数
指数函数二次函数
二、知识回顾： （一） 映射与函数 1. 映射与一一映射
2.函数:函数三要素是定义域，对应法则和值域，而定义域和对应法则是起决定作用的要素，因为这二者确定后，值域也就相应得到确定，因此只有定义域和对应法则二者完全相同的函数才是同一函数.
3.反函数:反函数的定义:设函数
))((A x x f y ∈=的值域是C ，根据这个函数中x,y 的关
系，用y 把x 表示出，得到x=ϕ(y). 若对于y 在C 中的任何一个值，通过x=ϕ(y)，x 在
A 中都有唯一的值和它对应，那么，x=ϕ(y)就表示y 是自变量，x 是自变量y 的函数，这样的函数x=ϕ(y) (y ∈C)叫做函数))((A x x f y ∈=的反函数，记作)(1y f x -=,习
惯上改写成
)(1x f y -=
（二）函数的性质 ⒈函数的单调性
定义：对于函数f(x)的定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1,x 2, ⑴若当x 1<x 2时，都有f(x 1)<f(x 2),则说f(x)在这个区间上是增函数； ⑵若当x 1<x 2时，都有f(x 1)>f(x 2),则说f(x) 在这个区间上是减函数.
若函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，则就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做函数y=f(x)的单调区间.此时也说函数是这一区间上的单调函数. 2.函数的奇偶性
正确理解奇、偶函数的定义。

必须把握好两个问题：（1）定义域在数轴上关于原点对称是函数)(x f 为奇函数或偶函数的必要不充分条件；（2）)()(x f x f =-或)()(x f x f -=-是定义域上的恒等式。

