人教A版数学必修五 第一章 正弦定理

三角形中∠A的大小与 它的对边BC的长度之 间是否存在定量关系? A
C B
思考：我们能否得到这个三角形的边角中准确的量化 关系呢？
角与边的关系是通过三角函数来体现的。
下面我们先在直角三角形中找它们的关系：直角三角
形ABC中，三条边分别是a,b,c，三个角分别是A,B,C.
sin A a , sin B b
探究课题引入时问题(2)的解决方法
B
c
A
b
C
AB= bsinβ sin(α+β)
变式拓展：
根据下列已知条件，分别判断有几组解？
（1） b＝20，A＝60°，a＝20 3 ;
C
（2） b＝20，A＝60°，a＝10 3 ;
b
（3） b＝20，A＝60°，a＝15.
60°
A
B
（1） b＝20，A＝60°，a＝20 3 ;
1.问题的引入:
(1)在我国古代就有嫦娥奔月的神话故事.明月 高. 悬,我们仰望夜空,会有无限遐想,不禁会问, 月亮离我们地球有多远呢?科学家们是怎样 测出来的呢？
(2)设A,B两点在河的两岸, 只给你米尺和量角 设备,不过河你可以测出它们之间的距离吗 ?
B
A
我们这一节所学习的内容就是解决这些问题 的有力工具.
如图:作AB上的高是CD,根椐
C
三角函数的定义,得到
aE
b
C D a s in B ,C D b s in A
所 以 a sin B b sin A B
D
A
得 到 a b
c
sinA sinB
同 理 , 作 A E B C .有 bc sin Bsin C
a b c sinA sinB sinC
得
b sA in 13 6 s3 i n 03
sB i n
a
16 2
16 3 16
16
A 300
所以Ｂ＝60°,或Ｂ＝120°
B
B
当Ｂ＝60°时 C=90° c3.2
当Ｂ＝120°时 C=30°
casiC n16. sinA
练习
在 ABC 中，已知 a 4 ,b 42 ,B 4，5
求 A。
证明： 作外接圆O,
c
过B作直径BC/,连AC/,
BAC 90,C CA'
sinC sinC' c 2R
c 2R sinC
a
O
C
b
C/
同理a 2R, b 课后2R 探究:你还可以用其它方
s inA
s inB法证明这个等量关系吗？
a b c 2R
s inA s inB s inC
正弦定理 在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比
解
例 1 在△ABC 中，已知c=10,A=45。,C=30。
求 a , b.
Cwk.baidu.com
解：∵ a c
sinA sinC
b
a
∴a
=
csinA sinC =
1 0si4n5102 si3n0
Ac
B
∵ bc
sinB sinC
且 B 1 8 (0 A C 1 ) 05
∴
b=
c s in B
sinC =
10sin1055( 6 2) s in30
练习
在△ABC中，已知 A=30°，B=120°，b=12 求a ，c.
[a= 4 3 ,c= 4 3 ]
定理应用
解例：由2 正求已弦角知定Ba理，=1C6s和，ianA边b=cs1ib6nB3，已 的A知对=两角30边,求°和其. 其他C中边一和边角
(1) 已知两角及任意一边，可以求出其他两边 和另一角；
(2)已知两边和其中一边的对角，可以求出三 角形的其他的边和角。(此时可能有一解、二解、 无解）
c
c
a c, b c sinA sinB
A
a b c sinA sinB siC n 1
abc c
b
siA nsiB nsiC n
Ba C
而直角三角形外接圆的直径是 2R=c abc 2R sinAsinBsinC
探究:在锐角三角形中,边角关系是否也那样呢?
锐角ABC中,三条边分别是a,b,c，三个角分别是A,B,C.
2 s A : s iB n : s iC n i a : b n : c
（3） 一般地，把三角形的三个角A,B,C和它的对边a,b,c 叫做三角形的元素。已知三角形的几个元素求其他元素 的过程叫做解三角形
正弦定理 相等，即
在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比 a b c siA nsiB nsiC n
相等，即 abc 2R s iA ns iB ns iC n
分析:其中R为三角形外接圆的半径
要牢记
! （1）正弦定理的本质是三个恒等式，即 ab;bc;ca
哟
s in As in B s in Bs in C s in C s in A
在每个等式中，都涉及三角形的两条边及这两边 的对角，若已知其中三个量就可以求第四个量.
思考：正弦定理可以解什么类型的三角形问题？
(1)、已知两角和任一边,求一角和其他两条边.
a a b b c 2R sinA A sinB B sinC
(2)、已知两边和其中一边的对角,求另一边的对角(进而 求其他的角和边)。
定理应用
1.要注意三角形隐含条件“内角和定理” 2.已知两角和一对边可得该三角形有唯一
正弦定理
思考：我们学习过的三角形中的边角关系有哪些？ A
c
b
B 1.角的关系: 2.边的关系: 3.边角关系:
a
C
ABC
a b c, a b c
大边对大角，小边对小角
C3
如图，固定△ABC的边 AB及∠B，使边AC绕着 顶点A转动时,∠A的大小 与它的对边BC的长度之
间有怎样的关系？
C2 C1
一解
（2） b＝20，A＝60°，a＝10 3 ;
一解
（3） b＝20，A＝60°，a＝15.
无解
C
20
20√3 60°
A
B
C
20
A 60°B C
20 A 60°
思考
已知两边和其中一边的对角,求其 他边和角时,三角形什么情况下有 一解,二解,无解?
课堂小结
• 正弦定理 • 主要应用
a b c 2R sinAsinBsinC
当 ABC是钝角三角形时,以上等式是否仍然成立?
过点A作AD⊥BC，
A
交BC延长线于D,
c
此时也有 sinBAcD
b
Ca
B
且
s（ inC ） A b D s
D
iCn
仿刚才情形可得
a b c siA n siB n siC n
于是，对于任意三角形，三边与三角的等量关系是：
证法二: abc 2R B s iA ns iB ns iC n