第三章 采样与量化 2

具有相似性。如果要避免混叠现象，随机信号的采样频率仍 然需要信号最高频率的2倍以上。
3.1.3 带通采样
现在我们来考虑带通信号的采样问题。使用一 组采样点来表示带通信好的方法有很多种，下 面将考虑两个最常用的方法。 实带通信号的带通采样定理表述如下：
带通采样定理
如果带通信号的带宽为B，最高频率为 ，
对于随机信号，有
此处的采样函数P(t)可以写为
式中D是独立于X(t)的在(0,Ts)上均匀分布的随 机变量，其作用是确保Xs（t）是平稳的。
要得到 的功率谱密度，首先确定 自相关函数
的
对求出的 可得到
的自相关函数进行傅里叶变换， 的功率谱密度如下
此处
表示X(t)的功率谱密度。注意上式与式（3-13）
须根据低通采样定理进行采样。因为
和
和
必
的最高频率是B/2，它们中每个的最小采样频率都是B。然而，
必须采样两个低通信号，而不是一个，因此，必须使用超过 2B的采样率。
结论：我们因而看到，对于这f0〉〉B这种典型情况，利用低
通采样定理对复包络信号采样，和利用带通采样定理对实带 通信号采样所需的采样频率是一样的。
频谱带宽W的数据信号。一个宽带的扩频码c(t)与数
据信号相乘，这里c(t)是符号率远远高于数据率的二
进制序列，扩频码率与数据率的比值称为系统的处 理增益，乘上扩频码字c(t)，会产生具有带宽B的宽
带信号。信道的非理想性包括，来自系统中其他用
户的干扰、军事通信系统中的阻塞信号、噪声以及
未考虑进去的其他可能负面影响。
量化与编码
量化与编码
从采样定理知道，以超过奈奎斯特频率的频率对连续 时间带限信号进行采样，可以无差错地对它进行重构。
因此，在这样的条件下采样操作是可逆的．但是量化
却是不可逆的。一旦采样值经过量化，仅保持量化级， 就会引人随机误差。如前，波形在采样时刻t＝kTs的 值表示为x[k]，而对应的量化值表示为xq[k]，有
这个结果也可从下面的表达式得到
采样在频域表示
下图为由式(3.14)产生的带限信号的采样xs(f)的情况。
重构：通过使用低通滤波器在n＝0附近提取xs(f) 的频谱，可以完成从xs(t)到x(t)信号的重构。 要求：要完成无差错的信号恢复，要求xs(f)在 f=±fs附近的频谱与在f=0处的频谱没有重叠。 换句话说．式(3—13)中的频谱必须是分离的。
差太多，那么通常最有效的方法是对仿真中每个
度连续而时间离散的信号，
数字信号：通过将时间采样值编码到一个有限的数值
集合，可由采样数据信号得到数字信号。
注意：在这些处理的每一步中都会引入误差。
3.1.1低通采样定理
从时间连续信号X(t)到数字信号转换第一步就是，对X(t)
进行等时间间隔采样，得到采样值 xs (t ) x(kTs ) x[k ] 。
欠采样导致混叠误差
3.1.2 低通随机信号采样
上文讨论的波形信号x(t)假定为能量有限的确
定性信号，这样假定的结果是，傅里叶变换存
在，并且采样定理可以基于信号的频谱。在本
章中可以更自然地假设仿真处理的是随机过程
样本函数，因此，选择合适的采样频率不是基
于待仿真信号的傅里叶变换，而是基于其功率
谱密度。
参数Ts是采样周期，其倒数就是采样频率fs。
采样操作的模型如下图所示。
采样操作和采样函数
采样信号Xs(t)是用信号X(t)乘以周期脉冲p(t)来产 生。也即
信号p(t)叫采样函数。假设采样函数为窄脉冲，其取 值为0或1。当p(t)=1时， Xs(t)= X(t)，当p(t)=0时Xs(t) =0， p(t)可以是任意的。 由于p(t)是周期信号，可以用傅里叶级数表 示为
第三章 采样与量化
3.1 3.2 3.3 3.4

采样 量化 重构与内插 仿真采样频率
本课的主要目的是研究利用数字计算机对通信系统进行精确 的仿真所需的基本方法。在大多数的通信应用中，是通过要
研究的系统来产生和处理信号波形的。当然，计算机只能处
理所关心的表示信号波形的采样点的数值。另外，采样点的 值是经过量化的。因此，在所有的数字仿真中，采样和量化
