分段函数的几种常见题型及解法

函数的概念和性质
考点 分段函数
分段函数是指自变量在两个或两个以上不同的范围内, 有不同的对应法则的函数, 它是一个函数, 却又常常被学生误认为是几个函数; 它的定义域是各段函数定义域的并集, 其值域也是各段函数值域的并集. 由于它在理解和掌握函数的定义、函数的性质等知识的程度的考察上有较好的作用, 时常在高考试题中“闪亮”登场, 本文就几种具体的题型做了一些思考, 解析如下：
1．求分段函数的定义域和值域
例1．求函数1222[1,0];
()(0,2);3[2,);x x f x x
x x +∈-⎧⎪
=-∈⎨⎪∈+∞⎩
的定义域、值域.
2．求分段函数的函数值
例2．已知函数2
|1|2,(||1)()1,(||1)1x x f x x x
--≤⎧⎪
=⎨>⎪+⎩求12[()]f f .
3．求分段函数的最值
例3．求函数43(0)()3(01)5(1)x x f x x x x x +≤⎧⎪
=+<≤⎨⎪-+>⎩
的最大值.
4．求分段函数的解析式
例4．在同一平面直角坐标系中, 函数()y f x =和()y g x =的图象关于直线y x =对称, 现将()y g x =的图象沿x 轴向左平移2个单位, 再沿y 轴向上平移1个单位, 所得的图象是由两条线段组成的折线（如图所示）, 则函数()f x 的表达式为（ ）
222(10)
.()2(02)x x x A f x x +-≤≤⎧=⎨+<≤⎩
222(10)
.()2(02)x x x B f x x --≤≤⎧=⎨-<≤⎩
222(12)
.()1(24)x x x C f x x -≤≤⎧=⎨+<≤⎩
2
26(12)
.()3(24)x x x D f x x -≤≤⎧=⎨-<≤⎩
y
x
5．作分段函数的图像 例5．函数|ln |
|1|x y e
x =--的图像大致是（ ）
A
C
D
6．求分段函数得反函数
例6已知()y f x =是定义在R 上的奇函数, 且当0x >时, ()31x
f x =-, 设
()f x 的反函数为()y g x =, 求()g x 的表达式.
7．判断分段函数的奇偶性
例7．判断函数22(1)(0)
()(1)(0)
x x x f x x x x ⎧-≥⎪=⎨-+<⎪⎩的奇偶性.
8．判断分段函数的单调性
例8．判断函数32
(0)
()(0)x x x f x x
x ⎧+≥⎪=⎨-<⎪⎩的单调性.
例9．写出函数()|12||2|f x x x =++-的单调减区间.
9．解分段函数的方程
例10．设函数812(,1]()log (1,)
x x f x x x -⎧∈-∞=⎨∈+∞⎩, 则满足方程1
()4f x =的x 的值为
10．解分段函数的不等式
例11．设函数1221(0)
()(0)x x f x x x -⎧-≤⎪
=⎨⎪>⎩, 若0()1f x >, 则0x 得取值范围是（ ）
.(1,1)A - .(1,)B -+∞ .(,2)(0,)C -∞-⋃+∞ .(,1)(1,)D -∞-⋃+∞
例12．
设函数2(1)
(1)()4(1)
x x f x x ⎧+<⎪=⎨-≥⎪⎩, 则使得()1f x ≥的自变量x 的取值范围为
（ ）
v1.0 可编辑可修改
A ．(,2][0,10]-∞-⋃ B. (,2][0,1]-∞-⋃ C. (,2][1,10]-∞-⋃ D. [2,0][1,10]-⋃
反馈练习
1．（2013新课标全国Ⅰ，5分）已知函数f (x )＝⎩
⎪⎨
⎪⎧
－x 2
＋2x ，x ≤0，
ln x ＋1，x ＞0.若|f (x )|≥ax ，则
a 的取值范围是( )
A ．(－∞，0] B.(－∞，1] C ．[－2,1]
D ．[－2,0]
2．（2013福建，4分）已知函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪
⎧
2x 3
，x <0，－tan x ，0≤x <π
2，则f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝________.
