数字图像处理之采样、量化、插值、傅里叶变换

无记忆和有记忆量化。
（4）按量化时处理的采样点数分
标量量化和矢量量化。
均匀对称量化
（a）中央上升型
（b）中央平稳型
非均匀对称量化
（a）中央上升型
（b）中央平稳型
均匀量化
等间隔量化就是简单地把采样值的灰度范围等间隔地分割并进行量
化。 对于像素灰度值在黑—白范围较均匀分布的图像，这种量化方法可 以得到较小的量化误差。该方法也称为均匀量化或线性量化。 将[z0,zk) 均分成个k子区间后，每个区间的长度
离散图像：是指用一个数字阵列表示的图像。
2.1.1图像的获取
像素：组成数字图像的基本元素。
连续图像可以认为是由无数个像素组成的，而且
没一点的灰度值都是从黑到白有无限多个可能取 值。 数字图像可以认为是按某种规律（如模拟/数字 转换）编成一系列二进制数码（0和1）来表示图 像上每个点的信息。
均匀量化和非均匀量化的效果比较
向量量化
定义：将一组采样的信号幅度向量在容许的误差
范围内用更少的离散向量代替。 与标量量化相比，向量量化提供较低的失真，但 运算量比标量量化大得多。 原理：一次量化2个以上采样点，量化过程需要 用到一个码书。 实质就是在码书中找到输入矢量X 的最近码字， 其衡量标准就是误差测度，通常采用平方误差测 度。

实际采样与理想采样
采样的时域表达
采样的实现通常是由一个图像传感元件完成的，
它将每个像素位置上的亮度转换成与之相关的连 续的测量值，然后将该测量值转化成与其成正比 的电压值。最后，再在图像传感器后面，跟随一 个电子线路的模数转换器，将连续的电压值转化 成离散的整数。
采样定理
采样定理 一个频带限制在(0, fH)Hz内的时间连续信号m(t), 如果以大于 或等于2fH的采样速率对它进行等间隔采样，则可以由采样 序列无失真地恢复原始信号m(t)。 如采样间隔Ts=1/(2fH)，则Ts被称为奈奎斯特（Nyquist）间隔 。如采样频率fs=1/Ts ，则fs 被称为奈奎斯特（Nyquist）速率 。 采样定理告诉我们，若采样速率f < fs（或采样间隔T>Ts）， 则会产生失真，这种失真称为混叠失真。
e( X , X i ) 1 k
1

m 1
k
k

x(m ) x i (m )
2
均方误差（MSE）
e( X , X i )
x(m ) x i (m ) k m 1
对于一幅特定的图像，根据其灰度的分布特征，


在少的量化级数下，采用非均匀量化技术的效果 一定比均匀量化效果好。 但是，当允许量化级数比较多时，因为均匀量化 已经足够对图像的细节进行描述，采用非均匀量 化的效果不明显，只能徒增量化算法的复杂度， 因此这种情况下多采用均匀量化。 实际上，由于图像灰度值的概率分布密度函数因 图像不同而异，所以不可能找到一个适用于各种 不同图像的最佳非等间隔量化方案，因此，实用 上一般多采用等间隔量化。
傅里叶变换原理


快速傅氏变换（FFT），是离散傅氏变换的快速算法，
它是根据离散傅氏变换的奇、偶、虚、实等特性，对离 散傅立叶变换的算法进行改进获得的。 具体算法参考相关文献。
量化
模拟图像经过采样后，在空间上离散化为像素。但采样
所得的像素值(即灰度值)仍是连续量。 量化：把采样后所得的各像素的灰度值从模拟量到离散 量的转换称为图像灰度的量化。 图 (a)说明了量化过程。若连续灰度值用z来表示，对于 满足zi≤z<zi+1的z值，都量化为整数qi。 灰度值：qi称为像素的灰度值。 误差：z与qi的差称为量化误差。 一般，像素值量化后用一个字节8 bit来表示。如图 (b) 所示，把由黑—灰—白的连续变化的灰度值量化为0～ 255共256级灰度值。
函数，按总的量化误差最小的原则来进行量化。 具体做法是对图像中像素灰度值频繁出现的灰度值范围 ，量化间隔取小一些； 而对那些像素灰度值极少出现的 范围，则量化间隔取大一些。 显然，在需要以少的数据量来描述图像的场合，可以采 用非均匀量化技术，以达到尽量少的数据使所描述的图 像效果尽可能地好。 f( N y x, M y) x

