用向量法解代数问题
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题 的关 键 在 于 观 察 问 题 的 结 构 ，挖 掘 代 数 结 构 的 向量 模 型 ， 把 原 有 问题 转 化 为 向量 问 题 ，再 借 助 向量 有 关 知 识 解 决 问
题 。以 下 简 要 分 析 向 量 法 在 几 个 方 面 的 应 用 ：
一
注： 虽然证 明不等式 的方法很多 ， 但某些 含有乘方之 和
注： ｔ ｌ一 ａ 函≤ｌ±， ｌ＋ 在求距离之和（ ） ａ ｆ－ ａ ｌ ｌ ＜ 差 的最值， 不
等 式 证 明 中 很 有 用 ， 应 注 意 等 号 成 立 的条 件 。 外 ， 但 另 在构 造 向量 求 最 值 时 ， 定 要 调 整 好 向 量 中坐 标 的 符 号 ， 证 在 运 一 保 算时只保留常数。 ２ 求 函数 ｖ ５／ Ｚ ＋ ｃ 的 最 大 值 。 ． ＝ ｘＴ １ 、 ｉ 二
Ｉｌ ｌ 、 丽 ≥ 一 ２２２｝ ＞ ｎ， ／ ￣ ＋ 有３ ＋ ｍ ｐ ， ＋＋≥ 。 得ａｂＣ
６ 设 ａｂ为 不 等 的 正 数 ， 证 （４ｂ）ａ ｂ）（３ｂ） ． ， 求 ａ （２ ＞ ａ 。 ＋ ＋ ＋
证 明 ： 造 向量 ｍ （２ｂ）ｎ （， ）则 （ ｈ） （ ｎ 构 ￣ ａ， ，＝ ａｂ ， ａ＋ ｍ・ ）≤ ＝
证 明 ： 造 向量 ｍ＝ ａ ｂ Ｃ ，＝ ｂ ｃ ａ ，： ｃａｂ 。 构 （ ， ， ）ｎ （ ， ，）ｐ （ ，， ） 贝 ｍ ｎ ｐ （＋ ＋ ，＋ ＋ ，＋＋ ） （ ，， ）于 是 由 Ｉ ＋ｎ＋ ４ ＋ ＋ ＝ ａ ｂ ｃｂ ｃ ａ ｃ ａｂ ： １ １１ ， ｍｌ ｌｌ ｌ ｐ
证 明 ： 造 向 量 ｍ （ ， ） ｎ （ ， ） 由 Ｉ ＋ｎ≥１ ＋ Ｉ 构 ＝ ａ ｂ ， ＝ ｃ ｄ ， ｍｌｌ ｍ ｎ ， ｌ 得
、 ａ＋ ＋Ｎ ｃ＋ ≥ 、 （＋ ） （＋ ） ／ ｈ ／Ｔｄ ／ ａ ｃ ｈ ｄ 。 ＋
完美结合 ，尤其是在解决代数问题时具有独到的优势 ， 解
ａ ｂ＋ｃ ＋ ５ ＋ｙ ＋ｚ 一— 。 ６ — ｘ
一
注 ： 造 向量 时 ， 所 有 条件 联 系起 来 是 难 点 。 构 将
或 乘 方 之 积 的不 等 式 ， 用 向 量证 明效 果 更 显 著 。本 题 条 件 应 ａｂ ｃ ｄ均 为 正 数 改 为 实 数 所 证 不 等式 也 成 立 。利 用 Ｉ ＋ｎ 、 、、 ｍｌｌ
、
求最 值
Ｉ ｍ±ｎ 还 可 以推 出＂ ａ１ ２ ￣＋ ＋ ／ ｈ２…＋ ２ ≥Ｉ ｌ ￣ ２ ａ２ ・ ａ 、 ｂ１ ／ ＋ ＋ ・ ＋ ＋ ｂｎ≥
、 ／
） ，因为 云≤ ．， Ｉ ｉ ，所以 ５ ￣ Ｔ＋ ＇ － ≤ ｆ ｉ Ｖ － Ｖ１ ｘ ０
ｘ Ｕ￣ ／－