3．（2013北京，5分）函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
log 12x ， x ≥1，
2x ， x <1
的值域为________．
4．（2012江西，5分）若函数f (x )＝⎩
⎪⎨
⎪⎧
x 2
＋1，x ≤1，
lg x ，x >1，则f (f (10))＝( )
A ．lg 101
B ．2
C ．1
D ．0
5．（2011北京，5分）根据统计，一名工人组装第x 件某产品所用的时间(单位：分钟)为
f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
c
x ，x <A ，c
A ，x ≥A
(A ，c 为常数)．已知工人组装第4件产品用时30分钟，组
装第A 件产品用时15分钟，那么c 和A 的值分别是( )
A ．75,25
B ．75,16
C ．60,25
D ．60,16
6．（2012江苏，5分）设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1,1]上，f (x )＝
⎩⎪⎨⎪
⎧
ax ＋1，－1≤x ＜0，bx ＋2
x ＋1
，0≤x ≤1，其中a ，b ∈R .若f (12)＝f (3
2
)，则a ＋3b 的值为________．
7．（2011江苏，5分）已知实数a ≠0，函数f (x )＝⎩
⎪⎨
⎪⎧
2x ＋a ，x ＜1，
－x －2a ，x ≥1.若f (1－a )＝f (1＋
a )，则a 的值为________．
函数的概念和性质
考点一 分段函数
分段函数是指自变量在两个或两个以上不同的范围内, 有不同的对应法则的函数, 它是一个函数, 却又常常被学生误认为是几个函数; 它的定义域是各段函数定义域的并集, 其值域也是各段函数值域的并集. 由于它在理解和掌握函数的定义、函数的性质等知识的程度的考察上有较好的作用, 时常在高考试题中“闪亮”登场, 本文就几种具体的题型做了一些思考, 解析如下：
1．求分段函数的定义域和值域
例1．求函数1222[1,0];
()(0,2);3[2,);x x f x x
x x +∈-⎧⎪
=-∈⎨⎪∈+∞⎩
的定义域、值域. 【解析】
作图, 利用“数形结合”易知()f x 的定义域为[1,)-+∞, 值域为(1,3]-.
2．求分段函数的函数值
例2．已知函数2
|1|2,(||1)()1,(||1)1x x f x x x --≤⎧⎪
=⎨>⎪+⎩求12[()]f f .
【解析】
因为311
222()|1|2f =--=-, 所以31222
32
14
[()]()1()13f f f =-=
=+-.
3．求分段函数的最值
例3．求函数43(0)()3(01)5(1)x x f x x x x x +≤⎧⎪
=+<≤⎨⎪-+>⎩
的最大值.
【解析】当0x ≤时, max ()(0)3f x f ==, 当01x <≤时, max ()(1)4f x f ==, 当1x >时, 5154x -+<-+=, 综上有max ()4f x =.
4．求分段函数的解析式
例4．在同一平面直角坐标系中, 函数()y f x =和()y g x =的图象关于直线y x =对称, 现将()y g x =的图象沿x 轴向左平移2个单位, 再沿y 轴向上平移1个单位, 所得的图象是由两条线段组成的折线（如图所示）, 则函数()f x 的表达式为（ ）
222(10)
.()2(02)x
x x A f x x +-≤≤⎧=⎨+<≤⎩ 222(10)
.()2(02)x
x x B f x x --≤≤⎧=⎨-<≤⎩ 222(12)
.()1(24)x x x C f x x -≤≤⎧=⎨+<≤⎩
226(12)
.()3(24)
x x x D f x x -≤≤⎧=⎨-<≤⎩
【解析】
当[2,0]x ∈-时, 12
1y x =+, 将其图象沿x 轴向右平移2个单位, 再沿y 轴向下
平移
1
个单位, 得解析式为1122
(2)111y x x =-+-=
-, 所以
()22([1,0])f x x x =+∈-, 当[0,1]x ∈时, 21y x =+, 将其图象沿x 轴向右平移2
个单位, 再沿y 轴向下平移1个单位, 得解析式2(2)1124y x x =-+-=-, 所以
12
()2([0,2])f x x x =+∈, 综上可得222(10)
()2(02)
x x x f x x +-≤≤⎧=⎨+<≤⎩, 故选A .
y x
5．作分段函数的图像 例5．函数|ln |
|1|x y e
x =--的图像大致是（ ）
A
C
D
解析：在定义范围讨论，当0<x<1时，1
1y x x
=+-；当x>1时1y =，故选D 6．求分段函数得反函数
例6已知()y f x =是定义在R 上的奇函数, 且当0x >时, ()31x
f x =-, 设
()f x 的反函数为()y g x =, 求()g x 的表达式.
