倒格子

2π d1
b3 ab3 2
a2
v b2
2π d2
v b3
2π d3
a1 b1
一个倒格子基矢是和正格子原胞中一组晶
面相对应的，它的方向是该晶面的法线方向，
它的大小则为该晶面族面间距倒数的2倍。
晶体结构
1.
v Rn
正格子
n1av1 n2av2
n3av3
2.与晶体中原子位
置相对应；
3.是真实空间中点
0
A(gv) 0
or eigv•Rvn 1
F(rv) A(gv)eigv•rv 0 gv
不合要求，应舍去
所以 eigv•Rvn 1
也就是说,一定存在某些 gv使得当 eigv•成Rvn 立1时
F
(rv)
F
(rv
v Rn
)
成立
由于 g与v
格子,自然
存也Rvn在可上以gv 述描对述应同关样系的,布可拉以Rv维n 描格述子布,且拉维与
F
(rv)eigv•(rv
v Rn
)
drv
1
F (rv)eigv•rveigv•Rvn drv
A(gv) 1
F
(rv)e
e igv•rv igv•
v Rn
drv
1
F
(rv)e
igv•rvdrv
e
igv•
v Rn
A( gv)
A( gv)
A(
gv)eigv•
v Rn
A(gv)[1 eigv•Rvn ]
2π Ω
av2
av3
;
v b2
2π Ω
av3
av1
;
ab3 2
a2
v b3
2π Ω
av1
av2
a1 b1
设：d1 是 av2 av3 所在晶面族的面间距； d2 是 av3 av1 所在晶面族的面间距； d3 是 av1 av2 所在晶面族的面间距。
利用体积=底面积*高，则有：
v b1
2π av2 av3 Ω
做原点和其它所有倒格点连线的中垂面(或中垂 线)，这些中垂面(或中垂线)将倒格子空间分割 成许多区域，这些区域称为布里渊区(Brillouin zone)。
把连接两个倒格点连线之间的垂直平分面称 为布拉格平面。
（1）第一布里渊区
在倒格子空间中,以一个倒格点为原点,从原点 出发,不经过任何布拉格平面所能到达的所有点 的集合,称为第1布里渊区(first Brillouin zone),也 叫简约布里渊区。显然,它是围绕原点的最小闭 合区域。
•
av1
v n2Gh
•
av2
v n3Gh
•
av3
2 m
或：
v Gh
•
av1
2
v h1; Gh
•
av2
2
v h2 ; Gh
•
av3
2 h3
其中由δij于称为克a为v罗1,内基av2克,矢av3(，Kr互one不ck共er面)函，数则由
描bvi •述av倒j 格2可子Gv知h。ij
v h1b1
vv v
亦b应1, b该2 , b不3 共面，从而可以用
2π Ω
av3
av1
v b3
2π Ω
av1
av2
正格子 基矢
av1, av2, av3
倒格子
基矢 vv v b1, b2 , b3
倒格 子
v bi
•
avj
2ij
2
(i
j)
0 (i j)
v vvv
Gh h1b1 h2b2 h3b3
三、布里渊区、倒格子的实例和对应晶胞
1. 布里渊区、布拉格平面 在倒格子空间中以任意一个倒格点为原点，
第四节 倒格子
本节主要内容: 一、点阵傅里叶变换与倒格子 二、正格子与倒格子的关系 三、布里渊区、倒格子的实例和对应晶胞 四、 倒格子的点群对称性
一、点阵傅里叶变换与倒格子
晶体结构的周期性,可以用坐标空间(r空间)的 布拉维格子来描述,这是前几节我们所讨论的内 容,也是我们易于理解的实物粒子的普遍描述.
