不确定度的表示方法
测量不确定度的评定与表示
8、A类评定 type A evaluation of uncertainty
对样本观测值的统计分析进行不确定度评定的方法。
9、B类评定 type B evaluation of uncertainty
用非统计分析的其他方法进行不确定度评定的方法
测量不确定度基本术语
10、 合成标准不确定度 combined uncertainty
当测量结果是由若干个其他量的值求得时，按其他各量 的方差和协方差算得的标准不确定度。 用符号uc表示
11、扩展不确定度 expanded uncertainty
规定了测量结果取值区间的半宽度，该区间包含了合理赋 予被测量值的分布的大部分。用符号U或UP表示。
测量不确定度基本术语
12、包含因子
coverage factor
d10 3.08
Rn u ( x) 0.0292mm dn
查表其自由度
7.5
用两种方法估计得到的标准差很接近，但自由度有明显不同。
不确定度评定
• B 类评定方法
B类评定方法获得不确定度，不是依赖于对样 本数据的统计，必然要设法利用与被测量有关的 其他先验信息来进行估计。因此，如何获取有用 的先验信息十分重要，而且如何利用好这些先验 信息也很重要。
中国量值溯源性体系原理图
国家计量基准 副计量基准
工作计量基准
社会公用计量标准 （国家专业计量站） 社会公用计量标准 （专业计量分站）
社会公用计量基准（省级） 社会公用计量基准（市级） 社会公用计量基准（县级）
部门最高计量标准 部门计量标准
企业、事业单位最高计量标准 企业、事业单位计量标准
工作计量器具（企业、事业、市场等）
6
测量不确定度评定与表示
测量结果减去被测量的真值，是 具有正负号的量值
用标准偏差或其倍数的半宽度 （置信区间）表示，并需要说明 置信概率。无符号参数（取正号）
表明测量结果偏离真值
说明合理赋予被测量之值（最佳 估值）的分散性
客观存在，不以人的认识程度而 与评定人员对被测量、影响量及
改变
测量过程的认识密切相关
可利用系统误差对测量结果进行 修正
例1 校准标准溶液的制备
由高纯金属（镉）制备浓度约为1000mg/l 的校准标准溶液。
1.制备步骤
清洁高纯金属的表面以便除以任何金属氧化物的污染。然后称量金属并 将金属溶于容量瓶的硝酸中。该步骤的各个阶段见下述流程图。
2. 被测量数学模式：
清洁金属表面
(c)d100 m 0
V
p
(mg l1)
称量金属
会（CIPM）委员安布勒（Ambler）向CIPM提交了解决在国际上统一表达测量不确定度 方法问题的提案。 1978年5月，国际计量局向32个国家计量实验室和5个国际组织发出不确定度表述的征 求意见书。同年年底收到了21个国家实验室的复函。 1980年10月，国际计量局根据国际计量委员会的要求，召集并成立了不确定度表述工 作组，起草了建议书 INC-1(1980)《实验不确定度表示》，并提交国际计量委员会讨 论通过。 1986年10月，国际计量委员会会议进一步考虑了修改意见，通过建新议书 INC1(1986)，并决定推广应用。 1993年，工作组完成文件制订：测量不确定度表示指南 ISO：1993（E），ＧＵＭ。 1995年勘误后再版，英文文件名为：Guide to the Expression of Uncertainty in Measurement，Corrected and Reprinted,1995. ISO。
测量不确定度的评定与表示
测量不确定度评定与表示JJF1059.1--20122015.12.29南京JJF1059.1测量不确定度的评定与表示一、（测量）不确定度概念1.不确定度概念绝对测量 x y =直接测量相对测量 0x x y -= 0y U y Y ⊃±=间接测量 ),(21N x x x f y ⋅⋅⋅=定义：测量不确定度是与测量结果相联系的参数，合理地赋予被测量结果的分散性。
新定义：根据所获信息，表征赋予被测量值分散性的非负参数。
