初中数学中逆向思维

浅议初中数学中的逆向思维

摘要：逆向思维有时在数学教学中能起到事半功倍的效果。应用逆向思维要常常培养学生逆向思维的兴趣，加强逆向思维的培养和训练，在分析归纳总结中不断深化逆向思维，从而利用逆向思维很好地解决数学问题。

关键词：逆向思维兴趣培养训练深化

传统的初中数学教学多数是以正向思维为主，但逆向思维有时在教学中也能起到事半功倍的效果。逆向思维能引导学生摆脱机械的正向思维的习惯，能使学生豁然开朗，对新知识产生一个飞跃，从而达到对数学知识技能的正迁移，使“分析和综合”过程有机结合起来，能使学生对知识的理解既深刻又全面，能激活学生思维的灵活性和创造性，能使数学教学达到良好的效果。应用逆向思维应注意以下几点：

一、培养学生逆向思维的兴趣

数学本身就是一门比较枯燥乏味的科学，初中学生很多对数学产生畏难情绪，对一个数学问题思考不出来时，教师应该鼓励学生换一个角度去思考。其实，对于某些问题，尤其是一些特殊问题，从结论往回推，倒过来思考，从求解回到已知条件，反过去想或许会使问题简单化，使解决它变得轻而易举，甚至因此而有所发现，创造出惊天动地的奇迹来，这就是逆向思维和它的魅力。

1.通过讲解故事培养兴趣

在教学过程中教师要慢慢培养学生对逆向思维的兴趣，学生只有

对逆向思维感兴趣，注意力集中，观察敏锐，思维敏锐而丰富，激发和强化逆向思维应用，从而调动学习的积极性。激发兴趣可以从学生都熟悉的实例故事引导。例如“司马光砸缸”的故事人人皆知，有个小孩落水了，常规的思维模式是“救人离水”，可这些小孩能力有限无法办到，而司马光面对紧急险情，运用了逆向思维，果断地用石头把缸砸破，“让水离人”，救了小伙伴性命。这样的实例很多。

2.通过公式的应用培养兴趣

二、在学习过程中加强逆向思维的培养和锻炼

1.逆向思维的培养

学生在长期的正向思维模式的训练下，往往形成思维定式，但数学中有很多问题应用正向思维很难解决，这时就体现出了逆向思维的价值，所以我们要在教学过程中加强逆向思维的培养。首先从公式、法则的逆运算入手，正确判断它的逆命题是否正确。例如：平方差公式a2-b2=（a+b）（a-b）；完全平方公式a2±2ab+b2=（a±b）2它们的逆运算都是正确的，这样的公式很多，但也有很多命题的逆命题不正确，如“若a=b则a2=b2”是真命题；而它的逆命题“若a2=b2则a=b”是假命题。其次，在进行可逆性公式的教学中，应启发学生注意其“正向”“逆向”的差别，推导过程中逻辑依据的异同，以及各式成立的条件异同，使学生领悟其实质。例如：在教=a的应用时，可设计这样的两道训练题：（1）若=a-1，则a的取值范围是什么？（2）若=1-a，则a的取值范围是什么？这样通过思

维过程的双向连结，才能对公式透彻的理解和应用。

2.反证法

反证法是逆向思维的典型方法。反证法证明一个命题的步骤是：（1）假设原命题的结论不成立；

（2）根据假设进行推理，结果出现下列情况：与已知条件矛盾或与公理或定理等矛盾；

（3）原来的假设“结论不成立”是错误的，从而肯定原来命题的结论是正确的。

用反证法证明命题实际上是这样一个思维过程：我们假设“原结论不成立”，原结论一不成立就会与已知条件矛盾；与公理或定理等相矛盾；这个矛盾是怎么产生的呢？推理没有错误，已知条件、公理或定理没有错误，这样一来，唯一有错误的地方就是一开始的假定。“结论不成立”与“结论成立”必然有一个正确。既然“结论不成立”有错误，就肯定结论必然成立了。反证法能很好地解决从正面不好解决的问题。

例如，反证法证明:圆的两条不是直径的相交弦不能互相平分。假设圆的两条不是直径的相交弦可以互相平分。

⊙o中，弦ab与弦cd相交与点p，且ap＝bp，cp＝dp，连结op，∵ap＝bp，∴op⊥ab，（平分弦的直径垂直于弦）

同理∵cp＝dp，∴op⊥cd，这样，过点p就有ab与cd两条不同的直线与op垂直，这与“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”的定理相矛盾，所以，假设错误。因此，原命题成立！即：圆

的两条不是直径的相交弦不能互相平分。

3.巧用反例

学习数学的过程中时刻伴随着猜想、假设，但大胆的假设、猜想往往不一定正确，但从正面去推翻它又很难，这时我们可以通过举反例的方法，轻松地就能将它推翻，既避免了浪费精力和时间，又能轻松地解决问题。正如一位数学家说的：“数学是由两大类——证明和反例组成。”肯定一个命题必须在题设条件下，对所有可能情况证明推断，而否定一个命题时，只要举一个符合题设条件而结论不成立的例子，即举一个反例即可。例如：“有两边及其中一边所对角对应相等的两个三角形全等”就可以通过举一个反例从而否定原命题。再如：“矩形的对角线相等”的逆命题“对角线相等的四边形是矩形”可以列举“等腰梯形”这个反例加以否定其逆命题。在教学中这样的实例屡见不鲜，能达到事半功倍的奇效。

三、促进学生在学习中灵活应用，在归纳总结中深化逆向思维

分析法和综合法相逆，正是逆向思维的典型体现，它和综合法相反相成，而且为分析问题、解决问题开创了一条成功的证明、判断之路。分析的步骤一般从结论出发，一步一步上溯到题设，这个过程与板书过程完全相反，在平时的教学中，我们应帮助学生学会分析问题，结合教材选准突破口，强化学生逆向思维的训练。在通过大量的训练后引导学生总结，发现彼此间的互逆特征，这样既可加深对所学知识的理解，又能帮助学生把握教材，开拓学生思维空间，激起学生的求知欲。在初中数学中存在很多的互逆关系，如因式分

解和整式乘法在知识结构上互逆、求代数式的值和解方程互逆、几何中“性质定理”和“判定定理”互逆等等。

总之，在教学中要把握好教材，根据学情选准突破口，灵活运用尝试、类比、归纳等方法全面提高学生的素质；当然在逆向思维教学中还应注意学生的层次，首先必须有扎实的基础知识和基本技能为前提，同时拥有丰富的数学思想，才能从多个角度去分析问题、解决问题，才能很好地应用逆向思维去解决问题。

作者单位：江苏沛县魏庙中学