应用PDE讲义04_相似解

应用偏微分方程与科学计算

讲义（4）

Lecture Notes on

Applied Partial Differential Equations and

Scientific Computing

No. 4

马 石 庄

2010．09．16

第4讲 量纲分析与相似解

教学目的：

量纲、对称性、变换和不变性的密切关系，构成寻求偏微分方程相似解的基础。

主要内容：

§1量纲分析 (3)

1.1 基本量纲和导出量纲 (4)

1.2 量纲齐次原理 (5)

1.3 定理 (6)

§2扩散问题的量纲分析 (8)

2.1瞬间集中注入 (8)

2.2随机游动分析 (11)

2.3 扩散方程初值问题基本解 (14)

§3不变变换与相似解 (15)

3.1群的概念 (15)

3.2一阶偏微分方程相似解 (18)

3.3 扩散方程的相似解 (22)

习题3 (25)

附录：Fick定理与扩散方程 (27)

在物理科学家现有的技巧中，量纲分析占据着特殊的地位。虽然所需的形式运算是比较容易的，但是涉及的观念相当深刻。已经知道，在连续群理论中，量纲分析与偏微分方程的相似映射有共同的基础。

利用自变量的组合精心构造偏微分方程的解的系统方法，是要考虑使偏微分方程的形式不改变（或不变量）的因变量和自变量的特殊变换；且运用类似的不变量的变量的组合，能把偏微分方程转换成一个常微分方程。通过变换，从常微分方程的解得到偏微分方程的解，是一条有效途径。

§1量纲分析

在研究力学现象时，要引进一系列概念，诸如能量、速度、应力 等表征所研究的现象，而本身则可以用数给出和确定所有关于运动和关于平衡的问题，从而把力学问题表达为对表征现象的量确定某些函数和数值的问题，在求解这些问题时，自然定律和各种几何关系都表示为函数方程，通常是微分方程的形式．

有些现象依赖于大量参量，其中有些参量在一定的情况下无关紧要。对于实践来说，正确地选取无量纲参量是非常重要的，无量纲参量的数目应尽可能地少，而被选定的参量又应以最合适的形式反映出基本效应．

1.1 基本量纲和导出量纲

一个物理量，若其数值依赖于所采用的尺度，即依赖于量度单位制，则称为有量纲量；一个量，若其数值与所采用的量度单位制无关，则称为无量纲量，无量纲量可以用各种数来表示．

例，长度、时间、力、能量、力矩等等是有量纲量；角、两个长度之比、长度的平方与面积之比、能量与力矩之比等是无量纲量． 各种物理量都以一定的关系式互相联系着．所以，若将其中某些量取作基本量并给它们规定某些量度单位，则所有其余各量的量度单位将以确定的形式通过基本量的量度单位来表示，把基本量所采用的量度单位称为基本量度单位，而所有其余的则称为导出量度单位．基本量度单位一经确立，其它的力学量（例如力、能量、速度、加速度等等）的量度单位就由它们的定义自动得出．

例 在物理学研究中以取长度、时间和质量的单位作为基本单位为宜，而在工程技术中则以取长度、时间和力的单位为宜．但是也可以取速度、粘性和密度等量的单位作为基本量度单位．

通过基本量度单位表示的导出量度单位的表达式称为量纲．量纲可用符号写成公式的形式。长度单位的符号记作字母 ，质量单位的符号记作 ，时间单位的符号记作 ．只有在确定的量度单位制中方能谈论量纲，它们所带的指数称为量纲指数。

例，速度 是长度／时间这两个基本物理量的组合，写成

，密度 是质量／体积的组合，写成 。它们分别称为速度和密度的量纲，余此类推。

对于给定的一组物理量 ， ， ， ，如果存在一组不全为零的常数 ， ， ， ，使得 ， 是无量纲的，就称它们是量纲相关的，否则称物理量 ， ， ， 是量纲无关的。

对于给定的一组物理量 ， ， ， ，如果存在一组常数 ， ， ， ，使得

，

是无量纲的，就称物理量 是可以通过其他物理量 ， ， 量纲表示。由此可以得到下面两个重要的推论：

如果物理量 ， ， ， 中有一个是无量纲的，那么物理量 ， ， ， 是量纲相关的。

如果物理量 ， ， ， 量纲无关，物理量 ， ， ， 量纲相关，则物理量 可以通过物理量 ， ， 量纲表示。

1.2 量纲齐次原理

任何物质的运动都受到一定的自然规律（如物理定律）的制约，作为描写这些物质运动的数学模型的一些数学物理方程，从数量形式上刻划由相应物理定律所确立起的某些物理量之间的制约关系． 量纲理论的基本出发点是；在一定物理过程中，表达物理规律的函数关系式或方程式，必定是“量纲齐次”的，即式中各项的量纲指数都分别相同．这一论断称为“量纲齐次原理”．可以证明，这一原理等价的另一种表述是：所有单位制在描述客观物理规律时具有同等的效力，或者说，任何表示客观物理规律的数学关系式，经过测量单

位制的变换后，其数学形式不变．

假设

是表示某种物理规律的方程式，其中， 既代表某种物理量，又代表它们在给定单位制下的测量值．用 表示 的量纲，量纲齐次性原理就表示为

一般说来，若经过单位制变换后，基本量的测量值有下列变换关系

， 1， ，

这里， 表示在原单位制下的测量值， 表示新单位制下的测量值，则对具有量纲指数 的导出量就有

原方程式变换成

1.3 定理

一个物理过程涉及的无量纲量的数目由 定理给出。 定理有时也称Buckingham定理，表述如下：

若某一物理过程有 1 个正值的物理量 ， ， ， ， 由一个确定的函数关系

， ， ， ， ，

相联系； ， ， ， 是物理量 ， ， ， 中 个最大的量