2.不确定来源表现为：（1）对被测量的定义不完整或不完善 （2）复现被测量定义的方法不理想 （3）测量所取样本的代表性不够（4）对测量过程受环境影响的认识不周全，或对环境条件的测量与控制不完善（5）对模拟式仪器的读数存在人为偏差（6）仪器计量性能上的局限性（7）赋予测量标准和标准物质的标准值的不准确 （8）引用常数或其它参量的不准确（9）与测量原理、测量方法和测量程序有关的的近似性或假定性 （10）在相同的测量条件下，被测量重复观测值的随机变化 （11）对一定系统误差的修正不完善 （12）测量列中的粗大误差因不明显而未剔除（13）在有的情况下，需要对某种测量条件变化，或者是在一个较长的规定时间内，对测量结果的变化作出评定。
应把该相应变化所赋予测量值的分散性大小，作为该测量结果的不确定度。
3.测量不确定度分类与字母表示 3.1绝对量表达A 类标准不确定度（用统计方法得到）：A u 一般可统一表示 标准不确定度B 类标准不确定度（用其他方法得到）：B u 为：)(x u 或i u 测量不 合成标准不确定度C u 或)(y u C 确定度扩展不确定度 U 或)(y U ： C ku U = （k 为包含因子）3.2相对量表达A 类标准不确定度（用统计方法得到）：rel A u . 一般可表示 相对标准不确定度B 类标准不确定度（用其他方法得到）：rel B u . 为：)(x u rel 或rel i u . 相对测量 合成标准不确定度relC u . 或 )(y u rel C 不确定度相对扩展不确定度 rel U 或 )(y U rel ： rel C rel ku U .= （k 为包含因子）二、测量不确定度评定与表示1.A 类标准不确定度计算A 类标准不确定度是指测量随机效应引入的标准不确定度,用A 类评定。
测量不确定度评定与表示简介
测量不确定度评定与表示简介在科学研究和工程技术领域中，测量是一项至关重要的工作。
任何测量都会存在不确定度，即使是最精确的仪器和最严格的操作也无法完全消除测量的不确定度。
评定和表示测量不确定度成为了科学实验和工程项目中必不可少的一环。
测量不确定度是指测量结果和真实值之间的差异，它是测量结果的不确定性的度量。
评定测量不确定度可以帮助我们更好地理解测量结果的可靠性，并为我们的研究和工程应用提供更准确的数据。
建立起正确的测量不确定度评定与表示方法对于提高科学研究和工程技术水平至关重要。
评定测量不确定度的方法与技术众多，但在本文中，我们将重点介绍测量不确定度的评定方法和表示方式。
我们将介绍测量中的误差类型和性质，然后讨论评定测量不确定度的方法和表示测量不确定度的常用方式。
1. 误差类型和性质在测量中，误差是不可避免的。
误差可以来源于多种因素，比如仪器本身的精度、环境条件、操作者的技术水平等。
根据误差的不同来源和性质，我们可以将误差分为系统误差和随机误差。
系统误差是由于仪器、操作或环境等因素引起的，它对测量结果产生一定的偏差。
系统误差在测量中是固定的，可以通过仪器校准和技术改进等方法来降低。
而随机误差是由于测量过程中的偶然因素引起的，它对测量结果产生的影响是随机的、不确定的，通常可以通过重复测量和统计分析等方法来评定和减小。
2. 测量不确定度的评定方法在实际测量中，我们可以采用多种方法来评定测量不确定度，常用的方法包括标准偏差法、扩展不确定度法、蒙特卡洛方法等。
标准偏差法是最常用的评定测量不确定度的方法之一。
在这种方法中，我们通过对多次重复测量的结果进行统计分析，计算出测量结果的标准偏差来评定测量的不确定度。
标准偏差法简单易行，但要求测量数据服从正态分布。
扩展不确定度法是另一种常用的评定测量不确定度的方法。
在这种方法中，我们通过考虑到所有可能的误差来源和其影响大小，将各种误差的贡献相加得到扩展不确定度。
扩展不确定度法可以充分考虑到各种误差的影响，但需要对误差来源和其大小有较好的了解。
大物实验不确定度计算公式
大物实验不确定度计算公式
在大物实验中，不确定度是一个非常重要的概念。
不确定度可以理解为测量结果与真实值之间的差异，它是一个用来描述测量精度的指标。
在实验中，我们需要计算出每个测量值的不确定度，以便更好地评估实验结果的可靠性和精确性。
下面是大物实验中常用的不确定度计算公式：
1. 算术平均值的不确定度：
