第7章 状态变量控制系统

获取控制系统的状态变量及输出的响应 expm(A)计算给定时间的状态转移矩阵 求得系统的输出响应和状态响应 [y,x]=lsim(A,B,C,D,u,t,x0)
例题
有二阶系统A=[0,-2;1,-3],求当t=0.2时系统的状态转移 矩阵。
>> A=[0,-2;1,-3];dt=0.1;fai=expm(A*dt)
y1 0 0 2 1 y2 8 0 2 2
模型间的转换
– 在一些场合下需要用到某种模型，而在另外一些场合下可能 需要另外的模型，这就需要进行模型的转换。 – 模型转换的函数包括：
ss2tf： ss2zp： tf2ss： zp2ss：
状态空间模型转换为传递函数模型 状态空间模型转换为零极点增益模型 传递函数模型转换为状态空间模型 零极点增益模型转换为状态空间模型
>> a=[0 -2;1 -3]; >> b=[2;0];c=[1 0];d=[0]; >> x0=[1 1]; >> t=[0:0.05:1]; u=0*t; >> [y,x]=lsim(a,b,c,d,u,t,x0)
系统能控性和能观性的判别
线性系统的标准型变换 能控性判断 能观测性判断 不完全能控性分解 不完全能观测分解
不完全能观测分解
当系统不完全能观时，则存在相似变换阵T，使得系统变 换为
A TAT
1
Ao 0
A12 AO
BO B TB BO

C CT

1
[0 C O ]
其中，（AO,CO）为能观测子系统
[ A , B , C , D , T , K ] obsvf ( A , B , C )
状态变量控制系统
2006-12
主要内容
状态空间模型的建立及转换 状态空间模型的分析 系统能控性和能观性的判别 状态反馈控制器的设计
状态空间模型的பைடு நூலகம்立及转换
模型的建立
状态方程与输出方程的组合称为状态空间表达式，又称 为动态方程，经典控制理论用传递函数将输入—输出关 系表达出来，而现代控制理论则用状态方程和输出方程 来表达输入—输出关系，揭示了系统内部状态对系统性 能的影响。
6 4 u 2 0
系统为一个两输入两输出系统 >> A=[1 6 9 10; 3 12 6 8; 4 7 9 11; 5 12 13 14]; >> B=[4 6; 2 4; 2 2; 1 0]; >> C=[0 0 2 1; 8 0 2 2]; >> D=zeros(2,2); >> ss(A,B,C,D)
1

1
C
C
c
,，
c
Tc =ctrb(a,b)
转为能观标准型
设有任意型状态空间系统（A，B，C，D），如果 状态是完全能观测的，必存在线性非奇异变 换 T o ，则可求得能观测标准型系数为 A T AT , B T B , C CT 其中变换阵 T o 可由函 数obsv（）求得： T o =obsv(a,c)
1
2
1
2）[z,p,k]=ss2zp(A,B,C,D,iu) ％iu用来指定第n个输入，当只有一个输入时可忽略 >> [z,p,k]=ss2zp(A,B,C,D) z= -0.4384
-4.5616
p= -1 -1 k=
1
3）已知一个单输入三输出系统的传递函数模型为：
G 11 ( s ) G 31 ( s )
a= x1 x2 x3 x4 x1 1 6 9 10 x2 3 12 6 8 x3 4 7 9 11 x4 5 12 13 14 c=
b= u1 u2
x1 4 6
x2 2 4 x3 2 2 x4 1 0 d= u1 u2 y1 0 0 y2 0 0 Continuous-time model.
x1 x2 x3 x4
n 1
当秩为n时，系统的状态完全能观测，否则 系统状态不完全能观测
V o obsv ( A , C )
rank(Vo)
不完全能控性分解
当系统不完全能控时，则存在相似变换阵T，使得系统变换为
ˆ A TAT
1
AC A 21
0
AC
用法举例： 1）[num,den]=ss2tf(A,B,C,D,iu) ％iu用来指定第n个输入，当只有一个输入时可忽略 1 0 0 已知系统状态空间模型为： x x u
1 2 1 y 1 3 x u
>> A=[0 1; -1 -2]; B=[0;1]; C=[1,3]; D=[1]; >> [num,den]=ss2tf(A,B,C,D) num = 1.0000 5.0000 den = 2.0000
课内练习2
P101 2.7.6 2.7.7 2 1 2
x Ax Bu y Cx Du
在MATLAB中，系统状态空间用（A,B,C,D)矩阵组表示。
举例：
1 3 x 4 5 0 y 8
6 12 7 12 0 0
9 6 9 13 2 2
10 4 8 2 x 2 11 14 1 1 x 2

