用极坐标与参数方程解高考题型及解题策略

、 与 ，
因此 ，而在三角函数的学习中，我们知道
因此 为定值
六、参数方程解圆锥曲线问题
1.参数方程思想表示普通方程中的两个变量，注意参数几何意义和取值范围。
2.消去参数，用参数的几何意义和取值范围确定所求问题的解。
例如、（2016年天津卷）设椭圆 的右焦点为 ，右顶点为 .已知 ，
其中 为原点， 为椭圆的离心率.
(2)在[0，2π)内由tanθ＝ (x≠0)求θ时，由直角坐标的符号特征判断点所在的象限(即θ的终边位置).
解题时必须注意：
1确定极坐标方程，极点、极轴、长度单位、角度单位及其正方向，四者缺一不可.
2平面上点的直角坐标的表示形式是唯一的，但点的极坐标的表示形式不唯一.当规定ρ≥0，0≤θ＜2π，使得平面上的点与它的极坐标之间是一一对应的，但仍然不包括极点.
（Ⅰ）写出曲线 的参数方程，直线 的普通方程；
（Ⅱ）过曲线 上任一点 作与 夹角为 的直线，交 于点 ，求 的最大值与最小值.
解：（Ⅰ）曲线 的参数方程为 （ 为参数）
直线 的普通方程为
（Ⅱ）曲线 上任意一点 到 的距离为
则 ，其中 为锐角，且
当 时， 取得最小值，最小值为
四、参数方程与极坐标方程的综合应用
（1）写出C的普通方程；
（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l3：ρ(cosθ+sinθ)− =0，M为l3与C的交点，求M的极径.
解：⑴将参数方程转化为一般方程
……①
……②
① ②消 可得：
即 的轨迹方程为 ；
⑵将参数方程转化为一般方程
……③
联立曲线 和
解得
由 解得
即 的极半径是 ．
3.极坐标方程应用时多化为直角坐标方程求解,然后再转化为极坐标方程,注意方程的等价性.
例如、（2015全国卷）在直角坐标系xOy中，曲线C1： （t为参数，t≠ 0），其中0 ≤α<π，在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2： ，C3： 。
（1）求C2与C3交点的直角坐标；
（2）若C1与C2相交于点A，C1与C3相交于点B，求 的最大值。
解：（Ⅰ）因为 ，所以 的极坐标方程为 ， 的极坐标方程为
（Ⅱ）将 代入 ，得
，解得 ，故
，即
由于 的半径为1，所以 的面积为
二、简单曲线的极坐标方程及应用
1.求曲线的极坐标方程,就是找出动点M的坐标ρ与θ之间的关系,然后列出方程f(ρ,θ)=0,再化简并检验特殊点.
2.极坐标方程涉及的是长度与角度,因此列方程的实质是解三角形.
3进行极坐标方程与直角坐标方程互化时，应注意两点：
Ⅰ.注意ρ，θ的取值范围及其影响.
Ⅱ.重视方程的变形及公式的正用、逆用、变形使用.
例如、（2015年全国卷）在直角坐标系 中。直线 : ，圆 ： ,以坐标原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系。
（I）求 ， 的极坐标方程；
（II）若直线 的极坐标方程为 ，设 与 的交点为 , ,求 的面积
解：
（Ⅰ）曲线 的直角坐标方程为 ，曲线 的直角坐标方程为 .
联立 解得 或
所以 与 交点的直角坐标为 和
（Ⅱ）曲线 的极坐标方程为 ，其中
因此 的极坐标为 ， 的极坐标为
所以
当 时， 取得最大值，最大值为4
三、简单参数方程及应用
1.将参数方程化为普通方程的基本途径就是消参,消参过程注意两点:
① 准确把握参数形式之间的关系;
用极坐标与参数方程解高考题型及解题策略
高考题中极坐标与参数方程主要考查简单图形的极坐标方程，极坐标与直角坐标的互化，直线、圆和圆锥曲线的参数方程，参数方程化为直角坐标方程等。高考热点是极坐标与直角坐标的互化、参数方程化为直角坐标方程，推导简单图形的极坐标方程、直角坐标方程化为参数方程。其中以考查基本概念，基本知识，基本运算为主，一般属于中档难度题。常以选考题的形式出现，此外在高考数学的选择题和填空题中，用参数方程与极坐标解决问题常能收到事半功倍的效果，必须引起教与学的足够。因此，对常见题型及解题策略进行探讨。
解得 ，或 ，由题意得 ，从而 .
由（Ⅰ）知， ，设 ，有 ， .由 ，得 ，所以 ，解得 .因此直线 的方程为 .
一、极坐标与直角坐标的互化
1.曲线的极坐标方程化成直角坐标方程：对于简单的我们可以直接代入公式ρcosθ＝x，ρsinθ＝y，ρ2＝x2＋y2，但有时需要作适当的变化，如将式子的两边同时平方，两边同时乘以ρ等.
2.直角坐标(x，y)化为极坐标(ρ，θ)的步骤：
(1)运用ρ＝ ，tanθ＝ (x≠0)；
五、极坐标方程解圆锥曲线问题
如果圆锥曲线问题中涉及到焦半径或焦点弦长时，设曲线方程为极坐标方程往往能避开繁杂的计算。
例如、(2007重庆理改编)中心在原点 的椭圆 ，点 是其左焦点，在椭圆上任取三个不同点 使 ．
证明： 为定值，并求此定值．
解：以点 为极点建立极坐标系，则椭圆的极坐标方程为： ，设点 对应的极角为 ，则点 与 对应的极角分别为 、 ， 、 与 的极径就分别是
② 注意参数取值范围对曲线形状的影响.
2.已知曲线的普通方程求参数方程时,选取不同含义的参数时可能得到不同的参数方程.
3.一般地,如果题目中涉及圆、椭圆上的动点或求最值范围问题时可考虑用参数方程,设曲线上点的坐标,将问题转化为三角恒等变换问题解决,使解题过程简单明了.
例如、（2014年全国卷）坐标系与参数方程已知曲线 ： ，直线 ： （ 为参数）.
第一步:消去参数,将曲线C1的参数方程化为普通方程;
第二步:将曲线C1的普通方程化为极坐标方程;
第三步:将曲线C2的极坐标方程化为直角坐标方程;
第四步:将曲线C1与曲线C2的直角坐标方程联立,求得交点的直角坐标;
第五步:把交点的直角坐标化为极坐标.
例如、（2017年全国卷）在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为 （t为参数），直线l2的参数方程为 .设l1与l2的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲线C.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设过点 的直线 与椭圆交于点 （ 不在 轴上），垂直于 的直线与 交于点 ，与 轴交于点 .若 ，且 ≤ ，求直线 的斜率的取值范围.
解：（Ⅰ）设 ，由 ，பைடு நூலகம் ，可得 ，又 ，所以 ，因此 ，所以椭圆的方程为 .
（Ⅱ）设直线 的斜率为 （ ），则直线 的方程为 .设 ，由方程组 ，消去 ，整理得 .