其中，n表示测量次数，Δx表示每次测量值与平均值之差，s
表示样本标准差。
2. 直接测量值的不确定度：
其中，δ表示仪器误差，Δ表示读数误差，L表示仪器量程。
3. 复合测量值的不确定度：
其中，u表示单个元件的不确定度，σ表示元件间的相关系数。
在实验过程中，我们需要根据实际情况选择合适的不确定度计算公式，并根据公式计算出每个测量值的不确定度。
同时，我们还要注意将不确定度传递至最终结果中，以便更好地评估实验的可靠性和精确性。
- 1 -。
不确定度评定规则
不确定度评定规则不确定度评定规则是指在测量、实验和数据分析过程中，对不确定性的估计和表达的规则和方法。
不确定度是指测量结果或实验数据与被测量量或实际值之间的差异或偏差，它反映了测量或实验的精确度和可靠性。
准确评定不确定度对于确保测量和实验结果的可靠性、可比性和可重复性至关重要。
一、不确定度的定义不确定度是指对测量结果或实验数据与被测量量或实际值之间差异或偏差的估计。
它反映了测量或实验的精确度和可靠性。
不确定度通常用标准偏差、标准误差、置信区间等统计量来表示。
二、不确定度的估计1. 随机误差估计：随机误差是指在多次测量或实验中，由于各种随机因素引起的结果的变动。
通过重复测量或实验，可以计算出随机误差的统计量，如标准偏差、标准误差等。
这些统计量可以作为随机误差的估计。
2. 系统误差估计：系统误差是指由于仪器、设备、环境等因素引起的测量或实验结果的偏差。
系统误差通常需要通过校正、调整或修正来进行估计和消除。
校正后的结果可以作为系统误差的估计。
3. 合成误差估计：合成误差是指由于随机误差和系统误差的综合影响引起的测量或实验结果的不确定度。
合成误差的估计可以通过将随机误差和系统误差的估计进行合成计算得到。
三、不确定度的表示1. 标准偏差表示：标准偏差是对测量结果的离散程度的度量，它反映了随机误差的大小。
标准偏差通常以±的形式表示，如测量结果为10 ±0.5。
2. 标准误差表示：标准误差是对测量结果的平均误差的度量，它反映了测量结果的精确度。
标准误差通常以±的形式表示，如测量结果为10 ±0.2。
3. 置信区间表示：置信区间是对测量结果的不确定度的度量，它反映了测量结果的可靠性。
置信区间通常以上下限的形式表示，如测量结果为10，置信区间为(9.8, 10.2)。
四、不确定度评定规则1. 重复性评定：通过重复测量或实验，计算出随机误差的统计量，如标准偏差或标准误差，作为重复性的评定。
不确定度数据表示方法
5
不确定度的来源
1、被测量的定义不完全 2、被测量的定义值的复现不理想 3、被测量的样本可能不完全代表定义的被测量 4、对环境条件的影响认识不足 5、人员的读数偏差 6、测量仪器计量性能的局限性（如分辨力等） 7、测量标准或测量设备不完善 8、在数据处理时所引用的常数或其他参数的不准确 9、测量方法、测量系统和测量程序不完善 10、在相同条件下，被测量重复观测重的随机变化。 11、修正不完善
确定度uc的分布接近正态分布。
22
扩展不确定度
若有效自由度充分大，按正态分布计算 若有效自由度较小，按t分布计算（按有效自由度
查表） ❖ 如果uc的概率分布为非正态分布时，应根据相应的
分布确定kp。
23
开始 取出合成标准不确定度
uc(y)可能接近正态分 布时，可按UP给出
计算有效自由度eff
3
测量不确定度的表示与评定
5、确定对应于各输入量的标准不确定度分量ui (y)
f ui ( y) ciu(xi ) xi u(xi )
6、对应各标准不确定度分量ui (y)进行合成，得 到合成标准不确定uc。
7、确定被测量Y可能值分布的包含因子 8、确定扩展不确定度U=kuc 9、给出测量不确定度报告
u(20)= a/1.73=0.1510-6C-1
16
合成标准不确定度
被测量y由N个其他量xi的函数确定时，假设其函数关
系为y=f（x1，x2，……，xN）
uc(y)
N i1
f [ xi
]2u2(xi )
N 1
2
i1
不确定度数据表示方法
a k
vi
1 [ u(xi ) ]2 2 u(xi )
10
标准不确定度的B类评定
区间半宽度a的确定