2．奇函数的图象关于原点成中心对称图形，偶函数的图象关于y 轴成轴对称图形。

反之亦真，因此，也可以利用函数图象的对称性去判断函数的奇偶性。

3.奇函数在对称区间同增同减；偶函数在对称区间增减性相反. 4．如果)(x f 是偶函数，则|)(|)(x f x f =，反之亦成立。

若奇函数在0=x 时有意义，则0)0(=f 。

7. 奇函数，偶函数： ⑴偶函数：)()(x f x f =-
设（b a ,）为偶函数上一点，则（b a ,-）也是图象上一点. 偶函数的判定：两个条件同时满足
①定义域一定要关于y 轴对称，例如：12+=x y 在)1,1[-上不是偶函数. ②满足)()(x f x f =-，或0)()(=--x f x f ，若0)(≠x f 时，1)
()
(=-x f x f . ⑵奇函数：)()(x f x f -=-
设（b a ,）为奇函数上一点，则（b a --,）也是图象上一点. 奇函数的判定：两个条件同时满足
①定义域一定要关于原点对称，例如：3x y =在)1,1[-上不是奇函数.
②满足)()(x f x f -=-，或0)()(=+-x f x f ，若0)(≠x f 时，
1)
()
(-=-x f x f . 8. 对称变换：①y = f （x ））（轴对称x f y y -=−−−→−
②y =f （x ））（轴对称x f y x -=−−−→−
③y =f （x ））（原点对称x f y --=−−−→−
9. 判断函数单调性（定义）作差法：对带根号的一定要分子有理化，例如：
在进行讨论.
10. 外层函数的定义域是内层函数的值域. 例如：已知函数f （x ）= 1+
x
x
-1的定义域为A ，函数f [f （x ）]的定义域是B ，则集合A 与集合B 之间的关系是 . 解：)(x f 的值域是))((x f f 的定义域B ，)(x f 的值域R ∈，故R B ∈，而A {}1|≠=x x ，故A B ⊃. 11. 常用变换：
①)
()
()()()()(y f x f y x f y f x f y x f =-⇔=+. 证：)()(])[()()
()
()(y f y x f y y x f x f x f y f y x f -=+-=⇔=
- ②)()()()()()(y f x f y x f y f x f y x
f +=⋅⇔-=
证：)()()()(y f y
x
f y y x f x f +=⋅=
12. ⑴熟悉常用函数图象：
例：|
|2x y =→||x 关于y 轴对称. |
2|21+⎪
⎭
⎫
⎝⎛=x y →||21x y ⎪⎭⎫ ⎝⎛=→|
2|21+⎪
⎭
⎫ ⎝⎛=x y
|122|2
-+=x x y →||y 关于x 轴对称.
⑵熟悉分式图象： 例：3
7
2312-+
=-+=
x x x y ⇒定义域,3|{x x ≠值域},2|{R y y y ∈≠→值域≠x 前的系数之比. （三）指数函数与对数函数
2
21222121222
22121)()()(b x b x x x x x b x b x x f x f x ++++-=+-+=-）
（A
B ⊃
指数函数)10(≠>=a a a y x 且的图象和性质
a
⑴对数运算：
()n
a n a a a c
b a b b a N
a n a a n a a a a
a a a a a a a a c
b a
N N N
a M n
M M n M N M N
M
N M N M n a
1121log log ...log log 1
log log log log log log log 1
log log log log log log log log )(log 32log )12)1(=⋅⋅⋅⇒=⋅⋅=
==±=-=+=⋅-推论：换底公式：
（以上10且...a a ,a 1,c 0,c 1,b 0,b 1,a 0,a 0,N 0,M n 21≠≠≠≠ ） 注⑴：当0, b a 时，)log()log()log(b a b a -+-=⋅.
⑵：当0 M 时，取“+”，当n 是偶数时且0 M 时，0 n M ，而0 M ，故取“—”. 例如：x x x a a a log 2(log 2log 2 ≠中x ＞0而2log x a 中x ∈R ）. ⑵x a y =（1,0≠a a ）与x y a log =互为反函数.