因而，晶面族(h1h2h3)的法v线方向为 则法线方向的单位矢量为：n) Gvh
Gavh3
因而，面间距
Gh C
dh1avh21h3•Gvvahvh11
• n) av2 • n)
av1
hv2 •vGh
av3 • n) h3
2vh1
2
v
O
v
Gh
B A
av2
av1
h1 Gh h1 Gh h1 Gh Gh
的周期性排列；
4.线度量纲为[长 度]
倒格子
v vvv 1. Gh h1b1 h2b2 h3b3
2.与晶体中一族晶 面相对应；
3.是与真实空间相联 系的倒格子空间中点 的周期性排列； 4.线度量纲为[长 度]-1
已知晶体结构如何求其倒格子呢？
晶体 结构
正格 子
v b1
2π Ω
av2
av3
v b2
3
2
(2π)3 Ω
2. 倒格矢与晶面
倒格矢
v Gh
v h1b1
vv
和h2b正2 格h3b子3 中晶面族(h1h2h3)正
交且其倒格矢长度为：
v Gh
2π d h1h2 h3
其中 dh1h是2h3 正格子晶面 族(h1h2h3)的面间距
首先我们证明
倒格矢
v Gh
v h1b1
vv
和h2b正2 格h3b子3 中晶面族(h1h2h3)正
除第1布里渊区以外，高布里渊区均由一些小块组成；
每个布里渊区的总体积相等，均为倒格子空间中一个原 胞的体积。 布里渊区尤其是简约布里渊区在能带论电子和晶格振动 的讨论中非常重要
vv h2b2 h3b3
v vvv
由于 Gh h1b1 h2为b2 倒 h格3b3矢，如果把倒格矢所在
的空间称为倒格子空间，或倒易空间(reciprocal
space),则由于
不共面，bv1,自bv2然, bv3可以成为倒易
空间的基矢。
和
v Rn
n1av1
n对2av2比 n,3表av3 明
v Gh
合，也可以描述该布拉维格子。如果把 Rn所描 述的布拉维格子称为正格子，则 Gvh所描述的布 拉维格子称为正格子的倒格子, 也叫倒易点阵或 简称为倒点阵.
v
Gh 称为倒格矢
从倒格子的引入可知，对于坐标空间中与布拉维格子 有相同平移对称性的某物理量的傅里叶展开中，只存 在波矢为倒格矢的分量，其它分量的系数为零
2
v vvv
dh1h2h3
v Gh
表明,对任一倒格矢Gh h1b1 h2b2 h3b3
以其在倒易空间的坐标数(h1，h2，h3)表征的v
正格子空间中的晶面族(h1h2h3)，一定以 Gh
为法线方向，且面间距为
v
2 / Gh
这个关系很重要,后面分析XRD时要用
3.倒格子基矢的方向和长度
b3
v b1
v uuur v v
Gh CB (h1b1 h2b2
所以倒格矢Gvh
v h1b1
hh23b和bvv32)正•h3a格hvbv223 子ahv33中 晶2面族2(h01h2h3)
正交
接着我们再证明倒格矢长度为
v vvv
v Gh
2π d h1h2 h3
由于倒格矢 Gh h1b1 与h2b晶2 面h3b族3 (h1h2h3)正v交.
合，构成该布拉维格子，称为正格子的倒格子
v
(reciprocal lattice). Gh 称为倒格矢
将
v Rn
n1av1
n2av2
n3av3
vv
代入Gh • Rn 2 m,
得：
v n1Gh
•
av1
v n2Gh
•
av2
v n3Gh
•
av3
2
m
欲使上式恒成立，且考虑到n1,n2,n3为任意
整数，则要求：
利用倒格矢，满足 F (rv) F的(傅rv 里Rv叶n )展
开为:
F(rv)
v
v A(Gh
v
)eiGh
•rv
Gh
v
A(Gh
)
1
F
(rv)e
v iGh
•rvdrv
意义：把上述满足坐标空间中的某物理量转
变为倒格子空间,且只存在波矢为倒格矢的分量。
3. 倒格子的基矢
或对Gv布h •拉Rvn维 格2子m,中(所m为有整格数矢)的Rvn全，部满G足vh 端eiGv点h•Rv的n 集1
v Gh
•
av1
2
v h1; Gh
•
av2
2
v h2 ; Gh
•
av3
2
h3
h1,h2,h3为整数
v vvv
显然,如果令 Gh h1b1 h2b2 h3b3 h1,h2,h3为整数
当
v bi
• avj
2ij
2 ,
0,
i j i j
i, j 1, 2,3 满足时，
则下式自然成立：
v n1Gh
av3 )
原胞的体积
vv 同理可得 b2 , b3
所以倒格子基矢与正格子基矢的关系为：
v b1
2π Ω
av2
av3
其中 av1, av2 ,是av3正格基矢
v b2
2π Ω
av3
av1
Ω av1 av2 av3
v b3
2π Ω
av1
av2
是固体物理学原胞体积
与