❖ 以前的观测数据； ❖ 对有关技术资料和测量仪器特性的了解和经验； ❖ 制造厂（生产部门）提供的技术说明书； ❖ 校准证书、检定证书、测试报告或其他文件提供
的数据、准确度等别和级别； ❖ 手册和某些资料给出的参考数据及其不确定度； ❖ 同行共识的经验；
u(20)= a/1.73=0.1510-6C-1
16
合成标准不确定度
被测量y由N个其他量xi的函数确定时，假设其函数关
系为y=f（x1，x2，……，xN）
uc(y)
N i1
f [ xi
]2u2(xi )
N 1
2
i1
N f ji1xi
f x j
r ( xi ,
xj
)u(xi
)u(xj )
上式称为不确定度传播率。 f 为灵敏系数， xi r（xi，xj）为 相关系数
(3) 三角分布 a. 相同修约间隔给出的两独立量之和或差，由修约 导致的不确定度； b. 因分辨力引起的两次测量结果之和或差的不确定 度； c. 用替代法检定标准电子元件或测量衰减时，调零 不准导致的不确定度； d. 两相同均匀分布的合成。
置信水平:用P表示；自由度:用 表示。
X U
X
X U
U
置信区间
1
测量不确定度的表示与评定
测量不确定评定的一般要求
一、测量不确定度评定步骤
1、确定被测量和测量方法
测量方法包括测量原理、测量仪器及其使用条件、测量 程序、数据处理程序等。
2、分析并列出对测量结果有明显影响的不确定的来源
不确定数据表示方法
标准不确定度的B类评定
置信因子k的确定
1.已知扩展不确定度的k值 2.根据假设的概率分布查表得到k值
正态分布置信因子 kj 与概率 p 的关系
kj
1.00
1.64
1.96
2.00
2.58
3
p
0.683
0.90
0.95
0.9545
0.99
0.9973
概率分布
几种概率分布的置信因子 kj 值
均匀
反正弦
置信水平:用P表示；自由度:用 表示。
X U
X
X U
U
置信区间
1
测量不确定度的表示与评定
测量不确定评定的一般要求
一、测量不确定度评定步骤
1、确定被测量和测量方法
测量方法包括测量原理、测量仪器及其使用条件、测量 程序、数据处理程序等。
2、分析并列出对测量结果有明显影响的不确定的来源
3、建立满足测量不确定度评定所需的数学模型
6
例：用比较法校准一台电压表在1MHz频率时的1V电压示值，分 析校准的不确定度来源。
可能的不确定度来源：
1. 标准表不准引入的不确定度；
2. 信号源两次读数间的漂移引入的不确定度；
3. 开关两路的不一致性引入的不确定度；
4. 各种随机因素引入的不确定度，即测量数据的 重复性；
5. 波形失真引入的不确定度；
三角
梯形
kj
3
2
6
* β为梯形上底半宽度与下底半宽之比 0<β<1
6 / 1 2
12
标准不确定度的B类评定
概率分布的假设
❖被测量随机变化服从正态分布 ❖根据测量值落在置信区间内的可能情况估计：
不确定度的正确表示方法
不确定度的正确表示方法
在科学研究中，不确定性是无法避免的。
它是由各种因素引起的，包括实验误差、测量仪器的限制以及数据处理的不完善等。
正确地表示不确定度对于正确解读和解释实验结果至关重要。
目前，有几种常用的方法来表示不确定度。
首先，最常见的表示方法是使用标准偏差。
标准偏差是一种衡量数据集的离散程度的统计量，可以通过计算数据集中每个数据点与平均值的差异来得到。
标准偏差越大，表示数据的离散程度越高，因此不确定度也就越大。
标准偏差通常以±符号表示，如±0.05。
其次，另一种常见的表示方法是置信区间。
置信区间是指在给定的置信水平下，真实值可能落在的一个范围内。
置信区间通常以两个数值表示，如95%置信区间为(6.8, 7.2)。
这意味着在95%的概率下，真实值位于6.8和7.2之间。
除了以上两种方法外，还有一种表示不确定度的方法是使用误差棒。
误差棒是一种在图表中使用的图形表示方法，用于显示每个数据点附近的不确定度范围。
误差棒通常以垂直线或横杠的形式绘制在每个数据点上方或下方。
不确定度的正确表示对于科学研究的可靠性和可重复性至关重要。
科
学家应该根据实验的具体情况选择合适的表示方法，并明确说明表示方法以及代表的含义。
