排列组合与数列递推关系

例析排列、组合、概率问题中的递推数列

一、a n =p ·a n －1+q 型

【例1】 某种电路开关闭合后，会出现红灯或绿灯闪动，已知开关第一次闭合后，出

现红灯和绿灯的概率都是12，从开关第二次闭合起，若前次出现红灯的概率是1

3

，出现绿灯

的概率是23；若前次出现绿灯，则下次出现红灯的概率是35，出现绿灯的概率是2

5

，记开关

第n 次闭合后出现红灯的概率为P n 。

(1)求：P 2；(2)求证：P n <1

2(n ≥2)；(3)求lim n n P →∞

。

解析：(1)第二次闭合后出现红灯的概率P 2的大小决定于两个互斥事件：即第一次红

灯后第二次又是红灯；第一次绿灯后第二次才是红灯。于是P 2=P 1·13+(1－P 1)·35=7

15

。

(2)受(1)的启发，研究开关第N 次闭合后出现红灯的概率P n ，要考虑第n －1次闭合后出现绿灯的情况，有

P n =P n －1·13+(1－P n －1)·35=－415P n －1+3

5

，

再利用待定系数法：令P n +x =－415(P n －1+x )整理可得x =－9

19

∴{P n －919}为首项为(P 1－919)、公比为(－4

15)的等比数列

P n －919=(P 1－919)(－415)n －1=138(－415)n －1，P n =919+138(－415

)n －

1

∴当n ≥2时，P n <919+138=1

2

(3)由(2)得lim n n P →∞

=9

19。

【例2】 A 、B 两人拿两颗骰子做抛掷游戏，规则如下:若掷出的点数之和为3的倍数时，则由原掷骰子的人继续掷；若掷出的点数不是3的倍数时，由对方接着掷.第一次由A 开始掷.设第n 次由A 掷的概率为P n ，

(1)求P n ；⑵求前4次抛掷中甲恰好掷3次的概率. 解析：第n 次由A 掷有两种情况：

① 第n －1次由A 掷，第n 次继续由A 掷，此时概率为12

36P n －1；

② 第n －1次由B 掷，第n 次由A 掷，此时概率为(1－12

36

)(1－P n －1)。

∵两种情形是互斥的

∴P n =1236P n －1+(1－1236)(1－P n －1)(n ≥2)，即P n =－13P n －1+2

3(n ≥2)

∴P n －12=－13(P n －1－1

2)，(n ≥2)，又P 1=1

∴{P n －12}是以12为首项，－1

3为公比的等比数列。

∴P n －12=12(－13)n －1，即P n =12+12(－13)n －

1。

⑵2881

。 二、a n +1=p ·a n +f (n )型

【例3】 (传球问题)A 、B 、C 、D 4人互相传球，由A 开始发球，并作为第一次传球，经过5次传球后，球仍回到A 手中，则不同的传球方式有多少种？若有n 个人相互传球k 次后又回到发球人A 手中的不同传球方式有多少种？

分析：这类问题人数、次数较少时常用树形图法求解，直观形象，但若人数、次数较多时树形图法则力不从心，而建立递推数列模型则可深入问题本质。

4人传球时，传球k 次共有3k 种传法。设第k 次将球传给A 的方法数共有a k (k ∈N *)种传法，则不传给A 的有3k －a k 种，故a 1=0，且不传给A 的下次均可传给A ，即

a k +1=3k －a k 。两边同除以3k +1得a k +13k +1=－13·a k 3k +1

3

，

令b k =a k 3k ，则b 1=0，b k +1－14=－13(b k －14)，则b k －14=－14(－13)k －

1

∴a k =3k 4+3

4

(－1)k

当k =5时，a 5=60.

当人数为n 时，分别用n －1，n 取代3，4时，可得a k =(n －1)k n +n －1

n

(－1)k 。

【例4】 (环形区域染色问题)将一个圆环分成n (n ∈N *，n ≥3)个区

域，用m (m ≥3)种颜色给这n 个区域染色，要求相邻区域不使用同一种

颜色，但同一颜色可重复使用，则不同的染色方案有多少种？

分析：设a n 表示n 个区域染色的方案数，则1区有m 种染法，2区有m －1种染法，3，……，n －1，n 区各有m －1种染色方法，依乘法

原理共有m (m －1)n －

1种染法，但是，这些染中包含了n 区可能和1区染

上相同的颜色。而n 区与1区相同时，就是n －1个区域涂上m 种颜色合乎条件的方法。

∴a n =m (m －1)n －

1－a n －1，且a 3=m (m －1)(m －2)

a n －(m －1)n =－[a n －1－(m －1)n －

1]

a n －(m －1)n =[a 3－(m －1)3](－1)n －

3 ∴a n =(m －1)n +(m －1)(－1)n (n ≥3) 用这个结论解：2003年高考江苏卷：某城市在中心广场建一个花圃，花圃分为6个部分如图，现要栽种4种不同颜色的花且相

邻部分不能同色，由不同的栽种方法有 种。

只需将图变形为圆环形，1区有4种栽法。不同的栽法数为 N =4a 5=120。

三、a n +1=a n ·f (n )型

【例5】 (结草成环问题)现有n (n ∈N *)根草，共有2n 个草头，现将2n 个草头平均分成n 组，每两个草头打结，求打结后所有草能构成一个圆环的打结方法数。

分析：将2n 个草头平均分成n 组，每两个草头打结，要

使其恰好构成圆环，不同的连接方法总数m 2=a n 。

将草头编号为1，2，3，……，2n －1，2n 。 草头1可以和新草头3，4，5，……，2n －1，2n 共2n

－2个新草头相连，如右图所示。 假设1和3相连，则与余下共n －1条相连能成圆环的方法数为a n －1。

∴a n =(2n －2)a n －1，(n ≥2，n ∈N *)，a 1=1，得a n

a n －1

=2n －2

1

2

3

n n -1 (1)

2

3 4

5 6 1

2 3 4 5

6

3 4

……

1

6 2n -1

2n