的办法是采用两个采样率，因此在窄带到宽带的分届处
必须提高采样频率，而在宽带到窄带的分界处又要将采
样频率降下来。采样频率的提高是通过内插来完成的， 采样频率的降低是通过抽值完成的。
上采样和内插
上采样 就是提高采样频率。上采样使得采样周期降低M
倍。因此，根据对应的连续时间信号x(t)，上采样过程从
原有的采样值 值 生成新采样 。作为例子，假定通过对重构信号
或者
在这个表达式中 称为同相分量，而
称为正交分量。由于A(t)和 都是低通信号，使得 和 也是低通信号，因而必须按照低通采样定理的规定进行采样。
带通信号的频域表示如图3-6(a)所示，
（a）带通信号
（b）复包络
图3-6 带通信号和对应的复包络

该信号对应的复包络定义如下：
由于
和
都是低通信号
也是低通信号，如图3-6(b)所示。
或者
注意，假定信号x(t)是带限的，且采样频率足够高，以确 保没有产生混叠误差，即xr(t)＝x(t)。因此在理论上，能
得到信号的完全重构。但是，由于sinc()函数是无限长的，
所以上式在实际中从来不用。
上采样与下采样
我们通过下图说明上采样与下采样这些操作。考虑
一个直接序列扩频系统，数据源产生一个具有窄带
难以接受的。因此，在计算负荷和精度之间就有一
个折中，这种折中在我们的仿真研究中会多次碰到。
更实用的内插器是线性内插器，它比sinc()函数 内插所需的计算量要小得多。线性内插器的脉 冲响应定义为：
内插操作图如下：
很明显，上采样和下采样郡引入了很多的额外开 销。如果上采样倍数M适度，比方说是2或3，通 常最好用单采样频率开发仿真系统，从而窄带信 号的过采样会出现在系统中。然而，如果B和W相
式中的傅里叶系数由下式给出：
将式(3.2)带入式(3.1)中得采样后的信号为
采样信号的傅里叶变换为
交换上式中积分和求和的顺序，有
由于连续信号X(t)的傅里叶变换为
则由式(3.6)可得采样信号的傅里叶变换
从上式可以看出，对时间连续信号的采样导致 了信号频谱在直流点（f=0）和所有采样点的
谐波（f=nfs）处产生重复。
2B≤ fs ≤4B的范围内。
窄带信号：然而，对于f0﹥﹥B这种典型的情况，带
通采样定理规定的采样频率近似等于下界2B。
同相/正交信号采样
假定带通信号表示为如下形式
函数A(t)：称为带通信号的包络。
函数
：为带通信号的相位偏移。
是低通信号，并且具有和信息承
在大多数的通信应用中， A(t)和 载信号大体相当的带宽。 带通信号可以表示为：
精确度浮点数算数引入的误差小，在大多数应用中是可以忽略的。
3.3 重构与内插
现在考虑从采样序列重构时间连续信号 的问题。由于数字仿真只处理采样点数， 因而在仿真环境中从来不需要从一组采 样点来重构连续时间信号。但是重构过 程中的一些考虑引出了内插问题，它是 仿真中重要的操作。
一般信号重构技术是将采样点通过具有冲击响 应h(t)的线性滤波器。因此重构波形可由 得到，因此重构信号：
据信号并送入接收器。
上采样和下采样有用的系统
上图所示系统的重要特性是在系统中同时出现了窄带
信号和宽带信号。如果在B>>W这种典型情况下，用宽 带信号所需的采样率对窄带信号进行采样，其结果将 导致仿真的时间过大，效率会很低。理想的是每个信 号的采样就采用适合本信号的采样率。
解决方法：由于上面系统中出现两个不同带宽，合适
由于假定采样是瞬时的，p(t)可定义为：
这就是所谓的冲击函数采样，其中采样的值由 冲击函数的权来表示，将式(3.9)代入式(3.3)有
应用 函数的移位特性，有
利用式（3.2）显示的结果，p(t)的傅里叶变换可写成
对脉冲函数采样，对所有的n，式 都成立。因此应用式(3.8)，采样后信号的 频谱变为
都是基本的操作，其中每一个操作都会给仿真结果带来误差。
而完全消除这些误差是不可能的，故往往需要作折中。我们 所能做的顶多是使采样和量化对仿真精度的影响最小化。
3.1 采样
数字信号是通过对模拟信号进行采样、量化和编码得到 的。
模拟信号：是时间和幅度都连续的信号，记作x（t）。
