第二章 函数2-6幂函数与函数的图象变换

一般幂函数图象的形状特征及其分布． 对于幂函数y＝xα(α∈R)，当α＝1时，y＝x的 图象是直线；当α＝0时，y＝x0＝1(x≠0)的图 象是直线(不包括(0,1)点)．其它一般情况的 图象如下表：




3.性质： (0,0) (1)当α>0时，幂函数图象都过 点和 (1,1) 点； 增 且在第一象限都是 函数；当0<α<1时曲线上 凸；当α>1时，曲线下凸；α＝1时，为过(0,0) 直线． 点和(1,1)点的 (1,1) (2)当α<0时，幂函数图象总经过 点， 减 且在第一象限为 函数． (3)α＝0时y＝x0，表示过(1,1)点平行于x轴的 直线(除去(0,1)点)．
解析：作函数y＝ 知，当0<x1<x0时， log3x1>0.
1 5
1 5
x
和y＝log3x图象，如下图可
1 5
x1>log3x1，则f(x1)＝
x1－

答案：A


(文)若函数y＝f(x)(x∈R)满足f(x＋2)＝f(x)， 且x∈(－1,1]时，f(x)＝|x|.则函数y＝f(x)的图 象与函数y＝log4|x|的图象的交点个数为 ( ) A．3 B．4 C．6 D．8

已知幂函数f(x)＝xm2－6m＋5 (m∈Z)为奇函 数，且在区间(0，＋∞)上是减函数，则f(x) 的解析式为________．


解析：∵f(x)在(0，＋∞)上是减函数，
∴m2－6m＋5<0，∴1<m<5.


∵m∈Z，∴m＝2或3或4.
∵f(x)是奇函数，∴m2－6m＋5应为奇数．




解析：解法1：由已知图象知函数g′(x)为增 函数，f ′(x)为减函数且都在x轴上方，∴g(x) 的图象上任一点的切线的斜率在增大，而f(x) 的图象上任一点的切线的斜率在减小，排除 A、C；又f ′(x0)＝g′(x0)，排除B，故选D. 解法2：f ′(x)表示函数f(x)在点x处的切线的 斜率，x<x0时，f ′(x)>g′(x)， ∴f(x)的切线斜率大于g(x)的切线斜率． 同样当x>x0时，f(x)的切线斜率小于g(x)的切 线斜率，在点x0处，两切线斜率相等，∴选 D. 答案：D

解析：由导函数的图象研究可导函数的性 质． 由y＝f(x)图象知y＝f(x)有一个极大值点和一 个极小值点，设为x1、x2且x1<x2 则f ′(x)＝0有二根x1，x2，则 当x<0时，y＝f(x)递减，则f ′(x)<0，排除A、 C 当0<x<x1时，y＝f(x)递增，则f ′(x)>0 当x1<x<x2时，y＝f(x)递减，则f ′(x)<0，排 除B. 故选D.


二、图形变换方法 作图是学习和研究函数的基本功之一．变换 法作图是应用基本函数的图象，通过平移、 伸缩、对称等变换，作出相关函数的图 象．应用变换法作图，要求我们熟记基本函 数的图象及其性质，准确把握基本函数的图 象特征．
3 [例1] 已知点 ，3 3 在幂函数f(x)的图象上，则 3 f(x)的表达式是 ( ) － A．f(x)＝x3 B．f(x)＝x 3
分析：观察两个数的特征可以发现，指数相同，都是
1 1 － － ，底数不同，故可视作幂函数y＝x 3 的两个函数值，利 3 用幂函数的性质求解．
解析：幂函数y＝x
－
1
3 在(0，＋∞)上为减函数，函数值
y>0；在(－∞，0)上也是减函数，函数值y<0. a＋1<0 ∴有a＋1>3－2a>0或0>a＋1>3－2a或 ，∴ 3－2a>0 2 3 <a< 或a<－1 3 2 2 3 即a的取值范围为( ， )∪(－∞，－1)． 3 2 2 3 答案：( ， )∪(－∞，－1) 3 2
⑤y＝|f(x)|的图象可将y＝f(x)的图象在x轴下方的部分以x 轴为对称轴翻折到x轴上方，其余部分不变． ⑥y＝f(|x|)的图象可将y＝f(x)，x≥0的部分作出，再利用 偶函数的图象关于y轴的对称性，作出x＜0的图象． (3)伸缩变换 ①y＝Af(x)(A＞0)的图象，可将y＝f(x)图象上所有点的纵 坐标变为原来的A倍，横坐标不变而得到． ②y＝f(ax)(a＞0)的图象，可将y＝f(x)图象上所有点的横 1 坐标变为原来的 倍，纵坐标不变而得到． a




