求值域的方法大全及习题

求值域方法

常用求值域方法

（1）、直接观察法：利用已有的基本函数的值域观察直接得出所求函数的值域

对于一些比较简单的函数，如正比例,反比例,一次函数,指数函数,对数函数,等等, 其值域可通过观察直接得到。

例1、求函数

1

,[1,2]y x x =

∈的值域。

例2、 求函数x 3y -=的值域。 【同步练习1】函数2

21x

y +=

的值域.

（2）、配方法：二次函数或可转化为形如c x bf x f a x F ++=)()]([)(2

类的函数的值域问题，均可用配方法，而后一情况要注意)(x f 的范围；配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。

例1、求函数

225,y x x x R =-+∈的值域。

例2、求函数]2,1[x ,5x 2x y 2

-∈+-=的值域。

例3、求()()22log 26log 62log 22

222

2-+=++=x x x y 。（配方法、换元法）

例4、设02x ≤≤，求函数1

()4321x x f x +=-+的值域．

例5、求函数13432-+

-=x x y 的值域。（配方法、换元法）

例6、求函数x x y 422+--=的值域。（配方法） 【同步练习2】

1、求二次函数2

42y x x =-+-（[]1,4x ∈）的值域.

2、求函数342-+-=x x e y 的值域.

3、求函数421,[3,2]x

x y x --=-+∈-的最大值与最小值.

4、求函数])8,1[(4

log 2log 22

∈⋅=x x

x y 的最大值和最小值. 5、已知[]0,2x ∈，求函数1

2

()4

325x x f x -=-⋅+的值域.

6、若,42=+y x 0,0>>y x ,试求y x lg lg +的最大值。

（3）、换元法：（三角换元法）有时候为了沟通已知与未知的联系，我们常常引进一个（几个）新的量来代替原来的量，实行这种“变量代换”往往可以暴露已知与未知之间被表面形式掩盖着的实质，发现解题方向，这就是换元法．在求值域时，我们可以通过换元将所给函数化成值域容易确定的另一函数，从而求得原函数的值域．

例1、

求()f x x =+

【同步练习3】求函数x x y 21--=的值域。 例2、求函数221x x x y +-=的值域。

【同步练习4】求函数2

x 54x y -++=的值域。

【同步练习5】

1、求函数x x y 21-+=的值域.

2、求函数2

)1x (12x y +-++=的值域。

3、已知函数)(x f 的值域为⎥⎦

⎤⎢⎣⎡95,83，求函数)(21)(x f x f y -+=的值域.

（4）、函数有界性法（方程法）

直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，来确定函数的值域。 我们所说的单调性，最常用的就是三角函数的单调性。

例1、求函数3

sin 3

sin +-=

x x y 的值域。

例2、求函数3

cos 21

sin 3+-=

x x y 的值域。

【同步练习6】求函数

11x x e y e -=+，2sin 11sin y θθ-=+，2sin 11cos y θθ-=

+的值域.

（5）、数形结合法（函数的图像）：对于一些函数（如二次函数、分段函数等）的求值域问题，我们可以借助形象直观的函数图象来观察其函数值的变化情况，再有的放矢地通过函数解析式求函数最值，确定函数值域，用数形结合法，使运算过程大大简化．

其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式直线斜率等等，这类题目若运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然，赏心悦目。

例1、 求函数22

23(20)()23(03)

x x x f x x x x ⎧+--<⎪=⎨--⎪⎩，

≤ ≤≤的值

域．

例2、 求函数2

2)8x ()2x (y ++-=的值域

.

例3、求函数5x 4x 13x 6x y 2

2++++-=的值域.

例4、求函数

5x 4x 13x 6x y 2

2++-+-=的值域. 【同步练习7】

1、求函数13y x x =-+-的值域.

2、求函数31y x x =--+的值域.

3、

求函数y =

. 4、求函数()225222++-++=

x x x x x f 的最大值.

（6）均值不等式法：利用基本关系,0)]([2≥x f 两个正数的均值不等式ab b a 2≥+在应用时要注意“一正二定三相等”；

利用基本不等式abc 3c b a ,ab 2b a 3

≥++≥+)R c ,b ,a (+∈，求函数的最值，其题型特征解析式是和式时

要求积为定值，解析式是积时要求和为定值，不过有时需要用到拆项、添项和两边平方等技巧。

例1、求函数)1(1

2

22->+++=

x x x x y 的值域 例3、 求函数4)x cos 1x (cos )x sin 1x (sin y 2

2-+++

=的值域.

（7）、根判别式法：对于形如2111

2

222

a x

b x

c y a x b x c ++=++（1a ，2a 不同时为0）的函数常采用此法，就是把函数转化成关于x 的一元二次方程（二次项系数不为0时），通过方程有实数根，从而根的判别式大于等于零，求得原函数的值域．

对二次函数或者分式函数（分子或分母中有一个是二次）都可通用，但这类题型有时也可以用其他方法进行化简 如:

.1

12..2

22

22222

b

a y 型：直接用不等式性质k+x bx

b. y 型,先化简，再用均值不等式

x mx n

x 1 例：y 1+x x+x

x m x n c y 型 通常用判别式

x mx n x mx n

d. y 型

x n

法一：用判别式 法二：用换元法，把分母替换掉

x x 1（x+1）（x+1）+1 1

例：y （x+1）1211

x 1x 1x 1=

=++==≤

''

++=++++=+++-===+-≥-=+++

例1、求函数2

2

11x x y x

++=+的值域．

例2、求函数

)

x 2(x x y -+=的值域.