第六章、曲线和曲面

曲面上相邻素线是交叉的异面直线。这种曲面只能近似的展开。
一、 柱面 一直母线沿曲导线运动且始终平行于另一直导 线而形成的曲面称为柱面。 柱面的相邻两素线为平行直线，位于同一平面 内，所以是可展曲面。
直圆柱面
斜圆柱面
直椭圆柱面
斜椭圆柱面
几种柱面
正圆锥面
斜圆锥面
正椭圆锥面
斜椭圆锥面
柱状面的画法
（1） 画出两条曲导线的两面投影；
圆锥体的投影分析（回转轴垂直于H面）
正面投影的左、右边线分 别是圆锥最左、最右的两条 轮廓素线的投影，这两条素 线把圆柱分为前、后两半， 他们在W面上的投影与回转轴 的投影重合，在H面上的投影 与圆的水平中心线重合。
侧面投影的左、右边线 分别是圆锥最前、最后的两 条轮廓素线的投影，这两条 素线把圆柱分为左、右两半， 他们在V面上的投影与回转 轴的投影重合，在H面上的 投影与圆的竖直中心线重合。
第6章 曲线与曲面
6.1 曲线 6.2曲面的形成 6.3回转面 6.4非回转直纹曲线 6.5平螺曲面
6－1 曲线
1.1 曲线的形成
曲线由点运动形成，分平面曲线和 空间曲线。一般有下列三种方式：
1）点在空间作连续变换方向的 运动轨迹 2）一条线（直线或曲线）运动过程中的包络线
3）平面与曲面或两曲面相交的交线
螺旋线的画法
1．正螺旋柱状面的形成
2. 正 螺 旋 柱 状 面 的 画 法

螺旋 扶手
(1)从给出的投影图(图6-55a)可以看出，弯头是由一矩形截面ABCD绕轴线 O作螺旋形运动(右旋)而形成。运动后，截面的铅垂边AD和BC形成内、外 圆柱面的一部分，而水平边AB和CD则分别形成乎螺旋面，(2)根据螺旋面 的画法把半圆分成六等分，作出AB线形成的平螺旋面(图6—55b)。(3)同法 作出CD线形成的平螺旋面，判别可见性，完成y投影(图6—55c)。
作图步骤（P95)
圆周十二等分， 导程也十二等分。
圆柱螺旋线上某一点的切线对圆柱正 截面的倾角都相等，为螺旋线的升角 α ；螺旋线展开成直线，以圆柱周长 为底，以导程为高的直角三角形的斜 边。是圆柱面上不在同一素线上的两 点之间的最短距离线。
6-2曲面的形成
曲面可以看成是由直线或曲线在一定约束条件下运动而形成。 这根运动的曲线或直线成为曲面的母线 。运动时受到的约束 称为运动的约束条件。在约束条件中把约束母线运动的直线 或曲线称为导线。把约束母线运动状态的平面称为导平面。 直线曲面：由直线运动而形成的曲面称为。 曲面 曲线曲面：由曲线运动而形成的曲面称为。 回转体是由一母线（直线或曲线）绕一固定轴线作回转运动形成
2 圆所在平面为投影面垂直面
当圆所在的平面为投影面垂直面时，圆在所垂直的投影 面上的投影为直线，线段的长度等于其直径。在另一投影面 上的投影则为椭圆。CD为正垂线，AD为正平线。
水平投影时 椭圆，长轴 cd是直径， 短轴是正平 线在水平面 的投影。
作实型投影 后，在辅助 面上作出四 等分点在水 平面的投影。
1．锥状面的形成
直导线
导平面
曲导线
2. 锥状面的画法
三、双曲抛物面
1. 双曲抛物面的形成 一直母线沿两交叉直导线连续运动，同时始终平行于一导 平面，其运动轨迹称为双曲抛物面。 2. 双曲抛物面的画法 （1） 画出两条直导线的两面投影； （2） 作出直母线的两面投影： （3） 作出该曲面上各素线的投影。
画回转曲面的投影 图时，通常使其轴线垂 直于某一投影面，以便 简化作图 由于母线可以是直线，也可以是曲线，故回转 曲面可以分为： 直线回转面 曲线回转面 组合回转面
曲面立体的投影
由曲面或曲面和平面围合而成的立体称为曲面立体。
圆柱体
圆锥体
球体
圆环
一、圆柱体的投影分析
（回转轴（导线）垂直于H面（导面））
曲面的分类
按母线的运动形式分
回转曲面：母线绕一轴线旋 转
非回转面 直纹曲面：由直母线 运动而形成 双曲曲面：曲母线运 动而形成
工程中应用最广泛的是回转面，以及非回转面中的直纹曲面。
按母线的形状分
有导线导面的直纹曲面
直线形的母线在固定的直线或曲线上滑动，所形 成的曲面叫做有导线的直纹曲面；如果母线在滑动时， 又始终平行于某一个固定的平面或曲面，这样形成的曲 面叫做有导线导面的直纹曲面。