状态反馈控制器的设计
状态完全可观 基于极点配置设计状态反 馈控制器 状态不可观 须设计状态观测器 基于极点 配置设计状态反馈控制器
极点配置
单变量系统 K=acker(A,b,P)
式中，P为给定的极点，K为状态反馈矩阵
多变量系统 K=place(A,B,P)
状态观测器
在MATLAB中，根据对偶原理，设计问题可以大大简 化，求解过程如下：
A=
-1.0000 0 0
B=
1 1 0 D=
2.0000 -7.0000 -3.1623 0 C= 3.1623 0
0
0 1.8974
0
状态空间模型的分析
x ( t ) exp( At ) x ( 0 )

t
exp[ A ( t )] Bu ( )d
At
0
(t ) e
1 1 O O O O
能控性判断
B ] ,当秩 能控判定矩阵为 为n时，系统的状态完全能控，否则不完 全能控。 U c [ B , AB ,..., A
n 1
U c ctrb ( A , B )
rank(Uc)
能观测性判断
能观测判定矩阵为 V
O
C CA ... CA
y1 ( s ) u(s)

2
2 s 6 s 11 s 6
3 2
G 21 ( s )
s5 s 6 s 11 s 6
3 2
s 2s s 6 s 11 s 6
3 2
>> num=[0 0 -2;0 -1 -5;1 2 0];den=[1 6 11 6]; >> [A,B,C,D]=tf2ss(num,den)
A= -6 -11 -6 1 0 0 1 0 -1 2 0 0
B= 1 0 0
C=
0 0 1 -2 -5 0
D=
0 0 0
4）系统的零极点增益模型： >> z=[-3];p=[-1,-2,-5];k=6; >> [A,B,C,D]=zp2ss(z,p,k)
G (s)
6 ( s 3) ( s 1)( s 2 )( s 5 )
0 ˆ TB B B C ˆ C CT
1
[C C
CC ]
其中，（AC,BC）为能控子系统。
ˆ ˆ ˆ ˆ [ A , B , C , D , T , K ] ctrbf ( A , B , C )
T为相似变换阵，K为长度为N的矢量，其元素为各个块的秩。Sum(K)可以 求得A中能控部分的秩
线性系统的标准型变换
转为对角标准型 转为约当标准型 转为能控标准型 转为能观标准型
转为对角标准型
[v,diag]=eig(A)
其中，v是变换矩阵，diag为求得的对角标准型矩阵。
转为约当标准型
[v,j]=jordan(A)
其中，v是变换矩阵，j为求得的约当标准型矩阵
转为能控标准型
设有任意型状态空间系统（A，B，C，D），如果状 态是完全能控的，必存在线性非奇异变换Tc，则 可求得能控标准型系数为 A T AT B T B 。 , ， ˆ C CT 其中变换阵T 可由函数ctrb（）求得： c
fai =
0.9909 -0.1722 0.0861 0.7326
fai即为t＝0.1秒时的状态转移矩阵
例题
已知系统A=[0 –2;1 –3],b=[2;0];c=[1 0];d=[0],x0=[1 1]，求系统在t在1秒内的状态向量及输出响应。
x = y = 1.0000 0.9048 0.8187 0.7408 0.6703 0.6065 0.5488 0.4966 0.4493 0.4066 0.3679 0.3329 0.3012 0.2725 0.2466 0.2231 0.2019 0.1827 0.1653 0.1496 0.1353 1.0000 0.9048 0.8187 0.7408 0.6703 0.6065 0.5488 0.4966 0.4493 0.4066 0.3679 0.3329 0.3012 0.2725 0.2466 0.2231 0.2019 0.1827 0.1653 0.1496 0.1353 1.0000 0.9048 0.8187 0.7408 0.6703 0.6065 0.5488 0.4966 0.4493 0.4066 0.3679 0.3329 0.3012 0.2725 0.2466 0.2231 0.2019 0.1827 0.1653 0.1496 0.1353
（1） 构造原系统的对偶系统 （2）使用MATLAB的函数place()及acker()，求得状态观测器的反馈 矩阵G
G G
T
ac ker( A , C , P );
T T
T
place ( A , C , P )
T T
P为给定的观测器极点，G 为状态观测器的反馈矩阵；
课内练习1
P102 2.7.6 2.7.7 1 3