试验设计—2k设计

总和 T
…
SE
ST
2k(n-1) n2k-1
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一般的2k设计
P51 3因子（k=3），2水平，每种水平组合下重复观察2 次（n=2）。
方差分析表
自由度 1 1 1 1 方差来源 A B C AB 平方和 36.00 20.55 12.55 2.25 均方 36.00 20.55 12.55 2.25 F 57.14 32.14 19.44 3.57
I
+ + + + + + + +
A B AB C AC BC ABC
+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + 3/23
一般的2k设计
当k很大时用表不方便，给出一个一般方法如下： (对照)=(a±1)(b±1)…(k±1) 等式左边有某个因子，等式右边相应的括号内就取 “-”号，左边没有这个因子，就取“+”号。
如：25设计中，共5个因子。因子A，B，C，D，E，
(对照)ABCD=(a-1)(b-1)(c-1)(d-1)(e+1)
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一般的2k设计
计算各因子的对照后还可估计效果并计算对应的离差平 方和: 2 m （对照） C Cr y r 根据定义： (对照)C = SC = m r 1
n Cr2
因 素 组 合 l a b ab (1) (2) (3) 对 照
23设计效果计算代数符号表
效果 组合 l a b ab c ac bc abc I A B AB C AC BC ABC + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +
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一般的2k设计
因子B及含B的交互作用对试验影响很小，把B舍弃，只
考虑A，C，D及其交互作用，B的两个水平下的观测值看做
两次重复观察，把24设计的一次观察，变为23设计的两次观 察问题。 (对照)ACD=13，SACD=1/16n (对照) 2 =10.56 ACD 列出方差分析表如下
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19.44
3.57 0.40 1.59 1.59
ab
c ac bc
5
-1 3 2
13
5 6 4
13
7 11 1
6
14 2 4
AB
C AC BC
0.75
1.75 0.25 0.50
2.25
12.25 0.25 1.00
abc
11
9
5
4
AB C
0.50
1.00
总和 T
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2k设计的耶茨算法
13
7 11 1 5
6
14 2 4 4
AB
C AC BC ABC
0.75
1.75 0.25 0.50 0.50
2.25
12.25 0.25 1.00 1.00
23设计，第3列中的数就是相应因子的对照， 对于2k设计，第k列中的数就是相应因子的对照。
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2k设计的耶茨算法
23设计耶茨算法的通用公式
2 n2 k
AB…K=
SAB…K =
(对照)AB…K
1 2 ( 对照 ) ABK n2 k
自由度的分配为:每个因子的效果和交互作用的效果，自 由度都是1，共2k-1，总和的自由度为n2k-1，误差的自由度 为2k(n-1)。
n：每种水平组合下重复观察次数。
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2k设计的方差分析表
方差来源 k个主要效果 A B ... k
F
83. 56 17.38 38.13 58.56 49.27 <1 <1
对于给定的α=0.01，查表F0.01(1，8)=11.26，FA， FC，FD， FAC，FAD，都大于11.26， A，C，D及AC，AD对试验影响显著， CD，ACD对试验影响不显著。
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2k设计的耶茨算法
例2.2.2 三因子耶茨算法表
2 )(对照) A
= (173)2/16=1870.56
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一般的2k设计
完全类似，可以求出下面几个对照和离差平方和：
(对照)B=25 (对照)C=79 (对照)D=117 (对照)AB=1 (对照)BC=19 (对照)AD=133 (对照)BD=－3 (对照)CD=－9 SB=1/16n
2 (对照) B =
ABC
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2k设计的耶茨算法
例2.2.2 三因子耶茨算法表
因 素 组 合 l a b
普通方法获得的方差分析表
方差来源 A B 平方和 36.00 20.55 自由度 1 1 均方 36.00 20.55 F 57.14 32.14
反 (1) (2) (3) 应
对 照
效果 估计 (3)/n2k-1 — 3.00 2.25
AC BC
ABC 误差 E 总和 T
0.25 1.00
1.00 5.00 78.00
1 1
1 8 15
0.25 1.00
1.00 0.63
0.40 1.59
1.59
2k(n-1)
n2k-1
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一般的2k设计
在2k设计中，即使k不太大，因子组合总数也可能很大。
P51 例2.2.2
C
B A 10 12 0.5 -3 0 -1 1
C D AB AC AD BC BD CD 误差 E
总和 T
390.06 855.56 0.06 1314.06 1105.56 22.56 0.56 5.06 127.84
5730.94
1 1 1 1 1 1 1 1 5
15
390.06 855.56 0.06 1314.06 1105.56 22.56 0.56 5.06 25.57
数据表
1.8 0.8 -1 2 0 1 0.5 -1 2 0 3 1 6 0.8 1 5
1.5
23设计有8个因子组合，每个组合测2个数值，试验次 数为16。25设计有32个因子组合，26设计有64个因子组合， 每种组合在重复多次试验，试验次数会更多，通常限制试 验次数。
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一般的2k设计
经常有这种情况：每种组合只允许做一次试验，这 时假设高等级的交互作用很小，它们的效果并入试验误 差。如果重要的交互作用并入误差，误差估计就会增大， 因此重要的交互作用不并入误差。 高等级的交互作用与低等级的交互作用有联系， 如果25设计中，效果A，B，C，AB，AC是很大的， ABC很可能也是大的。
