2K因子实验设计

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二因子试验设计

DOE Class 90a 11

&Five
部份階層實驗之解析度(Resolution)

定義：
一個具有解析度為R之設計，p-因子交互作用之效應不與R-p因子交互作用之效應相互Alias。

解析度Ⅲ之設計：沒有任何主因子作用與其他主因子作用相互 Alias；但主因子作用卻和2因子交互作用相互Alias。如23-1 Design。解析度Ⅳ之設計：沒有任何主因子作用與其他主因子作用或2因子交互作用相互Alias；但2因子交互作用卻相互Alias。如24-1 Design (I=ABCD)。解析度Ⅴ之設計：沒有任何主因子作用與其他主因子作用或2因子交互作用相互Alias；但2因子交互作用卻與3因子交互作用相互 Alias。如25-1 Design (I=ABCDE)。
2
2k-p基本理念

多數系統或製程之執行成效皆由主因子作用以及低階之因子交互作用所決定。
部份階層實驗可被進一步用來投入涵蓋部份重要因子之較大實驗。兩個以上之部份階層實驗可被整合來估計所有主因子作用以及因子之交互作用。

&Five
DOE Class 90a
3
23-1設計

23 Design 分成兩個23-1 Designs。符號表(一)
&Five
DOE Class 90a
19
&Five
DOE Class 90a
20
&Five
DOE Class 90a
21
&Five
DOE Class 90a
22
Conclusion for the Example

2k因子实验设计简介

2k因子实验设计简介一、引言2k因子实验设计是一种常用的实验设计方法，用于研究多个影响因素对实验结果的影响。

其中的2表示每个因素有两个水平，k表示有k个因素。

本文将对2k因子实验设计进行简要介绍。

二、2k因子实验设计的基本思想2k因子实验设计的基本思想是通过系统地改变若干个因素的水平，观察实验结果的变化，从而分析各个因素对结果的影响，并确定最优的因素组合。

其中，每个因素的水平通常选取两个，即高水平和低水平。

通过对所有可能的因素组合进行实验，可以得到全面而准确的数据，从而进行因素分析和优化。

三、2k因子实验设计的步骤1. 确定影响因素：首先需要确定影响实验结果的各个因素，这些因素可以是实验条件、操作参数或其他相关变量。

2. 确定因素水平：确定每个因素的水平，通常选取两个水平，即高水平和低水平。

3. 构建试验设计表：根据因素个数确定试验设计表的大小，并按照2k因子实验设计的原则填写试验设计表。

试验设计表中的每一行代表一个试验，列代表各个因素及其水平。

4. 进行实验：根据试验设计表进行实验，记录各个因素水平下的实验结果。

5. 分析数据：对实验结果进行统计分析，包括方差分析、回归分析等，以确定各个因素对结果的影响程度。

6. 优化因素组合：根据分析结果确定最优的因素组合，以达到最佳的实验效果。

四、2k因子实验设计的优点1. 高效性：2k因子实验设计可以同时研究多个因素，通过少量试验即可获取全面的数据。

2. 灵活性：可以根据实际需求选择不同的因素和水平进行设计，适用于各种不同的实验场景。

3. 可靠性：通过统计分析方法，可以准确地评估各个因素对结果的影响程度，提高实验结果的可靠性。

4. 可解释性：2k因子实验设计的结果可以直观地展示各个因素对结果的影响，便于解释和理解。

五、2k因子实验设计的应用领域2k因子实验设计广泛应用于工程、制造、医药、化工等领域。

例如，在工程领域中，可以利用2k因子实验设计来研究各个因素对产品性能的影响，以优化产品设计；在医药领域中，可以利用2k因子实验设计来研究药物各个因素对治疗效果的影响，以优化药物配方。

2k因子设计

当有必要研究多因子对一反应变量的综合效果时，因子设计(Factorial Design)大量且普遍地应用于多因子的实验。

一最重要的情况是k个因子且各有2水准的状况(2k, Level Factor)，此设计的完整反复需要2⨯2⨯…⨯2= 2k个观测值，且称之为2k因子设计(2k Factorial Design)。