重点难点 重点：①幂函数的定义、图象与性质． ②函数图象三种基本变换规则． 难点：①幂函数图象的位置和形状变化与指 数的关系． ②利用基本变换规则作函数图象
知识归纳 一、幂函数的定义和图象 1．定义：形如 y＝xα 的函数叫幂函数(α 为常数) 1 1 要重点掌握 α＝1,2,3， ，－1,0，－ ，－2 时的幂函数 2 2 2．图象：(只作出第一象限图象)
一、选择题 1．(2010· 山东邹平、聊城模考)若幂函数f(x)的图
1 1 象经过点A4，2，则它在A点处的切线方程为(
)
A．4x＋4y＋1＝0 C．2x－y＝0
B．4x－4y＋1＝0 D．2x＋y＝0

[答案]
[解析]
B
设f(x)＝x
x
－log3x，若x0是方程f(x)＝0的解，且 )
0<x1<x0，则f(x1)的值( A．恒为正值 C．恒为负值
B．等于0 D．不大于0
1 分析：方程f(x)＝0的解即函数y1＝ 5 x与y2＝log3x的图
象交点的横坐标，问题即转化为在两函数图象交点的左 侧(0<x1<x0)，y1与y2的大小比较，只要画出图观察可得．

点评：利用导函数的图象确定原函数的图象 时，要抓住导函数值为正，则原函数单调增， 反之单调减；导函数递增，则原函数图象上 相应点处切线斜率在增大，反之在减小，若 两函数在某点导数值相等则在该点处两曲线 的切线斜率相等.
[例5] f(x)＝
(2010· 山东临沂、陕西宝鸡质检)已知函数
1 5

(文)f ′(x)是f(x)的导函数，f ′(x)的图象如图所 示，则f(x)的图象可能是( )


解析：由图可知，当b>x>a时，f ′(x)>0，故 在[a，b]上，f(x)为增函数．且曲线上每一点 处切线的斜率先增大再减小，故选D. 答案：D

(理)已知函数y＝f(x)，y＝g(x)的导函数的图 象如图，那么y＝f(x)，y＝g(x)的图象可能是 ( )
解析：由图象知，x≠1且x≠5， 故ax2＋bx＋c＝0的两根为1,5. b －a＝6 ∴ c＝5 a
b＝－6a ，∴ c＝5a
，
又f(3)＝2，∴d＝18a＋6b＋2c＝－8a. 故abcd＝1 ( －6) 5 －8)． (

答案： 1:(－6):5:(－8)


解析：本题考查周期函数图象与偶函数、对 数函数图象．在同一直角坐标系中于y轴右 侧作出函数y＝f(x)与y＝log4|x|的图象，如图 所示，得3个交点； 再由两个函数都是偶函数可知在y轴左侧也 有3个交点，故两个函数的图象共有6个交点， 所以选C.

答案：C
d (理)若函数f(x)＝ 2 (a、b、c，d∈R)，其图 ax ＋bx＋c 象如图所示，则abcd＝________.



二、函数的图象与图象变换 1．画图 描点法 ①确定函数的定义域；②化简函数解析式； ③讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、 对称性、值域)；④列对应值表(尤其注意特 殊点，如最大值、最小值、与坐标轴的交点)； ⑤描点，连线．



图象变换法 (1)平移变换 ①左右平移：y＝f(x－a)的图象，可由y＝f(x) 的图象向左(a<0)或向右(a>0)平移|a|个单位 而得到． ②上下平移：y＝f(x)＋b的图象，可由y＝f(x) 的图象向上(b>0)或向下(b<0)平移|b|个单位 而得到． (2)对称变换 ①y＝f(－x)与y＝f(x)的图象关于y轴对称． ②y＝－f(x)与y＝f(x)的图象关于x轴对称． ③y＝－f(－x)与y＝f(x)的图象关于原点对