当1 a 时，x y a log =的a 值越大，越靠近x 轴；当10 a 时，则相反.
（四）方法总结
⑴.相同函数的判定方法：定义域相同且对应法则相同.
⑵.函数表达式的求法：①定义法；②换元法；③待定系数法.
⑶.反函数的求法：先解x,互换x 、y ，注明反函数的定义域(即原函数的值域). ⑷.函数的定义域的求法：布列使函数有意义的自变量的不等关系式，求解即可求得函数的定义域.常涉及到的依据为①分母不为0；②偶次根式中被开方数不小于0；③对数的真数大于0，底数大于零且不等于1；④零指数幂的底数不等于零；⑤实际问题要考虑实际意义等.
⑸.函数值域的求法：①配方法(二次或四次)；②“判别式法”；③反函数法；④换元法；⑤不等式法；⑥函数的单调性法.
⑹.单调性的判定法：①设x 1,x 2是所研究区间内任两个自变量，且x 1＜x 2；②判定f(x 1)与f(x 2)的大小；③作差比较或作商比较.
⑺.奇偶性的判定法：首先考察定义域是否关于原点对称，再计算f(-x)与f(x)之间的关系：①f(-x)=f(x)为偶函数；f(-x)=-f(x)为奇函数；②f(-x)-f(x)=0为偶；f(x)+f(-x)=0为奇；③f(-x)/f(x)=1是偶；f(x)÷f(-x)=-1为奇函数.
⑻.图象的作法与平移：①据函数表达式，列表、描点、连光滑曲线；②利用熟知函数的图象的平移、翻转、伸缩变换；③利用反函数的图象与对称性描绘函数图象. 高中数学 第三章 数列 考试内容：
数列．等差数列及其通项公式．等差数列前n 项和公式． 等比数列及其通项公式．等比数列前n 项和公式．
考试要求：（1）理解数列的概念，了解数列通项公式的意义了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项．（2）理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前n 项和公式，并能解决简单的实际问题．（3）理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n 项和公式，井能解决简单的实际问题． §03. 数 列 知识要点
⑵看数列是不是等差数列有以下三种方法：
①),2(1为常数d n d a a n n ≥=-- ②211-++=n n n a a a (2≥n ) ③b kn a n +=(k n ,为常数). ⑶看数列是不是等比数列有以下四种方法：
①)0,,2(1≠≥=-且为常数q n q a a n n ②112
-+⋅=n n n
a a a (2≥n ，011≠-+n n n a a a )① 注①：i. ac
b =，是a 、b 、
c 成等比的双非条件，即ac b =、b 、c 等比数列.
ii. ac b =（ac ＞0）→为a 、b 、c 等比数列的充分不必要. iii. ac b ±=→为a 、b 、c 等比数列的必要不充分. iv. ac b ±=且0 ac →为a 、b 、c 等比数列的充要.
注意：任意两数a 、c 不一定有等比中项，除非有ac ＞0，则等比中项一定有两个. ③n n cq a =(q c ,为非零常数).
④正数列{n a }成等比的充要条件是数列{n x a log }（1 x ）成等比数列.
⑷数列{n a }的前n 项和n S 与通项n a 的关系：⎩⎨⎧≥-===-)2()1(111n s s n a s a n n
n
[注]： ①()()d a nd d n a a n -+=-+=111（d 可为零也可不为零→为等差数列充要条件（即常数列也是等差数列）→若d 不为0，则是等差数列充分条件）.
②等差{n a }前n 项和n d a n d Bn An S n ⎪⎭⎫ ⎝⎛
-+⎪⎭⎫ ⎝⎛=+=22122 →2d 可以为零也可不为零→为等差
的充要条件→若d 为零，则是等差数列的充分条件；若d 不为零，则是等差数列的充分条件.
③非零．．
常数列既可为等比数列，也可为等差数列.（不是非零，即不可能有等比数列）
2. ①等差数列依次每k 项的和仍成等差数列，其公差为原公差的k 2
倍
...,,232k k k k k S S S S S --； ②若等差数列的项数为2()
+∈N n n ，则，
奇偶nd S S =
-1
+=
n n a a S S 偶
奇；
