同济高等数学下册第八章知识点精讲

由勾股定理得
对两点
与
因
得两点间的距离公式:
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的三角形是等腰三角形 . 证:
为顶点
即
为等腰三角形 .
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及 离的点 .
解: 设该点为
解得
故所求点为
等距
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设有两非零向量 任取空间一点 O ,
称 =∠AOB (0≤ ≤ ) 为向量
若向量 a 与 b大小相等, 方向相同, 则称 a 与 b 相等, 记作 a＝b ;
若向量 a 与 b 方向相同或相反, 则称 a 与 b 平行,记作 a∥b ; 规定: 零向量与任何向量平行 ;
与 a 的模相同, 但方向相反的向量称为 a 的负向量, 记作－a ;
因平行向量可平移到同一直线上, 故两向量平行又称 两向量共线 .
向径 OA 与 x 轴 y 轴的夹 求点 A 的坐标 . 则
因点 A 在第一卦限 , 故
于是
故点 A 的坐标为
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第八章
数量积 向量积 *混合积
一、两向量的数量积 二、两向量的向量积 *三、向量的混合积
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引例. 设一物体在常力 F 作用下, 沿与力夹角为 的直线移动, 位移为 s , 则力F 所做的功为
特别有:
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解: 直线 的方向向量为 直线 的方向向量为
二直线夹角 的余弦为
从而
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当直线与平面不垂直时, 直线和它在平面上的投影直
线所夹锐角 称为直线与平面间的夹角;
当直线与平面垂直时,规定其夹角
设直线 L 的方向向量为
平面 的法向量为
解: 2×① －3×② , 得 代入②得
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在AB直线上求一点 M , 使 解: 设 M 的坐标为
及实数 如图所示
代入坐标有
即
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得定比分点பைடு நூலகம்式:
中点公式:
点 M 为 AB 的中点 ,于是得
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1. 向量的模与两点间的距离公式 则有
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向量: 既有大小, 又有方向的量称为向量 (又称矢量).
表示法: 有向线段 M1 M2 , 或 a ,
向量的模 : 向量的大小, 向径 (矢径): 起点为原点的向量. 自由向量: 与起点无关的向量. 单位向量: 模为 1 的向量, 零向量: 模为 0 的向量,
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显然在此平面上的点的坐标都满足此方程, 不在此平面上的点的坐标不满足此方程.
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如果曲面 S 与方程 F( x, y, z ) = 0 有下述关系: (1) 曲面 S 上的任意点的坐标都满足此方程; (2) 不在曲面 S 上的点的坐标不满足此方程, 则 F( x, y, z ) = 0 叫做曲面 S 的方程, 曲面 S 叫做方程 F( x, y, z ) = 0 的图形. 两个基本问题 : (1) 已知一曲面作为点的几何轨迹时,
• 坐标轴
Ⅳ
• 坐标面
Ⅰ
• 卦限(八个) Ⅶ
y轴(纵轴)
x轴(横轴) Ⅷ
Ⅵ Ⅴ
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点M
有序数组
向径
(称为点 M 的坐标) 特殊点的坐标 :
原点 O(0,0,0) ; 坐标轴上的点 P, Q , R ;
坐标面上的点 A , B , C
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坐标轴 :
“ ” 已知 b＝ a , 则 b＝0
a , b 同向
a∥b
a , b 反向
例1. 设 M 为 ABCD 对角线的交点,
解:
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1. 空间直角坐标系的基本概念
过空间一定点 o ,由三条互相垂直的数轴按右手规则
组成一个空间直角坐标系.
• 坐标原点
Ⅲ
z 轴(竖轴) Ⅱ
利用点法式得平面 的方程
即
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时, 平面方程为 此式称为平面的截距式方程.
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设有三元一次方程 任取一组满足上述方程的数
② 则
以上两式相减 , 得平面的点法式方程
显然方程②与此点法式方程等价,因此方程②的图形是
法向量为
的平面, 此方程称为平面的一般
坐标面 :
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在空间直角坐标系下, 任意向量 r 可用向径 OM 表示.
设点 M
的坐标为
则
此式称为向量 r 的坐标分解式 , 沿三个坐标轴方向的分向量.
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设
则
平行向量对应坐标成比例:
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求解以向量为未知元的线性方程组 ① ②
已知直线上一点
和它的方向向量
设直线上的动点为
则
故有
此式称为直线的对称式方程(也称为点向式方程)
说明: 某些分母为零时, 其分子也理解为零.
例如, 当
直线方程为
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由 得参数式方程 :
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解:先在直线上找一点.
令 x = 1, 解方程组
求曲面方程. (2) 已知方程时 , 研究它所表示的几何形状
( 必要时需作图 ).
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设一平面通过已知点
量
求该平面的方程.
则有
且垂直于非零向
故
称①式为平面的点法式方程,
① 法向量.
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的平面 的方程. 解: 取该平面 的法向量为
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两平面法向量的夹角(常指锐角)称为两平面的夹角. 设平面∏1的法向量为
平面∏2的法向量为
则两平面夹角 的余弦为
即
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和 垂直于平面∏: x + y + z = 0, 求其方程 .
解: 设所求平面的法向量为 方程为
为) .
