切比雪夫多项式 [Chebyshev polynomial]
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类似地， Un 的n个根分别是：
参看
◾ 切比雪夫节点 ◾ 切比雪夫滤波器
参考
◾ M. Abramowitz and I. A. Stegun, eds. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, Chapter 22. New York: Dover, 1972.
定义
第一类切比雪夫多项式由以下递推关系确定
也可以用母函数表示 第二类切比雪夫多项式由以下递推关系给出
此时母函数为
从三角函数定义
第一类切比雪夫多项式由以下三角恒等式确定
其中 n = 0, 1, 2, 3, .... .
是关于
的 n次多项式，这个事实可以这么看：
是:
的实部（参见棣莫弗公式），而
从左边二项展开式可以看出实部中出现含 的项中， 都是偶数次的，从而可以表
其正交化后形成的随机变量是 Wigner 半圆分布).
基本性质
对每个非负整数 ，和 Nhomakorabea都为 次多项式。 并且当 为偶（奇）数时，它们
是关于 的偶（奇）函数， 在写成关于 的多项式时只有偶（奇）次项。
时， 的最高次项系数为
，
时系数为 。
最小零偏差
对
，在所有最高次项系数为1的 次多项式中 ，
对零的偏差最
小，即它是使得 在
在微分方程的研究中，切比雪夫提出切比雪夫微分方程
和
相应地，第一类和第二类切比雪夫多项式分别为这两个方程的解。 这些方程是斯图姆刘维尔微分方程的特殊情形.
目录
◾ 1 定义 ◾ 2 从三角函数定义 ◾ 3 以佩尔方程定义 ◾ 4 递归公式 ◾ 5 正交性 ◾ 6 基本性质 ◾ 7 最小零偏差 ◾ 8 两类切比雪夫多项式间的关系 ◾ 9 例子 ◾ 10 按切比雪夫多项式的展开式 ◾ 11 切比雪夫根 ◾ 12 参看 ◾ 13 参考
上绝对值的最大值最小的多项式。 其绝对值的最大值为
， 分别在 、 及 的其他
个极值点上达到 。
两类切比雪夫多项式间的关系
两类切比雪夫多项式间还有如下关系：
切比雪夫多项式是超球多项式或盖根堡多项式的特例, 后者是雅可比多项式的特例. 切比雪夫多项式导数形式的递推关系可以由下面的关系式推出：
例子
前几个第一类切比雪夫多项式是
递归公式
两类切比雪夫多项式可由以下双重递归关系式中直接得出:
证明的方式是在下列三角关系式中用 代替
正交性
Tn 和Un 都是区间[−1,1] 上的正交多项式系. 第一类切比雪夫多项式带权
即:
可先令x= cos(θ) 利用 Tn (cos(θ))=cos(nθ)便可证明.
类似地，第二类切比雪夫多项式带权 即:
示成
的幂 。
用显式来表示
尽管能经常碰到上面的表达式，但如果借助于复函数cos(z), cosh(z)以及他们的反函数， 则有
类似，第二类切比雪夫多项式满足
以佩尔方程定义
切比雪夫多项式可被定义为佩尔方程 在多项式环R[x] 上的解(e.g., 见 Demeyer (2007) (http://cage.ugent.be/~jdemeyer/phd.pdf), p.70). 因此它们的表达式可通过解佩尔方程而得出:
前几个第二类切比雪夫多项式是
前六个第一类切比雪夫多项 式的图像，其中-1¼<x<1¼, -1¼<y<1¼; 按颜色依次是 T0, T1, T2, T3, T4 T5.
第一类切比雪夫多项式前几阶导数是
前六个第二类切比雪夫多项
式的图像，其中-1¼<x<1¼, -1¼<y<1¼; 按颜色依次是 U0, U1, U2, U3, U4 U5. 虽然图 像中无法显示,我们实际有 Un(1)=n+1 以及 Un(-1)= (n+1)(-1)n.
按切比雪夫多项式的展开式
一个N 次多项式按切比雪夫多项式的展开式为如下：
多项式按切比雪夫多项式的展开可以用 Clenshaw递推公式计算。
切比雪夫根
两类的n次切比雪夫多项式在区间[−1,1]上都有n 个不同的根, 称为切比雪夫根, 有时亦称 做 切比雪夫节点 ，因为是多项式插值时的 插值点 . 从三角形式中可看出Tn 的n个根分 别是：
取自“/w/index.php?title=切比雪夫多项式&oldid=28651651”
◾ 本页面最后修订于2013年9月18日 (星期三) 08:33。
◾ 本站的全部文字在知识共享 署名-相同方式共享 3.0协议之条款下提供，附加条款亦可能应用。 （请参阅使用条款）
切比雪夫多项式
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切比雪夫多项式是与棣莫弗定理有关，以递归方式定义的一系列正交多项式序列。 通 常，第一类切比雪夫多项式以符号Tn表示， 第二类切比雪夫多项式用Un表示。切比雪 夫多项式 Tn 或 Un 代表 n 阶多项式。
切比雪夫多项式在逼近理论中有重要的应用。这是因为第一类切比雪夫多项式的根（被 称为切比雪夫节点）可以用于多项式插值。相应的插值多项式能最大限度地降低龙格现 象，并且提供多项式在连续函数的最佳一致逼近。
类似地， Un 的n个根分别是：
参看
◾ 切比雪夫节点 ◾ 切比雪夫滤波器
参考
◾ M. Abramowitz and I. A. Stegun, eds. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, Chapter 22. New York: Dover, 1972.