，
三、 求值 ７设 ａｂ Ｃｄ Ｘ Ｙ ． ， ，， ， ，∈Ｒ， ａ ｂ＋２２ ， ｙ ｚ ３ ， ＋ ｙ 且 ２ ｃ ５ ｘ 。 ６ ａ ｂ ＋ ＝ ＋＝ ｘ
：
（４ ａ ｂ ， ａ ｂ） ％ ２ 因为 ａｂ为不相等的正数， ≠ ＋ （ ｊ ， 所以
解 ： 数 的 定 义 域 为 【，０， ａ （，）ｂ 、 ｘ １ ， 函 １ ｌ］设 ＝５ １， ＝（ ／ 一
ｎ． ０≠０， ， 以 （ ４ｂ ） ａ＋ ＞ ａ＋ 即 所 ａ＋ （ ２ｈ ） （ ｈ）。
、 ／
≥、 － １ ／ ｂ
＿ ｈ
。
。
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５ 若 ａ ｈ ｃ １求 证 ：２ｂ ｅ≥ １ ． ＋＋： ， ａ＋ ２ ２ ＋
Ｉｌｌ ＋ｂ， 所以 ２ ／ －≤ｙ 即 ｙ Ｘ ｘ ｘ一 、 ｘ．ｘ ２的最小 值 Ｘ＇一 ， ＝ ／￣２＋ ２ ２＋ ／ ２２ ＋ ＿
为 ２／ 。 、
，
立的条件为两向量的夹角为 ０ 。 。
３ 已知 ４ ＋ ｙ ６＝ ２ 求 ｘ＋ ｚ的最小值 。 ． ｘ ３＋ ｚ １ ， ｙ ＋
解 ： ａ （ ，， ） ｂ （ ，，） 则 由 ｌ ｂ ≤Ｉ １ＩＩ得 设 ＝ ４ ３ ６ ， ＝ Ｘ Ｙｚ ， ａ・ ｌ ａ ． ， ｂ
ｌ ＋ｙ６ｌ ４ ３ ＋ ≤ ｘ ｚ ＋２ ・ ３＿ ２ ＋ ，所 以 ｘ＋ ２ ｚ≥ ２ｙ ２ ＋ ，
一３ ＝
，当 且 仅 当 ５ 仃 、
＝ ／０ｘ ， 、 ｌ－
即 ｘ ５ ∈【 ｌ］￣ 等号 ， 函数 ｙ ５ ／二 ＝３ １ ｏＨ 取 故 ＝ 、 ｒ＋ ／ｂ Ｘ 的 ＼ ｉ￣ －
，ｎ
＋ｚ ３ 。 求 型 ： 的值 。 ｃ： ０ 旦 ±
ｘ ＋ｚ ＋ｙ
最大值为 ３ ／ 、
＿ ＿、 ｘ＿ ＋ ／２ 丽 的最小值 。
，
１求 函数 ｖ 、 ． ＿
、 ／
． ． ．
＋
解： 函数 的定义域为 Ｒ。 函数可化为 ｙ 、 （＋ ） １ 原 ＝ ／ ｘ １２ ２＋ ＋
、 二 ＿ ＿ 。 ａ （＋ ， ）ｂ （— ， １ ， 为 ｌ ｂ≤ｌ ／ Ｔ （１ ＝ 设 ： ｘ １ １ ，＝ ｘ ｌ一 ）因 ａ ｌ ａ —
解 ： 造 ｍ＝ ５ ，ｙ ５ ）ｎ （ａ６ ，ｃ ， 已 知 条 件 化 为 构 （ｘ ５ ，ｚ ，＝ ６ ，ｂ ６ ） 则
注： 云≤Ｉ ｌ
也常用来求最值 ， 证明不等式， 等号成
～ 一
２ ＝ ｎ 即 （ 一 ）－ ， 是 ａ ｘ ｂ ｙ ｃ ｚ 所 以 ＋ ２２ ｍ— ， ｎ ＣＯ 于 － ：５ ＝ ，： ，
２ｌ ０ ０年 第 ｌ 期 １
总第 １２｝ ９ ＿ ｝ ｝ ｊ
经典 案例
用 向量法解 代数 问题
宋 文 铭
（ 营 市 胜 利 第 二 中学 ， 东 东 山 东营 ２７５ ） ５ ０ １
