§2.4 卷积积分的性质
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§2.4 卷积积分
形脉冲信号分量x( )[ (t )d ]叠加起来构成的。 3. 是积分变量，t是积分参变量（在积分过程中可视为常数）， 该积分公式也可以直接从单位冲激函数的取样特性得到。 3
一．卷积（Convolution）的引入
(t ) (t - )
LTI
h(t )
LTI LTI
h(t - )
t 0(即 t )时， (t ) 0 原式
t
e
( t )
d e e
t
t
1
12
五．对卷积积分的几点认识
r t
f ht d
(1)t：观察响应的时刻，是积分的参变量； : 信号作用的时刻，积分变量 从因果关系看，必定有 t (2)分析信号是手段，卷积中没有冲激形式，但有其内容
y f (t )
f ( )h(t ) d f (t ) * h(t )
5
例2-4-1：f (t) = e t,（-∞<t<∞)，h(t) = (6e-2t – 1)ε(t)， 求yf(t)。 yf(t) = f (t) * h(t)
y f (t )
e e
f H t d
f t f t d
f h t d
(t-)的响应
即LTI系统在信号激励f(t)下产生的零状态响应．
rzs t f t h t f t h t
f()是h(t-)的加权，求和
即df()是h(t-)的加权，积分
第二章 (4)卷积积分的性质
f 1 (t )
f 2 (t )
2
1
0
2
0 1
1
2 3
t
1
3
t
解法一: 解法一:图示法
f 1 (τ
t <1 ,
)
f (t ) = 0
2
0
1
2 3
τ
f 2 (t τ
t2
)
1
t 0
1
τ
解法一: 解法一:图示法
f 1 (τ
t <1 ,
)
t
f (t ) = 0
1< t < 2 ,
f (t ) = ∫ 2dτ = 2(t 1)
(2) e ε(t + 3) ε(t 5) 2t e ε (t + 3) ε (t 5) ∞ 2τ = ∫ e ε (τ + 3) ε (t τ 5)dτ ∞
2t
=∫t 53e2τ1 2(t 5) 6 e = e 2 6 1 2( t 2) = e 1 e 2
[
1 2τ dτ = e 2
' ∞ ∞
上式称为杜阿密尔积分. 上式称为杜阿密尔积分. 杜阿密尔积分 其物理含义为: 其物理含义为:LTI系统的零状态响应等于激励的 系统的零状态响应等于激励的
f ' (t )与系统的阶跃响应 g(t )的卷积积分. 的卷积积分. 导数
例2.4-4 求图示函数 f1(t ) 与 f2 (t ) 的卷积 f (t ) .
若f (t ) = f1(t ) f2(t ),则 f1(t t1 ) f2(t t2 ) = f1(t t2 ) f2 (t t1 ) = f (t t1 t2 )
推广4 推广
§2.4 卷积积分的性质
f1(t)*f2(t) f1(x)f2(tx)dx
R12(t)= f1(t)* f2(–t) R21(t) = f1(–t)* f2(t) 。 可见，若f1(t)和 f2(t)均为实偶函数，则卷积与相 关完全相同。
▲
■
第 11 页
3. 相关函数的图解 (0<t1<2)
f2(-τ) 2
f2(τ) 2
▲
■
第 15 页
系统级联
f ( t ) h 1 ( t ) h 2 ( t ) f ( t ) [ h 1 ( t ) h 2 ( t ) f] (t)h(t) 系统级联，框图表示：
f (t) f (t)
h1 (t )
h2 (t )
f (t ) h1(t )
y(t)
f (t ) h1(t ) h2 (t )
自相关函数：
例
R()T l i m T 1T 2T 2 f(t)f(t)dt
■ 第 13 页
求周期 ft余 E c弦 o 1ts的 信自 号相关
解：对此功率有限信号，由自相关函数的定义，有
R
1
lim
T
T
T
2 T
2
f
tf t
dt
lim E 2 T T
T
2 T
cos
1
t
cos
1
t
dt
2
lim E 2 T T
函数比较有效。如指数函数，多项式函数等。
（2）图解法。特别适用于求某时刻点上的卷积值。
（3）利用性质。比较灵活。
三者常常结合起来使用。
▲
■
第7页
卷积性质例3
例：f1(t), f2(t)如图，求f1(t)* f2(t)
§2.4 卷积积分的性质
▲ ■ 第 4页
二、与冲激或阶跃信号的卷积
1. f (t ) (t ) (t ) f (t ) f (t )
证： f (t ) (t )
南航电子信息
f (t ) (t t0 )dt f (t0 ) f (t ) (t ) f (t )
注意：当 f1(t)=1 ， f2(t) = e – tε(t)时
套用 f1 (t ) f 2 (t ) f1(t ) f ( 1) (t ) 0 f ( 1) (t ) 0 显然是错误的 f1 () 0
▲ ■ 第 7页
四、卷积的时移特性
若 f(t) = f1(t)* f2(t)， 则 f1(t –t1)* f2(t –t2) = f1(t –t1 –t2)* f2(t) = f1(t)* f2(t –t1 –t2) = f(t –t1 –t2)
f1 (t ) f 2 (t ) f (t ) f 2
(i ) 1 ( i )
(t )
f
(i )
(t ) f
▲
( j) 1
(t ) f 2
(i j )
(t )
第 6页
■
例1: f1(t) 如图, f2(t) = e – tε(t)，求f1(t)* f2(t) 南航电子信息
( 1) 解： f1 (t ) f 2 (t ) f1 (t ) f 2 (t )
f1 (t ) (t ) (t 2)
f1(t ) (t ) (t 2)
t 0
f
( 1) 2
(t ) e ( )d [ e d ] (t )
二、与冲激或阶跃信号的卷积
1. f (t ) (t ) (t ) f (t ) f (t )
证： f (t ) (t )
南航电子信息
f (t ) (t t0 )dt f (t0 ) f (t ) (t ) f (t )