【解析】
设0x <, 则0x ->, 所以()3
1x
f x --=-, 又因为()f x 是定义在R 上的奇函数,
所以()()f x f x -=-, 且(0)0f =, 所以()13x
f x -=-, 因此
31(0)()0(0)13(0)
x x x f x x x -⎧->⎪
==⎨⎪-<⎩
, 从而可得33log (1)(0)
()0
(0)log (1)(0)x x g x x x x +>⎧⎪==⎨⎪--<⎩.
7．判断分段函数的奇偶性
例7．判断函数2
2(1)(0)
()(1)(0)
x x x f x x x x ⎧-≥⎪=⎨-+<⎪⎩的奇偶性.
【解析】
当0x >时, 0x -<, 2
2
()()(1)(1)()f x x x x x f x -=---+=-=, 当0x =时,
(0)(0)0f f -==, 当0x <, 0x ->, 22()()(1)(1)()
f x x x x x f x -=---=-+=因此, 对于任意x R ∈都有()()f x f x -=, 所以()f x 为偶函数.
8．判断分段函数的单调性
例8．判断函数32
(0)
()(0)x x x f x x
x ⎧+≥⎪=⎨-<⎪⎩的单调性.
【解析】
显然()f x 连续. 当0x ≥时, '2
()311f x x =+≥恒成立, 所以()f x 是单调递增函数, 当0x <时, '
()20f x x =->恒成立, ()f x 也是单调递增函数, 所以()f x 在R 上是单调递增函数; 或画图易知()f x 在R 上是单调递增函数.
例9．写出函数()|12||2|f x x x =++-的单调减区间.
【解析】121231()
()3(2)31(2)x x f x x x x x -+≤-⎧⎪
=+-<<⎨⎪-≥⎩
, 画图易知单调
减区间为12(,]-∞-.
9．解分段函数的方程
例10．（01年上海）设函数812(,1]()log (1,)
x x f x x x -⎧∈-∞=⎨∈+∞⎩, 则满足方程1
()4f x =的x 的
值为
【解析】 若142
x
-=, 则222x
--=, 得2(,1]x =∉-∞, 所以2x =（舍去）, 若1814log x =,
则14
81x =, 解得3(1,)x =∈+∞, 所以3x =即为所求.
x
10．解分段函数的不等式 例
11
．
设
函
数
1221(0)()(0)x x f x x
x -⎧-≤⎪=⎨⎪>⎩, 若0()1f x >,
则0x 得
取值范围是（ ）
.(1,1)A - .(1,)B -+∞
.(,2)(0,)C -∞-⋃+∞ .(,1)(1,)D -∞-⋃+∞
【解析1】
首先画出()y f x =和1y =的大致图像, 易知0()1f x >时, 所对应的0x 的取值范围是(,1)(1,)-∞-⋃+∞.
【解析2】
因为0()1f x >, 当00x ≤时, 0211x
-->, 解得01x <-, 当00x >时, 12
01x >, 解得01x >, 综上0x 的取值范围是(,1)(1,)-∞-⋃+∞. 故选D.
例12．
设函数2
(1)
(1)()4(1)
x x f x x ⎧+<⎪=⎨-≥⎪⎩, 则使得()1f x ≥的自变量x 的取值范围为
（ ）
A ．(,2][0,10]-∞-⋃ B. (,2][0,1]-∞-⋃ C. (,2][1,10]-∞-⋃ D. [2,0][1,10]-⋃ 【解析】
当1x <时, 2
()1(1)120f x x x x ≥⇔+≥⇔≤-≥或, 所以21x x ≤-≤<或0, 当1x ≥
时
, ()141310f x x ≥⇔⇔⇔≤, 所以110x ≤≤, 综
上所述, 2x ≤-或010x ≤≤, 故选A 项.
【点评：】
x
y
v1.0 可编辑可修改
以上分段函数性质的考查中, 不难得到一种解题的重要途径, 若能画出其大致图像, 定义域、值域、最值、单调性、奇偶性等问题就会迎刃而解, 方程、不等式等可用数形结合思想、等价转化思想、分类讨论思想及函数思想来解, 使问题得到大大简化, 效果明显.