③若等差数列的项数为()
+∈-N n n 12，则()n n a n S 1212-=-，且n a S S =-偶奇，1
-=n n S S 偶
奇 得到所求项数到代入12-⇒n n . 3. 常用公式：①1+2+3 …+n =()2
1+n n ②()()6
1213212222++=
+++n n n n
③()2
213213333⎥⎦
⎤
⎢
⎣⎡+=++n n n [注]：熟悉常用通项：9，99，999，…110-=⇒n n a ； 5，55，555，…()
1109
5-=
⇒n
n a . 4. 等比数列的前n 项和公式的常见应用题：
⑴生产部门中有增长率的总产量问题. 例如，第一年产量为a ，年增长率为r ，则每年的产量成等比数列，公比为r +1. 其中第n 年产量为1)1(-+n r a ，且过n 年后总产量为：
.)
1(1])1([)
1(...)1()1(1
2
r r a a r a r a r a a n n +-+-=+++++++-
⑵银行部门中按复利计算问题. 例如：一年中每月初到银行存a 元，利息为r ，每月利息按复利计算，则每月的a 元过n 个月后便成为n r a )1(+元. 因此，第二年年初可存款：
)1(...)
1()1()1(10
11
12
r a r a r a r a ++++++++=)
1(1]
)1(1)[1(12r r r a +-+-+.
⑶分期付款应用题：a 为分期付款方式贷款为a 元；m 为m 个月将款全部付清；r 为年利率.
()()
()
()()
()()()1
111111 (1112)
1
-++=⇒-+=+⇒++++++=+--m m m m
m m m
r r ar x r r x r a x r x r x r x r a
5. 数列常见的几种形式：
⑴n n n qa pa a +=++12（p 、q 为二阶常数）→用特证根方法求解.
具体步骤：①写出特征方程q Px x +=2（2x 对应2+n a ，x 对应1+n a ），并设二根21,x x ②若2
1x x ≠可设n n n x c x c a 2211.+=，若21x x =可设n n x n c c a 121)(+=；③由初始值21,a a 确定21,c c .
⑵r Pa a n n +=-1（P 、r 为常数）→用①转化等差，等比数列；②逐项选代；③消去常数n 转化为n n n qa Pa a +=++12的形式，再用特征根方法求n a ；④121-+=n n P c c a （公式法），21,c c 由21,a a 确定.
①转化等差，等比：1
)(11-=⇒-+=⇒+=+++P r
x x Px Pa a x a P x a n n n n . ②选代法：=++=+=--r r Pa P r Pa a n n n )(21x P x a P r P P r a a n n n -+=---+=⇒--1111)(1
)1( r r P a P n n +++⋅+=--Pr 211 .
③用特征方程求解：
⇒⎭
⎬⎫
+=+=-+相减，
r Pa a r Pa a n n n n 111+n a 1111-+--+=⇒-=-n n n n n n Pa a P a Pa Pa a ）（. ④由选代法推导结果：P
r P P r a c P c a P r a c P r c n n n -+-+=+=-+=-=
--111111112121）（，，. 6. 几种常见的数列的思想方法：
⑴等差数列的前n 项和为n S ，在0 d 时，有最大值. 如何确定使n S 取最大值时的n 值，有两种方法：
一是求使0,01 +≥n n a a ，成立的n 值；二是由n d
a n d S n )2
(212-+=
利用二次函数的性质求n 的值.
⑵如果数列可以看作是一个等差数列与一个等比数列的对应项乘积，求此数列前n 项和可依
照等比数列前n 项和的推倒导方法：错位相减求和. 例如：, (21)
)12,...(413,211n n -⋅
⑶两个等差数列的相同项亦组成一个新的等差数列，此等差数列的首项就是原两个数列的第
一个相同项，公差是两个数列公差21d d ，的最小公倍数.
2. 判断和证明数列是等差（等比）数列常有三种方法：(1)定义法:对于n ≥2的任意自然数,验证)(
1
1---n n
n n a a a a 为同一常数。