注意：当 f1(t)=1 ， f2(t) = e – tε(t)时
套用 f1 (t ) f 2 (t ) f1(t ) f ( 1) (t ) 0 f ( 1) (t ) 0 显然是错误的 f1 () 0
▲ ■ 第 7页
四、卷积的时移特性
若 f(t) = f1(t)* f2(t)， 则 f1(t –t1)* f2(t –t2) = f1(t –t1 –t2)* f2(t) = f1(t)* f2(t –t1 –t2) = f(t –t1 –t2)
f1 (t ) f 2 (t ) f (t ) f 2
(i ) 1 ( i )
(t )
f
(i )
(t ) f
▲
( j) 1
(t ) f 2
(i j )
(t )
第 6页
■
例1: f1(t) 如图, f2(t) = e – tε(t)，求f1(t)* f2(t) 南航电子信息
( 1) 解： f1 (t ) f 2 (t ) f1 (t ) f 2 (t )
f1 (t ) (t ) (t 2)
f1(t ) (t ) (t 2)
t 0
f
( 1) 2
(t ) e ( )d [ e d ] (t )
卷积积分
§2–4 卷积积分
一零状态响应与冲激响应的关系——卷积积分的定
由§1-4节，
称为f(t)与h(t)的卷积积分，可记为f(t) * h(t) . 用符号“*”表示。
当h(t)为因果信号而f(t)为无时限信号时，卷积的上限可变为t；
当h(t)为无时限信号而f(t)为因果信号时，卷积的下限可变为02；
而当h(t)和f(t)均为因果信号时，卷积的上、下限可变为t与02。
若h(t)和f(t)出现分段定义的情形，则卷积积分上、下限的确定最好借助于图解法：
二、卷积的图解法
以图示f1(t)与f2(t)卷积图解法为例，其步骤如下：
（1）画出f1(t)和f2(t)的波形。
（2） f2(t)折叠 => f2(2t)的波形。
（3） f2(2t)平移t => f2(t2t)的波形(t$0时为右移，t￠0时为左移)。
（4）信号相乘 => f1(t)f2(t2t)的波形(注意t在区间(2:,:)上取值不同时，会出现f1(t)f2(t2t)的若干种情况)。
（5）图解计算各种情况下相乘信号f1(t)f2(2t)非零的面积。
根据下述图解法可得f1(t)与f2(t)卷积积分的分段表达式为
注意到两个时限信号卷积后仍为时限信号，其左边界为原两左边界之和，右边界为原两右边界之和。
2.4 卷积积分的性质
1. f t t t f t f t
(t ) f (t ) d t f (0)
证： f (t )* (t ) (t )* f (t ) ( ) f (t ) d f (t )
f t t t0 f t t0
两种运算的不同之处仅在于，卷积运算需将 f2 进行反折
为 f 2 ，而相关运算不需反折，仍为 f2 。其他的移位、相乘 和积分的运算方法相同。
通信与信息工程学院基础教学部
小结： 求卷积是本章的重点与难点。
• 求解卷积的方法可归纳为： • （1）利用定义式，直接进行积分。对于容易求积分的函数比 较有效。如指数函数，多项式函数等。 • （2）图解法。特别适用于求某时刻点上的卷积值。 • （3）利用性质。比较灵活。 三者常常结合起来使用。
( ) f (t ) f (t ) ( ) d f (t )
f t
n
t f
n
t
3. f t t f ( ) (t ) d f ( ) d 对函数积分
t t t t
通信与信息工程学院基础教d n f1 (t ) d n f 2 (t ) dn f (t ) * f 2 (t ) * f 2 (t ) f1 (t ) * 1. n 1 n dt dt d tn dn f1 t f 2 t 证： n f1 (t )* f 2 (t ) n t dt n f2 t t f t 1
t 0
(t ) (1 e t ) (t )
(t ) f (t ) d t f (0)
证： f (t )* (t ) (t )* f (t ) ( ) f (t ) d f (t )
f t t t0 f t t0
两种运算的不同之处仅在于，卷积运算需将 f2 进行反折
为 f 2 ，而相关运算不需反折，仍为 f2 。其他的移位、相乘 和积分的运算方法相同。
通信与信息工程学院基础教学部
小结： 求卷积是本章的重点与难点。
• 求解卷积的方法可归纳为： • （1）利用定义式，直接进行积分。对于容易求积分的函数比 较有效。如指数函数，多项式函数等。 • （2）图解法。特别适用于求某时刻点上的卷积值。 • （3）利用性质。比较灵活。 三者常常结合起来使用。
( ) f (t ) f (t ) ( ) d f (t )
f t
n
t f
n
t
3. f t t f ( ) (t ) d f ( ) d 对函数积分
t t t t
通信与信息工程学院基础教d n f1 (t ) d n f 2 (t ) dn f (t ) * f 2 (t ) * f 2 (t ) f1 (t ) * 1. n 1 n dt dt d tn dn f1 t f 2 t 证： n f1 (t )* f 2 (t ) n t dt n f2 t t f t 1
t 0
(t ) (1 e t ) (t )
第二章(2)卷积积分
f 2 ( t )
•第四步，将f1(τ)和f2(t-τ)相乘，得到卷积积分 式中的被积函数f1(τ)f2(t-τ)。
•第五步，计算乘积信号f1(τ)f2(t-τ)波形与τ轴 之间包含的净面积，便是卷积在t时刻的值。
•第六步，令变量t在(-∞，∞)范围内变化，重 复第三、四、五步操作，最终得到卷积信号 f1(t)*f2(t)。
f 1 t
2
1
2 -1 0
f 2 t
t
0
1
2
t
16
练习题答案：
f 1 t f 2 t
2
f 1 t
2
2
-1
0
t
f 2 t
1
-1
0
1
t
0 1 2
t
思考：两个时限信号的卷积积分结果有何特点？ 从非零区间长度及形状考虑。
17
本节小结
1、卷积积分的解析法 2、卷积积分的图解法