此外，还应该注意在实验设计和数据处理过程中尽量减小不确定度，以提高研究结果的可靠性。
不确定度数据表示方法.ppt
测量不确定度的表示与评定
5、确定对应于各输入量的标准不确定度分量ui (y)
f ui(y)ciu(xi)xi u(xi)
6、对应各标准不确定度分量ui (y)进行合成，得 到合成标准不确定uc。
7、确定被测量Y可能值分布的包含因子 8、确定扩展不确定度U=kuc 9、给出测量不确定度报告
4
测量不确定度的表示与评定
10
标准不确定度的B类评定
区间半宽度a的确定
❖ 以前的观测数据； ❖ 对有关技术资料和测量仪器特性的了解和经验； ❖ 制造厂（生产部门）提供的技术说明书； ❖ 校准证书、检定证书、测试报告或其他文件提供
的数据、准确度等别和级别； ❖ 手册和某些资料给出的参考数据及其不确定度； ❖ 同行共识的经验；
11
标准不确定度的B类评定
置信因子k的确定
1.已知扩展不确定度的k值
2.根据假设的概率分布查表得到k值
正态分布置信因子kj与概率p 的关系
kj
1.00
1.64
1.96
2.00
2.58
3
p
0.683
0.90
0.95 0.9545 0.99 0.9973
概率分布
几种概率分布的置信因子kj 值
均匀
反正弦
4、若对测量结果进行修正，修正值不应记在不确定 度内，但应考虑由修正不完善引入的不确定度。
5
不确定度的来源
1、被测量的定义不完全 2、被测量的定义值的复现不理想 3、被测量的样本可能不完全代表定义的被测量 4、对环境条件的影响认识不足 5、人员的读数偏差 6、测量仪器计量性能的局限性（如分辨力等） 7、测量标准或测量设备不完善 8、在数据处理时所引用的常数或其他参数的不准确 9、测量方法、测量系统和测量程序不完善 10、在相同条件下，被测量重复观测重的随机变化。 11、修正不完善
不确定度正确表示方法例子
不确定度正确表示方法例子不确定度是指测量结果与真实值之间的差异或误差的度量，它是评估测量结果的不确定性的一种方式。
在科学研究和实验中，不确定度的正确表示对于正确解释实验结果和做出准确的结论至关重要。
下面是十个关于不确定度正确表示方法的例子：1. 重复测量法：通过多次重复测量同一物理量，并计算测量结果的平均值和标准偏差来评估不确定度。
2. 量纲分析法：通过对物理量进行量纲分析，确定影响物理量大小的主要变量，并对这些变量的不确定度进行评估。
3. 传递函数法：对于由多个物理量计算得到的结果，使用传递函数法来评估不确定度，将每个物理量的不确定度传递到最终结果。
4. 不确定度的类型：根据测量结果和实验条件，确定不确定度的类型，如随机不确定度、系统不确定度和仪器不确定度等。
5. 调整不确定度：根据实验条件和测量结果，通过对不确定度的调整来提高测量结果的准确性。
6. 置信区间：使用统计方法计算测量结果的置信区间，以表示测量结果的不确定度。
7. 不确定度的来源：确定测量结果的不确定度的主要来源，如仪器误差、环境条件变化或操作者技术水平等。
8. 不确定度的评估：根据测量结果和实验条件，使用适当的方法对不确定度进行评估，如A类不确定度和B类不确定度。
9. 不确定度的表示：使用合适的符号和单位来表示测量结果的不确定度，例如使用加减号表示不确定度的上下限。
10. 不确定度的传递规则：根据测量结果的计算公式和不确定度的类型，使用不确定度的传递规则来计算最终结果的不确定度。
总结：不确定度的正确表示对于科学研究和实验至关重要。
通过重复测量、量纲分析、传递函数法等方法，评估不确定度的类型、来源和大小，并使用置信区间、调整不确定度等方式来表示不确定度。
正确表示不确定度有助于正确解释实验结果和做出准确的结论。
物理实验的不确定度表示和计算方法
i2 n →∞ n i = 1物理实验的不确定度表示和计算方法摘 要 本文在 分析物理 实验中引入 不确定度必 要性的 基 础上, 介绍了不确定度的有关概念, 提出了不 确定度的表示 和计算方法。
关键词 物理实验; 不确定度; 置信概率0 引 言在物理实验中总是通过各种测量方法和测量仪 器对各个物理量进行测量, 但如何对测量结果的可 靠性进行评价, 一直是测量和数据处理环节的重要 问题。