定义
第一类切比雪夫多项式由以下递推关系确定
也可以用母函数表示 第二类切比雪夫多项式由以下递推关系给出
此时母函数为
从三角函数定义
第一类切比雪夫多项式由以下三角恒等式确定
其中 n = 0, 1, 2, 3, .... .
是关于
的 n次多项式，这个事实可以这么看：
是:
的实部（参见棣莫弗公式），而
从左边二项展开式可以看出实部中出现含 的项中， 都是偶数次的，从而可以表
其正交化后形成的随机变量是 Wigner 半圆分布).
基本性质
对每个非负整数 ，和 Nhomakorabea都为 次多项式。 并且当 为偶（奇）数时，它们
是关于 的偶（奇）函数， 在写成关于 的多项式时只有偶（奇）次项。
时， 的最高次项系数为
，
时系数为 。
最小零偏差
对
，在所有最高次项系数为1的 次多项式中 ，
对零的偏差最
小，即它是使得 在
在微分方程的研究中，切比雪夫提出切比雪夫微分方程
和
相应地，第一类和第二类切比雪夫多项式分别为这两个方程的解。 这些方程是斯图姆刘维尔微分方程的特殊情形.
目录
◾ 1 定义 ◾ 2 从三角函数定义 ◾ 3 以佩尔方程定义 ◾ 4 递归公式 ◾ 5 正交性 ◾ 6 基本性质 ◾ 7 最小零偏差 ◾ 8 两类切比雪夫多项式间的关系 ◾ 9 例子 ◾ 10 按切比雪夫多项式的展开式 ◾ 11 切比雪夫根 ◾ 12 参看 ◾ 13 参考
上绝对值的最大值最小的多项式。 其绝对值的最大值为
， 分别在 、 及 的其他
个极值点上达到 。
两类切比雪夫多项式间的关系
两类切比雪夫多项式间还有如下关系：
切比雪夫多项式是超球多项式或盖根堡多项式的特例, 后者是雅可比多项式的特例. 切比雪夫多项式导数形式的递推关系可以由下面的关系式推出：
例子
前几个第一类切比雪夫多项式是
递归公式
两类切比雪夫多项式可由以下双重递归关系式中直接得出:
证明的方式是在下列三角关系式中用 代替
正交性
Tn 和Un 都是区间[−1,1] 上的正交多项式系. 第一类切比雪夫多项式带权
即:
可先令x= cos(θ) 利用 Tn (cos(θ))=cos(nθ)便可证明.
类似地，第二类切比雪夫多项式带权 即:
示成
的幂 。
用显式来表示
尽管能经常碰到上面的表达式，但如果借助于复函数cos(z), cosh(z)以及他们的反函数， 则有
类似，第二类切比雪夫多项式满足
以佩尔方程定义
切比雪夫多项式可被定义为佩尔方程 在多项式环R[x] 上的解(e.g., 见 Demeyer (2007) (http://cage.ugent.be/~jdemeyer/phd.pdf), p.70). 因此它们的表达式可通过解佩尔方程而得出:
前几个第二类切比雪夫多项式是
前六个第一类切比雪夫多项 式的图像，其中-1¼<x<1¼, -1¼<y<1¼; 按颜色依次是 T0, T1, T2, T3, T4 T5.
第一类切比雪夫多项式前几阶导数是
前六个第二类切比雪夫多项
式的图像，其中-1¼<x<1¼, -1¼<y<1¼; 按颜色依次是 U0, U1, U2, U3, U4 U5. 虽然图 像中无法显示,我们实际有 Un(1)=n+1 以及 Un(-1)= (n+1)(-1)n.
按切比雪夫多项式的展开式
一个N 次多项式按切比雪夫多项式的展开式为如下：
多项式按切比雪夫多项式的展开可以用 Clenshaw递推公式计算。
切比雪夫根
两类的n次切比雪夫多项式在区间[−1,1]上都有n 个不同的根, 称为切比雪夫根, 有时亦称 做 切比雪夫节点 ，因为是多项式插值时的 插值点 . 从三角形式中可看出Tn 的n个根分 别是：
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切比雪夫多项式
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切比雪夫多项式是与棣莫弗定理有关，以递归方式定义的一系列正交多项式序列。 通 常，第一类切比雪夫多项式以符号Tn表示， 第二类切比雪夫多项式用Un表示。切比雪 夫多项式 Tn 或 Un 代表 n 阶多项式。
切比雪夫多项式在逼近理论中有重要的应用。这是因为第一类切比雪夫多项式的根（被 称为切比雪夫节点）可以用于多项式插值。相应的插值多项式能最大限度地降低龙格现 象，并且提供多项式在连续函数的最佳一致逼近。