(2)通项公式法。

(3)中项公式法:验证212-++=n n n a a a N n a a a n n n ∈=++)(22
1都成立。

3. 在等差数列｛n a ｝中,有关S n 的最值问题：(1)当1a >0,d<0时，满足⎩⎨
⎧≤≥+0
1m m a a 的项数
m 使得m s 取最大值. (2)当1a <0,d>0时，满足⎩⎨⎧≥≤+00
1
m m a a 的项数m 使得m s 取最小值。

在解
含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用。

（三）、数列求和的常用方法
1. 公式法:适用于等差、等比数列或可转化为等差、等比数列的数列。

2.裂项相消法:适用于⎭
⎬⎫
⎩⎨
⎧
+1n n a a c 其中{ n a }是各项不为0的等差数列，c 为常数；部分无理数列、含阶乘的数列等。

3.错位相减法:适用于{}n n b a 其中{ n a }是等差数列，{}n b 是各项不为0的等比数列。

4.倒序相加法: 类似于等差数列前n 项和公式的推导方法.
5.常用结论
1）: 1+2+3+...+n =
2
)
1(+n n 2） 1+3+5+...+(2n-1) =2n 3）2
333)1(2121⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡+=+++n n n
4） )12)(1(6
1
3212222++=
++++n n n n 5）
111)1(1+-=+n n n n
)21
1(21)2(1+-=+n n n n 6）
)()11(11q p q
p p q pq <--= 高中数学第四章-三角函数
考试内容：
角的概念的推广．弧度制．
任意角的三角函数．单位圆中的三角函数线．同角三角函数的基本关系式.正弦、余弦的诱导公式．
两角和与差的正弦、余弦、正切．二倍角的正弦、余弦、正切．
正弦函数、余弦函数的图像和性质．周期函数．函数y=Asin(ωx+φ)的图像．正切函数的图像和性质．已知三角函数值求角． 正弦定理．余弦定理．斜三角形解法． 考试要求：
（1）理解任意角的概念、弧度的意义能正确地进行弧度与角度的换算．
（2）掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义；了解余切、正割、余割的定义；掌握同角三角函数的基本关系式；掌握正弦、余弦的诱导公式；了解周期函数与最小正周期的意义． （3）掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式；掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式． （4）能正确运用三角公式，进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明．
（5）理解正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质，会用“五点法”画正弦函数、余弦函数和函数y=Asin(ωx+φ)的简图，理解A.ω、φ的物理意义．
（6）会由已知三角函数值求角，并会用符号arcsinx\arc-cosx\arctanx 表示． （7）掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形． （8）“同角三角函数基本关系式：sin2α+cos2α=1，sin α/cos α=tan α,tan α•cos α=1”．
§04. 三角函数 知识要点
1. ①与α（0°≤α＜360°）终边相同的角的集合（角α与角β的终边重合）：
{}
Z k k ∈+⨯=,360
|αββ
②终边在x 轴上的角的集合： {}
Z k k ∈⨯=,180| ββ ③终边在y 轴上的角的集合：{
}
Z k k ∈+⨯=,90180|
ββ ④终边在坐标轴上的角的集合：{}
Z k k ∈⨯=,90| ββ
SIN \COS 三角函数值大小关系图
⑤终边在y =x 轴上的角的集合：{}
Z k k ∈+⨯=,45180| ββ ⑥终边在x y -=轴上的角的集合：{}
Z k k ∈-⨯=,45180| ββ
⑦若角α与角β的终边关于x 轴对称，则角α与角β的关系：βα-=k 360 ⑧若角α与角β的终边关于y 轴对称，则角α与角β的关系：βα-+= 180360k ⑨若角α与角β的终边在一条直线上，则角α与角β的关系：βα+=k 180 ⑩角α与角β的终边互相垂直，则角α与角β的关系： 90360±+=βαk
2. 角度与弧度的互换关系：360°=2π 180°=π 1°=0.01745 1=57.30°=57°18′ 注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零.
弧度与角度互换公式： 1rad ＝π
180°≈57.30°=57°18ˊ． 1°＝180
π≈0.01745（rad ）
3、弧长公式：r l ⋅=||α. 扇形面积公式：211
||22
s lr r α=
=⋅扇形 4、三角函数：设α是一个任意角，在α的终边上任取（异于原点的）一点P （x,y ）P 与原点的距离为r ，则
=αsin r x
=αcos ； x y =αtan ； y
x =αcot ； x r =αsec ；. αcsc 5正切、余切
余弦、正割
正弦、余割
6、三角函数线
正弦线：MP; 余弦线：OM; 正切线： AT. 8、同角三角函数的基本关系式：αα
αtan cos sin = α
α
α
cot sin cos =
1cot tan =⋅αα 1sin csc =α⋅α 1cos sec =α⋅α 1cos sin 22=+αα 1tan sec 22=-αα 1cot csc 22=-αα
9、诱导公式：
2
k παα±把
的三角函数化为的三角函数，概括为：“奇变偶不变，符号看象限” 三角函数的公式：（一）基本关系
公式组二 公式组三 x x k x x k x x k x x k cot )2cot(tan )2tan(cos )2cos(sin )2sin(=+=+=+=+ππππ x
x x x x
x x x cot )cot(tan )tan(cos )cos(sin )sin(-=--=-=--=-
公式组四 公式组五 公式组六 x x x x x x x x cot )cot(tan )tan(cos )cos(sin )sin(=+=+-=+-=+ππππ x x x x x x x x cot )2cot(tan )2tan(cos )2cos(sin )2sin(-=--=-=--=-ππππ x x x x x