3
4
(b )
o
f2 ( t － )
1
f1 ( ) f2 ( t － )
1
f1 ( )
t 0 (c ) t ＜ 0
3
0
t
3
(d ) 0＜ t ＜ 3
y (t ) 1 f1 ( ) f2 ( t － ) y (3)
0 (e ) t＞ 3
3
t
τ
0 (f )
3
t
例2 求下图所示函数 f1 (t ) f 2 ( t )的卷积积 和 f 1 t f 2 t 分。 2
2
( ) 2 ( t ) d
6 e
•第四步，将f1(τ)和f2(t-τ)相乘，得到卷积积分 式中的被积函数f1(τ)f2(t-τ)。
•第五步，计算乘积信号f1(τ)f2(t-τ)波形与τ轴 之间包含的净面积，便是卷积在t时刻的值。
•第六步，令变量t在(-∞，∞)范围内变化，重 复第三、四、五步操作，最终得到卷积信号 f1(t)*f2(t)。
f 1 t
2
1
2 -1 0
f 2 t
t
0
1
2
t
16
练习题答案：
f 1 t f 2 t
2
f 1 t
2
2
-1
0
t
f 2 t
1
-1
0
1
t
0 1 2
t
思考：两个时限信号的卷积积分结果有何特点？ 从非零区间长度及形状考虑。
17
本节小结
1、卷积积分的解析法 2、卷积积分的图解法
3
4
(b )
o
f2 ( t － )
1
f1 ( ) f2 ( t － )
1
f1 ( )
t 0 (c ) t ＜ 0
3
0
t
3
(d ) 0＜ t ＜ 3
y (t ) 1 f1 ( ) f2 ( t － ) y (3)
0 (e ) t＞ 3
3
t
τ
0 (f )
3
t
例2 求下图所示函数 f1 (t ) f 2 ( t )的卷积积 和 f 1 t f 2 t 分。 2
2
( ) 2 ( t ) d
6 e
信号与系统 卷积积分的性质
P47 2-8(1)(3)(5) ， 2-10(2)(4) P48 2-11(1)(3)(4)
信号与系统
d x t dt
h d
t
2
1
1 0
2
c
1
t
0
4
t
d
dxt t h d 15 dt 8
t
9 8
2
dxt t h d dt
3
1 0
2
2
6
1 0
2 3
6
t
f
e
信号与系统
t t t
[ 1 d ]u (t 1) [ 1 d ]u (t 2)
1 2
t
t
(t 1)u (t 1) (t 2)u (t 2)
(t 1)[u (t 1) u (t 2)] 3u (t 2) 0 t 1 3
0 t a 1 e d 1 e at 0 a
f t
1
1 d ]u(t ) 1 e at u t a
t 0
f d
t 0
t
e at
1 a
0
a
t
0
b
t
信号与系统
作业 13-4-16
t
y( )d f (t ) h( )d h(t ) f ( )d
t
y(t)的一重积分
y ( 1) (t ) f (t ) h( 1) (t ) f ( 1) (t ) h(t )
推广：
y ( m) (t ) f (t ) h( m) (t ) f ( m) (t ) h(t )
信号与系统
d x t dt
h d
t
2
1
1 0
2
c
1
t
0
4
t
d
dxt t h d 15 dt 8
t
9 8
2
dxt t h d dt
3
1 0
2
2
6
1 0
2 3
6
t
f
e
信号与系统
t t t
[ 1 d ]u (t 1) [ 1 d ]u (t 2)
1 2
t
t
(t 1)u (t 1) (t 2)u (t 2)
(t 1)[u (t 1) u (t 2)] 3u (t 2) 0 t 1 3
0 t a 1 e d 1 e at 0 a
f t
1
1 d ]u(t ) 1 e at u t a
t 0
f d
t 0
t
e at
1 a
0
a
t
0
b
t
信号与系统
作业 13-4-16
t
y( )d f (t ) h( )d h(t ) f ( )d
t
y(t)的一重积分
y ( 1) (t ) f (t ) h( 1) (t ) f ( 1) (t ) h(t )
推广：
y ( m) (t ) f (t ) h( m) (t ) f ( m) (t ) h(t )
4卷积积分的性质2冲激响应和阶跃响应.pdf
信号与系统 电子教案
第二章 连续系统的时域分析
2.1 LTI连续系统的响应
一、微分方程的经典解 二、关于0-和0+初始值 三、零输入响应和零状态响应
2.2 冲激响应和阶跃响应
一、冲激响应 二、阶跃响应
2.3 卷积积分
一、信号时域分解与卷积 二、卷积的图解
2.4 卷积积分的性质
一、卷积代数 二、奇异函数的卷积特性 三、卷积的微积分性质 四、卷积的时移特性
yt
dt
3yt
d
f t
dt
f
t
如果已知：1 f t t2; 2 f t et , 分别求两种情况下此方
程的特解。
解: (1)由于f(t)=t2，故特解函数式为
yp t P2t 2 P1t P0
这里P2， P1， P0，是常数。将此式代入方程得到
et[Ar1 cos( t r1) Ar2 cos( t r2) ... A0 cos( t 0)]
第2-3页
■
©西安电子科技大学电路与系统教研中心
信号与系统 电子教案
2.1 LTI连续系统的响应
例1 齐次解举例
求
d3 dt3
y
t
7
d2 dt2
y t 16 d
信号与系统 电子教案
2.1 LTI连续系统的响应
二、关于0-和0+值 (系数匹配法求0+初始值)
例：描述某系统的微分方程为
y”(t) + 3y’(t) + 2y(t) = 2f’(t) + 6f(t) 已知y(0-)=2，y’(0-)= 0，f(t)=ε(t)，求y(0+)和y’(0+)。
第二章 连续系统的时域分析
2.1 LTI连续系统的响应
一、微分方程的经典解 二、关于0-和0+初始值 三、零输入响应和零状态响应
2.2 冲激响应和阶跃响应
一、冲激响应 二、阶跃响应
2.3 卷积积分
一、信号时域分解与卷积 二、卷积的图解
2.4 卷积积分的性质
一、卷积代数 二、奇异函数的卷积特性 三、卷积的微积分性质 四、卷积的时移特性
