中考专题复习最短路径问题

中考专题复习——路径最短问题

一、具体内容包括：

蚂蚁沿正方体、长方体、圆柱、圆锥外侧面吃食问题；

线段（之和）最短问题；

二、原理：B 两点之间，线段最短；垂线段最短。（构建“对称模型”实现转化）

三、例题：

例1、①如右图是一个棱长为4的正方体木块，一只蚂蚁要从木块的点A

A沿木块侧面爬到点B处，则它爬行的最短路径是。

②如右图是一个长方体木块，已知AB=3,BC=4,CD=2，假设一只蚂蚁在点A处，它要沿着木块侧面爬到点D处，则蚂蚁爬行的最短路径是。D

C 四、练习题（巩固提高）

（一）1、如图是一个长方体木块，已知AB=5,BC=3,CD=4，假设一只蚂蚁在点A 处，它要沿着木块侧面爬到点D处，则蚂蚁爬行的最短路径是。

A B

D B

B A

C

B A

A

例2、①如图，要在河边修建一个水泵站，分别向张村、李庄送水，水泵站修在河边什么地方可使所用的水管最短。

李庄B

张村A

L

②如图，直线L同侧有两点A、B，已知A、B到直线L的垂直距离分别为1和3，两点的水平距离为3，要在直线L上找一个点P，使PA+PB的和最小。请在图中找出点P的位置，并计算PA+PB的最小值。

③要在河边修建一个水泵站，向张村、李庄铺设管道送水，若张村、李庄到河边的垂直距离分别为1Km和3Km，张村与李庄的水平距离为3Km，则所用水管最短长

第1题

A

第2题第3题

2、现要在如图所示的圆柱体侧面A点与B点之间缠一条金丝带（金丝带的宽度忽略不计），圆柱体高为6cm，底面圆周长为16cm，则所缠金丝带长度的最小值

为。

3、如图是一个圆柱体木块，一只蚂蚁要沿圆柱体的表面从A点爬到点B处吃到食物，知圆柱体的高为5cm，底面圆的周长为24cm，则蚂蚁爬行的最短路径为。

4、正方形ABCD的边长为8，M在DC上，且DM＝2，N是AC上的一动点，DN

A

度为。

李庄＋MN的最小值

D

张村

O

B

图(3)

P C

为。

D

P

A C

E

B

图(2)

第4题第5题第6题第7题

5、在菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=60°，点E是AB的中点，P是对角线AC上

的一个动点，则PE+PB的最小值为。

6△、如图，在ABC中，AC＝BC＝2，∠ACB＝90°，D是BC边的中点，E是AB边

⌒⌒⌒

上一动点，则EC＋ED的最小值为_______。

7、AB是⊙O的直径，AB=2，OC是⊙O的半径，OC⊥AB，点D在AC上，AD=2CD，点P是半径OC上的一个动点，则AP+PD的最小值为_______。

（二）8、如图，点P关于OA、OB的对称点分别为C、D，连接CD，交OA于M，

交OB于N，若CD＝18cm，则△PMN的周长为________。

9、已知，如图DE是△ABC的边AB的垂直平分线，D为垂足，DE交BC于E，且

AC＝5，BC＝8，则△AEC的周长为__________。

10、已知，如图，在△ABC中，AB＜AC，BC边上的垂直平分线DE交BC于点D，

交AC于点E，AC＝△8，ABE的周长为14，则AB的长。11、如图，在锐角△ABC中，AB＝42，∠BAC＝45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是____．

12、在平面直角坐标系中，有A（3，－2），B（4，2）两点，现另取一点C（1，n），当n=时，AC+BC的值最小．

D C

P

F

A E B

第11题第14题第15题

13、△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=6,BC=8,过AB边上一点P作PE⊥AC于E，PF⊥BC于F，E、F是垂足，则EF的最小值等于．

14、如图，菱形ABCD中，AB=2,∠BAD=60°，点E、F、P分别是AB、BC、AC 上的动点，则PE+PF的最小值为___________.

15、如图，村庄A、B位于一条小河的两侧，若河岸a、b彼此平行，现在要建设一座与河岸垂直的桥CD，问桥址应如何选择，才能使A村到B村的路程最近？

16、一次函数y=kx+b的图象与x、y轴分别交于点A（2，0），B（0，4）．

P A B C图2O

P

Q

（1）求该函数的解析式；

（2）O为坐标原点，设OA、AB的中点分别为C、D，P为OB上一动点，求PC＋PD的最小值，并求取得最小值时P 点坐标．

（三）16、如图，已知∠AOB内有一点P，试分别在边OA和OB上各找一点E、F，使得△PEF的周长最小。试画出图形，并说明理由。学习必备欢迎下载

归纳与发现：

（2）结合以上三组点的坐标，你会发现：坐标

平面内任一点P（a，b）关于第一、三象限的

角平分线l的对称点P′的坐标为；

运用与拓广：

（3）已知两点D（1，－3）、E（－1，－4），

试在直线l上确定一点Q，使点Q到D、E两

点的距离之和最小，并求出Q点坐标．

18、几何模型：

条件：如图，A、B是直线L同旁的两个定点．问题：在直线L上确定一点P，使

PA+PB的值最小．

方法：作点A关于直线l的对称点A'，连结A'B交l于点P，则P A+PB=A'B的值最

小（不必证明）．

模型应用：

（1）如图1，正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点，P是AC上一动点．连结

BD，由正方形对称性可知，B与D关于直线AC对称．连结ED交AC于P，则

PB+PE的最小值是___________；

（2）如图2，⊙O的半径为2，点A、B、C在⊙O上，OA⊥OB，∠AOC=60°，P

是OB上一动点，求P A+PC的最小值；

（3）如图3，∠AOB=45°，P是∠AOB内一点，PO=10，Q、R分别是OA、OB上

的动点，求△PQR周长的最小值．

17、如图，直线l是第一、三象限的角平分线．

实验与探究：

（1）由图观察易知A（0，2）关于直线l的对称点A′的坐标为（2，0），请在图中分别标明B（5，3）、C（－2，5）关于直线l的对称点B′、C′的位置，并写出他们的坐标：B′、C′；

B

B B A

A E R P

l

C

B

O A

A'图1图3

19、问题探究

D

（1）如图①，四边形ABCD是正方形，AB=10cm，E为边BC的中点，P为BD上的一个动点，求PC+PE的最小值；

（2）如图②，若四边形ABCD是菱形，AB=10cm，∠ABC=45°，E为边BC上的一个动点，P为BD上的一个动点，求PC+PE的最小值；