x x x cot )cot(tan )tan(cos )cos(sin )sin(-=--=--=-=-ππππ
（二）角与角之间的互换
公式组一 公式组二 βαβαβαsin sin cos cos )cos(-=+ αααcos sin 22sin =
βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=- ααααα2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-= βαβαβαsin cos cos sin )sin(+=+ α
αα2
tan 1tan 22tan -=
βαβαβαsin cos cos sin )sin(-=- 2
cos 12
sin
α
α-±
= βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(-+=
+ 2
cos 12cos α
α+±=
βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(+-=
- 公式组三 公式组四 公式组五 2tan 12tan
2sin 2
ααα+= 2tan 12tan
1cos 22ααα+-= 2tan 12tan 2tan 2ααα-=
()()[]()()[]()()[]
()()[]βαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβα--+-=-++=--+=-++=cos cos 2
1sin sin cos cos 2
1cos cos sin sin 21sin cos sin sin 21
cos sin 2cos 2sin 2sin sin βαβαβα-+=+2sin 2cos 2sin sin β
αβαβα-+=-2cos 2cos 2cos cos βαβαβα-+=+2
sin 2sin 2cos cos βαβαβα-+-=-α
ααααααsin cos 1cos 1sin cos 1cos 12tan -=+=+-±=ααπsin )21cos(-=+ααπcos )21sin(=+ααπcot )21tan(-=+ααπsin )21cos(=-ααπcos )21sin(=-ααπcot )21tan(=-
42675cos 15sin -=
= ,4
2615cos 75sin +== ,3275cot 15tan -== ,3
215cot 75tan +==
反.一般地，若)(x f y =在],[b a 上递增（减），则)(x f y -=在],[b a 上递减（增）.
②x y sin =与x y cos =的周期是π.
③)sin(ϕω+=x y 或)cos(ϕω+=x y （0≠ω）的周期ω
π
2=
T .
2tan x
y =的周期为2π（πω
π2=⇒=T T ，如图，翻折无效）.
④)sin(ϕω+=x y 的对称轴方程是2
π
π+
=k x （Z k ∈），对称中心（0,πk ）；)
cos(ϕω+=x y 的对称轴方程是πk x =（Z k ∈），对称中心（0,2
1ππ+k ）；)tan(ϕω+=x y 的对称中心
（
0,2
π
k ）. x x y x y 2cos )2cos(2cos -=--=−−−→−=原点对称
⑤当αtan ·,1tan =β)(2
Z k k ∈+
=+π
πβα；αtan ·,1tan -=β)(2
Z k k ∈+
=-π
πβα.
⑥x y cos =与⎪⎭
⎫ ⎝⎛++=ππk x y 22sin 是同一函数,而)(ϕω+=x y 是偶函数，则 )cos()2
1
sin()(x k x x y ωππωϕω±=++=+=.
⑦函数x y tan =在R 上为增函数.（×） [只能在某个单调区间单调递增. 若在整个定义域，
x y tan =为增函数，同样也是错误的].
⑧定义域关于原点对称是)(x f 具有奇偶性的必要不充分条件.（奇偶性的两个条件：一是定义域关于原点对称（奇偶都要），二是满足奇偶性条件，偶函数：)()(x f x f =-，奇函数：)()(x f x f -=-）
奇偶性的单调性：奇同偶反. 例如：x y tan =是奇函数，)31tan(π+=x y 是非奇非偶.（定
义域不关于原点对称）
奇函数特有性质：若x ∈0的定义域，则)(x f 一定有0)0(=f .（x ∉0的定义域，则无此性质）
⑨x y sin =不是周期函数；x y sin =为周期函数（π=T
x y cos =是周期函数（如图）；x y cos =为周期函数（=T 2
1
2cos +=x y 的周期为π（如图），并非所有周期函数都有最小正周期，例如：
R k k x f x f y ∈+===),(5)(.
⑩a
b
b a b a y =+++=+=ϕϕαβαcos )sin(sin cos 22 有y b a ≥+22. 11、三角函数图象的作法： １）、几何法：
２）、描点法及其特例——五点作图法（正、余弦曲线），三点二线作图法（正、余切曲线）. ３）、利用图象变换作三角函数图象．
三角函数的图象变换有振幅变换、周期变换和相位变换等．
函数y ＝Asin （ωx ＋φ）的振幅|A|，周期2||
T πω=，频率1||2f T ωπ
==，相位;x ωϕ+初相
ϕ（即当x ＝0时的相位）．（当A ＞0，ω＞0 时以上公式可去绝对值符号），
由y ＝sinx 的图象上的点的横坐标保持不变，纵坐标伸长（当|A|＞1）或缩短（当0＜|A|＜1）到原来的|A|倍，得到y ＝Asinx 的图象，叫做振幅变换或叫沿y 轴的伸缩变换．（用y/A 替换y ）
由y ＝sinx 的图象上的点的纵坐标保持不变，横坐标伸长（0＜|ω|＜1）或缩短（|ω|＞1）到原来的1||ω
倍，得到y ＝sin ω x 的图象，叫做周期变换或叫做沿x 轴的伸缩变换．(用
ωx 替换x)
由y ＝sinx 的图象上所有的点向左（当φ＞0）或向右（当φ＜0）平行移动｜φ｜个单
y=|cos2x +1/2|图象
位，得到y ＝sin （x ＋φ）的图象，叫做相位变换或叫做沿x 轴方向的平移．(用x ＋φ替换x)
由y ＝sinx 的图象上所有的点向上（当b ＞0）或向下（当b ＜0）平行移动｜b ｜个单位，得到y ＝sinx ＋b 的图象叫做沿y 轴方向的平移．（用y+(-b)替换y ）
由y ＝sinx 的图象利用图象变换作函数y ＝Asin （ωx ＋φ）（A ＞0，ω＞0）（x ∈R ）的图象，要特别注意：当周期变换和相位变换的先后顺序不同时，原图象延x 轴量伸缩量的区别。

