_平面向量共线的坐标表示

又2 6 3 4 0，
AB // AC. 直线AB、直线AC有公共点 A， A、B、C三点共线.
练习：
1.已知av=
4,
2，bv
6,
y
,
且av
/
v /b,
求y的值.
y=3
2.已知av
3,
4,
v b
cos
,
sin
,
且av
/
v /b,
求 tan的值.
tanα=4 /3
3. 已知a=(1, 0), b=(2, 1), 当实数k为何值时,向量ka－b与 a+3b平行? 并确定它们是同向还是反向. 解：ka－b=(k－2, －1), a+3b=(7, 3),
D．75o
例3:设点P是线段P1P2上的一点，P1、P2的坐标分别是
(x1, y1), (x2 , y2 ) .
（1）当点P是线段P1P2的中点时，求点P的坐标； （2）当点P是线段P1P2的一个三等分点时，求点P的坐标.
解: (1)
uuur OP
1 2
uuur (OP1
uuuur OP2 )
( x1 x2 , y1 y2 )
的任一点P，则P点与P1 P2的位置有哪几种情形？
P在之 P1P2间 P在 P1P2 的延长线上， P在P2 P1 的延长线上.
P1
P P2
0
P1 P2 P
1
P
P1 P2
1 0
uuur uuur
uu存uur在一个实数λ，使 P1P PP2，λ叫做点P分有向线
段 P1P2 所成的比．
能根据P点的三种不同的位置和实数与向量的积的向量 方向确定λ的取值范围吗？
uuuur 设 P1( x1, y1 ) ，P2 ( x2 , y2 )，P分P1P2 所成的
比为 ，如何求P点的坐标呢？
分析：Q
uuur P1P
(
x
x1,
y
y1)
uuur
uuur uuur
PP2 (x2 x, y2 y) P1P PP2
( x x1, y y1 ) ( x2 x, y2 y)
1.向量共线的条件 :
a // b(b 0) 存在唯一实数,使a b.
2.向量共线条件的坐标表示：
若a (x1, y1),b (x2, y2), 则a // b(b 0) x1y2 x2 y1 0,即x1y2 x2 y1
注：1.消去时不能两式相除，因为有可能为0；
2. x1 y2 x2 y1 0 不能写成
CG GD
2
，
求点G的坐标．
解：∵D是AB的中点
∴点D的坐标为
(
x1
2
x2
,
y1
2
y2
)
B
yD
A
G
CG 2 GD
C
O
x
CG 2GD
由定比分点坐标公式可得G点坐标.
解：∵D是AB的中点
∴点D的坐标为
(
x1
2
x2
,
y1
2
y2
)
yD
CG 2 CG 2GD
GD
B
G
由定比分点坐标公式可得G点坐标为：
x
x3
2
x1
2
x2
x1
x2
x3
O
1 2
3
y
y3
2
y1
2
y2
y1
y2
y3
1 2
3
即点G的坐标为
(
x1
x2 3
x3
,
y1
y2 3
y3
)
A
C x
练一练
1. △ABC的三条边的中点分别为(2, 1)和(－3, 4),(－1, －1)，则△ABC的重心坐标为 _(__23_,_43_) _
xy
x1 y1
( (
x2 y2
x) y)
x
y
x1 x2 1
y1 y2 1
uuuur 有向线段 P1P2 的定比分点坐标公式
x
x1 x2 1
y
y1 y2 1
uuuur 有向线段 P1P2 的中点坐标公式
x
x1
2
x2
y
y1
y2
2
例4．已知两点 P1(
分
uuuur P1P2
P P1
y P2
P
P1
O
x
O
x
(2)
y P2
P P1
O
P1 x
y P2
P
O
x
（2）如图2.3 15，当点P是线段P1P2的一个三等分点时， 有两种情况，即，P1P 1 或 P1P 2. PP2 2 PP2
如果 P1P 1 ，那么 PP2 2
y P2
uuur OP
uuur OP1
uuur P1P
复习回顾:
1.向量共线的条件:
b // a(a 0) 存在唯一实数,使b a.
2.平面向量的坐标运算：
r
r
已知 a (x1, y1),b (x2, y2),
vv
a b x1 x2, y1 y2 , r
vv
a b x1 x2, y1 y2 ,
a (x1, y1)
2.若A( x1, y1), B( x2 , y2 ), 则AB (x2 x1, y2 y1)
所成的比
3,2)
及y
，P2 (8,3) 的值．
，求点P
(
1 2
,
y
)
解：由线段的定比分点坐标公式，得
1
2
y
3 2
(8) 1 3 1
解得
y
5 17 25
22
例5．如图，ABC的三个顶点的坐标分别为 A(x1, y1) ，B(x2, y2 ),
C ( x3 ,
y3 )
，D是边AB的中点，G是CD上的一点，且
uuur OP1
1 3
uuuur P1P2
P P1
uuur OP1
1 3
uuur (OP2
uuur OP1 )
2 3
uuur OP1
1 uuur 3 OP2
O
x
2x1 3
x2
,
2
y1 3
y2
即点P的坐标是（2x1 x2 ，2 y1 y2 ）
3
3
直线l上两点 P1 、 P2，在l上取不同于P1 、P 2
2
2
M
y P2
P P1
所以，点P的坐标为
(
x1
2
x2
,
y1
2
y2
)
O
x
(1)
例3:设点P是线段P1P2上的一点，P1、P2的坐标分别是
(x1, y1), (x2 , y2 ) .
（1）当点P是线段P1P2的中点时，求点P的坐标； （2）当点P是线段P1P2的一个三等分点时，求点P的坐标.
y P2
y1 x1
y2 x2
因为
x1, x2
有可能为0；
r
r
rr
例1.已知a 4，2， b 6, y，且a / /b ，求y.
解： a // b 4y 26 0 y 3.
例2.已知 A(-1,-1),B(1,3),C(2,5)，试判断A、B、
C三点之间的位置关系.
解： AB 1 1，3 1 2，4 ຫໍສະໝຸດ Baidu AC 2 1，5 1 3，6
∵a//b,
k 1 3
这两个向量是反向.
4. 若三点P(1, 1)，A(2, －4)，B(x, －9)共线，
则 （B）
A．x =－1
B．x=3
C．x = 9
2
D．x=51
5.设a=( 3 , sinα)，b=(cosα, 1 )，且a// b，则
2 锐角α为 ( C )
3
A．30o
B．60o
C．45o