曲线的 投影一 般仍为 曲线
Ａ、Ｃ、D、G均为特殊点 B和F为对H面重影点 E为一般点 ,DE为割线，NE为切线
曲线的投影的基本性质
1）曲线的投影一般仍为曲线，只有当平面曲线 所在平面平行于投射线时，投影为直线。在正投影 条件下，该平面垂直于投影面时，曲线投影为直线 2）属于曲线的点，其投影属于曲线的投影，即 点与曲线的从属关系为曲线投影的不变性 3）代数曲线的投影，其次数不变。如二次曲线 的投影仍为二次曲线
圆锥表面取点
方法一：素线法。 方法二：纬圆法。
a' 1'
a"
a 1
三、球体的投影分析
球体的三个投影为直 径相等并等于球体直 径的圆。但这三个圆 并不是球体上同一个 圆周的投影。
纬圆法
球体表面上取点
PV (c' ) c"
a'
b'
a"
b"
c a
(b )
四、圆环的投影分析
以圆为母线，绕与它共面的 圆外直线旋转而形成的曲面 称为环面。 当环面的轴线垂直于H面 时，圆环的水平投影时两个 同心圆，由赤道圆和颈圆的 水平投影组成，正面投影的 左、右是两个小圆（反映母 圆的实形，但有半边看不见， 画成虚线），小圆的公切线 分别是环面上最上和最下两 个纬圆的正面投影。
3. 双曲抛物面的截交线
1.双曲抛物面的形成
直母线
直导线
直导线 导平面
2.双曲抛物面的画法
3.双曲抛物面的截交线
§ 6-5、正螺旋柱状面
1. 正螺旋柱状面的形成 正螺旋柱状面的两条曲导线皆为圆 柱螺旋线，以螺旋线的轴线为直导线， 连续运动的直母线始终垂直于圆柱轴线。
2. 正螺旋柱状面的画法
（1） 画出两条曲导线（圆柱螺旋线）； （2） 作出直母线的两面投影； （3） 作出该曲面上各素线的投影。 3. 正螺旋柱状面的应用的例子
做出单 叶双曲 回转面 的v投 影轮廓 线。包 络线为 一对双 曲线
把纬圆 从m和n 开始等 分相同 等分。 顺次做 出每旋 转一定 角度后 素线的 两面投 影
包络 线为 颈圆
两面投影
2. 单 叶 双 曲 回 转 面 的 画 法
3、单叶双曲回转面表面找点
§6-4 非回转直纹曲面
分可展开直纹曲面和不能展开直纹曲面两种。 曲面上相邻两素线是相交的或平行的共面直线，这种曲面时可以展开的。
直导线
导平面
曲导线
§6-3 回转曲面
母线绕一固定轴作回转运动所形成的曲面称 为回转曲面 固定轴称为回转轴 在旋转过程中，母线上任一点的轨迹都是圆， 这些圆称为纬线圆。其圆心在回转轴上，且该圆 与回转轴垂直 在这些纬线圆中，比相邻两侧纬线圆都小的 纬线圆称为颈圆，比相邻两侧都大的纬线圆称为 赤道圆。过轴线的平面与回转面的交线称子午线。
3. 正螺旋柱状面应用的例子
螺旋楼 梯
3.3 平面截割曲面体
平面与曲面立体相交，也 叫截割，所得截交线一般情况 下是平面曲线，或是由曲线和 直线围合而成的平面图形。 截交线同样具有闭合性和 共有性的特点。
4）曲线切线的投影仍为其投影的切线
二、圆的投影
圆是最简单的平面曲线
根据圆所在平面相对于投影面的位置不同，其 正投影有如下三种情况（这里仅讨论其Ｖ和Ｈ两面 投影）：
圆所在平面为投影面平行面
圆所在平面为投影面垂直面
圆所在平面为一般位置平面
圆的投影
（1）圆所在的平面平行于投影面时，圆的投影反映实形（同样大 小的圆）；
水平投影是一个圆，这 个圆既是上底圆和下底圆的 重合投影，反映实形，又是 圆柱面的积聚投影，其半径 等于底圆的半径，回转轴的 投影积聚在圆心上（通常用 细点画线画出十字对称中心 线） 。 正面投影和侧面投影是 两个相等的矩形，矩形的高 度等于圆柱的高度，宽度等 于圆柱的直径（回转轴的投 影用细点画线来表示） 。
母线
导线
导面
曲面的形成
球面是由一个圆或圆弧线以直径为轴旋转பைடு நூலகம்成。
曲面的形成
素线与轮廓线
形成曲面的母线，它们在曲面上的任何位置称为素线。 我们把确定曲面范围的外形线称为轮廓线（或转向轮廓线），轮廓 线也是可见与不可见的分界线。 当回转体的旋转轴在投影体系中摆放的位置合理时，轮廓线与素线重 合，这种素线称为轮廓素线。 在三面投影体系中，常用的四条轮廓素线分别为：形体最前边素线、 最后边素线、最左边素线和最右边素线。