yt
dt
3yt
d
f t
dt
f
t
如果已知：1 f t t2; 2 f t et , 分别求两种情况下此方
程的特解。
解: (1)由于f(t)=t2，故特解函数式为
yp t P2t 2 P1t P0
这里P2， P1， P0，是常数。将此式代入方程得到
et[Ar1 cos( t r1) Ar2 cos( t r2) ... A0 cos( t 0)]
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©西安电子科技大学电路与系统教研中心
信号与系统 电子教案
2.1 LTI连续系统的响应
例1 齐次解举例
求
d3 dt3
y
t
7
d2 dt2
y t 16 d
信号与系统 电子教案
2.1 LTI连续系统的响应
二、关于0-和0+值 (系数匹配法求0+初始值)
例：描述某系统的微分方程为
y”(t) + 3y’(t) + 2y(t) = 2f’(t) + 6f(t) 已知y(0-)=2，y’(0-)= 0，f(t)=ε(t)，求y(0+)和y’(0+)。
卷积积分(Convolution)的定义(精)
e(t) r(t) r ( t ) e ( t ) * h( t )
即
线性网络 零状态
t
h(t)
r (t ) e( )h(t )d
0
物理解释: 将激励 e(t)看成一系列宽度为 ，高度为 e(k )矩形脉冲叠加的。
e( t )
e(0)
o
2
k (k+1)
性质4筛分性性质3时刻观察到的响应应为0时间内所有激励产生的响应的和冲激响应积分参变量观察响应时刻解
6.10 卷积积分
一、卷积积分(Convolution)的定义 定义： 设 f1(t)， f2(t) t < 0 均为零
f1 (t ) * f 2 (t ) f1 ( ) f 2 (t )d
f1 (t ) f 2 ( )d f 2 ( t ) * f1 ( t )
性质2
f1 (t ) *[ f 2 (t ) f 3 (t )] f1 (t ) * f 2 (t ) f1 (t ) * f 3 (t )
性质3
[ f1 (t ) * f 2 (t )]* f 3 (t ) f1 (t ) *[ f 2 (t ) * f 3 (t )]
0
t
二、卷积积分的性质 性质1
f1 ( t ) * f 2 ( t ) f 2 ( t ) * f 1 ( t )
t
证明 f1 (t ) * f 2 (t ) 0 f1 ( ) f 2 (t )d
f1 ( t ) f 2 ( )(d )
t
t 0
0
令 = t ：0 t : t 0
f (t ) 2e d 2e ( t 1) 2e t
§2-4-卷积和零状态响应
(t
)d
t e (t- )d et t e d
1
1
t
e 1 et 1 e (e et ) 1 [e (t1) 1]
1
X
11
全章总结
第
页
• 本章内容包括五个部分：连续时域系统的描 述方法，双零响应、卷积的定义、图解方法 和性质，卷积积分法分析连续时域系统
u(t)
X
10
第
例
页
一 线 性 非时 变 系 统的 冲 激 响应 为 h(t)=eαtε(t) ，系 统的 激 励 为 f(t)=ε(t-1)，试求系统的零状态响应。
y f (t)
f (t) h(t)
f ( )h(t )d
(
1) e (t )
第
页
1.指数信号
信号的表示
2.正弦信号
函数表达式 f t
波形
3.复指数信号(表达具有普遍意义)
4.抽样信号(Sampling Signal) 5.钟形脉冲函数(高斯函数)
X
单位阶跃信号
1. 定义
0 t 0 u(t) 1 t 0
2. 有延迟的单位阶跃信号
0 u(t t0 ) 1
0
面积1；脉宽↓； 脉冲高度↑； 则窄脉冲集中于t=0处。
★面积为1
三个特点： ★宽度为0
★ 幅度无0 穷
t0 t0
X
24
第
t
(t) ( )d
页
(t) d (t)
dt
(t) f (t) f (0) (t)
卷积及其性质
f1 ( ) f 2 (t )d
（） 1 分 配 律 ： f1(t) [ f2(t) f3(t)] f1(t） f2(t) f1(t) f3(t) 物 理 意 义 ： 几 个 系 统 并 联 ， 可 等 效 为 一 个 冲 激 响 应 h(t) h1(t) h2(t) （ 2） 结 合 律 ： [ f1(t) f2(t)] f3(t) f1(t) [ f2(t) f3(t)] 物 理 意 义 ： 若 冲 击 响 应 为 h1(t)， h2(t)的 两 个 系 统 相 串 联 ， 此 两 系 统 的 组 合 可 等 效 唯 一 个 冲 击 响 应 h(t) h1(t)h2(t)的 系 统 。
x(n),x(m)
……
n,(m)
N-1
n,(m)
h(-m)
h(n-m)
…… n 0
……
n,(m)
n,(m)
…… n
……
n,(m)
n
n,(m)
所以
0, n 1 ( n 1) n 1 a y (n) a ,0 n N 1 1 1 a n 1 aN ,n N 1 a 1 1 a
(3) 交 换 律 ： f1(t) f2(t) f2(t) f1(t) 物 理 意 义 ： 串 联 的 子 系 统 可 以 任 意 交 换 位 置 。 （ 4） 卷 积 的 微 分 ： df2(t) df1(t) d f2(t) f1(t) f2(t) f1(t) dt dt dt （） 5 卷 积 的 积 分
m
x1 ( m ) x 2 ( n m )
例 ， 已 知 两 个 序 列 a n (0 a 1), n 0 1, 0 n N 1 x(n) , h(n) 0 , o t h e r s 0,n 0 求 卷 积 和 y (n ) x(n ) h (n ) 解 ： （1） 当 （ 2） 当 n 1 时 ，y ( n ) 0 ； 0 n N 1 时
最新§2.4 卷积积分的性质
ε(t) *ε(t) = tε(t)
▲
■
第3页
三、卷积的微积分性质
1. d d tn nf1 ( t)* f2 ( t) d n d f t1 n ( t)* f2 ( t) f1 ( t)* d n d f t2 n ( t)