采样数据信号：对模拟信号采样，采样结果是产生幅
浮点算法
正如前面提到的，我们关心的是利用浮点数表示法在通用计 算机上面运行仿真。浮点数的格式为 ，这里M和E 分别是尾数和指数。在要求高精确度时，用64位比特(双精度)来
表示一个码字，并且将这64位比特分配结尾数和指数。对给定的
计算，如何进行分配会产生重要的影响。IEEE标准就规定了浮点 数用53位比特表示尾数，用余下的11位比特表示指数。在要求高 但必须意识到，在一些种类计算中，即使是很小的计算误差也能 积累到使结果完全无用的程度。
量化与编码
其中
所示。
是量化过程引入的误差。量化器模型如图3-8
图3-8 量化误差模型
所关心的量是信噪比(SNR)，这里的噪声解释为量化过程
引入的噪声，量化的信噪比表示为(SNR)q即
量化与编码
百度文库
式E{}表示统计平均，Nq是由于量化过程引入的噪声 的功率。为了确定(SNR)q必须已知误差项eq[k]的概 率密度函数。量化误差的概率密度函数是计算机所 使用的数字表示格式的函数。计算机表示数字的方 式有很多，大体上可以分为定点和浮点两类。
定理一
如果采样频率fs大于2fh，那么带限信号就可以 无差错地通过其采样信号恢复，这里fh表示被 采样信号中出现的最高频率。 注：这个定理通常指低通信号的采样定理，但 它对带通信号同样适用。
混叠：如果fs<2fh,那么以 f fs 为中心的
频谱会发生重叠，如下图所示，重构滤波器 的输出跟信号x(t)相比出现失真，这种失真 称作混叠。假定x(t)的频谱是实数，下图所 示为混叠的后果。
xr(t)在t=nTs/M处内插来构造一组新的采样，其中重构
信号xr(t)由式(3-49)给出。进行操作后为：
对sinc(.)进行截断有
对sinc(.)进行截断有
虽然不完美．但是这是一个更实际的内插器，增大L
就可以降低内插的误差。然而，由于每个内插采样
点需要2L+1个样点，对于大的L，计算负荷往往是
那么可以用大小为
的采样频率
来采样并恢复信号，其中m是不超过
的最大整数。更高的采样频率未必全都能
用，除非它高于 （该数值等于低通采样
定理规定的采样频率 ）。
如图3-5所示为归一化采样频率fs作为归一化中心频 率f0/B的函数曲线，其中f0和fh通过公式fh= f0+B/2相 关联。
结论: 从图中可以看到，允许的采样频率总是处在
定点运算
尽管在大多数时候，考虑用通用计算机进行仿 真，我们还是暂时来考虑一下由于定点数表示 而引入的量化误差。首先，通过定点运算，可 以阐明量化误差的疾病如能产生机理。而且， 因为定点计算的运行速度比浮点计算快得多， 所以已经开发出了使用运算的专用仿真器。此 外，定点处理器的功耗通常比较低。
还有一个主要原因是，经常要仿真使用 定点运算设备。一般来说可以通过定点 运算把成本降到最小另外定点运算比浮 点运算快得多。
3.2 量化
量化过程和简单的定点编码过程如下图所示。图中 给出了连续时间波形和许多该波形的采样点，采样值
以黑点表示，每个采样点都落在一个量化级内。假设
有n个量化级，每个量化级用一个长度为b比特的二进
制字表示，于是
。量化之后，采样值用一个
与其所处量化级相对应的码字来表示，而波形的数字 处理通过对码字的处理来完成。例如，下图中前三个 采样值可以用二进制序列100110111表示。
把信道输出波形乘以解扩码，假设扩频码取值为±1，
并假设扩频码和解扩码完全相同，且被正确同步， 则扩频码与解扩码相乘后有 ，因此扩频 和解扩不会影响所关心的信道。在乘过解扩码后， 进入低通滤波器输入端的数据信号又变成了窄带信
号，而所有其他信号分量则变成了宽带信号。低通
滤波器提取窄带数据信号。低通滤波器提取窄带数
即：
理想重构
假设带限信号是用超过 2f H 的采样频率进行采 重购方法：
样的，那就可以将采样点通过带宽为fs /2的理
想低通滤波器来重构信号。如果fs 〉2fh，在
附近的频谱与在f=0附近的频谱将不
会发生重叠。如下图所示。
重构滤波器
重构滤波器的冲击响应为：
其中包含了缩放因子 因此： 或者
代入得：