本章重点将聚于此设计，另整章假设(1) 因子是固定的，(2) 设计是完全随机的，与(3) 一般的常态假设是满足的。

2k设计在实验工作的初期阶段，即当似乎有很多因子要研究时，是特别有效。

它提供了在一次完整因子设计里可以研究k个因子的最小次数。

因此，此种设计是大量应用于因子筛选实验(Factor Screening Experiments)。

因为每个因子只有2个水准，假设反应在选定的因子水准范围里是近似线性的，在很多因子筛选实验中，刚开始研究过(制)程或系统时，此假设是合理的。

6-22k设计(The 2k Design)在2k系列中首先讨论2个因子(22)，A与B，各有2水准，此称之为22因子设计，因子水准可称之为”低”与”高”。

如，有一反应浓度和触媒量对化学反应过(制)程合格率效果的研究，令反应浓度为因子A，且有兴趣的2水准为15%与20%；另触媒量为因子B，且高水平为2 lbs与低水准为1 lb，实验反复3次，资料如下，图6-1 22设计之处理组合设计中的4个处理组合通常以小写字母表示，由上图知，在处理组合中任何因子的高水平以对应小写字母表示；处理组合中任何因子的低水准以对应字母的不出现表示。

依传统，(1)表示2因子都是在低水准，这个记号在整个2k系统都适用。

在22因子设计中，定义一个因子的平均效果为该因子水准改变所带来的反应改变。

同时，符号(1)、a、b、ab表示在处理组合下n次反复的总和，则在B为低水准时A的效果为[a-(1)]/n与在B为高水平时A的效果为[ab-b]/n，将此两者取平均即为A的主效果(Main Effect)：A = {[a-(1)] + [ab-b]}/2nA = [ab + a - b - (1)]/2n (6-1)同理，B的主效果，即在A为低水准时B的效果为[b-(1)]/n 与在A为高水平时B的效果为[ab-a]/n，将此两者取平均，则为B = {[b-(1)] + [ab-a]}/2nB = [ab + b - a - (1)]/2n (6-2)定义交互作用(Interaction Effect) AB为B在高水平时A 的效果与B在低水准时A的效果间的平均差异，AB = {[ab-b]-[a-(1)]}/2n= [ab+ (1) - a - b]/2n (6-3)亦可定义AB 为A 在高水平时B 的效果与A 在低水准时B 的效果间的平均差异，其结果与式(6-3)同。

实验设计DOE部分因子设计实验(2K设计)

成本高，当因子数超过5个时，由于经济性/时间等限制，而变得不可行。
➢ 由于试验次数减少，不能保证对因子交互作用有清楚的识别和观察。
➢ 由于试验次数减少，产生了主因子及其因子间交互作用间的混杂（有时叫混淆），互为别名。
8
1.4. 部分因子设计— 混杂
《DOE课程1 DOE必备基础知识理解》第17个术语回顾：
6
1.3. 部分因子设计和全因子设计关系
全因子设计试验次数
因
2水平试验
3水平试验
子
次数
次数
数
1
2次
3次
2
4次
9次
3
8次
27次
4
16次
81次
5
32次
243次
6
64次
729次
7
128次
2187次
8
256次
……
9
512次
……
10
1024次
……
4水平试验次数
4次 16次 64次 256次 1024次 …… …… …… …… ……
部分因子设计
- 2k - 2水平裂区
全因子设计
- 2k - 多水平
混料设计
- 单纯质点 - 单纯格点 - 极端顶点
田口设计
响应曲面设计
- 中心复合 - Box-Hehnken
适用因子数
主要目的
6个以上选别重要因子
4~10 选别重要因子
1~5 因子与Y的关系
2~10 2~20 2~10
2~13
2~3
16
1.4. 部分因子设计— 混杂分辨度
选择设计类型的一般准则：
➢ 分辨率≥Ⅳ —— 部分设计 ➢ 分辨率＜Ⅳ —— 全因子设计