v vvv Gh h1b1 h2b2 h3b3
从而对应上述矢量g描述的布拉维格子称为倒 格子(reciprocal lattice)，而把Rn所描述的布拉 维格子称为正格子(direct lattice)。
2. 倒格子(reciprocal lattice)的定义
或对Gvh布•拉Rvn维 格2子m,中(所m为有整格数矢)的Rvn全，部满G足vh 端eiGv点vh•Rv的n 集1
ຫໍສະໝຸດ Baidu
交
设为由A平图ahGB11v面h,C可ah•22在ACu,知uAuaBhr基33C：。矢为(hCCuu1b晶uuvavBA1uur1r,a面vh2Ou2Ou,ubuva族vBuA2ur3r上(hOhuOu3u的buC1uvrCu3hr)截2•hhavhav3距22ah1v1)11中分havhava3h3离v3333别O原 2点C 最2近AB的a0vGv3晶h av面a2v1
v v v
Ω* b1 • b2 b3
2π Ω
3
av2
av3
•
av3
av1
av1
av2
利用 A B C A C B A B C
=0
av3Ωav1av1av1 av2 [av3 av1•av2]av1 [av3 av1•av1]av2
*
2π Ω
3
av2
av3
•
av1
2π Ω
位置有关的物理量,由于布拉维格点的等价性,均
应是布拉维格矢R的周期函数,如：格点密度、质
量密度、电子云密度、离子实产生的势场等都是
如此。
F
(rv不)失一F般(性rv，上Rv述n )函数布可拉统维一格写矢为：
1. 周期函数的傅里叶展开
由于F(r)是布拉维格矢R的周期函数,所以可以将
其展开成傅里叶级数：
第一gv 章讨论自由电子的波函数中的波矢类似,因
而,凡是波矢 和布拉gv 维格矢满足
eigv•
v Rn
1
的波矢,一定也可以描述布拉维格子.这就是倒格
子的由来.
cos(
gv
•
v Rn
)
1
gv
•
v Rn
2 m;where
m
is
int eger
由于波矢的单位是坐标空间中长度单位的倒 数，所以，在固体物理学中，通常把坐标空间 称为正空间，而把波矢空间称为倒易空间或倒 空间。
(所h1,联h2系, h3的为各整点数的)
列阵即为倒格子。
许多的固体书中把上述描述作为倒格子的定义
由正格子可以定义倒格子，反之亦可，因此， 它们互为倒易格子。
二、倒格子与正格子的关系
1. 体积关系
Ω* 2π3
Ω
(其中和*分别为正、倒格子原胞的体积)
除 (2因 )3子外，正格子原胞体积 和倒格子原胞 体积 互为*倒数
F(rv) A(gv)eigv•rv gv
展开系数
展开系数
A(gv) 1 F (rv)eigv•rvdrv
因为：F (rv)
F
(rv
v Rn
)
原胞体积
所以：A(gv) 1
F
(rv
v Rn
)eigv•rvdrv
令
rv
rv
v Rn
则：rv
rv
v Rn
drv drv
则 A(gv) 1
然而,量子力学的学习使我们认识到,任何基本 粒子都具有波粒二象性.亦即具有一定能量和动 量的微观粒子,同时也是具有一定的波长和频率 的波,波也是物质存在的一种基本形式.
波矢k可用来描述波的传播方向.那么晶体结 构的周期性是否也可以用波矢k来描述呢？如 果可以,在波矢k空间,k应满足什么条件呢？
布拉维格子具有平移对称性,因而相应的只与
容易看出，第1布里渊区和前面所讲的维格纳塞茨(Wigner-Seitz)原胞的取法一样，所以通常 人们把第1布里渊区定义为倒格子空间中的维格 纳-塞茨原胞。
（2）高布里渊区
除第1布里渊区外，还有第2，第3，…，等所谓高布 里渊区。
从第n-1个布里渊区出发，只经过一个布拉格平面所 能到达的所有点的集合，称为第n布里渊区。或者说， 从原点出发经过n-1个中垂面(或中垂线)才能到达的区域 (n为正整数)称为第n布里渊区。
2ij ; i
1, 2, 3;
j
1, 2, 3
可知：
v b1
和
av2 , av3
垂直,因此，av2 av3
与
v b1
平行
v 所以可令：b1
1(av2
av3 )
av1
•
v b1
1av1
•
(av2
av3
)
2
两边同时点乘 av1
1
av1
•
2
(av2
av3 )
2
v b1
1(av2
av3
)
2
(av2
v h1b1
v h2b2
对h3bv3
应的是倒易空间中的布拉维格子，亦即倒格子
是倒易空间的布拉维格子。
为从基而的某Gvh一 h布a1vb1v1,拉av2且h维,2bavv23格 h子3bv3的倒bvi •格avj子也 2的可i定j作;i 义为1,。2以,3; j 1,2,3
讨论：
由
v bi
• avj