导数运算中构造函数解决抽象函数问题

导数运算中构造函数解决抽象函数问题

【模型总结】

关系式为“加”型

（1）'()()0f x f x +≥ 构造[()]'['()()]x x e f x e f x f x =+

（2）'()()0xf x f x +≥ 构造[()]''()()xf x xf x f x =+

（3）'()()0xf x nf x +≥ 构造11[()]''()()['()()]n n n n x f x x f x nx

f x x xf x nf x --=+=+

（注意对x 的符号进行讨论）

关系式为“减”型 （1）'()()0f x f x -≥ 构造2()'()()'()()[]'()x x x x x

f x f x e f x e f x f x e e e --== （2）'()()0xf x f x -≥ 构造2()'()()[]'f x xf x f x x x

-= （3）'()()0xf x nf x -≥ 构造121

()'()()'()()[]'()n n n n n f x x f x nx f x xf x nf x x x x -+--== （注意对x 的符号进行讨论）

小结：1.加减形式积商定 2.系数不同幂来补 3.符号讨论不能忘

典型例题：

例 1.设()()f x g x 、是R 上的可导函数，'()()()'()0f x g x f x g x +<，(3)0g -=，求不等式()()0f x g x <的解集

变式：设()()f x g x 、分别是定义在R 上的奇函数、偶函数，当0x <时，'()()()'()0f x g x f x g x +>，(3)0g -=，求不等式()()0f x g x <的解集. 例2.已知定义在R 上的函数()()f x g x 、满足()()

x f x a g x =，且'()()()'()f x g x f x g x <，(1)(1)5(1)(1)2f f g g -+=-，若有穷数列*()()()f n n N g n ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭

的前n 项和等于3132，则n 等于 . 变式：已知定义在R 上的函数()()f x g x 、满足()()

x f x a g x =，且'()()()'()f x g x f x g x <，若若

(1)(1)5(1)(1)2

f f

g g -+=-，求关于x 的不等式log 1a x >的解集.

例3.已知定义域为R 的奇函数()f x 的导函数为'()f x ，当0x ≠时，()'()0f x f x x +>，若111(),2(2),ln (ln 2)222

a f

b f

c f ==--=，则关于,,a b c 的大小关系是 例4.已知函数()f x 为定义在R 上的可导奇函数，且()'()f x f x <对于任意x R ∈恒成立，且f （3）=e ，则()f x /e^x<1的解集为

变式：设()f x 是R 上的可导函数，且'()()f x f x ≥-，(0)1f =，21(2)f e =

.求(1)f 的值. 例5.设函数()f x 在R 上的导函数为'()f x ，且22()'()f x xf x x +>，

变式：已知()f x 的导函数为'()f x ，当0x >时，2()'()f x xf x >，且(1)1f =，若存在x R +∈，使2()f x x =，求x 的值.

巩固练习:

1.定义在R 上的函数()f x ，其导函数()'f x 满足()'1f x >，且()23f =，则关于x 的不

等式()1f x x <+的解集为 ▲ ．

2.已知定义在R 上的可导函数()y f x =的导函数为/()f x ，满足/()()f x f x <，且

(1)y f x =+为偶函数，(2)1f =，则不等式()x f x e <的解集为 ▲

3.设)(x f '和)(x g '分别是()f x 和()g x 的导函数，若()()0f x g x ''≤在区间I 上恒成立，则称)(x f 和)(x g 在区间I 上单调性相反.若函数31()23

f x x ax =-与2()2

g x x bx =+在开区间(,)a b 上单调性相反（0a >），则b a -的最大值为 ▲

4.设函数)(x f 在R 上存在导数)(x f '，对任意的R x ∈有2

)()(x x f x f =+-，且在()+∞,0 上，.)(x x f >'，若,22)()2(a a f a f -≥--则实数a 的取值范围为 ▲ ；