向量 是 一 种 工 具 ，它 与 其 它 数 学 分 支 的 联 系 十 分 密 切 ， 应 用 非 常 广 泛 。 兼 具 代 数 和 几 何 的 两 重 性 ， 代 数 和 几何 的 是
题 。以 下 简 要 分 析 向 量 法 在 几 个 方 面 的 应 用 ：
一
注： 虽然证 明不等式 的方法很多 ， 但某些 含有乘方之 和
注： ｔ ｌ一 ａ 函≤ｌ±， ｌ＋ 在求距离之和（ ） ａ ｆ－ ａ ｌ ｌ ＜ 差 的最值， 不
等 式 证 明 中 很 有 用 ， 应 注 意 等 号 成 立 的条 件 。 外 ， 但 另 在构 造 向量 求 最 值 时 ， 定 要 调 整 好 向 量 中坐 标 的 符 号 ， 证 在 运 一 保 算时只保留常数。 ２ 求 函数 ｖ ５／ Ｚ ＋ ｃ 的 最 大 值 。 ． ＝ ｘＴ １ 、 ｉ 二
Ｉｌ ｌ 、 丽 ≥ 一 ２２２｝ ＞ ｎ， ／ ￣ ＋ 有３ ＋ ｍ ｐ ， ＋＋≥ 。 得ａｂＣ
６ 设 ａｂ为 不 等 的 正 数 ， 证 （４ｂ）ａ ｂ）（３ｂ） ． ， 求 ａ （２ ＞ ａ 。 ＋ ＋ ＋
证 明 ： 造 向量 ｍ （２ｂ）ｎ （， ）则 （ ｈ） （ ｎ 构 ￣ ａ， ，＝ ａｂ ， ａ＋ ｍ・ ）≤ ＝
证 明 ： 造 向量 ｍ＝ ａ ｂ Ｃ ，＝ ｂ ｃ ａ ，： ｃａｂ 。 构 （ ， ， ）ｎ （ ， ，）ｐ （ ，， ） 贝 ｍ ｎ ｐ （＋ ＋ ，＋ ＋ ，＋＋ ） （ ，， ）于 是 由 Ｉ ＋ｎ＋ ４ ＋ ＋ ＝ ａ ｂ ｃｂ ｃ ａ ｃ ａｂ ： １ １１ ， ｍｌ ｌｌ ｌ ｐ
证 明 ： 造 向 量 ｍ （ ， ） ｎ （ ， ） 由 Ｉ ＋ｎ≥１ ＋ Ｉ 构 ＝ ａ ｂ ， ＝ ｃ ｄ ， ｍｌｌ ｍ ｎ ， ｌ 得
、 ａ＋ ＋Ｎ ｃ＋ ≥ 、 （＋ ） （＋ ） ／ ｈ ／Ｔｄ ／ ａ ｃ ｈ ｄ 。 ＋
完美结合 ，尤其是在解决代数问题时具有独到的优势 ， 解
ａ ｂ＋ｃ ＋ ５ ＋ｙ ＋ｚ 一— 。 ６ — ｘ
一
注 ： 造 向量 时 ， 所 有 条件 联 系起 来 是 难 点 。 构 将
或 乘 方 之 积 的不 等 式 ， 用 向 量证 明效 果 更 显 著 。本 题 条 件 应 ａｂ ｃ ｄ均 为 正 数 改 为 实 数 所 证 不 等式 也 成 立 。利 用 Ｉ ＋ｎ 、 、、 ｍｌｌ
、
求最 值
Ｉ ｍ±ｎ 还 可 以推 出＂ ａ１ ２ ￣＋ ＋ ／ ｈ２…＋ ２ ≥Ｉ ｌ ￣ ２ ａ２ ・ ａ 、 ｂ１ ／ ＋ ＋ ・ ＋ ＋ ｂｎ≥
、 ／
） ，因为 云≤ ．， Ｉ ｉ ，所以 ５ ￣ Ｔ＋ ＇ － ≤ ｆ ｉ Ｖ － Ｖ１ ｘ ０
ｘ Ｕ￣ ／－
，
三、 求值 ７设 ａｂ Ｃｄ Ｘ Ｙ ． ， ，， ， ，∈Ｒ， ａ ｂ＋２２ ， ｙ ｚ ３ ， ＋ ｙ 且 ２ ｃ ５ ｘ 。 ６ ａ ｂ ＋ ＝ ＋＝ ｘ