过去的传统方法是用测量误差来评定测量结 果的可靠性, 而测量误差定义为测量值与真值之差, 由于真值是永远也测不到的, 所以测量误差也是一 个不可知量, 即用测量误差来评定测量结果的可靠 性是不科学的。
1980 年国际计量局提出了关于实验不确定度表示的建议书 《R ecomm endation INC -1C 19980》[ 1], 1992 年发表了 《测量不确定度表示法指南》, 在世界 范围内开展了用不确定度来评价测量结果的推广和 使用。
在此基础上, 国际理论与应用物理联合会与 国际标准化组织 ( ISO ) 等 7 个国际组织联合颁发了 《国际通用计量学基本术语》) 之后, 对物理教学中 有关 误差分析 和数据处 理方法 提出 了新的 要求。
在于某一个量值范围内的评定, 它反映了可能存在 的误差分布范围, 其大小给出了测量结果可信程度 的高低。
不确定度实际上具有非常明确的含义, 它 具有确定的量值, 其量纲与被测量的量纲相同, 但 通常总是联系于一定的概率。
不确定度一般含有多 个分量, 但按其数值的评定方法可归并成两类: A 类分量: 由测量列的统计分析评定的不确定 度分量, 即随机误差分量, 用△A 表示。
B 类分量: 由非统计方法评定的不确定度分量, 即未定系统误差分量, 用△B 表示。
合成不确定度: 为 A 类分量和 B 类分量按方差 合成原理进行合成, 用 u 表示可写为u =∑△2 + ∑△2( 1)AB总不确定度 ( 展伸不确定度) : 将合成不确定度 u 乘以一个与置信概率有关的包含因子 K p , 则得总 不确定度, 用 U 表示, U = K p u 。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
不确定度数据表示方法一.不确定度概述：在科学实验、产品生产、商业贸易及日常生活的各个领域，我们都要进行测量工作。
测量的目的是确定被测量的值，测量不确定度表示测量结果的不确定或不肯定的程度，也就是不可信度。
定义：不确定度是与测量结果相关联的，用于合理表征被测量值分散性大小的参数。
分类及表示：①标准不确定度：以标准差表示的不确定度，以µ表示。
②扩展不确定度：以标准不确定度的倍数表示的不确定度，以U表示。
(扩展不确定度表明了具有较大置信概率的区间的半宽)③合成标准不确定度：各标准不确定度分量的合成，以µc 表示（测量结果标准差的估计值）1.1.合成标准不确定度被测量y 由N 个其他量x i 的函数确定时，假设其函数关系为y=f （x 1，x 2，……，x N ）上式称为不确定度传播率。
为灵敏系数，r （x i ，x j ）为相关系数。
1.1.1. 当被测量的函数形式为：y =A 1x 1+A 2x 2+……+A N x N ，且各输入量之间不相关时，合成标准不确定度为：若用灵敏系数表示：∑∑∑=-=+=∂∂⋅∂∂+∂∂=N i N i Ni j j i j i j i i i c x u x u x x r x f x f x u x f y u 111122)()(),(2)(][)(i x f ∂∂∑∑∑===⋅⋅⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡∂∂∂⋅∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂+∂∂=N i N i N j j i j i i j i i i c x u x u x x f x f x x f x u x f y u 1112232222)()(21)(][)(2∑=∂∂=N i i i c x u x f y u 122)(][)(∑==Ni i i i c x u A y u 122)()(∑∑====ni i N i i i i c y u x u c y u 12122)()()(∑∑∑=-=+=∂∂⋅∂∂+∂∂=N i N i Ni j j i j i ji i i cx u x u x x r x fx f x u x f y u 111122)()(),(2)(][)(1.1.2. 当被测量的函数形式为： 合成标准不确定度为：1.1.3若所有输入量都相关，且相关系数为1时，合成标准不确定度为： u c (y)：合成标准不确定度u i (x ) ：各输入量的标准不确定度 νi ： u i (x )的自由度νeff 越大表明评定的合成标准不确定度u c (y)越可靠。