2K因子实验设计(ppt文档)

Main Effects
4 140.250 140.250 35.062* *
2-Way Interactions 6 138.750 138.750 23.125* *
3-Way Interactions 4 8.750 8.750 2.187* *
4-Way Interactions 1 4.000 4.000 4.000 * *
选择合适的样本大小：确定Replicate个数功能菜单：StatPower and Sample Size2-Level Factorial Design
依实验特性设计实验的工作窗体功能菜单：StatDOE FactorialCreate Factorial Design
步骤五：进行试验收集数据
2k全因子设计
2k Full Factorial Design
课程目的
以实例介绍 2-水平全因子设计 (Tow-level factorial designs) 操作练习 2K实验的设计及分析
I05_Page1
使用2k设计原因
1. 使用2K因子实验的目的：建立模型
y f (x1, x2,..., xk )
＝47.25－44＝3.25
42
低 (-1)
高 (+1)
水平(因子A)
I05_Page12
从对比差异表中计算主效应
将因变量乘以对应因子的符号 (－1 或＋1)，然后相加求和，并除以 n (各水平资料点的个数) 。
I05_Page13
交互作用的对比差异和计算
如何计算交互作用的对比差异：将两两因子(二因子交互作用)或三个因子(三因子交互作用)相乘在一起。
I05_Page5

2k 因子设计

Notes:
Page7
主效果
在2K的实验设计DOE中:
一个因子的主效果是该因子在“高”水平时所有数据的平均值减去该因子在“低”水平时所有数据的平均值或: 主效果=因变量高-因变量低对于我们的实验，温度的主效果为:
主效果是由于改变输入水平而在输出方面的平均变化。如左所示，主效果的计算是将因子在高水平数据的平均值减去因子在低水平数据的平均值。
Notes:
在每一个模块中，我们会逐步建立DOE方法，对于所有的因子实验，请遵循这个方法。
Page5
DOE方法(续)
9. 研究显著的交互作用(P-值<0.05)-首先从高阶入手
统计>DOE>因子>因子图统计>方差分析>交互作用图
10. 研究显著的主效果(p-值<0.05)

统计>DOE>因子>因子图
用相同的方法计算交互作用的大小。
Â È Î ¶ ± Ê ¼ ä ¯ Â × Ó Â Î ¶ È *Ê ±ä ¼ -1 -1 -1 1 1 -1 -1 -1 -1 1 -1 -1 1 1 -1 1 -1 -1 1 1 1 -1 1 -1 -1 1 1 -1 1 1 1 1 13 11 1 3 4 4 4 4 3.25 2.75 0.25 0.75 Â ¶ Î È *Â ¯ × Ó ± Ê ä ¼ *Â ¯ × ห้องสมุดไป่ตู้ Î Â È ¶ *Ê ±ä ¼ *Â ¯ Ó × HRC 1 1 -1 43 -1 1 1 45 1 -1 1 45 -1 -1 -1 49 -1 -1 1 43 1 -1 -1 46 -1 1 -1 45 1 1 1 49 1 -1 -1 Ï ¼ º Æ 4 4 4 n 0.25 -0.25 -0.25 º ¼ Ï Æ /n