2．识图 绘图、识图是学习函数、应用函数的一项重 要基本功．识图要首先把握函数的定义域、 值域、单调区间、奇偶性或图象的对称特征、 周期性、与坐标轴的交点，另外有无渐近线， 正、负值区间等都是识图的重要方面 ，要注 意函数解析式中含参数时．怎样由图象提供 信息来确定这些参数．




3．用图 函数图象形象地显示了函数的性质，为研究 数量关系提供了“形”的直观性，它是探求 解题途径，获得问题结果的重要工具．要重 视数形结合解题的思想方法． 4．图象对称性的证明 (1)证明函数图象的对称性，即证明其图象上 的任意一点关于对称中心(或对称轴)的对称 点仍在图象上． (2)证明曲线C1与C2的对称性，即要证明C1上 任一点关于对称中心(对称轴)的对称点在C2 上，反之亦然．

解析：设幂函数f(x)＝x
α
(x∈R)，则3
3＝
3α ， 3
答案：B

幂函数y＝ 示，则m的值为 ( ) A．－1<m<3
(m∈ຫໍສະໝຸດ Baidu)的图象如右图所

B．0
C．1 象限为减函数
D．2
解析：∵y＝xm2－2m－3在第一 ∴m2－2m－3<0即－1<m<3
当m＝2或4时，m2－6m＋5＝－3是奇数；
当m＝3时，m2－6m＋5＝－4不是奇数；
[例3]
作出下列函数的图象
x＋2 x3 (1)y＝|x|； (2)y＝ ； x－1 (3)y＝|log2x－1|; (4)y＝2|x－1|.
解析：(1)首先化简解析式，y＝
x2 －x2
x>0， x<0.

已知P为圆x2＋(y－1)2＝1上任意一点(原点 O除外)，直线OP的倾斜角为θ弧度，记d＝ |OP|.在图中的坐标系中，画出以(θ，d)为坐 标的点的轨迹大致图形．

解析：依题意，设圆与y轴的 另一交点为D，则D(0,2)．从 而|OP|＝|OD|·sinθ，∴d＝ 2sinθ(θ∈(0，π))．其图象为 正弦曲线一段．故作简图如 右图．
利用
二次函数的图象作出其图象，如下图(1)．
3 3 (2)因y＝1＋ ，先作出y＝ x 的图象，将其图象向 x－1 x＋2 右平移一个单位，再向上平移一个单位，即得y＝ 的 x－1 图象，如图(2)．


(3)先作出y＝log2x的图象，再将其图象向下 平移一个单位，保留x轴上方的部分，将x轴 下方的图象翻折到x轴上方，即得y＝|log2x －1|的图象，如图(3)． (4)先作出y＝2x的图象，保留x≥0部分，再关 于y轴对称得到y＝2|x|图象，然后右移一个 单位，即得y＝2|x－1|的图象．


2．由函数y＝f(x)的图象变换成y＝g(x)的图 象，变换顺序为①→②时，由y＝g(x)的图象 变换成y＝f(x)的图象则是相反的变换且顺序 也相反，即②→①. 3．在研究幂函数y＝xα的图象、性质时，应 考虑α的三种情况：α>0，α＝0和α<0.

一、数形结合的思想 函数的图象可以形象地反映函数的性质．通 过观察图形可以确定图象的变化趋势、对称 性、分布情况等．数形结合借助于图象与函 数的对应关系研究函数的性质，应用函数的 性质．其本质是：函数图象的性质反映了函 数关系；函数关系决定了函数图象的性质．

[例2] 设函数y＝f(x)在定义域内可导，y＝ f(x)的图象如图(1)所示，则导函数y＝f ′(x)的 图象为( )

分析：由原函数的图象确定导函数的图象时， 首先要抓住图象上的极值点，以确定导函数 的零点，其次要依据原函数的单调性确定导 函数的正负值区间，再综合作出判断．






5．有关结论 若f(a＋x)＝f(a－x)，x∈R恒成立，则y＝f(x) 的图象关于直线x＝a成轴对称图形． 误区警示 1．对于函数y＝|f(x)|与y＝f(|x|)一定要区分开 来，前者将y＝f(x)位于x轴下方的图象翻折到 x轴上方，后者将y＝f(x)图象在y轴左侧图象 去掉作右侧关于y轴的对称图，后者是偶函数 而前者y≥0.比如y＝|sinx|与y＝sin|x|.