连续图像经过采样之后所获得的数字图像的效果与以下几个评价参
数有关。
图像分辨率：采样所获得的图像总像素的多少。（如数码相机的30
万像素） 采样密度：图像上单位长度所包含的采样点数。采样密度的倒数是 采样间隔。 采样频率：是指一秒钟内采样的的次数。它反映了采样点之间的间 隔大小，采样频率越高，丢失的信息越少，采样出的样本细腻逼真 图像的质量好，但要求的存储量越大。 （图像大小：对一幅图像采 样时，若每行（即横向）像素为M个，每列（即纵向）像素为N个， 则图像大小为M×N个像素。 ） 扫描分辨率：表示一台扫描仪输入图像的细微程度。指每英寸（1英 寸=2.5cm）扫描所得到的点。单位DPI。数值越大表示被扫描的图 像转化为数字化图像越逼真，扫描仪质量越好。
获取图像就是将连续图像转化为数字图像。
(Image Acquisition)
2.2.2 图像的获取
图像获取即图像的数字化过程，包括扫描、
采样和量化。
图像获取设备由5个部分组成：采样孔，扫
描机构，光传感器，量化器和输出存储体。
关键技术有：采样——成像技术；量化—
—模数转换技术。图像获源自设备 无论采用那种评价参数，都反映采样点间隔的选取是一
个很重要的问题。显然，想要获得更加清晰的图像质量 。 ，就要提高图像采样像素点数，也就是要使用更多的像 素点来表示该图像，但是相对要付出更大存储空间的代 价 采样间隔的大小取决于原图像的细微亮暗变化。 从频域的角度来看采样问题：根据一维采样定理，若一 维信号g（t）的最大截止频为w，以，则T<=1/2w为采 样间隔进行采样，则能够根据采样结果g(nt)完全恢复 g(t).
最佳量化
最佳量化
使量化误差最小的量化方法为最佳量化。 最佳量化方法：
思想：计算所有可能灰度级出现的概率分布，根据灰度级出现概率
的多少决定分层的疏密。对于出现次数较多的大部分灰度作精确分 层，对出现次数少的灰度级做粗糙分层。（这将比均匀量化更易获 取良好的图象质量）
L (zk z0 ) / k
各子区间以它的中心位置作为量化值
q i ( z i z i 1 ) / 2
当待量化值在区间内均匀分布时

2
p ( z ) 1 / kL
最小：

2
L / 12
2
非均匀量化
为了减小量化误差，引入了非均匀量化的方法。 非均匀量化依据一幅图像具体的灰度值分布的概率密度


一维向量量化
目的：对任一输入矢量X，在码书中寻找最佳匹
配码矢Xi。 常用的最佳匹配原则：寻求最小误差。 若码书尺寸为M，矢量X对应码矢Xi，信号矢量X 的概率密度函数为p(X)，则总的量化误差可表示 a e( X , X ) p ( X ) 为 常用的误差有 ：
i i
均方绝对值误差（MAE）
数字图像处理
上海理工大学 印刷光学 秦杨
第2讲 数字图像与印刷图像的获取
2.1如何不失真获取图像
2.2印刷图像如何获取
2.1如何不失真获取图像
图像数字化 连续图像：二维坐标系中具有连续变化的，
即图像画面的像点是无限稠密的，同时其灰度 值（即图像从暗到亮的变化值）也是无限稠密 的图像，称为连续图像。连续图像又称为模拟 图像。 该阵列中每一个元素称为像素。离散图像又称 为数字图像。
图像采样与数字图像质量
如图是图像采样与图像质量的关系。
图像采样与数字图像质量
1024x1024 512x512>1024x1024 256x256>1024x1024
32x32 64x64
128x128
由采样定理可知，要想无失真的恢复一幅图像，采样频 率应该大于图像模拟信号最高频率的2倍。如果采样频率低 于原信号最高频率的2倍，则恢复的信号中会包含原信号中 不存在的低频成分，称为混淆，它会对信号造成干扰。 采样傅里叶变换，可以获得信号的频谱，并从中得知信 号最高频率的数值。 在图像印刷传递过程中，依据原稿特点和采样定理进行 适当的分辨率设置是很重要的，因为这一步骤决定了从原稿 上采集到的原始图像频率状况，在此采样定理的指导意义是 很明显的。
(1) 采样孔： 使数字化设备实现对特定图像元素的观测
，不受图像其它部分的影响。 (2) 图像扫描机构： 使采样孔按照预先定义的方式在图 像上移动，从而按顺序观测每一个像素。 (3) 光传感器： 通过采样检测图像每一个像素的亮度。 通常采用CCD阵列。 (4) 量化器： 将光传感器输出的连续量转化为整数值。 典型的量化器是A/D转换电路，它产生一个与输入电压或 电流成比例的数值。 (5) 输出存储装置： 将量化器产生的颜色值(灰度或彩 色)按某种格式存储，以用于后续的计算机处理。
Basic experimental setup used to characterize brightness discrimination
(a )
(b )
图2-1 采样网格 (a) 正方形网格; (b) 正六角形网格
采样 2.1.1 采样 空间上或时域上连续的图像（模拟图像）变换成 离散采样点（像素）集合的操作称为采样。
由于图像基本是采取二维平面信息的分布方式来描述的，
所以为了对它进行采样操作，需要先将二维信号变为一位信号
，再对一维信号完成采样。换句话说就是讲二维采样转化为两 次一维采样操作来实现。
图2-2是采样原理示意图。
采样
采 样列 像素
采 样行 行 间隔