部分因子试验

1 1 -1 -1 1 -1 -1 1 1 1 Dot Product 1 1 -1 -1 1 0
部分因子试验的实施原理问题：问题： A,B,C,D共个可控的试验因子，有4个A,B,C,D共4个可控的试验因子，每个因子都个水平。如何只进行8次试验，为2个水平。如何只进行8次试验，而且使分析效果达到最好？达到最好？思考：思考：我们设想：个试验因子，每个因子都为2水平，我们设想：4个试验因子，每个因子都为2水平，做全因子要16 16次我们从这16次试验中，选出8 16次试验中全因子要16次。我们从这16次试验中，选出8次来希望照样能分析主效应，是否可行？如何选？做，希望照样能分析主效应，是否可行？如何选？
要求：考察各因子主效应和二阶交互效应AB,AC,CF,DE是否显著。要求：考察各因子主效应和二阶交互效应AB,AC,CF,DE是否显著。 AB,AC,CF,DE是否显著
因子安排
试验次数分辨率
效应混杂表
试验安排表
案例分析
降低微型变压器耗电量问题。在微型变压器生产的改进中，经过头脑风暴发现，影响变压器耗电量的原因很多，至少有4个因子要考虑:绕线速度、矽钢厚度、漆包厚度和密封剂量。由于绕线速度与密封剂量毫无关系，因而可以认为绕线速度与密封剂量间无交互作用。由于试验成本很高，研究经费只够安排12次试验。共考察4个因子： A因子：绕线速度，低水平2，高水平3（单位：圈/秒） B因子：矽钢厚度，低水平0.2，高水平0.3（单位：mm） C因子：漆包厚度，低水平0.6，高水平0.8（单位：mm） D因子：密封剂量，低水平25，高水平35 （单位：mg）
目标值望小
混杂表
模型
显著項
删除非显著項重新拟合

02 DOE 2K 因子试验-1

Yield 60 72 54 68 52 83 45 80
目标：望高
19
由Minitab制作出主效应图
目标：望高
Main Effects Plot (data means) for Yield
0 16
75 70
18
0
20
40
-1
1
Yield
65 60 55
温度(T)
浓度(C)
树脂ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱK）
从此效应图你可以找出各因子的效应和其最佳设定，但我们也可能因此而判断某个因素的效应是微小的而忽略它。所以必须看它们交叉后的效应
浓度
Conc -1 -1 1 1 -1 -1 1 1
树脂
Resin -1 -1 -1 -1 1 1 1 1
因素温度( A ) 浓度(B) 树脂( C ) Low -1 -1 -1
水平 High 1 1 1
4
练习
• 2-4个阶乘设计矩阵是如何的呢？
5
矩阵
2-2种设计 ( 2x2 ) 4种运行
a -1 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 1 b -1 -1 1 1 -1 -1 1 1 -1 -1 1 1 -1 -1 1 1 c -1 -1 -1 -1 1 1 1 1 -1 -1 -1 -1 1 1 1 1 d -1 -1 -1 • -1 -1 • -1 -1 -1 1 1 1 1 1 1 1 1
为此设计计算交叉作用以对比。
14
计算交叉作用结果
用人工计算相互作用结果
Temp(T) -1 1 -1 1 -1 1 -1 1 Conc(C) Resin （ K -1 -1 1 1 -1 -1 1 1 -1 -1 -1 -1 1 1 1 1 T*C T*K C*K T*C*K Yield 60 72 54 68 52 83 45 80

DOE分析步骤及2水平2因子实验设计讲座2

如何创建一个2k试验设计
统计＞ DOE＞因子＞创建因子设计
用MINATAB进行演示
A:加热温度，低水平820 B:加热时间，低水平2 C:转换时间，低水平1.4 D:保温时间，低水平50
高水平860（摄氏度）高水平3（分钟）高水平1.6（分钟）
高水平60（分钟）
精确地解释DOE
1、优分析路径：数据＞排序目的：预测因子在什么情况下对Y可能的影响
精确地解释DOE
4）模型本身有高次项但没加上
5）主效果都不显著交互显著---弯曲、失拟、S等值有问题，原因可能是交互影响掩盖了主效果或本身主效果不显著
6）残差图中----残差对拟合值有有“漏斗型：或“喇叭型”将Y 进行娈换
或对自变量诊断图中有弯曲加是自变量或直接进行RSM
精确地解释DOE
5、模型优化检测
浓度 1
32 38
Consistence 2 浓度2
54
24
步骤2：确定因子与水平
第二步: 说明所关注因子与水平，建立一个 Minitab实验数据表，将每个响应变量的数值置于一列内。每个输入与输出列于不同的列。
❖ Stat > DOE > Create Factorial Design
选择
选择 “2”
10 5
1
-15
-10
-5
0
St a nda rdize d Effe ct
复制分析
Mean of Yield
Main Effects Plot (data means) for Y ield
catalyzer 44
consistence
42
40
38
36
34