一般的2k设计
因子A，C，D， 23设计的方差分析表
方差来源
A C D AC AD CD ACD 误差 E 总和 T
平方和
1870.56 390.06 855.56 1314.06 1105.56 5.06 10.56 179.52 5730.94
自由度
1 1 1 1 1 1 1 8 15
均方
1870.56 390.06 855.56 1314.06 1105.56 5.06 10.56 24.44
k 2 设计
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一般的2k设计
2k设计的耶茨算法
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一般的2k设计
2k设计有k个因子，每个因子2个水平。
单因子效果：k个 (A、B、C……K) 总共2k-1个 效果
两因子交互作用效果: Ck2 个 3因子交互作用效果: Ck3 个 k因子交互作用效果：1个
24共4个因子，效果：A，B，AB，C，AC，BC，ABC，
2 k 个2因子交互作用
平方和 SA SB … SK SAB SAC … SJK SABC SABD SIJK
自由度 1 1 … 1 1 1 … 1 1 1 … 1 …
C
AB AC … JK
Ck3 个3因子交互作用
ABC ABD IJK …
Ckk 个k因子交互作用
ABC…K SABC…K 1
误差 E
r 1
m r 1 2 r
对于22设计： 因子水
平组合
l
a
b
ab
C =4
对于2k设计：因子水平组合共2k项， 所以 C =2k
r 1 2 r m
对应的离差平方和 : 1
SAB…K = n2 k
2 (对照)ABK
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一般的2k设计
计算各因子的对照后还可估计效果并计算对应的离差平 方和:
l+a b+ab c+ac bc+abc
l+a+b+ab c+ac+bc+abc -l+a-b+ab -c+ac-bc+abc
l+a+b+ab+c+ac+bc+abc -l+a-b+ab-c+ac-bc+abc -l-a+b+ab-c-ac+bc+abc l-a-b+ab+c-ac-bc+abc
I A B AB
平方和 (3)2/n2k
-4 1 -1
-3 4 2
1 15 11
16 24 18
I A B
— 36.00 20.25
C
AB AC BC ABC 误差 E
12.55
2.25 0.25 1.00 1.00 5.00 78.00
1
1 1 1 1 8 15
12.55
2.25 0.25 1.00 1.00 0.63
A0
B0 C0 C1 C0 B1 C1 C0 B0 C1 C0
A1
B1 C1
D0
D1
45
43
68
75
48
45
80
70
71
100
60
86
65
104
65
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一般的2k设计
解：这是一个24设计试验。假设3因子、4因子的交互 作用很小，把它们并入误差估计中。 l=45，a=71，b=48，ab=65，c=68，ac=60，bc=80， abc=65，d=43，ad=100，bd=45，abd=104，cd=75，
15.25 33.46 <1 51.39 43.24 <1 <1 <1
给定α=0.01， F0.01(1，5)=13.26， FC=15.25>13.26， FA>13.26， FD>13.26， FAC>13.26， FAD>13.26， 因子A，C，D及交互作 用AC，AD对试验影响 显著，其余情况对试验 影响不显著。
因素 反应 组合 l a b -4 1 -1 (1) -3 4 2 (2) 1 15 11 (3) 16 24 18 对照 I A B 效果估计 (3)/n2k-1 — 3.00 2.25 平方和 (3)2/n2k — 36.00 20.25
ab
c ac bc abc
5
-1 3 2 11
13
5 6 4 9
误差的平方和：
SE=ST-SA-SB-SC-SD-SAB-…-SCD=5730.94-1870.56-39.06-…5.06=127.84 方差分析表如下：
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一般的2k设计
方差分析表（n=1）
方差来源 A B 平方和 1870.56 39.06 自由度 1 1 均方 1870.56 39.06 F 73.15 1.53
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一般的2k设计
例题：在一个压力容器中生产某种化学产品。研究因 子对产品的过滤速度的影响。这里有4个因子：温度(A)、 压力(B)、反应物的浓度(C)、搅拌速度(D)。每个因子取2 个水平，每种因子水平的组合做一次试验。得到的数据 如下表所示。试分析各因子及两两交互作用对试验的影 响。
试验数据表（n=1）
c
ac bc
-l+a
-b+ab -c+ac
-l-a+b+ab
-c-ac+bc+abc l-a-b+ab
-l-a-b-ab+c+ac+bc+abc
l-a+b-ab-c+ac-bc+abc l+a-b-ab-c-ac+bc+abc
C
AC BC
abc
-bc+abc
c-ac-bc+abc
-l+a+b-ab+c-ac-bc+abc
acd=86，bcd=70，abcd=96。
根据24设计代数符号表，计算 (对照)A=-l+a-b+ab-c+ac-bc+abc-d+ad-bd+abd-cd+acdbcd+abcd=-45+71-48+65-68+60-80+65-43+100-45+10475+86-70+96=173 SA=(1/16n
(25)2/16=39.06
SC=390.06
SD=85.56
SAB=0.06 SBC=22.56 SAD=1105.56
(对照)AC=－145 SAC=1314.06
SBD=0.56
SCD=5.06
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一般的2k设计
24设计代数符号表
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一般的2k设计
总离差平方和：
2 y 11212 2 2 2 2 ST y ＝45 43 65 96 5730.94 2*2*2*2 16 i 1 j 1 k 1 l 1 2 2 2 2 2 ijkl
D，AD，BD，ABD，CD，ACD，BCD，ABCD，共有241=15个。
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一般的2k设计
确定对照 效果或对应的离差平方和。
23设计效果计算代数符号表
AB + + 水平 效果 组合 l a b ab c ac bc abc
22设计效果计算代数符号表
因子水 平组合 l a b ab 因子效果 I + + A + + B + +