反馈练习
1．（2013新课标全国Ⅰ，5分）已知函数f (x )＝⎩
⎪⎨
⎪⎧
－x 2
＋2x ，x ≤0，
ln x ＋1，x ＞0.若|f (x )|≥ax ，则
a 的取值范围是( )
A ．(－∞，0] B.(－∞，1] C ．[－2,1]
D ．[－2,0]
解析：本题考查一次函数、二次函数、对数函数、分段函数及由不等式恒成立求参数的取值范围问题，意在考查考生的转化能力和利用数形结合思想解答问题的能力．当x ≤0时，
f (x )＝－x 2＋2x ＝－(x －1)2＋1≤0，所以|f (x )|≥ax 化简为x 2－2x ≥ax ，即x 2≥(a ＋2)x ，
因为x ≤0，所以a ＋2≥x 恒成立，所以a ≥－2；当x ＞0时，f (x )＝ln(x ＋1)＞0，所以|f (x )|≥ax 化简为ln(x ＋1)＞ax 恒成立，由函数图象可知a ≤0，综上，当－2≤a ≤0时，不等式|f (x )|≥ax 恒成立，选择D.
答案：D
2．（2013福建，4分）已知函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪
⎧
2x 3
，x <0，－tan x ，0≤x <π
2，则f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝________.
解析：本题主要考查分段函数的求值，意在考查考生的应用能力和运算求解能力．∵
f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π4＝－tan π4
＝－1，∴f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4
＝f (－1)＝2×(－1)3＝－2. 答案：－2
3．（2013北京，5分）函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
log 12x ， x ≥1，
2x ， x <1
的值域为________．
解析：本题主要考查分段函数的概念、性质以及指数函数、对数函数的性质，意在考查考生对函数定义域、值域掌握的熟练程度．
分段函数是一个函数，其定义域是各段函数定义域的并集，值域是各段函数值域的并集．当x ≥1时，log 12
x ≤0，当x <1时，0<2x
<2，故值域为(0,2)∪(－∞，0]＝(－∞，2)．
答案：(－∞，2)
4．（2012江西，5分）若函数f (x )＝⎩⎪⎨
⎪
⎧
x 2
＋1，x ≤1，lg x ，x >1，
则f (f (10))＝( )
A ．lg 101
B ．2
C ．1
D ．0
解析：f (10)＝lg 10＝1，故f (f (10))＝f (1)＝12
＋1＝2. 答案：B
5．（2011北京，5分）根据统计，一名工人组装第x 件某产品所用的时间(单位：分钟)为
f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
c
x ，x <A ，c
A ，x ≥A
(A ，c 为常数)．已知工人组装第4件产品用时30分钟，组
装第A 件产品用时15分钟，那么c 和A 的值分别是( )
A ．75,25
B ．75,16
C ．60,25
D ．60,16
解析：因为组装第A 件产品用时15分钟，所以c A ＝15(1)，所以必有4<A ，且c 4＝c
2
＝30(2)，联立(1)(2)解得c ＝60，A ＝16.
答案：D
6．（2012江苏，5分）设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1,1]上，f (x )＝
⎩⎪⎨⎪
⎧
ax ＋1，－1≤x ＜0，bx ＋2
x ＋1
，0≤x ≤1，其中a ，b ∈R .若f (12)＝f (3
2
)，则a ＋3b 的值为________．
解析：因为f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，所以f (32)＝f (－1
2)，且f (－1)＝f (1)，
故f (12)＝f (－12)，从而1
2b ＋212
＋1＝－1
2
a ＋1,3a ＋2
b ＝－2. ①
由f (－1)＝f (1)，得－a ＋1＝
b ＋2
2
，故b ＝－2a . ②
由①②得a ＝2，b ＝－4，从而a ＋3b ＝－10. 答案：－10
7．（2011江苏，5分）已知实数a ≠0，函数f (x )＝⎩
⎪⎨
⎪⎧
2x ＋a ，x ＜1，
－x －2a ，x ≥1.若f (1－a )＝f (1＋
a )，则a 的值为________．
解析：①当1－a ＜1，即a ＞0时，此时a ＋1＞1，由f (1－a )＝f (1＋a )，得2(1－a )＋a ＝－(1＋a )－2a ，计算得a ＝－3
2
(舍去)；②当1－a ＞1，即a ＜0时，此时a ＋1＜1，由
f (1－a )＝f (1＋a )，得2(1＋a )＋a ＝－(1－a )－2a ，计算得a ＝－34
，符合题意，所以综上
所述，a ＝－3
4
.
答案：－3
4。