实验设计DOE全因子设计实验(2K设计)

7
1.3. 全因子设计、部分因子设计以及2K设计
红色：仅用作筛选设计，PB；黄色：可选，但分辨度低于绿色；绿色：优先使用。
8
1.4. 全因子设计
什么是全因子设计？
全因子实验设计是指所有因子及水平的所有组合都要至少要进行一次试验。将k个因子的二水平试验记作2 试验。当k=4时，试验次数m= 24 =16次当k=5时，试验次数m= 25 =32次当k=7时，试验次数m= 27 =128次 ……
14
1.4. 全因子设计 - 2k设计 – 分析判定
在实施全因子设计和部分因子设计（又称析因设计）实验结果分析中，Minitan 给出回归分析和方差分析结论，生成供我们分析的信息 — 工程师要学会解释这些数据并作出正确的决策。包括6项分析指标：
➢ 总效果 [※ H1：模型有效 P＜0.05 ] ➢ 弯曲 [※ H0：无弯曲 P＞0.05 ] ➢ 失拟 [※ H0：无失拟 P＞0.05 ] ➢ 拟合相关系数 R-Sq （调整）及 R-Sq（adj）（预测的）越接近1好；二者之差越小越好 ➢ 标准差S分析越小越好 ➢ 因子效应显著性 ✓ P 值判定 [ ※ H1： P＜0.05 ] ✓ 图形判定（正态效应图/帕累托效应图）、残差四合一图
系统自动生成水平代码值（-1 ，0， 1）
好处：有连续变量和无量纲特点，有利于统计分析和建立回归方程
真实值代码值
பைடு நூலகம்
低水平L 100 -1
中心值 150 0
高水平H 200 +1
中心值M = （L+H）/2 半间距D = （H - L）/2 真实值 = M + D*代码值
13
1.4. 全因子设计 - 2k设计 – 建模

2^k析因设计

y X
其中
y1 1 x11 y 1 x 21 y 2 , X yn 1 xn1 x12 x1k 0 1 x22 x2k , 1 , 2 xn2 xnk k n
设计投影
• 由于B因子不显著而且所有与B有关的交互作用也不可忽略。因此，可将B去掉，将一个单重复24析因设计投影成一个两次重复23设计。
• 对数据进行方差分析，可以得到相同的结论。
• 如果有一个2k设计的单次重复，其中h(h<k)个因子可被忽略，则原数据对应于留下的k-h个因子，形成具有2h重复的两水平析因设计。
• 残差的正态概率图 • 显然，正态性有问题。
• 残差与推进速率预测值的关系图 • 显然，方差齐性有问题。
• 选择对数变换 y*=lny • 变换后效应估计量的正态概率图。 • 只有B、C、D起作用，需要说明。简化结构。
效应的平方和
• 用对照计算效应的平方和： SS=(对照)2/(8n)
例1 晶片蚀刻试验
• 单晶片等离子蚀刻过程。3个因子：A为电极间隙、 B为C2F6气体流速、C为RF功率。每个因子两个水平。每个组合重复2次。实验结果见表。
模型评价指标
• R2=SS模型/SS总和 • R调整2=1-(SSE/dfE)(SS总和/DF总和)
4 一般性2k设计
• k个因子，每个因子2个水平 • 共k个主效应，Ck2个两因子交互作用，Ck3个三因子交互作用，…，1个k因子交互作用。共2k1个效应。 • 处理组合符号表示： • 处理组合标准顺序：每出现一个新因子，则与前面各项相乘得到新项。
一般步骤
1. 估计因子效应