证：上式= δ(n)(t) *[f1(t)* f2(t)]
= [δ(n)(t) *f1(t)] * f2(t) = f1(n)(t) * f2(t)
§2.4 卷积积分的性质
▲
■
第1页
证明交换律
f1tf2t f1()f2(t)d
令t， 则 : : ， dd
f1tf2t f2()f1(t)df2tf1t
•卷积结果与交换两函数的次序无关。
•一般选比较简单函数进行反转和平移。
■
第2页
二、与冲激函数或阶跃函数的卷积
1. f(t)*δ(t)=δ(t)*f(t) = f(t)
证： (t)* f(t) ()f(t )d f(t)
f(t)*δ(t –t0) = f(t – t0)
2. f(t)*δ’(t) = f’(t)
证：
'( t)* f( t) '()f( t)d f'( t)
f(t)*δ(n)(t) = f (n)(t)
3. f(t)*ε(t) f()(t )d tf()d
= f1(t)* f2(t –t1 –t2)
= f(t –t1 –t2)
例
求卷积是本章的重点与难点。
求解卷积的方法可归纳为：
（1）利用定义式，直接进行积分。对于容易求积分的
函数比较有效。如指数函数，多项式函数等。
（2）图解法。特别适用于求某时刻点上的卷积值。
卷积积分1
t
t
t ：观察响应时刻
0
∆τ 2∆τ ∆
N
k∆τ (k+1)∆τ ∆ ∆
t
t 时刻观察到的响应 应为 0 ~ t 时间内所有 激励产生的响应的和
激励 e ( t ) ≈
∑ e ( k∆ τ ) p( t − k∆ τ ) ∆ τ
k =0
k =0
响应 r ( t ) ≈ ∑ e( k∆τ ) h p ( t − k∆τ )∆τ
0 t
= ∫ 2e −τ × 100e − 0.2( t −τ ) dτ
0
t
= 200e
− 0.2 t
∫e
0
t
− 0.8τ
dτ = 200e
− 0.2 t
1 (e − 0.8 t − 1) × − 0 .8
= 250(e −0.2 t − e − t ) V
例2. 解
f1 (t ) = 2[ε (t ) − ε (t − 1)], 求 f1 ( t ) * f 2 ( t )
已知： 已知：R=500 kΩ , C=10 µF , uC(0−)=0 Ω
i S = 2e − t ε ( t ) mA
求： uC(t)。 。
解：先求该电路的冲激响应 h(t)
i S = δ ( t ) mA
1 uC (0 ) = C
+
1 ∫ 0 − iS dt = C
0+
∫
0+ 0−
10 −3 δ ( t )dt = = 100V C
6.10 卷积积分
一、卷积积分(Convolution)的定义 卷积积分 的定义 定义： 定义： 设 f1(t)， f2(t) t < 0 均为零 ，
卷积积分介绍
h(t)
(1) 1
O
(1) t
g(t)
1
O12 1
g(t)f(1)(t)h(1)(t)
t 3 2t
t 3
0t 1 1t 2 2t 3
3 t
注意
28
注意
当f1(t)
t df1(t)dt时, dt
f 1 ( t) f 2 ( t) f 1 ( t) f 2 ( 1 )( t)
例 sg t： n t
系统并联运算
3．结合律
f ( t ) f 1 ( t ) f 2 ( t ) f ( t ) [ f 1 ( t ) f 2 ( t )]
系统级联运算
22
系统并联
f 1 ( t ) [ f 2 ( t ) f 3 ( t ) f ] 1 ( t ) f 2 ( t ) f 1 ( t ) f 3 ( t ) 系统并联，框图表示：
一般数学表示： g(t) f1()f2(t)d 信号无起因时： g(t) f()h(t)d
(4)卷积是数学方法，也可运用于其他学科 。
(5)积分限由 f1(t),f2(t)存在的区间决定，即由
f1()f2(t)0的范围决定。
20
总结
求解响应的方法： 时域经典法： 完全解=齐次解 + 特解 双零法：
: 信号作用的时刻，积分变量
从因果关系看，必定有 t
(2)分析信号是手段，卷积中没有冲激形式，但有其内容；
f() 是h(t-)的加权，求和
即d f() 是h(t-)的加权，积分
(t-)的响应
19
(3)卷积是系统分析中的重要方法，通过冲激响应h(t)建 立了响应r(t)与激励e(t)之间的关系。
零输入响应：解齐次方程，用初（起）始条件求系数；
信号与系统卷积积分ppt课件
任意信号 f (t) 可表示为冲激信号加权和 f (t) f ( ) (t )d
若把它作用于冲激响应为h(t)的LTI系统，则响应为
r(t) H f (t)
H
f
(
)
(t
)
d
f ( )H (t )d
0
t
2 0 2 t u( 2) u(t ) t 0 t 2
i(t
)
e
t
t
e2
d
u(t
)
et
t
e2d u(t 2)
0
2
2
e
t 2
et
u(t)
e(t )
1
1 0 1 t 2
h(t) 1 t u(t) u(t 2)
2
h(t)
1
0
2t
卷积图解过程
解： 图解法
i)t
e( )
1
1 0 1 2
ii)h( ) h( )
h( )
1
2
0
h( )
1
0
2
iii)h( ) h(t )
h(t )
d
2
t
2
4
t 1
t2 t 1
4 24
卷积图解过程
1 t <2
f2
(t
1
)
f1(
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系统级联运算
▲ ■ 第 2页
证明交换律
f1(t ) ∗ f2 (t ) =
+∞ −∞
∫
+∞
−∞
f1(τ )⋅ f2(t −τ )dτ
−∞ +∞
t 令 −τ = λ， 则 : ∫ → : ∫ τ λ
+∞ −∞
d ，τ = −dλ
f1(t ) ∗ f2 (t ) = ∫ f2(λ)⋅ f1(t − λ)dλ = f2 (t ) ∗ f1(t )
