高等数学概率方差

D
是r.v. 的标准
解:

E E
1 D
ED化 随 机变D1 量E。
E D
0

D D
1 D
E D


1
D
D
1
例6、设随机变量 的期望 E 存在，且 E a E 2 b ，c为一常数，则
Dc （ c2 b a2 ）

甲炮射击结果
乙炮射击结果
你认为哪门炮射击效果好一些呢?
因为乙炮的弹着点较集中在中心附近 .
乙较好
为此需要引进另一个数字特征,用它来 度量随机变量取值在其中心附近的离散 程度.
这个数字特征就是我们这一讲要介绍的 方差
一、方差的定义
设 是一个随机变量，若 E
则称
D

E


E
2

测量结果的
甲仪器测量结果
均值都是 a
a
乙仪器测量结果
较好
若让你就上述结果评价一下两台仪器的优劣， 你认为哪台仪器好一些呢？
因为乙仪器的测量结果集中在均值附近
又如,甲、乙两门炮同时向一目标射击10发炮 弹，其落点距目标的位置如图：


中 心


中心

a
而前面我们已经计算过
Ebaa b
3
从而
D

a2
ab b2 3


a
2
b
2

2 b a2
12
源自文库
例3、设r.v. 服从参数为 的指数分布，求 D 。
解：已知 的概率密度为
f

x

ex ,

0,
x0 其它
D E 2 E 2
E
xf x dx
1
x
ax2 bx c
dx

0
1 a b c 0.5 43
E 2 D E 2 0.15 0.25 0.4 x2 f x dx
1 x2 ax2 bx c dx 1 a 1 b 1 c
例7、设 则

为一随机变量，已知
E
1，D


2


1
E 12 （ 4
）
小结：这一讲,我们介绍了随机变量的方差. 它是刻划随机变量取值在其中心附近离散程 度的一个数字特征 .通过方差,可以判断均值 相同的随机变量的取值情况.
数学期望和方差是随机变量的两个重要的数 字特征，反应了随机变量取值的重要信息。 大家一定要好好掌握。
而前面我们已经计算过 E p
从而 D p p2 p1 p
例2、设r.v. 服从[a,b]上的均匀分布，求D 。
解：已知 的概率密度为
f

x

b
1
a
,
a xb
0,
其它
D E 2 E 2
E 2 x2 f x dx b x2 1 dx b2 ab a2
相互独立，则
D1 2 n D1 D2 Dn
D


1 n
n i1
i


1 n

D1

D2
n
Dn
例5、设随机变量 的期望和方差为 E
和 D ,且 D 0 ,求 E: 称为
E 的期望和方差D。
若 的取值比较分散，则方差较大 .
可见，方差的大小刻划了随机变量的取值 与其数学期望的离散程度。
由定义知，方差是随机变量 的函数
g E 2 的数学期望 .

xk E 2 pk ,
D


k 1
为离散型，
P xk pk ,k 1, 2,
利用期望 性质
这个公式很重要，它不仅证明了一般情况
下 E 2 E 2 ，而且经常用它来简化方差
的计算。
例1、设r.v. 服从参数为p的0-1分布，求 D 。 解：由题知 的分布列为

01
pk
1－p p
D E 2 E 2 E 2 02 1 p 12 p p
E 2
x2 f

x
dx
0
x2
exdx

2
2
而前面我们已经计算过 E 1

从而
D

2
2


1

2

1
2
例4、设随机变量 的概率密度为如下，求a，
b，c。
f

x

ax2

bx

c,
0,
0 x 1 其它
解:
0
543
1 f x dx 1 ax2 bx c dx a b c

0
32
解联立方程组

a 4

b 3

c 2

0.5

a 5

b 4

c 3

0.4

a 3

b 2

c

1
得 a 12, b 12, c 3
第三章第四节 方差、协方差
上一讲我们介绍了随机变量的数学期望， 它体现了随机变量取值的平均水平，是随 机变量的一个重要的数字特征.
但是在一些场合，仅仅知道平均值是 不够的.
例如，某零件的真实长度为a，现用甲、
乙两台仪器各测量10次，将测量结果X用坐
标上的点表示如图：
a
思考：按规定，某车站每天8:00-9:00,9:0010:00都恰有一辆客车到站。客车到站 的时刻是随机的，并且两车到站的时 间相互独立，其规律如下：
到站时间 概率
8:10，9:10 1/6
8:30，9:30 3/6
8:50，9:50 2/6
假设现有一位外地朋友来作客，他只 有两个时间可以去候车：8:00或8:20， 想让你提个建议，你该如何建议朋友 呢？


E
2

存在，
为 的方差，称 D 为 的标准差（或均方 差、方差 根）。
采用平方是为了保证一切差值
E 都起正面的作用，避免
注：有的书上
也把方差记作
Var
或

2
正负相消。
D

E


E
2


0
若 的取值比较集中在 E 附近，则 方差较小；
三、方差的性质
设 ， 为任意随机变量，C为任意常数。
1、D ( C )=0；
2、 D C D ； 3、 DC C2D ；
与 不一定独立时，
D ? 请思考。
4、若 ， 相互独立，则 D D D ；
可推广至有限个r.v.的情形：设 1,2, ,n
x E 2 f x dx,
为连续型，
f x
二、计算方差的一个简化公式
D E 2 E 2
证：
D

E


E

2

二项式展开

E

2

2
E


E
2

E 2 2E E E 2
E 2 E 2