DOE分析步骤和2水平2因子实验设计的讲座2

图4解释: 残差对于自变量的散点图如果有弯曲，首先看图2（残差对于响应变量拟合值的）正常，如果它正常，而图4不正常，则说明需增加X 的高次项或其它项
8
太钢矿业公司六西格玛管理黑带培训教材
精确地解释DOE
4、判断模型是否需要改进 1）全部因子不显著---本身进入DOE的因子不正确、因子主
观性太强、因子本身没找全、因子筛选过简单、因子水平范围太窄
2）遗漏了关键因子—重新进入DOE查找因子
3）没有对因子进行剥离---在各项效应系数分析中不显著的主效应和交互效应应剥离，注意：如果一个高阶项显著则此高阶项中所包含的低阶项也应被包含在模型中
9
太钢矿业公司六西格玛管理黑带培训教材
精确地解释DOE
4）模型本身有高次项但没加上
5）主效果都不显著交互显著---弯曲、失拟、S等值有问题，原因可能是交互影响掩盖了主效果或本身主效果不显著
Menu: Stat>DOE>Factorial Plots
26
太钢矿业公司六西格玛管理黑带培训教材
步骤8：交互作用图
Mean
备注：
Interaction Plot (data means) for Yield
55 50
在有些实验中，我们发现对 catalyzer -1 1
45
于其他因子的不同水平，一
但 AB 交互作用是最大的因素，然后才是压力和温度
图中无标识显示统计显著性
23
太钢矿业公司六西格玛管理黑带培训教材
步骤8：主效果图
Menu: Stat>DOE>Factorial Plots
24
太钢矿业公司六西格玛管理黑带培训教材
步骤8：主效果图

试验设计—2k设计

如：25设计中，共5个因子。因子A，B，C，D，E，
(对照)ABCD=(a-1)(b-1)(c-1)(d-1)(e+1)
4/23
一般的2k设计
计算各因子的对照后还可估计效果并计算对应的离差平方和: 2 m （对照） C Cr y r 根据定义： (对照)C = SC = m r 1
n Cr2
2 k 个2因子交互作用
平方和 SA SB … SK SAB SAC … SJK SABC SABD SIJK
自由度 1 1 … 1 1 1 … 1 1 1 … 1 …
C
AB AC … JK
Ck3 个3因子交互作用
ABC ABD IJK …
Ckk 个k因子交互作用
ABC…K SABC…K 1
误差 E
因素组合 l a b ab (1) (2) (3) 对照
23设计效果计算代数符号表
效果组合 l a b ab c ac bc abc I A B AB C AC BC ABC + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +
F
83. 56 17.38 38.13 58.56 49.27 <1 <1
对于给定的α=0.01，查表F0.01(1，8)=11.26，FA， FC，FD， FAC，FAD，都大于11.26， A，C，D及AC，AD对试验影响显著， CD，ACD对试验影响不显著。

2k因子设计

表2.1.1 两因子实验数据表2.1.2 两因子实验数据
因子B 因子A
因子B
B1
20 40
B2
30 52
因子A
B1
20 50
B2
40 12
A1 A2
A1 A2
试考察因子A，B的效果。
解:先考虑表2.1.1的情形：因子A的主要效果可看成是在A的第一个水平下的平均反应与在第二个水平下的平均反应之差, 记为A,即 A=(40+52)/2 – (20+30)/2=21 因子B的主要效果是 B=(30+52)/2 – (20+40)/2=11 再考虑表2.1.2的情况因子A的主要效果是 A=(50+12)/2 – (20+40)/2=1 因子B的主要效果是 B=(40+12)/2 – (20+50)/2=-9
因子A、B和交互作用A×B的平均效果分别为（注意：n=3）
A 1 2 ×3 6 1 30 B × ( 对照 ) B 5 . 00 ， 2 ×3 6 × ( 对照 ) A 50 8 . 33 ，
AB
1 2 ×3
× ( 对照 ) AB
10 6
1 . 67 .
2.1 因子设计的一般概念
分别画出这两种情况的图形：
2.1 因子设计的一般概念
第一种情况下，因子A、B之间没有交互作用。第二种情况下,因子A、B之间有交互作用。交互作用是不能忽视的,有时它比因子的作用还大, 因子设计方法是不会漏掉交互作用的。因此,因子设计是有效的设计方法,特别是当交互作用存在的时候。
2.2.1 22设计
假设在每一种水平组合下作n次重复观察，即取n个观察值。为分析问题的方便, 引进下列记号： A表示因子A的效果，B表示因子B的效果，AB表示交互作A×B的效果。a表示因子A在高水平、因子B在低水平情况下观察值之和；b表示因子A在低水平，因子 B在高水平情况下观察值之和；ab表示因子A，B都在高水平情况下观察值之和，l表示因子A，B都在低水平情况下观察值之和。