4、反三角函数： 函数y ＝sin x ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛
⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈22ππ，x 的反函数叫做反正弦函数，记作y ＝arcsin x ，它的定义域是［－
1，1］，值域是⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡22ππ，－．
函数y ＝cos x ，（x ∈［0，π］）的反应函数叫做反余弦函数，记作y ＝arccos x ，它的定义域是［－1，1］，值域是［0，π］．
函数y ＝tan x ，⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛
⎪⎭⎫ ⎝⎛-∈22ππ，x 的反函数叫做反正切函数，记作y ＝arctan x ，它的定义域是
（－∞，＋∞），值域是⎪
⎭
⎫ ⎝⎛-22ππ，．
函数y ＝ctg x ，［x ∈（0，π）］的反函数叫做反余切函数，记作y ＝arcctg x ，它的定义域是（－∞，＋∞），值域是（0，π）．
II. 竞赛知识要点
一、反三角函数.
1. 反三角函数：⑴反正弦函数x y arcsin =是奇函数，故x x arcsin )arcsin(-=-，[]1,1-∈x （一定要注明定义域，若()+∞∞-∈,x ，没有x 与y 一一对应，故x y sin =无反函数） 注：x x =)sin(arcsin ，[]1,1-∈x ，⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-∈2,2arcsin ππx .
⑵反余弦函数x y arccos =非奇非偶，但有ππk x x 2)arccos()arccos(+=+-，[]1,1-∈x . 注：①x x =)cos(arccos ，[]1,1-∈x ，[]π,0arccos ∈x .
②x y cos =是偶函数，x y arccos =非奇非偶，而x y sin =和x y arcsin =为奇函数. ⑶反正切函数：x y arctan =，定义域),(+∞-∞，值域（2,
2π
π-），x y arctan =是奇函数，
x x arctan )arctan(-=-，∈x ),(+∞-∞. 注：x x =)tan(arctan ，∈x ),(+∞-∞.
⑷反余切函数：x arc y cot =，定义域),(+∞-∞，值域（2
,2π
π-
），x arc y cot =是非奇非偶.
ππk x arc x arc 2)cot()cot(+=+-，∈x ),(+∞-∞. 注：①x x arc =)cot cot(，∈x ),(+∞-∞.
②x y arcsin =与)1arcsin(x y -=互为奇函数，x y arctan =同理为奇而x y arccos =与x arc y cot =非奇非偶但满足]1,1[,2)cot(cot ]1,1[,2arccos )arccos(-∈+=-+-∈+=+-x k x arc x arc x k x x ππππ.
⑵ 正弦、余弦、正切、余切函数的解集：
a 的取值范围 解集 a 的取值范围 解集 ①a x =sin 的解集 ②a x =cos 的解集
a ＞1 ∅ a ＞1 ∅
a =1 {}Z k a k x x ∈+=,arcsin 2|π a =1 {}Z k a k x x ∈+=,arccos 2|π a ＜1 (){}
Z k a k x x k
∈-+=,arcsin 1|π
a
＜1 {}Z k a k x x ∈±=,arccos |π
③a x =tan 的解集：{}Z k a k x x ∈+=,arctan |π ③a x =cot 的解集：{}Z k a k x x ∈+=,cot arc |π 二、三角恒等式. 组一
组二
∏==
=n
k n
n n
k
1
2sin
2sin 2
cos
8
cos
4
cos
2
cos
2
cos α
αα
α
α
α
α
∑=++=
+++++=+n
k d
nd x d n nd x d x x kd x 0
sin )
cos())1sin(()cos()cos(cos )cos(
∑
=++=
+++++=+n
k d
nd x d n nd x d x x kd x 0
sin )
sin())1sin(()sin()sin(sin )sin(
α
γγββαγ
βαγβαγβαtan tan tan tan tan tan 1tan tan tan tan tan tan )tan(----++=
++
组三 三角函数不等式
x sin ＜x ＜)2
,
0(,tan π
∈x x x
x
x f sin )(=
在),0(π上是减函数 若π=++C B A ，则C xy B xz A yz z y x cos 2cos 2cos 2222++≥++
高中数学第五章-平面向量
考试内容：
向量．向量的加法与减法．实数与向量的积．平面向量的坐标表示．线段的定比分点．平面向量的数量积．平面两点间的距离、平移． 考试要求：
（1）理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念． （2）掌握向量的加法和减法．
（3）掌握实数与向量的积，理解两个向量共线的充要条件．
（4）了解平面向量的基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算． （5）掌握平面向量的数量积及其几何意义，了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、
α
αααααcos 3cos 43cos sin 4sin 33sin 33-=-=()()α
ββαβαβα2222cos cos sin sin sin sin -=-+=-ααααααsin 22sin 2cos ...4cos 2cos cos 11++=
n n n