求解卷积的方法可归纳为： 求解卷积的方法可归纳为： 卷积的方法可归纳为 （1）利用定义式，直接进行积分。对于容易求积分的 ）利用定义式，直接进行积分。 函数比较有效。如指数函数，多项式函数等。 函数比较有效。如指数函数，多项式函数等。 （2）图解法。特别适用于求某时刻点上的卷积值。 ）图解法。特别适用于求某时刻点上的卷积值。 （3）利用性质。比较灵活。 ）利用性质。比较灵活。 三者常常结合起来使用。 三者常常结合起来使用。 ▲ ■
f
(−1) 2 t −τ
1 0 2 t
t e−τ dτ ε(t) = −e−τ t ⋅ ε(t) = (1− e−t )ε(t) (t) = ∫ e ε(τ ) dτ = ∫ 0 0 −∞
f1(t)* f2(t)=(1- e–t)ε(t) – [1- e–(t-2)]ε(t-2) 注意： 注意：当 f1(t)=1 ， f2(t) = e–tε(t)，套用 f1(t)* f2(t) = ， f1’(t)* f2(–1)(t) = 0* f2(–1)(t) = 0 显然是错误的。
1 T 2 R21(τ ) = lim ∫ T f2(t) f1(t −τ )dt T→∞ T − 2 自相关函数： 自相关函数： 1 T 2 R(τ ) = lim ∫ T f (t ) f (t −τ )dt T→∞ T − 例 2
■
第 13 页
f 的自相关函数。 求周期余弦信号 (t ) = Ecos(ω1t )的自相关函数。
证：上式= δ(n)(t) *[f1(t)* f2(t)] 上式 = [δ(n)(t) *f1(t)] * f2(t) = f1(n)(t) * f2(t)
2. ∫−∞[ f1(τ) * f2 (τ)]dτ = [∫−∞ f1(τ) dτ]* f2 (t) = f1(t) *[∫−∞ f2 (τ)dτ] 上式= 证：上式 ε(t) *[f1(t)* f2(t)] = [ε(t) *f1(t)] * f2(t) = f1(–1)(t) * f2(t) 3. 在f1(– ∞) = 0或f2(–1)(∞) = 0的前提下， 的前提下， 或 的前提下 f1(t)* f2(t) = f1’(t)* f2(–1)(t)
证： δ (t) * f (t) = ∫−∞δ (τ) f (t −τ ) dτ = f (t)
∞
f(t)*δ(t –t0) = f(t – t0) 2. f(t)*δ’(t) = f’(t)
证：δ ' (t) * f (t) = δ ' (τ ) f (t −τ ) dτ = f ' (t) ∫
−∞ ∞
第 7页
卷积性质例3
如图， 例：f1(t), f2(t)如图，求f1(t)* f2(t) 如图 解： f1(t) = 2ε (t) –2ε (t –1) f2(t) = ε (t+1) –ε (t –1) f1(t)* f2(t) = 2 ε (t)* ε (t+1) –2 ε (t)* ε (t –1) –2ε (t –1)* ε (t+1) +2ε (t –1)* ε (t –1)
■ 第 1页
一、卷积代数运算 卷积
1．交换律
f1(t)∗ f2(t) = f2(t)∗ f1(t)
证明
2．分配律
f1(t )∗[ f2(t ) + f3(t )] = f1(t )∗ f2(t ) + f1(t )∗ f3(t )
系统并联运算
3．结合律 [ f (t)∗ f1(t)]∗ f2(t) = f (t)∗[ f1(t)∗ f2(t)]
▲
■
第 11 页
3. 相关函数的图解 (0<t1<2)
f2(-τ) 2 2 f2(τ)
f1(τ) 1
-2
O
2
τ
O
2
τ
O
f2(t1-τ) 2 1 t1-2
O
f2(τ-t1) f1(τ) τ 1 2
O
2 f2(τ)
τ
f1(τ) 2 t1+2 τ
t1
t1
2
f1(τ) f2(t1 -τ) t1 f1(t)*f2 (t) 2 t1
■ 第 8页
五、相关函数
相关函数是鉴别信号的有力工具， 相关函数是鉴别信号的有力工具，被广泛应 用于雷达回波的识别， 用于雷达回波的识别，通信同步信号的识别等领 域。 相关是一种与卷积类似的运算。 相关是一种与卷积类似的运算。与卷积不同 的是没有一个函数的反转。 的是没有一个函数的反转。 • 相关函数的定义 • 相关与卷积的关系 • 相关函数的图解
▲
■
第 9页
1.定义 定义
实能量有限函数f 和 实能量有限函数 1(t)和f2(t)的互相关函数 的互相关函数
R (τ ) = 12
R21(τ ) =
注
∫ −∞ f1(t) f2 (t −τ )dt = ∫ −∞ f1(t +τ ) f2 (t)dt
∞
∞
∞
∫ −∞
f1(t −τ ) f2 (t) dt =
∫ −∞ f1(t) f2 (t +τ )dt
∞
互相关是表示两个不同函数的相似性参数。 互相关是表示两个不同函数的相似性参数。 可证明， 可证明，R12(τ)=R21(–τ)。 。 若f1(t)= f2(t) = f(t)，则得自相关函数 ，
R(τ ) =
∫ −∞ f (t) f (t −τ )dt = ∫ −∞ f (t +τ ) f (t)dt
h(t )
y (t )
h(t ) = h (t)∗h2(t) 1
结论：子系统级联时， 结论：子系统级联时，总的冲激响应等于子系统 冲激响应的卷积。 冲激响应的卷积。
■ 第 16 页
系统并联
系统并联，框图表示： 系统并联，框图表示：
h(t )
f (t ) f (t )
f (t)∗h (t) 1
h1 ( t )
-1 f 1(t)
= f (t ) ∗ h(t )
0 1 1 f 2(t) t
2
0 1
t
由于ε 由于 (t)* ε (t) = tε (t) 据时移特性， 据时移特性，有 f1(t)* f2(t) = 2 (t+1) ε (t+1) - 2 (t –1) ε (t –1) –2 tε (t) +2 (t –2) ε (t –2)
例1
▲
t
t
t
例2
■
第 5页
卷积性质例1
= f (t ) ∗ h(t ) 如图, 例1：f1(t) 如图 f2(t) = e–tε(t)，求f1(t)* f2(t) ： ，
f 1(t)
