高考数学大一轮总复习 第十章 第3讲 圆的方程课件 理

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【跟踪训练 4】 (2013·山东)过点(3,1)作圆(x－2)2＋(y－
2)2＝4 的弦，其中最短的弦长为
.
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解析：根据题意得圆心坐标为(2,2)，半径 r＝2， 因为 3－22＋1－22＝ 2<2，所以(3,1)在圆内． 因为圆心到此点的距离 d＝ 2，r＝2， 所以最短的弦长为 2 r2－d2＝2 2.
圆心(－a，a)不在坐标轴上，应排除 C、D；若关于某直 线对称，则圆心在此直线上，而圆心(－a，a)不在直线 y＝x 上，排除 A，故选 B.
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3.将圆 x2＋y2－2x－4y＋1＝0 平分的直线是( C )
A．x＋y－1＝0
B．x＋y＋3＝0
C．x－y＋1＝0
D．x－y＋3＝0
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x＋y 的最小值为 3－1－2 2.
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【温馨提示】 解决与圆有关的最值问题有两种方法： (1)代数法：利用平面几何的有关公式，构造函数，将 问题化为函数的最值问题，然后根据求函数最值问题的方法 来求解； (2)几何法：根据题设条件的形式，找到所求问题的几 何意义，进而在坐标系中建立与圆相关的联系，以此解决其 最值问题．
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2.方程 x2＋y2＋2ax－2ay＝0 表示的圆( B )
A．关于直线 y＝x 对称 B．关于直线 x＋y＝0 对称 C．其圆心在 x 轴上，且过原点 D．其圆心在 y 轴上，且过原点
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解析：圆的标准方程(x＋a)2＋(y－a)2＝2a2，如果 a＝0， 则方程不表示圆，所以 a≠0.
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【跟踪训练 3】 (2013·重庆)设 P 是圆(x－3)2＋(y＋1)2＝4
上的动点，Q 是直线 x＝－3 上的动点，则|PQ|的最小值为( )
A．6
B．4
C．3
D．2
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解析： |PQ|的最小值为圆心到直线的距离减去半径， 因为圆的圆心为(3，－1)，半径为 2， 所以|PQ|的最小值 d＝3－(－3)－2＝4.
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一 求圆的方程
【例 1】 “a＝1”是“方程 x2＋y2－2x＋2y＋a＝0 表示 圆”的( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
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【解答过程】 方程 x2＋y2－2x＋2y＋a＝0 表示一个圆， 则(－2)2＋22－4a＞0，所以 a＜2，又 a＝1⇒a＜2，反之不成 立，所以 a＝1 是方程 x2＋y2－2x＋2y＋a＝0 表示圆的充分不 必要条件．
A．(x－2)2＋(y－1)2＝1 B．(x＋1)2＋(y－2)2＝1 C．(x＋2)2＋(y－1)2＝1 D．(x－1)2＋(y＋2)2＝1
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解析：因为点 P(x，y)关于直线 y＝x 对称的点为 P'(y，x)， 所以(1,2)关于直线 y＝x 对称的点为(2,1)， 所以圆(x－1)2＋(y－2)2＝1 关于直线 y＝x 对称的圆的方 程为(x－2)2＋(y－1)2＝1.
代入 x2＋y2＝4，得(2x－4)2＋(2y＋2)2＝4，
化简得(x－2)2＋(y＋1)2＝1.
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5.已知 O(0,0)，A(0,2)，B(2,0)，则△OAB 的外接圆的标准
方程为
.
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解析：|AB|＝ 22＋22＝2 2. 由题意知，圆心为 AB 的中点 M(1,1)， 半径为 r＝|A2B|＝ 2. 所以△OAB 的外接圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2.
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【解答过程】 原方程为(x＋1)2＋(y－ 3)2＝4 表示一个圆
的方程，
可设其参数方程为 x＝－1＋2cosθ，
y＝ 3＋2sinθ(θ 为参数，0≤θ＜2π)，
则 x＋y＝ 3－1＋2(sinθ＋cosθ)
＝ 3－1＋2 2sin(θ＋π4)，
当 θ＝54π，即 x＝－1－ 2，y＝ 3－ 2时，
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二 与圆有关的最值问题
【例 2】已知实数 x、y 满足 x2＋y2＋2x－2 3y＝0，求 x＋ y 的最小值．
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【思路点拨】 把圆的普通方程化为参数方程，利用两角和 的正弦公式化简 x＋y 可得 x＋y＝ 3－1＋2 2sin(θ＋π4)，再利 用正弦函数的有界性求得 x＋y 的最小值．
答案：A
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【温馨提示】 求一个圆的方程需要三个独立条件，待 定系数法是求圆的方程的基本方法，应熟练掌握．若由已知 条件易求圆心坐标、半径或需要由圆心坐标列方程，常选用 圆的标准方程；若所求圆与圆心、半径关系不密切，或更突 出方程的二次形式，常选用圆的一般方程．
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【跟踪训练 1】 圆 x2＋y2－4x＋6y＋3＝0 的圆心坐标是
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第3讲 圆的方程
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1.方程 x2＋y2－4kx－2y－k＝0 表示圆的充要条件是
(C )
1 A.4<k<1
B．k<14或 k>1
C．k∈R
D．k＝14或 k＝1
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解析：因为(－4k)2＋(－2)2－4(－k)＝15k2＋(k＋2)2>0 恒 成立，所以 k∈R.
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三 与圆的方程有关的综合问题
【例 3】 设定点 M(－3,4)，动点 N 在圆 x2＋y2＝4 上运动， 以 OM，ON 为邻边作平行四边形 MONP，求点 P 的轨迹．
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解析：圆心坐标为(1,2)，将圆平分的直线必经过圆 心，故选 C.
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4.点 P(4，－2)与圆 x2＋y2＝4 上任一点连线的中点轨迹方
程是
.
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解析：设圆上任意一点为(x1，y1)，中点为(x，y)，
则xy＝＝xy11＋－22 42
，即xy11＝＝22xy－＋42 ，
A．(2,3)
B．(－2,3)
()
C．(2，－3)
D．(－2，－3)
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解析：将圆 x2＋y2－4x＋6y＋3＝0 化成标准方程， 得(x－2)2＋(y＋3)2＝10， 所以圆心 C 的坐标是(2，－3)．
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【跟踪训练 2】 (2014·广东广州一模)圆(x－1)2＋(y－2)2＝ 1 关于直线 y＝x 对称的圆的方程为( )