角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件．
（6）掌握平面两点间的距离公式，以及线段的定比分点和中点坐标公式，并且能熟练运用掌握平移公式．
§05. 平面向量 知识要点
1.本章知识网络结构
2.向量的概念
(1)向量的基本要素：大小和方向.
(2)向量的表示：几何表示法 AB ；字母表示：a ；
坐标表示法 a ＝ｘｉ＋ｙj ＝（ｘ，ｙ）. (3)向量的长度：即向量的大小，记作｜a ｜. (4)特殊的向量：零向量a ＝O ⇔｜a ｜＝O .
单位向量a O 为单位向量⇔｜a O ｜＝1.
(5)相等的向量：大小相等，方向相同(ｘ1，ｙ1)＝（ｘ2，ｙ2）⎩⎨⎧==⇔21
2
1y y x x
(6) 相反向量：a =-b ⇔b =-a ⇔a +b =0
(7)平行向量(共线向量)：方向相同或相反的向量，称为平行向量.记作a ∥b .平行向量也称为共线向量. 3.向量的运算 运算类型
几何方法
坐标方法
运算性质
向量的 加法
1.平行四边形法则
2.三角形法则
1212(,)a b x x y y +=++
a b b a +=+
()()a b c a b c ++=++
AC BC AB =+
向量的 减法
三角形法则
1212(,)a b x x y y -=--
()a b a b -=+-
AB BA =-,AB OA OB =-
数 乘 向 量
1.a λ是一个向量,满足:||||||a a λλ=
2.λ>0时, a a λ与同向;
(,)a x y λλλ=
()()a a λμλμ=
()a a a λμλμ+=+
()a b a b λλλ+=+
λ<0时, a a λ与异向; λ=0时, 0a λ=.
//a b a b λ⇔=
向 量 的 数 量 积
a b •是一个数
1.00a b ==或时，
0a b •=.
2.
00||||cos(,)
a b a b a b a b ≠≠=且时，
1212a b x x y y •=+
a b b a •=•
()()()a b a b a b λλλ•=•=•
()a b c a c b c +•=•+•
2
222||||=a a a x y =+即
||||||a b a b •≤
4.重要定理、公式
(1)平面向量基本定理
e 1，e 2是同一平面内两个不共线的向量，那么，对于这个平面内任一向量，有且仅有一对实数λ1，
λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.
(2)两个向量平行的充要条件
a ∥
b ⇔a ＝λb (b ≠0)⇔x 1y 2－x 2y 1＝O. (3)两个向量垂直的充要条件
a ⊥
b ⇔a ·b ＝O ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝O. (4)线段的定比分点公式
设点P 分有向线段21P P 所成的比为λ，即P P
1＝λ2PP ，则 OP ＝
λ+111
OP ＋λ
+11
2OP (线段的定比分点的向量公式) ⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧++=++=.1,12
12
1λ
λλλy y y x x x (线段定比分点的坐标公式) 当λ＝1时，得中点公式：
OP ＝21（1OP ＋2OP ）或⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧+=+=.
2,22121y y y x x x (5)平移公式
设点P (x ，y )按向量a ＝（ｈ，ｋ）平移后得到点P ′（x ′，y ′），
则P O '＝OP +a 或⎩⎨
⎧+='+='.
,
k y y h x x
曲线y ＝f （x ）按向量a ＝（ｈ，ｋ）平移后所得的曲线的函数解析式为： y －ｋ＝f （x －ｈ) (6)正、余弦定理 正弦定理：
.2sin sin sin R C
c
B b A a === 余弦定理：a 2
＝b 2
＋c 2
－2bc cos A ， b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ， c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C .
（7）三角形面积计算公式：
设△ABC 的三边为a ，b ，c ，其高分别为h a ，h b ，h c ，半周长为P ，外接圆、内切圆的半径为R ，r .
①S △=1/2ah a =1/2bh b =1/2ch c ②S △=Pr ③S △=abc/4R
④S △=1/2sin C ·ab=1/2ac ·sin B=1/2cb ·sin A ⑤S △=()()()c P b P a P P --- [海伦公式] ⑥S △=1/2（b+c-a ）r a [如下图]=1/2（b+a-c ）r c =1/2（a+c-b ）r b
[注]：到三角形三边的距离相等的点有4个，一个是内心，其余3个是旁心. 如图： 图1 图2 图3 图4
图1中的I 为S △ABC 的内心， S △=Pr
图2中的I 为S △ABC 的一个旁心，S △=1/2（b+c-a ）r a
附：三角形的五个“心”； 重心：三角形三条中线交点.
外心：三角形三边垂直平分线相交于一点. 内心：三角形三内角的平分线相交于一点. 垂心：三角形三边上的高相交于一点.
旁心：三角形一内角的平分线与另两条内角的外角平分线相交一点.
⑸已知⊙O 是△ABC 的内切圆，若BC =a ，AC =b ，AB =c [注：s 为△ABC 的半周长,即
2
c
b a ++] 则：①AE=a s -=1/2（b+c-a ） ②BN=b s -=1/2（a+c-b ） ③FC=
c s -=1/2（a+b-c ）
综合上述：由已知得，一个角的邻边的切线长，等于半周长减去对边（如图4）.
A
B O
a c
I A B
C D E
F I
A B C D E
F r a
r a
r a
b
c a a b c A
C
N E F。