解： f1(t)* f2(t) = f1’(t)* f2(–1)(t) f1’(t) =δ (t) –δ (t –2)
▲
■
第 15 页
系统级联
= f (t ) ∗ h(t ) f (t)∗h (t)∗h2(t) = f (t)∗[h (t)∗h2(t)] 1 1
系统级联，框图表示： 系统级联，框图表示：
f (t ) h1 ( t )
h2 ( t )
y (t )
f ( t ) ∗ h1 ( t )
f (t )
f ( t ) ∗ h1 ( t ) ∗ h2 ( t )
f1(τ) f2(τ-t1)
O
2
τ
O
τ
O
t1 R12 (t)
2
τ
2
阴影部分面积
阴影部分面积
O
2
4 t
-2
O
t1
2
t
▲ ■ 第 12 页
(a) 卷积
(b) 相关
实功率有限信号相关函数的定义
f1(t)与f2(t)是功率有限信号 相关函数： 相关函数：
1 T 2 R (τ ) = lim ∫ T f1(t ) f2(t −τ )dt 12 T→∞ T − 2
■
第 17 页
▲ ■ 第 14 页
T
T
T
此例结论
1. 周期信号自相关函数仍为周期信号 且周期相同。 周期信号自相关函数仍为周期信号,且周期相同 且周期相同。 2.自相关函数是一偶函数，R(0)为最大值。 自相关函数是一偶函数， 为最大值。 自相关函数是一偶函数 为最大值 3.余弦函数自相关函数仍为余弦 同理可证，任意相位的 余弦函数自相关函数仍为余弦;同理可证 余弦函数自相关函数仍为余弦 同理可证， 正弦，余弦之自相关函数仍为余弦。 正弦，余弦之自相关函数仍为余弦。
§2.4 卷积积分的性质
卷积积分是一种数学运算， 卷积积分是一种数学运算，它有许多重要的性质 或运算规则），灵活地运用它们能简化卷积运算。 ），灵活地运用它们能简化卷积运算 （或运算规则），灵活地运用它们能简化卷积运算。 • 卷积代数运算 • 与冲激函数或阶跃函数的卷 积 • 微分积分性质 • 卷积的时移特性 • 相关函数
•卷积结果与交换两函数的次序无关。 卷积结果与交换两函数的次序无关。 卷积结果与交换两函数的次序无关 •一般选比较简单函数进行反转和平移。 一般选比较简单函数进行反转和平移。 一般选比较简单函数进行反转和平移
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证明交换律
f1(t ) ∗ f2 (t ) =
+∞ −∞
∫
+∞
−∞
f1(τ )⋅ f2(t −τ )dτ
−∞ +∞
t 令 −τ = λ， 则 : ∫ → : ∫ τ λ
+∞ −∞
d ，τ = −dλ
f1(t ) ∗ f2 (t ) = ∫ f2(λ)⋅ f1(t − λ)dλ = f2 (t ) ∗ f1(t )
求解卷积的方法可归纳为： 求解卷积的方法可归纳为： 卷积的方法可归纳为 （1）利用定义式，直接进行积分。对于容易求积分的 ）利用定义式，直接进行积分。 函数比较有效。如指数函数，多项式函数等。 函数比较有效。如指数函数，多项式函数等。 （2）图解法。特别适用于求某时刻点上的卷积值。 ）图解法。特别适用于求某时刻点上的卷积值。 （3）利用性质。比较灵活。 ）利用性质。比较灵活。 三者常常结合起来使用。 三者常常结合起来使用。 ▲ ■
f
(−1) 2 t −τ
1 0 2 t
t e−τ dτ ε(t) = −e−τ t ⋅ ε(t) = (1− e−t )ε(t) (t) = ∫ e ε(τ ) dτ = ∫ 0 0 −∞
f1(t)* f2(t)=(1- e–t)ε(t) – [1- e–(t-2)]ε(t-2) 注意： 注意：当 f1(t)=1 ， f2(t) = e–tε(t)，套用 f1(t)* f2(t) = ， f1’(t)* f2(–1)(t) = 0* f2(–1)(t) = 0 显然是错误的。
1 T 2 R21(τ ) = lim ∫ T f2(t) f1(t −τ )dt T→∞ T − 2 自相关函数： 自相关函数： 1 T 2 R(τ ) = lim ∫ T f (t ) f (t −τ )dt T→∞ T − 例 2
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f 的自相关函数。 求周期余弦信号 (t ) = Ecos(ω1t )的自相关函数。
证：上式= δ(n)(t) *[f1(t)* f2(t)] 上式 = [δ(n)(t) *f1(t)] * f2(t) = f1(n)(t) * f2(t)
2. ∫−∞[ f1(τ) * f2 (τ)]dτ = [∫−∞ f1(τ) dτ]* f2 (t) = f1(t) *[∫−∞ f2 (τ)dτ] 上式= 证：上式 ε(t) *[f1(t)* f2(t)] = [ε(t) *f1(t)] * f2(t) = f1(–1)(t) * f2(t) 3. 在f1(– ∞) = 0或f2(–1)(∞) = 0的前提下， 的前提下， 或 的前提下 f1(t)* f2(t) = f1’(t)* f2(–1)(t)
证： δ (t) * f (t) = ∫−∞δ (τ) f (t −τ ) dτ = f (t)
∞
f(t)*δ(t –t0) = f(t – t0) 2. f(t)*δ’(t) = f’(t)
证：δ ' (t) * f (t) = δ ' (τ ) f (t −τ ) dτ = f ' (t) ∫
−∞ ∞
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卷积性质例3
如图， 例：f1(t), f2(t)如图，求f1(t)* f2(t) 如图 解： f1(t) = 2ε (t) –2ε (t –1) f2(t) = ε (t+1) –ε (t –1) f1(t)* f2(t) = 2 ε (t)* ε (t+1) –2 ε (t)* ε (t –1) –2ε (t –1)* ε (t+1) +2ε (t –1)* ε (t –1)