2k因子设计

2.1 因子设计的一般概念
复因子试验具有如下几个主要特点：（1）复因子试验可同时估计单因子作用及多因子之间的相互作用。（2）复因子试验扩大了试验研究的范围。由于复因子试验可考虑多因子间各种水平组合，从而在较大试验范围内选择出多因子不同水平的最佳组合处理。（3）复因子试验由于增加各因子重复数，从而降低试验误差而提高试验精度。（4）复因子试验的主要缺点是：当因子数目增加时，试验规模随之急剧增加。
试分析因子A，B和交互作用A×B对化学反应的影响。
解由表2.2.1，求出 l=28+25+27=80, a=36+32+32=100, b=18+19+23=60, ab=31+30+29=90. 由此得 (对照) 90 100 60 80 50
A
(对照) B 90 60 100 80 30 (对照) AB 90 80 100 60 10
2.2 2k因子设计
假设试验中共有k个因子，每个因子都只有两个水平。这种设计的安排总共有2k个不同的组合，若每种组合下取一个观察值，总观察值共有2k 个，因此叫2k因子设计。
对2k设计作如下假设：（1）因子是固定的（2）设计是完全随机的（3）一般都满足正态性（4）反应近似于线性
2.2.1 22设计
2.1 因子设计的一般概念
分别画出这两种情况的图形：
2.1 因子设计的一般概念
第一种情况下，因子A、B之间没有交互作用。第二种情况下,因子A、B之间有交互作用。交互作用是不能忽视的,有时它比因子的作用还大, 因子设计方法是不会漏掉交互作用的。因此,因子设计是有效的设计方法,特别是当交互作用存在的时候。

2k和3k因子设计

• A的主效应＝A处于高水平Y的平均值－ A处于低水平Y的平均值
• 即：135-115＝20
主效应和交互效应
• 同理：因子B的主效应＝[(130+150)/2(100+120)/2]=30kg
主效应和交互效应
• 当B处于高水平时，因子A的效应为 150－130＝20；当B处于低水平时，因子A的效应为 120-100＝20。
主效应和交互效应
水少
水多
A
B
肥少
100
120
肥多
130
150
主效应和交互效应
• A处于低水平的情况（不考虑因子B）得到产量的平均值是（100＋130）/2＝115，
• A处于高水平的情况（不考虑因子B）得到产量的平均值是（120＋150）/2＝135。
主效应和交互效应
• 产量由115提高到135完全是因子A的作用。得到A的主效应为：
2k和3k因子设计
主讲人：周娟
2k和3k因子设计
适用场合：因子的水平只有两个或Biblioteka 个；可以考察全部的因子和交互作用
主效应和交互效应
• 在农田试验中，考虑两个因子，每个因子皆有两个水平。
• A：浇水。低水平：水少；高水平：水多 • B：施肥。低水平：肥少；高水平：肥多 • 以产量Y为响应变量（单位：kg）
A（low） 15% B （low）不用催化剂 A（high） 25% B （low）不用催化剂
A（low） 15% B （high）用催化剂
A（low） 25% B （high）用催化剂
因子水平组合观察值
和
i
1
2
3
Al
Bl
28