自由度的含义：自由度是方差之不确定度的度量，由于测量不确定度用标准偏差(方差的正平方根)表示，自由度也就是“测量不确定度的不确定度”。
自由度大表示测量不确定度的不确定度小，即测量结果之不确定度的可信度高，反之亦然。
用第一张ppt 的例子来说明，当自由度很大时，表示“被测量的值落在 831。
9 ℃ ～839.1 ℃区间的置信水平约为 95 ﹪”的可信度高，对于自由度 v= 12，3.6 ℃的不可信度大约是 21 ﹪。
1.2扩展不确定度 分为两种U 和U p 。
1.2.1．U ：就是合成标准不确定度的倍数，U =ku c ，即由合成标准不确定度直接乘以包含因子k （ k 的典型值为2~3） 1.2.2. U p ：对于给定的置信概率P ，扩展不确定度记为U p =k p u c ，此时包含因子 k p 的选择如下如果组成u c 的不确定度分量较多，且各分量对不确定度的影响不大时，据中心极限定理，合成不确定度u c 的分布接近正态分布。
若有效自由度充分大，按正态分布计算若有效自由度较小，按t 分布计算（按有效自由度查表）如果u c 的概率分布为非正态分布时，应根据相应的分布确定k p 。
二．不确定度的评定测量不确定度的评定方法分为两类，即A 类和B 类，两者之间无主次之分，享有同等地位。
2.1 A 类不确定度评定A 类不确定度是采用观察列进行统计分析的方法来评定标准不确定度的，用标准误差来表示。
测量列算术平均值的标准误差σx ̅为 σx ̅=σ√nn P nP P x x x y ⋅⋅⋅⋅=2121∑==Ni i i i c x x u P y y u 12]/[）（）（∑=∂∂=N i i ic x u x fy u 1)()(当测量次数较少时，其估算值会偏大，这是，从理论上可得A类不确定度的估算值为u A=t（n-1）·σx̅式中，t（n-1）是一个大于1的修正值（被称为t分布临界值）。
测量次数n不同，修正量t（n-1）不同。
下表给出了不同测量次数n对应的修正量。
2.2 B类不确定度的评定实则基于对一个事件发生的信任程度。
很多不确定度分量实际上还必须用别的非统计方法来评定。
2.2.1 B类不确定度评定的信息来源主要有六项：①：以前的测量数据。
②：对有关数据资料和测量仪表特性的了解和经验。
③：生产部门提供的技术说明文件。
④：校准证书、检定证书或其他文件提供的数据、准确度的等别或级别，包括目前还在使用的极限误差等。
⑤：手册或某些资料给出的参考数据及其不确定度。
⑥：规定实验方法的国家标准或类似技术文件中给出的重复性限r或重复性限R。
2.2.2 B类不确定度的评定方法采用不同于A类的其他方法估算。
首先，根据仪器、仪表说明书，国家标准，材料特性等来确定测量误差限△，例如，已知仪表精度等级和量程可计算出误差限。
其次，确定测量误差的分布，常见的有正态分布和均匀分布。
最后，将测量误差限（对应的置信度≈1）换算成相似的标准误差u j（对应一倍的标准误差置信度）。
对于均匀分布的误差，其B类不确定度估算为u j=√3对于服从正态分布的误差，其B类不确定度估算为u j=△3三．测量不确定度评定实例3.1用电压表测量稳压电源的输入电压3.1.1测量方法及测量的数学模型用已经校准的电压表测量一台稳压电源的输出电压U 。
电压表的分辨力为0.01V 。
电压表校准的不确定度和表的分辨力引起的不确定度可以忽略不计。
因此，多次直接测量，数据的平均值即为输出电压的最佳估计值。
故测量的数学模型可以表示为：U ＝U 测 （1.1）3.1.2测量数据进行了10次测量，测量数据及相关计算列于表1.1表1.1 输出电压测量数据及相关计算检查平均值和残差的计算是否有误，可将正残差与负残差分别相加，若两个和的绝对值不相等，且两者之差大于末位的1/2，则可判定计算有误。
本例中183i i υυ∑+=∑-=，再复核计算，表明计算正确。