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一、卷积代数运算 卷积
1．交换律
f1(t)∗ f2(t) = f2(t)∗ f1(t)
证明
2．分配律
f1(t )∗[ f2(t ) + f3(t )] = f1(t )∗ f2(t ) + f1(t )∗ f3(t )
系统并联运算
3．结合律 [ f (t)∗ f1(t)]∗ f2(t) = f (t)∗[ f1(t)∗ f2(t)]
▲
■
第 11 页
3. 相关函数的图解 (0<t1<2)
f2(-τ) 2 2 f2(τ)
f1(τ) 1
-2
O
2
τ
O
2
τ
O
f2(t1-τ) 2 1 t1-2
O
f2(τ-t1) f1(τ) τ 1 2
O
2 f2(τ)
τ
f1(τ) 2 t1+2 τ
t1
t1
2
f1(τ) f2(t1 -τ) t1 f1(t)*f2 (t) 2 t1
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五、相关函数
相关函数是鉴别信号的有力工具， 相关函数是鉴别信号的有力工具，被广泛应 用于雷达回波的识别， 用于雷达回波的识别，通信同步信号的识别等领 域。 相关是一种与卷积类似的运算。 相关是一种与卷积类似的运算。与卷积不同 的是没有一个函数的反转。 的是没有一个函数的反转。 • 相关函数的定义 • 相关与卷积的关系 • 相关函数的图解
▲
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第 9页
1.定义 定义
实能量有限函数f 和 实能量有限函数 1(t)和f2(t)的互相关函数 的互相关函数
R (τ ) = 12
R21(τ ) =
注
∫ −∞ f1(t) f2 (t −τ )dt = ∫ −∞ f1(t +τ ) f2 (t)dt
∞
∞
∞
∫ −∞
f1(t −τ ) f2 (t) dt =
∫ −∞ f1(t) f2 (t +τ )dt
∞
互相关是表示两个不同函数的相似性参数。 互相关是表示两个不同函数的相似性参数。 可证明， 可证明，R12(τ)=R21(–τ)。 。 若f1(t)= f2(t) = f(t)，则得自相关函数 ，
R(τ ) =
∫ −∞ f (t) f (t −τ )dt = ∫ −∞ f (t +τ ) f (t)dt
h(t )
y (t )
h(t ) = h (t)∗h2(t) 1
结论：子系统级联时， 结论：子系统级联时，总的冲激响应等于子系统 冲激响应的卷积。 冲激响应的卷积。
■ 第 16 页
系统并联
系统并联，框图表示： 系统并联，框图表示：
h(t )
f (t ) f (t )
f (t)∗h (t) 1
h1 ( t )
-1 f 1(t)
= f (t ) ∗ h(t )
0 1 1 f 2(t) t
2
0 1
t
由于ε 由于 (t)* ε (t) = tε (t) 据时移特性， 据时移特性，有 f1(t)* f2(t) = 2 (t+1) ε (t+1) - 2 (t –1) ε (t –1) –2 tε (t) +2 (t –2) ε (t –2)
例1
▲
t
t
t
例2
■
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卷积性质例1
= f (t ) ∗ h(t ) 如图, 例1：f1(t) 如图 f2(t) = e–tε(t)，求f1(t)* f2(t) ： ，
f 1(t)
解： f1(t)* f2(t) = f1’(t)* f2(–1)(t) f1’(t) =δ (t) –δ (t –2)
▲
■
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系统级联
= f (t ) ∗ h(t ) f (t)∗h (t)∗h2(t) = f (t)∗[h (t)∗h2(t)] 1 1
系统级联，框图表示： 系统级联，框图表示：
f (t ) h1 ( t )
h2 ( t )
y (t )
f ( t ) ∗ h1 ( t )
f (t )
f ( t ) ∗ h1 ( t ) ∗ h2 ( t )
f1(τ) f2(τ-t1)
O
2
τ
O
τ
O
t1 R12 (t)
2
τ
2
阴影部分面积
阴影部分面积
O
2
4 t
-2
O
t1
2
t
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(a) 卷积
(b) 相关
实功率有限信号相关函数的定义
f1(t)与f2(t)是功率有限信号 相关函数： 相关函数：
1 T 2 R (τ ) = lim ∫ T f1(t ) f2(t −τ )dt 12 T→∞ T − 2
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第 17 页
▲ ■ 第 14 页
T
T
T
此例结论
1. 周期信号自相关函数仍为周期信号 且周期相同。 周期信号自相关函数仍为周期信号,且周期相同 且周期相同。 2.自相关函数是一偶函数，R(0)为最大值。 自相关函数是一偶函数， 为最大值。 自相关函数是一偶函数 为最大值 3.余弦函数自相关函数仍为余弦 同理可证，任意相位的 余弦函数自相关函数仍为余弦;同理可证 余弦函数自相关函数仍为余弦 同理可证， 正弦，余弦之自相关函数仍为余弦。 正弦，余弦之自相关函数仍为余弦。
§2.4 卷积积分的性质
卷积积分是一种数学运算， 卷积积分是一种数学运算，它有许多重要的性质 或运算规则），灵活地运用它们能简化卷积运算。 ），灵活地运用它们能简化卷积运算 （或运算规则），灵活地运用它们能简化卷积运算。 • 卷积代数运算 • 与冲激函数或阶跃函数的卷 积 • 微分积分性质 • 卷积的时移特性 • 相关函数
•卷积结果与交换两函数的次序无关。 卷积结果与交换两函数的次序无关。 卷积结果与交换两函数的次序无关 •一般选比较简单函数进行反转和平移。 一般选比较简单函数进行反转和平移。 一般选比较简单函数进行反转和平移