解: 为单位向量
单位时间内流过的体积
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引例. 设O 为杠杆L 的支点 , 有一个与杠杆夹角为 的力 F 作用在杠杆的 P点上 , 则力 F 作用在杠杆上的力 矩是一个向量 M :
符合右手规则
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向量
定义 方向 : 且符合右手规则 模:
而 故有
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平面及其方程
一、平面的点法式方程 二、平面的一般方程 三、两平面的夹角
第八章
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引例: 求到两定点A(1,2,3) 和B(2,-1,4)等距离的点的
轨迹方程.
解:设轨迹上的动点为
即
化简得 说明: 动点轨迹为线段 AB 的垂直平分面.
求三
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导出刚体上
一点 M 的线速度 的表示式 .
解: 在轴 l 上引进一个角速度向量 使
其
方向与旋转方向符合右手法则 , 在 l 上任取一点 O, 作
向径
它与 的夹角为 , 则
点 M离开转轴的距离
且
符合右手法则
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1. 定义 已知三向量
• 当 A = 0 时, B y + C z + D = 0表示平行于x轴；
• A x+C z+D = 0 表示 平行于 y 轴的平面; • A x+B y+D = 0 表示 平行于 z 轴的平面;
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解: 因平面通过 x 轴 , 设所求平面方程为
代入已知点
得
化简,得所求平面方程
称
向量积 , 记作
(叉积)
引例中的力矩
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为非零向量, 则 证明:
3. 运算律
(2) 分配律 (3) 结合律
∥ ∥
(证明略)
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设
则
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角形 ABC 的面积 解: 如图所示,
的法向量
且
则所求平面
即
故
因此有
约去C , 得 即
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是平面 外一点,求 到平面的距离d .
解:设平面法向量为 ,则P0 到平面的距离为
在平面上取一点
(点到平面的距离公式)
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1.平面基本方程: 一般式 点法式 截距式
三点式
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2.平面与平面之间的关系 平面 平面 垂直: 平行:
夹角公式:
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第八章
空间直线及其方程
一、空间直线方程 二、线面间的位置关系
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1. 一般式方程 直线可视为两平面交线，因此其一般式方程
(不唯一)
1 2
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总之:
运算律 : 结合律 分配律
可见
因此
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设 a 为非零向量 , 则
a∥b
( 为唯一实数)
证: “ ”. 设 a∥b , 取 ＝±
, a , b 同向时
取正号, 反向时取负号, 则 b 与 a 同向, 且
再证数 的唯一性 . 设又有 b＝ a , 则
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1. 定义 设向量
的夹角为 , 称
记作
数量积 (点积) .
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记作
故
2. 性质
为两个非零向量, 则有
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(1) 交换律 (2) 结合律
(3) 分配律 事实上, 当
时, 显然成立 ;
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证: 如图 . 设 则
,得
是直线上一点 . 再求直线的方向向量 交已知直线的两平面的法向量为
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故所给直线的对称式方程为 参数式方程为
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1. 两直线的夹角
两直线的夹角指其方向向量间的夹角(通常取锐角)
设直线
的方向向量分别为
则两直线夹角 满足
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若 k (≥3)个向量经平移可移到同一平面上 , 则称此 k 个向量共面 .
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1. 向量的加法 平行四边形法则:
三角形法则:
运算规律 : 交换律 结合律
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三角不等式
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是一个数 , 与 a 的乘积是一个新向量, 记作 规定 :
的夹角.
记作
类似可定义向量与轴, 轴与轴的夹角 .
与三坐标轴的夹角 , ,
为其方向角. 方向角的余弦称为其方向余弦.
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方向余弦的性质:
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和 的模 、方向余弦和方向角 . 解:
计算向量
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角依次为 解: 已知
空间解析几何与向量代数
第一部分 向量代数 第二部分 空间解析几何
在三维空间中: 空间形式 — 点, 线, 面
数量关系 — 坐标, 方程（组） 基本方法 — 坐标法; 向量法
第八章
向量及其线性运算
一、向量的概念 二、向量的线性运算 三、空间直角坐标系 四、利用坐标作向量的线性运算 五、向量的模、方向角、投影
记作
称数量
混合积 . 几何意义
为棱作平行六面体, 则其
底面积
高
故平行六面体体积为
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设
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(1) 三个非零向量
共面的充要条件是
(2) 轮换对称性 :
(可用三阶行列式推出)
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共面 . 解: 因
故 A , B , C , D 四点共面 .
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设
则
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5.两向量的夹角公式
当 为非零向量时, 由于
,得
AMB . 解: 则
故
求
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的流体流过一个面积为 A 的平 面域 , 且 与该平面域的单位垂直向量 的夹角为 求单位时间内流过该平面域的流体的质量P (流体密度
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设 1. 向量运算
加减: 数乘: 点积:
叉积:
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2. 向量关系:
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1. 已知向量
的夹角
且
解：
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在顶点为 三角形中, 求 AC 边上的高 BD .
解：
三角形 ABC 的面积为
方程.
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• 当 D = 0 时, A x + B y + C z = 0 表示 通过原点的平面; • C z + D = 0 表示平行于 xoy 面 的平面; • A x + D =0 表示平行于 yoz 面 的平面； • B y + D =0 表示平行于 zox 面 的平面.