：
（４ ａ ｂ ， ａ ｂ） ％ ２ 因为 ａｂ为不相等的正数， ≠ ＋ （ ｊ ， 所以
解 ： 数 的 定 义 域 为 【，０， ａ （，）ｂ 、 ｘ １ ， 函 １ ｌ］设 ＝５ １， ＝（ ／ 一
ｎ． ０≠０， ， 以 （ ４ｂ ） ａ＋ ＞ ａ＋ 即 所 ａ＋ （ ２ｈ ） （ ｈ）。
、 ／
≥、 － １ ／ ｂ
＿ ｈ
。
。
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５ 若 ａ ｈ ｃ １求 证 ：２ｂ ｅ≥ １ ． ＋＋： ， ａ＋ ２ ２ ＋
Ｉｌｌ ＋ｂ， 所以 ２ ／ －≤ｙ 即 ｙ Ｘ ｘ ｘ一 、 ｘ．ｘ ２的最小 值 Ｘ＇一 ， ＝ ／￣２＋ ２ ２＋ ／ ２２ ＋ ＿
为 ２／ 。 、
，
立的条件为两向量的夹角为 ０ 。 。
３ 已知 ４ ＋ ｙ ６＝ ２ 求 ｘ＋ ｚ的最小值 。 ． ｘ ３＋ ｚ １ ， ｙ ＋
解 ： ａ （ ，， ） ｂ （ ，，） 则 由 ｌ ｂ ≤Ｉ １ＩＩ得 设 ＝ ４ ３ ６ ， ＝ Ｘ Ｙｚ ， ａ・ ｌ ａ ． ， ｂ
ｌ ＋ｙ６ｌ ４ ３ ＋ ≤ ｘ ｚ ＋２ ・ ３＿ ２ ＋ ，所 以 ｘ＋ ２ ｚ≥ ２ｙ ２ ＋ ，
一３ ＝
，当 且 仅 当 ５ 仃 、
＝ ／０ｘ ， 、 ｌ－
即 ｘ ５ ∈【 ｌ］￣ 等号 ， 函数 ｙ ５ ／二 ＝３ １ ｏＨ 取 故 ＝ 、 ｒ＋ ／ｂ Ｘ 的 ＼ ｉ￣ －
，ｎ
＋ｚ ３ 。 求 型 ： 的值 。 ｃ： ０ 旦 ±
ｘ ＋ｚ ＋ｙ
最大值为 ３ ／ 、
＿ ＿、 ｘ＿ ＋ ／２ 丽 的最小值 。
，
１求 函数 ｖ 、 ． ＿
、 ／
． ． ．
＋
解： 函数 的定义域为 Ｒ。 函数可化为 ｙ 、 （＋ ） １ 原 ＝ ／ ｘ １２ ２＋ ＋
、 二 ＿ ＿ 。 ａ （＋ ， ）ｂ （— ， １ ， 为 ｌ ｂ≤ｌ ／ Ｔ （１ ＝ 设 ： ｘ １ １ ，＝ ｘ ｌ一 ）因 ａ ｌ ａ —
解 ： 造 ｍ＝ ５ ，ｙ ５ ）ｎ （ａ６ ，ｃ ， 已 知 条 件 化 为 构 （ｘ ５ ，ｚ ，＝ ６ ，ｂ ６ ） 则
注： 云≤Ｉ ｌ
也常用来求最值 ， 证明不等式， 等号成
～ 一
２ ＝ ｎ 即 （ 一 ）－ ， 是 ａ ｘ ｂ ｙ ｃ ｚ 所 以 ＋ ２２ ｍ— ， ｎ ＣＯ 于 － ：５ ＝ ，： ，
２ｌ ０ ０年 第 ｌ 期 １
总第 １２｝ ９ ＿ ｝ ｝ ｊ
经典 案例
用 向量法解 代数 问题
宋 文 铭
（ 营 市 胜 利 第 二 中学 ， 东 东 山 东营 ２７５ ） ５ ０ １
向量 是 一 种 工 具 ，它 与 其 它 数 学 分 支 的 联 系 十 分 密 切 ， 应 用 非 常 广 泛 。 兼 具 代 数 和 几 何 的 两 重 性 ， 代 数 和 几何 的 是