Course11---全因子实验

适合于特征化和最佳化步骤
- 通过相对较少的实验次数可以得到多因子的所有情报,适合于把握因子的特征和最佳化; - 通常成为更加复杂设计的基础; - 可进行连续研究 - 分析也比较简单
2K因子试验-2-
Sigma
最佳条件的导出
2K全阶乘的特征
- 可以实验因子的所有组合 - 可以评价主效果和交互作用的效果 - 可以从实验定义的领域内的所有可能点推断出输出(反应)值 - 可以从反复实验求得实验的误差(残差)
2K因子试验-16-
Sigma
最佳条件的导出
主效果的计算
+1 52
RUN
83
顺序广告时间 (1) a b ab -1 -1 +1 +1
认知度 60 72 52 83
1
广告时间
2 3
-1 60 -1 广告费
72 +1
4
广告时间效果= [(+符号之和)-(-符号之和)] / (+(-)符号的个数) = [(83+52)-(72+60)] / 2 = 1.5 即广告时间由18时变为21时播放, 认知度平均增加1.5个百分点
- 下边的矩阵表示为称之为”主效果”的变量A,B,C和从主效果计算出的交互作用; - AB(一般称为”2因子交互作用”)把A列和B列的符号相乘而得到的; - ABC(一般称为”3因子交互作用”)把A,B,C三列全部相乘而得到的; - 依次类推,可扩张所有2K全阶乘实验.
A -1 1 -1 1 -1 1 -1 1 B -1 -1 1 1 -1 -1 1 1 C -1 -1 -1 -1 1 1 1 1 AB 1 -1 -1 1 1 -1 -1 1 AC 1 -1 1 -1 -1 1 -1 1 BC 1 1 -1 -1 -1 -1 1 1 ABC -1 1 1 -1 1 -1 -1 1

2k因子实验设计简介

Two Factor Example (using Minitab) 两个因子例题（用Minitab）
2
*
Introduction To 2k Factorial Experiment 2k 因子实验简介
Why do we use factorial experiment? 我们为什么需要进行因子实验?
It is also used to screen a large number of factors in the early stages of an investigation 因子实验在分析初期阶段可以用来筛选大量因子
4
Advantages
优点
It also allows to investigate the potential interactions between factors which is not possible for OFAT experiments. This is called factorial efficiency. 因子实验可以分析出因子间的潜在“交互作用”。 OFAT 实验却不可以。这就称为因子效率。 THINK ABOUT you vary one factor at a time in an OFAT experiment 设想你在进行一次一个因子(OFAT) 实验，每次只变动一个因子
15
Definition & Notation 定义和标识
For the number of runs needed, just multiply 为计算出需要的运行次数，就进行乘积
e.g. 2 x 2 = 4 runs, 2 x 2 x 2 = 8 runs, 24 = 16 runs

2^k析因设计

例2 24设计的单次重复
• 一个化学产品的生产过程。可能影响产品渗透率的因子有：温度(A)、压强(B)、甲醛浓度(C) 、搅拌速度(D)。每个因子取2个水平。单次重复试验，共16次试验。工程师感兴趣的是使渗透率达到最大。当前生产条件下的渗透率为75 加仑/小时。当前甲醛浓度(C)为高水平。工程师希望尽可能减少甲醛浓度，但会造成渗透率太低。
y X
其中
y1 1 x11 y 1 x 21 y 2 , X yn 1 xn1 x12 x1k 0 1 x22 x2k , 1 , 2 xn2 xnk k n
• 残差的正态概率图 • 显然，正态性有问题。
• 残差与推进速率预测值的关系图 • 显然，方差齐性有问题。
• 选择对数变换 y*=lny • 变换后效应估计量的正态概率图。 • 只有B、C、D起作用，需要说明。简化结构。
k 2 析因设计
1 引言
• 有k个因子，每个因子仅有两个水平。完全重复共需要2k个观测值，称为2k析因设计。 • 基本假定： – 因子是固定的 – 设计是完全随机化的 – 满足正态性 • 应用于实验工作的早期阶段，如因子筛选试验 (factor screening experiment)
2 22设计
• ANOVA分析结果
• 结论：两个主效应是显著的，因子间无交互作用。与初步判断一致。
回归模型
• 利用最小二乘法拟合回归模型 • 线性回归数据：
2 11 1 2 22 2
两因素
y 0 1 x1 2 x2 x x 12 x1 x2
正规方程组的矩阵形式