也可直接求残差的代数和看是否为零，或小于末位的半个单位来进行判断。
10次测量值的平均200.56V 10iU U ∑==测 （1.2）即为输出电压U 的最佳估计值。
3.1.3根据贝塞尔公式计算测量列的实验标准差 单次测量值的实验标准差()()0.477V i S U ==（1.3）S （U i ）表征测量列中测量数据的分散性。
假定测量值服从正态分布，就可以估计，大约有68.3％的测量值处在（200.56±0.48）V 区间内，95％的测量值处在（200.56±2×0.48）V 区间内，99.7％的测量值处在（200.56±3×0.48）V 区间内。
残差绝对值大于3×0.48V 的测量值不应该出现（小概率事件）。
如果出现，可判定为粗大误差。
10次测量的每一个测量值的实验标准差均为0.48V 。
这10个测量值仅是测量值总体的一个样本。
由此计算的标准差仅是这个样本的标准差，而不是总体标准差。
总体标准差可表示为：()i U n σ=→∞（1.4）这无法实际测得，只是理论上存在，又叫理论标准差。
而样本标准差仅是理论标准差的有偏估计值。
样本方差S 2（U i ）才是总体理论方差σ2（U i ）的无偏估计值，即最佳估计值。
所以在统计分析中，多用方差作为数据分散性的度量。
标准差是方差的正平方根，在实际工作中使用更为方便。
3.1.4计算平均值的实验标准差()(()0.15V i S U S U =测（1.5）可以这样理解S （U 测）的含义：再进行若干组测量，每组n 个测量值均可求得一个平均值和相应的测量列的标准差。
若测量条件不变，各组测量列的标准差相互很接近。
各组测量值的平均值不会完全一样，它们也构成一个数列。
由这个数列也可用贝塞尔公式计算它的标准差。
由统计理论可证明，平均值数列的标准差等于单个测量列标准差的1/n 倍，即为（1.5）式。
这表明，平均值数列的分散性比单一测量列的分散性小，即各平均值比测量列中的测量值相互之间更靠近。
v ＝n －a 叫做自由度，它是求和的项数n ，减去对和的限制数a 。
上例中，n ＝10，限制条件仅有残差之和为零，即Συi ＝0，故a ＝1，因而v ＝10－1＝9。
自由度越大，计算的样本标准差就越接近总体标准差，所得结果的可信度就越高。
3.1.5测量结果报告平均值的实验标准差就是它的标准不确定度。
本例中，这是唯一的不确定度来源。
认为近似服从正态分布，测量结果可以表示为：输出电压 U ＝200.56V ，u ＝S （U 测）＝0.15V ， （1.6）或者 U ＝200.56V ±2×u＝200.56V ±0.30V ，p ＝95% （1.7）0.30V 即为扩展不确定度。
说明：测量值的分散是输出电压的随机变化和测量仪表读数随机起伏的综合反映。
3.2用发光强度标准灯校准光照度计的示值3.2.1校准方法如图（2.1）所示，将光强标准灯和照度计的光度探测器安置在测光导轨上，并调整好它们的状态，设定两者之间的距离为l 。
则标准灯在接收面上产生的标准照度值为E S ＝I / l 2 （2.1）式中，I 为标准灯的发光强度，I ＝268.8 cd ，l ＝1.600 m ，故有：E S ＝268.8 cd/（1.600 m ）2＝105.0 lx （2.2）由照度计测得的照度示值为E t图2.1 发光强度标准灯校准光照度计示意图3.2.2数学模型如上所述，校准的数学模型可以表示为2t s t IE E E E l ∆=-=-（2.3）式中，△E 为照度计的示值误差。
3.2.3输入量的标准不确定度评定（1） 由△E 分别对E t ，I 和l 求偏导数，即得相应的灵敏系数()()()12233112tE c E E c I l E I c l l ∂∆⎫==⎪∂⎪⎪∂∆⎪==-⎬∂⎪⎪∂∆==⎪∂⎪⎭（2.4）由此可得：()()()()()()1122233312t t u c u E u E u c u I u I l I u c u l u l l ⎫==⎪⎪⎪==⎬⎪⎪==⎪⎭（2.5）（2） E t 为照度计10次测量所得示值E ti 的平均值，即E t ＝ΣE ti /10。