同一曲线可以由几种不同的方法形成。如二次 平面曲线（椭圆、双曲线、抛物线）既可看成是点 运动的轨迹，又可看成是平面与圆锥面的交线。
1.1.2
曲线的分类
1、按点的运动有无规律，曲线可分为规则曲线 （如圆锥曲线、螺旋线等）和不规则曲线。 2、按曲线上点的分布可分为两类： 1）平面曲线 曲线上所有点都在同一平面上， 如二次曲线、渐近线等； 2）空间曲线 曲线上任一连续四个点不在同 一平面上，如螺旋线等。
的，因此圆柱体、圆锥体、球体和环体都是回转体。
曲面的形成
圆柱曲面是一条直线围绕一条轴线始终保持平行和等距
旋转而成。
导线
母线
曲面的形成
纬圆
由回转体的形成可知， 母线上任意一点的运动轨 迹为圆，该圆垂直轴线， 此圆既为纬圆。
回转轴、导线
O
纬圆
母线 O1
轮廓素线
曲面的形成
圆锥面是一条直线与轴线交于一点始终保持一定夹角旋转而成的。
一、 曲线的投影
一般情况下，曲线至少需要两个投影才能确 定出它在空间的形状和位置。 按照曲线形成的方法，依次求出曲线上一 系列点的各面投影，然后把各点的同面投影顺 次光滑连接即得该曲线的投影。
为了提高作图准确性，应尽可能作出曲线上 特殊点（如极限位置点、分界点等）的投影，最 好把这些特殊点以及重影点用字母标注出来
（2） 作出直母线的两面投影：
（3） 作出该曲面上各素线的投影。
1．柱状面的形成
曲导线
导平面
曲导线
2. 柱状面的画法
二、锥状面
1. 锥状面的形成 一直母线沿一直导线和曲导线连续运动，同时始终平行于 一导平面，这样形成的曲面称为锥状面。 2. 锥状面的画法 （1） 画出一直导线和曲导线的两面投影； （2） 作出直母线的两面投影： （3） 作出该曲面上各素线的投影。
素线法
圆柱表面取点
c' a' (b' ) b b" (c") a"
a c
二、圆锥体的投影分析（回转轴垂直于H面）
水平投影是一个圆，这个 圆是圆锥底圆和圆锥面的重 合投影，反映底圆的实形， 其半径等于底圆的半径，回 转轴的投影积聚在圆心上， 锥顶的投影也落在圆心上 （通常用细点画线画出十字 对称中心线） 。 正面投影和侧面投影是两 个相等的等腰三角形，高度 等于圆锥的高度，底边长等 于圆锥底圆的直径（回转轴 的投影用细点画线来表示） 。
四、圆环表面取点
m'
纬 圆 法
m
圆环表面取点
m'
（n'）
（ n）
m
五、单叶双曲回转面
一直母线围绕与之交 叉的轴线作回转运动即形 成一单叶双曲回转面 。只 要给出直母线和轴线o，即 可做出曲面的投影。 单叶双曲回转面的相 邻两素线为交叉直线， 所以是不可展曲面 母线运动时，每一点 的运动轨迹都是一个垂 直轴线o而平行于H面的 纬圆。
三、圆柱螺旋线
一点沿圆柱面直母线作等 速直线运动，同时该母线又绕 圆柱面轴线作等速回转运动， 则该点在空间的运动轨迹即为 圆柱螺旋线
圆柱螺旋线的三要素
1、圆柱的直径ｄ 2、导程Ph：当动点所在直母线 旋转一周时，点沿该母线移动 的距离称为螺旋线的导程 3、动点移动的方向
旋向：分为右旋、左旋两种
右螺旋线的动点运动 遵循右手定则，图上（a) 可见部分右边高；（由左 向右上移动） 左螺旋线的动点运动 遵循左手定则，图上(b) 可见部分左边高 （由右下 向左上移动）
圆柱体的投影分析（回转轴垂直于H面）
正面投影的左、右边 线分别是圆柱最左、最右 的两条轮廓素线的投影， 这两条素线把圆柱分为前、 后两半，他们在W面上的 投影与回转轴的投影重合。 侧面投影的左、右边 线分别是圆柱最前、最后 的两条轮廓素线的投影， 这两条素线把圆柱分为左、 右两半，他们在V面上的 投影与回转轴的投影重合。
（2）圆所在的平面倾斜于投影面时，圆的投影不反映实形（成为 椭圆）； （3）圆所在的平面垂直于投影面时，圆的投影积聚为一条直线 （长度等于直径）。
1 圆所在平面为投影面平行面
当圆所在平面为投 影面平行面时，圆在所 平行的投影面上的投影 反映该圆的实形。在另 一投影面上的投影为直 线，线段的长度等于圆 的直径